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CORRESPONDANCE
D'HERMITE ET DE STIELTJES.
28427 PARIS. — IMPIUMERIE G A U T H I li R -V I LL A R S
Quai des Grands-Augustiiis, 55.
?.2-1901
1856 - 1894
CORRESPONDANCE
D'HERMITE ET DE STIELTJES
PUBLIÉE PAR LES SOINS
B. BAILLAUD,
Doyen honoraire de la Faculté
des Sciences,
Directeur de l'Observatoire de Toulouse.
H. BOURGET,
Maître de Conférences à l'Université,
Astronome adjoint
à l'Observatoire de Toulouse.
Avec une préface de Emile PICARD,
Membre de l'Institut.
TOME 1.
(8 NOVEMBRE 1882 — 22 JUILLET 1889.)
^1 frv
PARIS,
GAUÏHIER-VILLARS, IMPRIMEUR-LIBRAIRE
DU BUREAU DES LONGITUDES, DE l'ÉCOLE POLYTECHNIQUE,
Quai des Grands-Augustins, 55.
1905
Tous droits réservés.)
t.!
INTRODUCTION.
On sait quelle place tint dans la vie scientificjue
d'Hermite sa correspondance avec des savants français
et étrangers. C'était pour lui un délassement que de
se livrer en toute confiance à de longues causeries
épistolaires, heureux tout à la fois de faire profiter
ses amis et ses élèves des remarques suggestives aux-
quelles l'avaient conduit ses réflexions, et de solliciter
des éclaircissements en se faisant écolier. D'ailleurs,
même pour les Mémoires publiés dans les journaux
scientifiques, la forme épistolaire avait toujours eu
sa prédilection. Ses travaux ont souvent paru sous
forme de lettres, rappelant le nom de ses nombreux
correspondants; il trouvait ainsi moyen d'associer la
science et l'amitié.
Aucune correspondance d'Hermite ne fut plus
suivie ni plus abondante que celle qu'il avait com-
mencée en 1 882 avec un astronome adjoint de l'Obser-
vatoire de Leyde, Thomas Siieltjes. Le souci des
INTRODUCTION.
mêmes problèmes et une même tournure d'esprit atti-
rèrent Hermite vers Stieltjes, et une vive sympathie
s'établit vite entre le jeune débutant et le vétéran de
la Science. I.a mort de Stieltjes, arrivée prématu-
rément en i8(j4, put seule interrompre cette corres-
pondance, unique peut-être dans l'histoire de la
Science. Relisant, après ce triste événement, la longue
série de lettres du géomètre éminent pour qui il avait
une si affectueuse estime, Hermite pensa qu'il impor-
tait à la mémoire de Stieltjes que ce témoignage de
son activité et de son génie mathématiques ne
disparût point. Il était impossible de publier les
lettres de Stieltjes sans publier celles d'Hermite,
tant leur collaboration avait été intime ; les amis
de Stieltjes eurent ici à vaincre quelque résistance
d'Hermite, qui finit cependant par se décider à
laisser paraître renseml)le de la Correspondance.
M. Gauthier- Villars voulut bien se charger de cette
publication.
M. Baillaud et M. H. Bourget, qui avaient beau-
coup connu et beaucoup aimé leiu' collègue de la
Faculté des Sciences de Toulouse, entreprirent tout
d'abord la collation des lettres et firent quelques
coupures nécessaires. Prenant à cœur la perfection
de cette édition, ils reprirent ensuite les calculs, là
où il leur parut nécessaire, et ajoutèi^eut des \otes
IMUODUCÏION. Vil
et des éclaircissements. Le manuscrit était presque
entièrement prêt à la mort d'Hermite, qui avait suivi
le travail de re vision. Tous les amis et les admirateurs
d'Hermite et de Stieltjes remercieront MM. Baillaud
et Bourget du soin et du dévouement qu'ils ont
apportés à cette œuvre, qui comptera deux Volumes.
Il manque, hélas! une chose au Volume qui va
paraître. Hermite avait promis d'écrire une Intro-
duction, où il eût mis sans doute en pleine lumière
l'originalité du talent de Stieltjes. Il n'appartient à
personne de tenir aujourd'hui la plume à sa place.
L'affinité mathématique était complète entre ces deux
grands esprits. Une grande partie de la Correspon-
dance a un caractère arithmétique; c'est le vir
arithmetlcas , comme aurait dit Jacobi, qu'Hermite
affectionnait surtout en Stieltjes. Cet arithméticien
ne reste pas seulement sur les sommets à contempler
les choses de loin et de haut ; il descend dans le fond
des vallées et y recueille des applications numériques
d'où il sait ensuite tirer des remarques générales.
Quelle joie ce fut pour Hermite que de rencontrer
un correspondant si perspicace s 'intéressant aux ques-
tions d'approximations, auxquelles il avait lui-même
consacré une grande partie de son labeur scienti-
fique,-en particulier aux quadratures approchées et
aux fractions continues algébriques. On retrouve chez
VIII INTRODICTION.
Stieltjes, à l'apogée de son talent, le calculateur qu'il
avait été jadis à l'Observatoire de Leyde; c'est un des
côtés de son originalité .
On est émerveillé aussi de la rapidité avec hujuelle
il répond aux questions ([ue lui pose Hermite et
tiouve des démonstrations ingénieuses et profondes
aux théorèmes qui lui sont énoncés. Nous voyons
en même temps le champ de ses études s'agrandir
peu à peu ; ses recherches sur une transcendante
envisagée par Riemann le font pénétrer profondément
dans la théorie des fonctions. Que de beaux travaux
il eût faits encore en portant dans cette voie ses
préoccupations arithmétiques et algébriques, si sa
carrière n'avait pas été si prématurément brisée!
C'est ce dont témoigne assez son dernier Mémoire,
sur les fractions continues algébriques, (pii est assu-
rément un chef-d'œuvre.
La Correspondance d' Hermite et de Stieltjes
n'intéressera pas seulement les analystes. En même
temps que deux géomètres de premier ordre, on y
voit deux beaux caractères. Quelle simplicité et
quelle franchise entre le maître et le disciple, ou
plutôt entre les deux amis! Quelle confiance afl'ec-
tueuse chez l'un et chez l'autre! On est réconforté
par la lecture de ces pages, oii ne se môle aucune
préoccupation personnelle, et où chacun va jusqu'au
INTliODUCïION.
bout de sa pensée. Il semble aussi, et e'est une
curieuse impression laissée par ces lettres, que sous
cette forme plus personnelle le langage abstrait de
l'Analyse perde de sa sécheresse et que la Mathé-
matique y devienne plus humaine. On n'oubliera
pas enfui que c'est à l'amitié développée par cette
correspondance que nous devons de pouvoir compter
Thomas Stieltjes parmi les géomètres français les plus
éminents 4e la seconde moitié du xix*' siècle.
Emile PICARD.
NOTICE SUR STIELTJES
(M
Thomas-Jean Stieltjes naquit en Hollande, dans la petite
ville de Zwolle, le 29 décembre i856.
Son père, Thomas-Jean Stieltjes, était un homme de
haute valeur. D'esprit libre et indépendant, d'une volonté
inflexible, il avait une remarquable grandeur de vues. A
vingt-quatre ans, lieutenant du génie dans l'armée hollan-
daise, il publia, sous le couvert de l'anonymat, des conseils
touchant la défense stratégique des Pays-bas. La maturité
de ces conseils les fît attribuer à quelque chef de corps.
Stieltjes ne s'en déclara Fauteur que beaucoup plus tard,
dix-huit mois avant sa mort. Plus tard, ingénieur civil, il
fut chargé d'organiser la canalisation de la partie orientale
de la Hollande, puis d'une mission de deux ans et demi à
Java, pour étudier les moyens de transport et dresser le plan
du réseau des chemins de fer de l'ile, plan entièrement
exécuté aujourd'hui. Sa forte personnalité s'accommoda mal
(') Je dois les éléments de cette Notice à l'extrême obligeance de
M'"" Stieltjes.
Je tiens à remercier aussi M. E. F. van de Sande Bakliuyzen, qui fut l'ami
et le collègue de Stieltjes à l'Observatoire de Leyde, des renseignements
précieux qu'il m'a donnés.
Dans les pages qui suivent, j'ai systématiquement laissé de côté l'analyse
des travaux de Stieltjes, renvoyant le lecteur à l'excellente Notice publiée
sur ce sujet par M. E. Gosserat dans les Annales de la Faculté des
Sciences de T'nuloitse, t. I\, 1895.
xii NOTICE srit STii:i.TJi:s.
avec sa situation de fonctionnaire. Des intrigues politiques,
suscitées par son excès d'honnêteté, le firent tomber en
disgrâce et rappeler en Hollande, six mois avant la fm de
sa mission.
Les fonctions de député que lui confièrent successivement
les villes de ZwoUe et d'Amsterdam n'entravèrent en rien son
activité d'ingénieur. Il fit, à cette époque, pour l'Allemagne,
un plan du canal reliant actuellement la mer du Nord à la
Baltique. Il s'occupa d'un projet de dessèchement d'une
partie du Zuyderseeet construisit, à Rotterdam, le beau port
de la rive gauche de la Meuse. Cette oeuvre difficile et pleine
de hardiesse lui permit de donner toute la mesure de son
talent d'ingénieur. Il mourut en 1878. On peut voir dans la
Noordereiland, sur la Burgemeester Hoffm an-Plein, au
centre du quartier qu'il a créé, le monument que lui ont
élevé ses amis et ses admirateurs. Il fut un type accompli de
la forte race hollandaise et son fils hérita de sa hauteur
d'esprit et de ses principes inflexibles de droiture.
Thomas-Jean Stieltjes, junior (comme il signait ses
premiers Mémoires), passa ses années d'enfance avec ses
parents dans les villes où son père, alors ingénieur, fut obligé
de séjourner. Il acheva ses études au lycée de Delft et entra
en 1873 à l'Ecole Polytechnique de cette ville. Malgré sa
supériorité, déjà reconnue par ses maîtres et ses condis-
ciples, il en sortit sans son diplôme d'ingénieur. Il iTavait
pu, à deux reprises (187,5, i87()), surmonter Taversion (jue
lui inspirèrent, toute sa vie, les concours.
M. H. -G. van de Sande Bakhuyzen, directeur de lObser-
vatoire de Leyde, ami de son père, le fit entrer à l'Obser-
vatoire en avril 1877. Il fut allaché officiellement à cet
NOTICE SUR STIELTJKS. XIII
établissement comme « aide aux calculs astronomiques » le
I*"' décembre de la même année. Au mois de février 1878,
après le départ de M. J.-G. Kapteyn pour Groningue, il
fut convenu qu'il prendrait part aux observations. Stieltjes
eiiti-a donc au service méridien et collabora avec MM. E. F.
van de Sande Bakhuyzen et Wilterdink aux travaux entrepris
par rObscrvatoire à cette époque, à savoir : un catalogue
d'étoiles voisines du pôle, l'observation d'étoiles fondamen-
tales des zones sud et l'étude des erreurs systématiques du
cercle méridien. Il aidait, en même temps, à la réduction des
déclinaisons des étoiles fondamentales, observées de 1864 à
1874, et prenait part, en un mot, au travail général de l'Ob-
servatoire,
Tout d'abord il se sentit dans un milieu qui convenait
à son esprit, naturellement porté aux études particulières et
minutieuses qu'exige l'Astronomie. L'étonnante intensité de
travail dont il était capable le rendit bien vite maître des
procédés de calcul et des méthodes d'observations. L'étude
de la. Mécanique céleste et des Mathématiques pures occupait
ses moments de liberté. Mais, à mesure que ses recherches
personnelles se développaient, Stieltjes prenait de plus en
plus conscience de sa vocation exclusive pour les travaux
théoriques. L'Astronomie, qu'il avait jusqu'alors regardée
comme l'objet de sa vie scientifique, lui apparut insensible-
ment comme un obstacle au complet développement de ses
études préférées.
La nécessité pour son esprit de prendre une décision et
l'impossibilité où il était, sans doute, delà prendre conforme
à ses goûts, lui fit traverser une sorte de crise de réserve
extrême et d'inquiétude, hésitant sur ce qu'il devait faire,
XIV NOTICE SLK STIKLTJKS.
parlant même à ses collègues d'aller vivre pauvrement en
Amérique, pour étudier aux côtés de Sylvester.
L'heureux événement de ses fiançailles avec M"^ Elisabeth
Intveld fît cesser ses hésitations, en ouvrant pour lui une
période de bonheur. Ses idées originales se développent et
les travaux se succèdent rapidement. J^' Académie d'Am-
sterdam imprime, dans ses Mémoires, son étude sur la for-
mule d'interpolation de Lagrange; nos Comptes rendus
insèrent sa démonstration, si intéressante pour nous, des
propriétés des polynômes Hansen-Tisserand : Les proposi-
tions découvertes par Tisserand étaient cachées; il en a été
donné depuis des démonstrations simples; aucune n'est plus
ingénieuse que celle de Stieltjes montrant le lien qui rattache
cette question à la théorie du potentiel dans un espace à
quatre dimensions. Cette démonstration le mit en rapport
avec Hermite, et la correspondance que nous publions,
M. Baillaud et moi, montre mieux que je ne saurais le dire
quelle affinité mathématique ces deux esprits avaient l'un
pour l'autre. Ces relations furent l'origine d'une commune
amitié, très chère des deux côtés.
Le i'^'' janvier i883, son directeur, qui connaissait toute
sa valeur, le dispensa, sur sa demande, des observations. Il
s'occupa, chez lui, de la réduction des observations de la
difTérence de longitude Leyde-Greenwich, et commença
même la réduction de ses propres observations. De sep-
tembre à décembre i883, il suppléa van den Berg à l'Ecole
Polytechnique de Delft. Enlin, le i"" décembre i883, il
donna sa démission d'astronome à l'Observatoire.
11 était désormais tout aux Mathématiques.
Les études qu'il fit pendant ce séjour de six années à
NOTICE SUR STIRLTJES. XV
l'Observatoire semblent avoir exercé une influence prépon-
dérante sur la formation de son esprit. Il y puisa cet attrait
pour l'examen approfondi des questions particulières, cette
habileté dans le maniement des formules algébriques et leur
adaptation au calcul numérique et l'art même de ce calcul
qui se manifestent dans tous ses travaux. Il prit l'habitude de
contrôler ses inductions par de nombreux exemples, déve-
loppés à fond, poussant parfois très loin et comme avec
amour les calculs numériques. Cette méthode de recherche,
que nous admirons chez Gauss, est d'une singulière puis-
sance quand celui qui l'emploie est assez clairvoyant pour
démêler les lois générales à travers les particularités de
l'exemple. Elle semble avoir été, chez Stieltjes, le nerf de la
découverte. On peut dire, sans exagération je crois, que
toutes les vérités analytiques qu'il a fait connaître ont été
découvertes avant d'être démontrées. Une démonstration
rigoureuse de la vérité, ainsi révélée par l'expérience, est le
complément nécessaire d'une telle méthode : Stieltjes ne l'a
jamais oublié. Son esprit si fin et si perspicace dans l'inven-
tion ne l'était pas moins dans l'examen de la rigueur d'une
démonstration. Maints passages des lettres à Hermite mon-
trent quels étaient ses scrupules et ses exigences en ces ma-
tières. Ses conversations faisaient deviner le grand nombre
des phénomènes mathématiques intéressants qu'avaient mis
en lumière ses patients calculs. i\e possédant pas de démons-
tration rigoureuse, mais seulement la conviction morale de
leur généralité, il ne les publiait pas. Il les conservait cepen-
dant, soigneusement annotés. Cette réserve laisse soupçonner
les richesses contenues dans les papiers qu'il a laissés.
Cette méthode, qui implique un labeur énorme, a imprimé
XVI NOTICE SUR STIELTJES.
aux travaux de Stieltjes le cachet qui leur est propre. On
a, en les lisant, Timpression qu'on arrive, sans grand appareil
de formules et comme par le seul effort de la pensée, par la
voie la plus simple, à des propositions cachées.
Marié depuis le mois de mai i(S83 à une femme digne de
lui, stimulé par l'appui et les conseils d'Hermite, tout à ses
éludes favorites, son activité durant les années f883, i884,
i885 fut considérable. Les conceptions ingénieuses et les
idées neuves, germes des travaux qu'il aurait achevés sans sa
mort prématurée, se multiplient. Ses belles recherches sur
les résidus cubiques et biquadratiques, sur la décomposition
d'un nombre en cinq carrés, sur la densité intérieure de la
Terre et le commencement de ses études sur les quadratures
mécaniques et les fractions continues algébriques datent de
cette époque. Ces travaux lui font conférer le grade de
docteur, hojioiis causa, de l'Université de Leyde. L'Aca-
démie d'Amsterdam lui ouvre ses portes.
Présenté en première ligne pour la chaire de calcul inti-
nitésimal de Groningue, il n'est cependant pas nommé. Avec
sa modestie extrême, il écrit à Hermite qu'il n'avait peut-
être pas les grades, nécessaires. 11 sentit pourtant très vive-
ment cet échec. La décision de son caractère lui lit prendre,
non sans quelque peine sans doute, le parti de quitter la
Hollande où tant de liens, cependant, le retenaient. Il vint
s'installer à Paris au mois d'avril r885.
Devons-nous déplorer cet échec, malgré ce que nous en
pouvons penser? Il nous a donné Stieltjes et contribué ainsi
à l'honneur de la science française de notre époque.
A Paris, il commence, en vue d'une thèse, l'étude de la
fonction C(-sj de Kiemanu, puis, sans en donner les motifs,
NOTICE SUR STIELTJES. XVII
l'abandonne, malgré l'importance des résultats obtenus.
Quelques points restaient-ils dans l'ombre ou sans démons-
tration rigoureuse? Était-ce plutôt la conséquence de l'opi-
nion qu'il me communiqua un jour : Qu'en admettant même
l'exactitude de tous les résultats énoncés par Riemann, on
ne pouvait conclure de son Mémoire rien de définitif sur la
distribution des nombres premiers.
Il fut reçu docteur en juin 1886 avec une thèse remar-
quable sur les séries seini-coiwer génies (de la nature de la
série de Stirling-), puis chargé de cours, la même année, à
l'Université de Toulouse et nommé titulaire trois ans après.
A la Faculté des sciences, Stieltjes fut chargé du cours de
Calcul différentiel et intégral, succédant dans ces fonctions
à MM. Picard, Goursat et Kœnig's. Un peu gêné au début
par la langue, il se montra vite professeur éminent. Ses
cours possédaient les qualités de ses mémoires. Une grande
clarté, reflet de sa lucidité d'esprit, lui permettait d'exposer
simplement les théories difficiles. Des exemples nombreux,
très instructifs, ayant toujours de la portée, faisaient péné-
trer dans l'esprit de ses auditeurs, presque à leur insu, les
notions les plus délicates. (3n sortait de ses leçons étonné
de la facilité d'acquisition des méthodes générales, émer-
veillé de leur fécondité et avec le sentiment que Fart consis-
tait plus à les bien appliquer qu'à les comprendre. Je n'ai
jamais connu de professeur donnant, autant que lui, à ses
élèves, conscience de la puissance des instruments qu'il leur
mettait en mains. Ce penchant à toujours faire comprendre
les théories par leurs usages, n'excluait pas chez lui la
rigueur, dont il avait le plus scrupuleux souci. Mais il savait
admirablement distinguer ce qu'on devait enseigner, de ce
qu'on pouvait seulement signaler.
XVIII NOTICE SLR STIELTJES.
Chargé également de faire des conférences aux candidats
à ragrégation, il put y déployer plus librement sa science. Je
me souviens notamment de deux de ces cours : l'un eut pour
objet la théorie des fonctions de variables imaginaires. Il
montra comment les deux voies suivies par M. Mérav et
Weierstrass d'une part, par Riemann d'autre part, abou-
tissent au même point. Dans l'autre, il exposa la théorie
des fonctions elliptiques. Il suivit, dans ses di'tails, une idée
ingénieuse de Riemann, consistant à étudier d'abord, et indé-
pendamment, les intégrales elliptiques et les fonctions thêta,
et à montrer ensuite qu'en remplaçant l'argument de la fonc-
tion thêta par l'intégrale on obtient une fonction algébrique.
L'inversion est ainsi effectuée.
Ses devoirs de professeur n'absorbaient pas tout son
temps. Les mémoires sur les fonctions sphériques et les poly-
nômes de Legendre, la fonction gamma et l'équation d'Euler,
les soins pieux qu'il apporta à l'étude extraordinairement
* difficile des fragments du troisième Volume du Traité des
fonctions elliptiques d'Halphen, sont la preuve de son
infatigable activité. Elle se manifeste encore mieux dans la
promptitude de ses réponses aux difficultés que lui signalait
Hermite, dont les questions et les réflexions suggestives
provoquaient ses recherches. Mais déjà, à cette époque, le
principal sujet de ses méditations fui les fractions continues.
Frappé, dès 1884, en étudiant la méthode de quadrature de
Gauss, de l'étrange identité dune intégrale définie et dun
type spécial de fractions continues, il chercha pendant
dix ans à mettre en pleine lumière la généralité de ce fait.
Le résultat de ses efforts fut le très beau mémoire ([uil
donna en 1894, peu de temps avant sa mort.
Au mois d'octobre 1890, il sentit s'aggraver les symj)-
NOTICE SUR STIELTJES. XIX
tomes, tout d'abord anodins, du mal qui devait l'emporter.
Les fatigues du travail excessif et incessant qu'il s'était
imposé depuis i883 en précipitèrent les progrès. Ni les soins
affectueux dont l'entouraient les siens, ni les facilités de
repos et de bien-être que lui procurèrent ses amis et ses
collègues ne purent enrayer la marche de la maladie. Sur
les conseils d'Hermite, il passa en Algérie les hivers de 1892
et de i<S(j3. Pendant son dernier séjour, il trouva la solution
de la difficulté qui arrêtait depuis si longtemps l'achèvement
de ses recherches sur les fractions continues. Il découvrit un
théorème remarquable lui permettant d'elléctuer la conti-
nuation analytique de sa fraction continue dans tout le plan.
La joie qu'il en ressentit lui donna pour quelques mois des
forces nouvelles. La sollicitude d'Hermite durant sa maladie
fut admirable. Elle le suivit jusqu'à la fin, veillant sur lui et
sur son repos, pleine de délicates attentions. Stieltjes le sen-
tait. Le prix qu'il attachait à ses lettres, le soin avec lequel
il les avait conservées et classées montrent bien qu'elles
étaient, à ses yeux, une partie de son bonheur et de sa vie. Il
lutta quatre ans. Il se savait perdu. Il attendit sa fin avec la
liberté d'esprit et de pensées, avec la fermeté de cœur qu'il
avait montrées dans les circonstances difficiles de sa vie. Par
un elTort de volonté que peuvent seuls comprendre ceux qui
l'ont vu à cette époque, il trouva la force de rédiger, quelques
mois avant sa mort, son mémoire sur les fractions continues,
avec une hâte désolante pour ses amis, qui en voyaient,
hélas! bien la cause. Il mourut le 3t décembre 1894.
Les honneurs que lui réservait l'avenir étaient déjà venus
le trouver. L'Académie des Sciences, en 1892, le porta sur
la liste des candidats au fauteuil d'Ossian Bonnet; en 1893,
XX NOTICE SUR STIELTJES.
elle lui décerna le prix Petit d'Ormoy. Le rapport élogieux
de M. Poincaré sur son dernier niéuioire présenté pour le
prix Lecomte montre bien l'admiration que le monde savant
avait pour ses travaux. L'Académie de Saint-Pétersbourg
l'avait nommé son correspondant.
Ses élèves et ses amis connaissaient son empressement à
rendre service et sa libéralité à les faire profiter de sa science
si vaste et de son érudition si sûre. Très exigeant pour lui-
même, il jugeait librement les travaux des autres, aussi
joyeux de leurs découvertes que modeste vis-à-vis des
siennes. Ses jugements, sévères quelquefois, n'ont jamais
blessé, sa bonté s'efforçant toujours de trouver quelque
excuse aux faiblesses et aux erreurs. 11 exécutait avec une
volonté inflexible les décisions que lui dictait sa droiture.
A la fois très ferme et très doux, personne ne sut, au même
degré que lui, conformer sa conduite à ses principes.
Ceux qui l'obt connu et aimé, devinant sous sa réserve
naturelle cette réunion, chose rare! des qualités du cœur,
du caractère et de l'esprit, ne roul)lieront jamais!
C'est sur le désir même d'Hermite que nous publions cette
correspondance. Elle montre l'affectueuse bonté d'Hermite
et son amour profond de la science, en même temps que
toute la dignité de la vie et le rare talent de Stieltjes.
Puissent ses amis y retrouver un peu la douceur et le
charme de cette nature d'élite que la mort a si prématuré-
ment anéantie !
Henry BOURGET.
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indication aux passages suivants :
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en bas.
» 226 » 3 avant les mots « Vous lui ferez, etc. ».
» 248 » 3 )) 4-
» 253 » 16 avant les mots « Je dois aussi, etc. ».
» 260 » 9 » 4 6f bas.
» 261 1) 10 » 1 1 .
» 261 » lettre 137, au début, après « Mon cher
ami ».
» 266 » 10 et II en bas.
» 26S »
» 270 ))
>; 278 »
» 281 » 4 entre les mots « sur vos intérêts »
et « et dans l'espérance, etc. ».
Par contre il faut, page 220, ligne 7, supprimer les points au début
de la phrase.
10
et
1 1
10
»
1 1
i3
»
14
10
»
11
CORRESPONDANCE
D'HERMITE ET DE STIELÏJES.
Il Eli MITE A STIELTJES.
Paris, 8 novemijre 1882.
jNIoiVSlEX'll ,
Je m'empresse de vous accuser réception de la lellre que vous
m'avez fait l'honneur de m'adresser (') et de vous lénioigner tout
le plaisir que j'ai eu en prenant connaissance des beaux résultats
auxquels vous êtes parvenu. Mes éludes ne m'ont point conduit
jusqu'à présent aux questions d'analyse concernant les fonctions
de Legendre d'ordre supérieur, mais j'ai été lié avec l'illustre géo-
mètre (-) dont vous avez suivi la trace, et je sais avec quelle admi-
ration il a accueilli la belle découverte de M. Tisserand dont vous
vous êtes inspiré. Je ne puis douter. Monsieur, qu'au retour du
voyage qu'il fait pour l'observation aux Antilles du passage de
V^énus, M. Tisserand ne lise avec le plus grand intérêt, dans les
Comptes rendus, votre lettre dont je donnerai communication à
l'Académie dans sa prochaine séance (■' ). En attendant que son opi-
nion sur votre travail, à laquelle vous devez surtout tenir, vous
parvienne, permettez-moi, Monsieur, de vous offrir en témoignage
de mes sentiments de haute estime quelques opuscules rpii vous
parviendront avec celle lellre, et d'y joindre l'expression (h- toute
ma sympathie et de ma considération la plus distinguée.
(' ) La première leLtre de Slielljes à HeriniLc manque.
(-) M. Heine, probablement.
(^) Cette lettre a été communiquée à l'Académie le i3 novembre 18S2. Elle se
trouve dans les Comptes rendus, t. XCV^ p. goi-goS, sous le titre : Sur un
théorème de M. Tisserand. Stieltjes y donne la démonstration d'une propriété
trouvée par Tisserand et relative à la forme analytique des coefficients du déve-
loppement de la fonction perturbatrice lorsque l'inclinaison mutuelle des orbites
est considérable.
M<
(;OUIU>POM)ANCK I) III'H.MIIE: KT de SriELTJES.
2. _ STIELTJES A H ERMITE.
Leyde, lo novembre
Je VOUS suis 1res reconnaissant pour la manière trop bienveil-
lante avec laquelle vous avez bien voulu prendre connaissance de
ma lettre précédente, et de l'envoi de vos opuscules, qui sont pour
moi d'un prix: inestimable. Je ne peux que vous exprimer mon
chagrin que, pour le moment, mon peu de loisir ne me permettra
pas de les étudier comme je voudrais les étudier, car je suis très
convaincu de l'importance fondamentale de ces belles recherches
qui pénètrent si profondément dans la théorie générale des fonc-
tions.
J'aurais certainement fait communication de mes l'ésultats à
M. Tisserand, mais je savais qu'il est allé observer le passage de
Vénus.
Je hasarde encore à vous envoyer avec cette lettre une petite
Note (') sur un sujet bien élémentaire qui aura besoin de toute
votre indulgence. Étant écrite en hollandais, je veux en exposer
l'esprit en quelques lignes.
Vous avez fait connaître, dans le Tome 8-4 du Journal de
Bovchardt ('-), l'expression analytique du reste de la formule
d'interpolation de Lagrange. J'avais pensé qu'il serait possible
d'arriver d'une manière élémentaire à une expression de ce reste,
analogue à celle de la formule de Taylor, donnée par Lagrange.
V'^oici comme j'y arrive :
Si la fonction (j'(2) s'annule pour :; ^= .r et^ = .r, (^<<^',),
on aura
Si maintenant (j(-:;) s'annule encore pour 3 = j^.j >> ji-, , on
aura de même
( ' ) Le Mémoire de SLielljes a pour litre : Ovev Lagrange's Interpol atie- for mule
( Verslagen en Mecledecliiigen der Koninklijke Akadcmie van Wetenschappen
te Amsterdam, 1" série, t. XVII, p. 289-254; 1882).
(-) Le Mémoire d'Hermile est intitulé : 5m/' la formule d'interpolation de
Lagrange (Extrait d'une lettre de M. Cli. Ilermile à ^L Borcliardt).
LETTRE 2. à
Donc
En général, si ()'(:;) s'annule ])our z = x, x^, Xo, . • -, -Xu
\ X <C, X \ <i^ X-^ . . . <C X/i j ,
à la condition que, pour toutes les valeurs de z entre x et .r«, les
fonctions Çî'{z), Çj"{z), • •-, G^"~*H^) soient finies et continues,
et que, pour les mêmes valeurs de z, ()''"~''(^) admette une déri-
vée ^J^"\z).
Soitmaintenant^(:r)le polynôme de Lagrange, qui pourx = Xf ,
x-2j . . ., x,i prend des valeurs/(,r, ), /(xo), • • -, f{x,i), et posons
f(x)= :j'{x)-{-(.v — Xi){x — x,). ..{x — Xa)K;
comme il s'agit d'obtenir une expression simple dey(^) — ^'^i^),
nous pouvons supposera différent de jT), Xo, . . ., x„, et alors la va-
leur de Rest parfaitement déterminée par l'expression précédente.
Si l'on envisage maintenant la fonction
(J(z) = —fiz)^^{z) + (z-xi)(z-x,)...(::-x„)R,
il est évident qu'on a
Ç(x)=o, (J{xi)=o, ..., (j(^„)=0,
donc
(,'(")( -V) = o,
où 'f\ a une valeur entre la plus grande et la plus petite des quan-
tités X, Xi, . . ., X/i- Mais ^(5) étant au plus du degré n — i , on a
G(«)(s) = — /'"(^)+i. -2. ■]...« R,
donc
i . Î.3. . .n
Il est facile d'étendre ce raisonnement au cas que plusieurs des
quantités ^Ti, . . ., jp,j sont égales. La forme du reste, ainsi obtenue,
est aussi une conséquence immédiate de la belle formule que vous
avez fait connaître.
C'est avec le plus profond respect, Monsieur, que je signe votre
très reconnaissant.
4 COIlRESPONDA>CE 1) HEIOUTE Kl DK STIEI.TJF.S.
3. — HERMITE A STIELTJES.
Paris, i3 novembre 1882.
Monsieur,
Recevez tous mes remercîments pour la bonté que vous avez eue
de ni'exposer le point principal de voire travail sur la formule
d'interpolation de Lagrange. L'extrême simplicité et l'élégance de
votre méthode m'ajantfait penser qu'elle devait trouver |)lacedans
l'enseignement des Mathématiques spéciales de nos lycées, je l'ai
communiquée dans celte intention à l'un de mes élèves, directeur
des études à l'école préj)aratoire du collège vStanislas. J'ai eu, Mon-
sieur, la surprise et le regret d'apprendre que vous avez été de-
vancé, et que dans son Traité élémentaire d'Algèbre, destiné
aux candidats à l'Ecole Polytechnique, M. Lavirent propose comme
exercice de démontrer la proposition à laquelle vous êtes parvenu :
une fonction Ç){~-) s'annulant pour z =■ x, Xx, . . ., x„, l'équation
D"(j(^)=:o admet une racine z=^r^ comprise entre x et Xn- Je
n'ai point le traité de iNI. Laurent, et me trouvant comme vous.
Monsieur, surchargé de travail, je n'ai pu encore vérifier ce dont
j'ai été informé, mais qui ne me laisse pas de doute.
Aujourd'hui même je donnerai communication à l'Académie de
votre beau travail, et je ne pense pas avoir été contre vos inten-
tions en lui donuanl pour titre Sur une formule de M. Tisserand.
Veuillez agréer. Monsieur, la nouvelle assurance de ma haute
estime et de mes sentiments dévoués.
4. - STIELTJES A II EB MITE.
i3 novembre 1882.
MoNSIEl U,
En lisant votre deiuiière lettre, je n'ai pu m'empêcher dem'ima-
giner que, peut-être, vous n'avez pas lu dans ma dernière lettre
Vapplication de ce théorème (A) :
si
à la détermination du reste de la formule de Lagrange, que
LKTTHE O. D
j'obtiens sous la forme
•l{x) = (x — Xi)(x — X.,). . .{X — Xn),
p = n
f(x)= > ' n /(•^i>)+ 7 ('I)-
-^ ^d{X — X,j)'V{X,,/ '' 1.-2... Il ^ V'
p=i
Je n'écris ceci que pour m'excuser, car il ne me sérail jamais venu
dans l'esprit d'abuser de votre temps pour vous annoncer seule-
ment ce théorème (A).
Mais aussi, si cette sup|)osition est erronée, la chose est de troj)
peu d'importance pour en jiarler plus.
Veuillez accepter l'assurance de mon profond respect et de
toute ma reconnaissance.
Monsieur,
HERMITE A STIELTJES.
Paris, 17 novembre 1882.
Je n'avais pas été renseigné d'une manière suffisamment corn-
|)lète lorsque j'ai eu l'honneur de vous écrire au sujet du point de
V silgèbre Ae^l. Laurent, qui se rapporte aux recherches dont vous
avez eu la bonté de me donner communication. Ayant maintenant
cette Algèbre sous les jeux, j'extrais des Exercices et Notes qui
font suite au Chapitre Vil, à la page 222, ces énoncés que je
transcris textuellement.
16. Démontrer que, si f{x) s'annule pour x =^ a, b, . . . , l, les
(piantités a, b, . . . , l étant au nombre de /?, on a
f{x) = {x — a) (x — b)...(x—I) \ ^ ■ ,
X désignant une quantité comprise entre la plus grande et la plus
petite des quantités a, b, ...,/.
17. Si l'on pose
X — ai
f{a^,x) — f{a^,a,)
fiai,x),
= /(a,,a.2,x).
f(ai,ao^,x)— f( ai. 0-2,(13)
6 CORRESPO.M)A.\Ci: u'UKIUllTE ET 1)K STIEI.TJES,
on a
-^(x — ai){x — ai)...{x- a„)f"{\),
X étant compris entre la ])lus grande et la plus petite des quan-
tités Xy a,, a-y, • • -, a» (Ampère). (On s'appuiera sur l'exercice
précédent.)
J'ignorais absolument le résultat qui est attribué à Ampère, et
je regrette que M. Laurent n'ait point indiqué dans quel Mémoire
on pourrait en lire la démonstration ('). Autant que je puis le
présumer, c'est sans doute dans \e Journal de V Ecole Polytech-
nique qu'on aurait chance de le trouver.
Je ne sais, Monsieur, si, sous différentes latitudes, à Lejde
comme à Paris, ce sont les mêmes devoirs universitaires qui
surchargent les pauvres géomètres et entravent leurs recherches.
A la Sorbonne, nous avons maintenant une session dexamens de
baccalauréat, et j'ai le regret de passer bien du temps à lire des
compositions et à interroger sur l'Arithmétique, la Géométrie élé-
mentaire, etc. Je revois cependant les épreuves d'un second tirage
lithographie de mon cours de cette année, dont la rédaction a été
faite par un de mes élèves, et qui a pour objet les intégrales
prises entre les limites imaginaires, puis quelques points de l'étude
des fonctions en général, et des fonctions ellijitiques. Je me ])er-
mets. Monsieur, devons annoncer l'envoi d'un exemplaire de ces
Leçons aussitôt qu'elles seront parues, et je saisis cette occasion
pour vous renouveler l'expression de ma haute estime et de mes
sentiments dévoués.
(') Le Mémoire d'Ampère où se trouve la proposition citée par M. Laurent e>l
dans le Tome XVI des ^n/(a/e5 de Gergonne, p. 829; i8n6, et a pour lilTC : Essai
sur un nouveau mode, d'exposition des principes du calcul dijferentiel, du
calcul aux différences et de l'interpolation des suites, considérées comme
dérivant d'une source commune.
LETTRE (J. 7
6. — STIELTJES A II ERMITE.
Leyde, iî\ novembre 1882.
Monsieur,
Je vous prie encore de vouloir bien faire insérer la Note ci-
jointe dans les Comptes rendus (^).
Dès que j'avais trouvé la formule que je vous ai communiquée
dans ma première lettre, je soupçonnais qu'il devait exister une
généralisation, que je suis heureux d'avoir obtenue maintenant,
après bien d'inutiles efforts.
Vous savez que M. Tisserand avait originairement à développer
cos/iy, et c'est seulement plus tard qu'il a reconnu qu'il fallait
chercher le développement de ^^ -. —• Ma formule générale
^ ' siny ^
montre qu'on peut, en effet, développer cos/iy d'une manière
analogue, mais la série procède alors suivant les P''^(o, x') qui se
réduisent aux fonctions (1 — x-^ -j- (X/_, ).
Je suis bien aise d'en être quitte, maintenant, avec cette for-
mule de M. Tisserand, et je veux laisser reposer quelque temps
d'autres recherches qui se rattachent encore à cette question.
Je vous remercie d'avance beaucoup du pi^écieax présent que
vous m'avez annoncé, et je liie promets beaucoup de fruit de
l'étude de votre Cours, à laquelle je veux consacrer les instants
que mes autres devoirs me laissent. Je suis astronome adjoint à
l'Observatoire ici : jusqu'ici je pris part aux observations, mais
l'année suivante je ne m'occuperai qu'aux calculs de réductions
qui sont beaucoup en arrière. Outre cela j'ai encore à calculer des
observations astronomiques et météorologiques qu'un voyageur
hollandais, M. Rjckevorsel, a faites et fait encore dans le Brésil.
Maintenant vous pourrez vous bien imaginer que je n'ai pas beau-
coup de loisir pour mes études favorites.
J'ai beaucoup de regret. Monsieur, de n'avoir pas eu à ma dis-
position V Algèbre de M. Laurent, ce qui vous aurait épargné la
(') Sur un théorème de M. Tisserand {Comptes rendus du 27 nove:nbre).
Note de M. Slieltjes présentée par M. Hennile.
8 COURI'SI'ODANCK DllEUMlTi: KT DE SIIELTJES.
peine de copier |)our moi le passage dans votre dernière lellre.
Je n'ai pas encore cherché dans le Journal de V Ecole Poly-
technique ponr la pièce d'Ampère.
X'euille/- bien accepter, Monsieur, l'expression de la reconnais-
sance que vos bontés m'inspirent, et de mon plus profond respect.
7. — II ERMITE A STIELTJES.
Paris, ■>.% novcmbro 18S2.
Monsieur,
En venant vous informer que voire seconde Noie sur le théoi'ème
de M. Tisserand a été présentée hier à l'Académie, et qu'elle pa-
raîtra, par suite, dans le Compte rendu delà séance, j'ai une occa-
sion dont je m'empresse de jirofiter pour vous remercier de m'avoir
appris que vous êtes aslronome adjoint à l'Observa-toire de Lejde.
Je comprends bien, ainsi, que les découvertes de M. Tisserand,
dans lesquelles je n'ai vu que de l'analyse, aient altiré votre atten-
tion comme s'appliquant en outre à dimporlanles questions de
Mécanique céleste. Pour moi, Monsieur, je ne suis qu'algébriste el
jamais je n'ai quitté la sphère des Mathématiques subjectives. Je
suis, toutefois, bien convaincu qu'aux spéculations les plus abs-
traites de l'Analyse correspondent des réalités qui existent en
dehors de nous et parviendront quelque jour à noire connaissance.
Je crois même que les ellbrts des géomètres purs reçoivent, à leur
insu, une direction qui les fait tendre vers un tel but, et l'histoire
de la Science me paraît prouver qu'une découverte analytique sur-
vient au moment nécessaire pour rendre possible chaque nouveau
pr'ogrès dans l'étude des phénomènes du monde réel qui sont acces-
sibles au calcul. Un de mes élèves, qui est aussi l'élève de M. Weier-
strass, M. Mittag-Lefller, a ainsi communiqué à jNI. Gylden des
vues profondes du grand géomètre qui semblent annoncer une pro-
chaine liMusformation de la Mécanique céleste, en établissanl (jue
les bases mêmes de l'édifice de La|)lace sont bien chancelantes. Mais
je ne sais si nous verrons se réaliser cette transformation à laquelle
auront part, sans doute, les découvertes analytiques de notre époque.
V^ous trouverez, Monsieur, exposées à ma manière, quelques-unes
de ces découvertes, celles précisémenl auxf[uelles M. A\'eierstrass
LKTÏRE 9. 9
a allaclié son nom, dans les leçons de mon Cours de la Sorbonne,
dont je revois en ce moment le texte, et qui s'adressent aux candi-
dats à la licence es Sciences mathématiques. J'ai tenté, et vous ju-
gerez dans quelle mesure j'aurai réussi à introduire dans l'ensei-
gnement quelques-unes des notions les plus essentielles qui sont
dues à Cauchj, à Riemann, à M. Weierstrass lui-même.
V euillez agréer, Monsieur, la nouvelle assurance de ma plus haute
estime et de mes sentiments dévoués.
8. — STIELTJES A H ERMITE.
Le>cle, 6 janvier i883.
MoiVSIEUU,
En vous donnant dans ma dernière lettre ( ' ) la nouvelle propriété
de cette fonction B(/z), j'aurais dû mentionner la propriété corres-
pondante de la fonction F(/i) de M. Kronecker. Soit^ un nombre
premier impair, n non divisible par/?-; alors
V I n/)-'' ) — />'■■ + //■' -1 -h /j'''-2 +. , . -|_ ^ -I- 1 _ ( j (p''-^ + //'-2 -t-. ..4- /■ -i- n
lorsque n est divisible par p,
De plus, comme on sait,
F(4n)= -n'in).
Ces deux formules correspondent aux propriétés de B(«).
Fin]
MojVS
9. — rfERMITE A STIELTJES.
Paris, 9 mars iSS3.
Votre lettre me donne une occasion que je suis heureux de mettre
à profit pour vous faire savoir que mon cher confrère M. Tisserand
(') Entre la lettre (7) de Hermile et la lettre (8) de Stieltjes, il y a évidem-
ment une lacune. Il manque au moins une lettre de Stieltjes donnant une pro-
priété de la fonction B(/?).
10 CORRESPONDANCE U IIEIIMITE ET DE STIELTJES.
jii'a entretenu de la Communication c[ue vous avez faite à lAca-
(lémie en m'en faisant le plus grand éloge. Je vois aussi, Monsieur,
que vous êtes un ami de l'Arithmétique, et que vous partagez mon
admiration pour Gauss et Eisenstein; permettez-moi, si vous ne
me faites point parvenir un avis contraire, de donner à M. Darboux,
|tour qu'il la publie dans le prochain numéro de son Bulletin, votre
méthode élégante ( ' ) pour obtenir la valeur de ( ( -^— j ) • Elle me
rappelle d'anciens souvenirs qui remontent à plus de trente ans, et
des tentatives que j'ai faites alors pour obtenir le caractère de 2,
dans la théorie des résidus de cinquième puissance.
Veuillez agréer. Monsieur, lu nouvelle assurance de ma haute
estime et de mes sentiments dévoués.
lAloNÎ
10. — STIELTJES A H ERMITE.
Leyde, 16 mars i883.
Je me suis apeixu qu'il s'est glissé une faute dans ma lettre
d'hier (-). On a, pour n = ce :
7 — / = 'Og2
X dx 3 r
^-- \o" -■>
\ — x ° :>. 3
y. — '^ — = f
y /y _ ^ Ç' xdx^ ^\^J±_\
Jmà n (/<—/>-+-!) J^ \ — x ° 3 4
(') Bulletin des Se. mathématiques et astronomiques, 1' série, t. VII, i883,
p. 139-141; Sur la théorie des résidus biquadratiques, par M. T.-J. Stieltjes
(Extrait d'une lettre adressée à M. Herniite).
(-) La lettre du i5 mars manque. Un extrait est inséré aux Comptes rendus
(lu 19 mars : Sur le nombre des diviseurs d'un nombre entier.
LETTKE 10. I I
Je dois avoir indiqué faulivemenl les limites dans ces sommations
partielles, et je vous prie de vouloir bien corriger cette erreur, due
à cette circonstance, sans doute, que j'avais auparavant nommé /v;,
ce que je désigne maintenant par r„_/f+, .
Si l'on prend seulement k de ces séries partielles, la somme des
termes négligés
reste inférieure à -7 A l'aide de cette remarque, il serait très
/i -r- 1 ^ '
facile de donner à ma démonstration une forme tout à fait rigou-
reuse en laissant d'abord k constant, mais arbitraire. — Les
valeurs de /"( i ) + /"(à)4- . . . +y(/?) ont été calcidées dans le
temps (en 1876); ainsi :
Soit/? un nombre arbitraire "^ n et posons
Alors
/(■) + /(, ) + ...+/('0=^ Ef!;)+E(^)+...-.E(i')
Pour n = 100 000, ])ar exemple, j'ai pris
jD = 3i6, g = ù\5,
et la somme devient
J'avais calculé la somme/(i) -h . . . +f{n) pour n = 1000, 1 00000
pour avoir une idée de la rapidité avec laquelle le rapport
[f(i)-^...+f(n)]:n\o»n
s'approche de Tunité ; les valeurs numériques obtenues m'avaient
r •. /( i)-^. . .-h fin) , , ,1,
tait soupçonner que *^ — log« s approche dune
limite fixe, ce qui se confirmait, comme vous l'avez vu.
12 CORRIiSPONDA.NCE I) IIEItMITE ET DE SIII'LTJES.
J'espère, INIonsieur, que, s'il arrivait qu il vous sérail néces-
saire quelque calcul numéri(]ue, vous voudrez bien m'en lionorer.
■V ]>résent, je ne peux poinl faire une chose plus utile et je serai
toujours heureux si je pourrai vous rendre quelque service.
V^cuillez accepter, de nouveau, l'assurance de mes sentiments
dévoués.
11. — H ERMITE A STfELTJES.
Paris, 19 mai's i883.
Monsieur,
Recevez mon compliment pour votre Note sur le nombre des
diviseurs d'un nombre entier que j'ai lue avec grand plaisir et qui
sera présentée à la séance d'aujourd'hui, avec les corrections indi-
quées dans votre seconde lettre. J'accepte bien volontiers votre
offre de me venir en aide lorsque je serai amené à des calculs numé-
riques qui sont toujours pour moi une grande difficulté; permettez-
moi, en retour, de me mettre à votre entière disposition dans le
cas où vous désireriez entrer en relation avec les astronomes de
l'Observatoire de Paris. M. Tisserand, que j'ai eu pour élève, est un
de mes amis et j'ai avec tous de bons et excellents rapports. Je
serais heureux, Monsieur, que vous me donniez ainsi l'occasion de
vous être utile, et dans cette espérance je vous renouvelle l'expres-
sion de ma haute estime et de mes sentiments bien dévoués.
12. — IIERMITE A STIELTJES.
Paris, 2^ mai i883.
Monsieur,
Je serai extrêmement heureux de profiler de votre présence à
Paris pour faire votre connaissance personnelle, et je viens vous
prier, ne pouvant point disposer de ma journée pour me présenter
chez vous, de nous faire l'honneur de \enir dîner chez moi, avec
mon gendre l'Emile Picard, mardi, à ()''.')()'".
Je suis. Monsieur, avec les senliments de la plus haute estime,
votre bien sincèrement dévoué.
M(
LETTRE 13. l3
13. — STIELTJES A H ERMITE.
Leyde, 4 aug. iS83.
Je hasarde à vous présenter le développement plus complet de
la remarque que je vous ai déjà communiquée ('). J'ai étendu ma
démonstration au cas que la fonction ^J (x) dans l'intégrale
/
h
f{x)(J{x)dx
n'est assujettie qu'à la restriction d'être continue et de ne présenter
qu'un nombre fini de maxima et mininia.
Ensuite j'ai ajouté quelques conséquences concernant le déve-
loppement en fraction continue :
f
X — c
X,
On peut affirmer queXo, )m, ^^2' • • • sont tous positifs et que a„,
ai, ao, . . . sont tous compris entre a et b.
Je ne sais si cela était connu, mais je ne le trouve pas dans le
Mémoire de M. Heine {Monatsber. der Berl. Akad., i866).
M. Heine, dans son Ti^aité des fonctions spliéi-iques {\..\^ p. 20G.
•i" édition), cite encore des travaux de MM. Clii-istoffel et Tclie-
bjchef sans donner une indication précise où on peut les trouver.
Je n'ai pu consulter que le Mémoire de Christoffel sur les quadra-
tures mécaniques (^Borcliardt, 55), que vous citez aussi dans
votre Cours de l'Ecole Polytechnique, et le Mémoire de M. Tche-
bychef dans le Journal de Liouville, 'i^ série, t. HI.
Je suis. Monsieur, avec le plus profond respect, votre bien
dévoué.
(') Nous n'avons pas la trace de cette précédente Communication. La présente
lettre accompagnait évidemment l'envoi d'une Note insérée aux Comptes rendus
des I" et 8 octobre sous le titre : Sur l'évaluation approchée des inté<^rales.
(Note de M. Stieltjcs, présentée par M. Hermile.)
l4 COURESPONDAISCK d'hI'RMITE ET DE SllELUES.
14. — Il ERMITE A STIELTJES.
Kouras ( Charcnle-Iuférieurc), 7 août i8S3.
Monsieur,
Je serai absent de Paris et en voyage pendant la durée des va-
cances, c'est-à-dire jusque dans le courant du mois d'octobre, de
sorte qu'il ne me sera point possible de présenter à l'Académie,
avant cette époque, le travail extrêmement remarquable que vous
m'avez fait Thonneur de m'adresser. Les propriétés que vous avez
découvertes des polynômes P„(^) et Q/, (.r) m'ont vivement inté-
ressé, et les conséquences que vous en avez déduites, sur les quan-
tités A et a, ajoutent des résultats tout nouveaux à la belle théorie
de développement en fraction continue de l'intégrale
I
dz = o.
Je vous félicite, Monsieur, bien vivement du succès de vos efforts,
et je me promets de mettre votre beau travail à profit l'année pro-
chaine pour mes leçons de la Sorbonne. Il me rappelle une remarque
que j'ai faite autrefois et que je prends la liberté de vous commu-
niquer, en y joignant une question à laquelle vous serez, mieux
que moi, en mesure de répondre. Soit
D^[{x — ay^+^ix — h )''+?] ={cc ~ a)^{.r — b )^ ll(>),
de sorte que n(x) soit un polynôme entier de degré n, et suppo-
sons que 0L-{-[i soit un nombre entier A. On pourra écrire, en
désignant par 'f{x) la partie entière,
(X — ay^+'-^ {ce — by^^^ = ^{x) -^ ^ "^^2 ^•••
puis
Y)'.i^(^^ _ a)-+^{x - b y-^?] = <\^{x) + -^^ -^ ^^ +. . .
où <ï>(j?) est un polynôme de degré n + /.". Nous avons donc ainsi :
(x-a)Hx-b)?n(x)=^l>(.r)+-^^ + Jl--^...
M ( x)
de sorte que la fraction ., / e^'t hi /i"""^ réduite du développement
LETTRE 14. iS
en fraction continue de la quantité [x — a)'^{x — b)'^. Gela étant,
je demande si, en supposant a et b réels, l'équation U(^x) ^= o a
ses racines réelles. Pour y. = , 3 = 5 on se trouve dans le
cas de vos théorèmes, mais pour d'autres valeurs, en supposant
par exemple A" = — i, le polynôme ^(x) aurait-il encoix les pro-
priétés de la dérivée du dénominateur $(^)?
Permettez-moi, puisque vous êtes nn ami de l'Arithmétique, de
vous dire un mot d'une recherche qui m'occupe en ce moment.
En supposant n ^ 5 mod 8, et désignant pary(/i) le nombre des
décompositions de n en cinq carrés impairs dont les racines sont
positives, j'obtiens la relation suivante où E(.r) désigne l'entier
contenu dans x :
\/n — /l an' -+
/(5)^-/(i3)-t-...+/(>0=2«E
le signe 1] s'appliquant à tous les entiers impairs a et a', tels qu'on
ait /i >■ 4 <^«'- Soit ensuite E|(^) une nouvelle fonction égale à
zéro ou à l'unité,
Ei{x)=e(x-\ — )— E(^) ou bien E{ix) — 2E(^),
En désignant par F (n) le nombre total des décompositions de n
en cinq carrés, on a
-H 1 6 ^ [a E (y/« — aa' ) — 2 ( — 1 /' c E {^11 — 4 ce' )] ■
Dans cette formule a et a' sont tous les entiers impairs, c, c' les
entiers quelconques tels que n >> aa', n >- 4 ce'.
Les formules analogues pour trois carrés sont plus simples; j'ai
vérifié le premier théorème pour n = 21, mais je me trompe si
facilement dans les calculs nuuiériques qu'à mon grand regret je
ne me suis pas risqué à aller plus loin.
En vous renouvelant. Monsieur, mes félicitations et mes remer-
cîments pour votre Communication, veuillez recevoir l'assurance
de mon meilleur souvenir et de mes sentiments tout dévoués.
l6 C0UUES1MI.M)ANCE DIIEKMITE F.T DE STIELTJES.
15. — STIELTJES A HE R MITE.
Lcvdc, <) auùl iSS3.
MOA'SIEUK,
Je n'ai pu résister au plaisir de vérifier les belles formules aritli-
méliques que vous avez bien voulu me communiquer et qui me
semblaient d'autant plus mjstéi'ieuses, parce qu'il n'v entre point
le nombre des résidus quadratiques au-dessus d'une certaine li-
mite, mais je dois vous avouer qu'en ce moment je suis à peu pi^ès
étranger à cette belle et profonde matière. Pour le calcul numé-
rique j'ai mis votre formule
\/ n — 4 aa -^ i \
\l n — 4 /> -T- I
sous la forme
/(5)-+-/M3)^...H-/Y/i,i=2,^M/Ml
ou
n ^ .
P <-, p = 1.0, ),~, ...
cl
g(p} = somme des diviseurs de p.
C'est ainsi qvie j'ai j)Oussé les calculs jusqu'à // = ioi.
J'ai encore calculé le second membre de votre formule pour
/?=:i5-, i65; la différence des nombres obtenus, 1698 et 1918,
320, est bien égale 3/(16.")). En effet on a
i63 = 81 + 49^- 23 -r- 9-i-i (l20)(»)
= 81 -t- 8i -+- 1-4- I -I- I (10)
= 81 -1- 25 -f- 25 -h 23 -H 9 ( 20) } 220
= 49 -^- 49 -i- 49 -^ 9 -+-9 ( 10)
= 121 -H 25 -^ 9-1-9-1-1 (60)
(') Cette colonne indique le nombre des décompositions en cinq carrés ne
dill'crant que par l'ordre des carrés de ceux écrits sur la même ligne.
LETTRE 15. 17
X. y. z.
{') p. n-kp. eWx). e(-^)- g{p). zg{p).
/< = 1 3 . . . I 9
3 I
ï 17
3 9
5
/i = 29 . . . I 25 5
3 17 4
5 9 3
7 I ï
•2
I
2
I
4
Somme. .
4
. (■)
î
I
2
2
4
8
1
6
()
Somme. . .
iG
3
I
3
2
4
8
'2
6
12
Somme.
/i = 37 ... I 33 5 3 I 3
3 25 5 3 4 12
5 17 4 2 G 12
7 9 3 2 8 16
9 I I I i3 i3
Somme. . . 56
« = 45. • . I 4' (> 3 I 3
3 33 5 3 4 '2
5 25 3 3 G 18
7 17 4 2 8 iG
9 9 3 2 i3 26
II I I I 12 12
Somme . . 87
/i = 53 ... I 49 7 4 i 4
3 41 6 3 4 12
5 33 5 3 G 18
7 25 5 3 8 24
9 17 4 2 i3 26
II 9 3 2 12 2 i
i3 I I I 14 14
Somme. . . 122
(*) Nous reproduisons les Tableaux tels que les a formés Stieltjes pour le calcul
du second membre de la formule à vérifier. Les valeurs des premiers membres
sont données ensuite.
i8
COUUKSl'ONDANCK I) IIKIUIITE El DK STIELTJKS.
n = 6 1
« = 69,
n = 77
85.
F-
/t — H/
y. J^ VV -^ /•
'\ ^ )
1 ~, \r 1 •
-^o \l'
I
57
7
4
i
4
3
49
7
4
4
16
5
etc.
etc.
3
6
18
7
9
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3
8
24
puur /
» ^ 63. .'
3
i3
39
II
9,
12
24
i3
2
14
28
i5
I
24
Somme. .
•M
• 177
I
Cj
8
4
I
4
3
57
7
4
4
16
5
etc.
etc.
4
6
24
7
3
8
24
9
3
i3
39
II
3
12
36
i3
2
14
28
i5
2
24
48
17
I
18
Somme. .
18
. 237
i
73
8
4
I
4
3
65
8
4
4
16
5
etc.
etc.
4
6
24
7
4
8
32
9
3
i3
39
II
3
12
36
i3
3
14
42
i5
2
24
48
17
2
18
36
19
I
20
Somme. .
ao
• 297
I
81
9
5
,
5
3
etc.
etc.
4
4
16
5
4
G
24
7
4
8
32
9
4
i3
52
1 1
3
12
36
i3
3
14
4'>
i5
3
•M
7'^
17
2
18
36
2
1
20
32
Somme. .
40
32
. 387
n=93. .
n = loi .
3
5
7
9
1 1
i3
i5
•7
•9
21
9.3
I
3
5
7
9
IT
i3
i5
17
19
21
23
25
I
3
5
7
9
II
i3
i5
17
19
21
23
25
LETTIIF. 15.
a;.
y-
-4/p
. E{sjx).
89
île.
9
etc.
97
etc.
i53
145
i37
IÎ9
121
1 13
loô
97
89
81
73
65
5-
9
etc.
E (■-.;-
5
5
4
4
4
4
3
3
3
2
2
I
12
12
f I
II
1 1
10
10
9
9
9
8
'(/^)-
4
6
8
i3
12
14
24
18
20
32
Somme.
I
4
6
8
i3
12
14
24
18
20
32
24
3i
Somme.
I
4
6
8
i3
12
14
21
18
20
3».
24
3i
19
5
20
24
32
52
48
42
■"2
54
40
24
477
5
20
3o
32
52
48
56
72
54
60
64
48
3i
672
36
48
78
60
70
120
90
100
128
9'»
.24
CORllESPONDANCE U IIERMITE ET DE STIELTJES.
X. y. z.
'\P-
vA^'x). Ef^). g{p). zg{p).
n= i5-.. >.7 49 7
29 41 6
il 33 5
33 '23 5
35 17 4
37 9 3
39 I I
rt = 1 65 . . I 161
3
5
7
9
1 1
i3
i5
•7
19
11
■ïi
•25
•27
29
3i
33
35
37
39
4>
4
40
160
3
3o
90
3
32
96
3
48
i44
2
48
96
2
38
76
i
56
56
Somme. . ,
. 169S
6
• i
6
6
4
24
6
6
36
6
8
48
6
i3
78
6
12
72
5
14
70
5
■ii
120
5
18
90
5
20
100
5
32
160
4
24
96
4
3i
124
4
40
160
4
3o
120
3
32
96
3
48
144
3
48
144
2
38
76
2
56
112
i
42
42
Somme. . .
1918
1698
/(i65) 220
LETTRE 15.
21
n = 5 . . . I 1
« = i3. . 9 I
« = •21.. 9 9
n = 9.9. . 9 9
25 I
« = 37.. 9 9
'2 3 9
n = 45. . 9 9
25 9
« = 53. . 49 1
■25 '2 5
■25 9
« = 6i.. 49 9
■2 5 9
■25 25
n = 69. . 49 9
25 25
« = 77-- 'I9 9
25 23
49 25
25 25
n = S5.. 81 I
49 9
49 •^■>
25 2 5
n = g3.. 8i 9
49 ''^5
25 25
n = loi. 81 9
49 49
49 25
49 25
25 25
9
9
9
9
9
9
I
25
25
2'J
9
9
25
1 I
9 9
9 1
9
I I
9 9
9
9
2 5
Nombre
des
dccom-
positions.
10
10 /
I
3o
3o
3o
20
10
5
5
60
20
25
3i
10 35
20 ,'
20 \
5 55
3o )
60
(io
90
•20
60 90
10 ;
3o
10
3o I 9>
20
5
5 I I
i3 5 6
21 10 I G
29 i5 3i
37 25 56
45 3i 87
53 35 122
61 55 177
69 60 237
77 f>o 297
85 90 387
93 90 477
101 95 572
22 CORRESPO^DA^CE D IIEUMITE ET DE STIELTJES.
Quant à votre seconde foi mule, dans votre seconde lettre, elle
se trouve ainsi :
F(/?) le nombre tola/ des dccamj:iosilions en cinq carres
Ei(,r) = E Ix-h - j ~E{cr) = E(-2:r) — -2 E(a:),
F(i) -f- F(-2)+...+ F(/î)
-f- iC)^ [rtE(v//< ^ — ««') — 2(— ly' cE{\/u — 4 ce')],
a et a' sont tous les nombres entiers impairs, n >> aa', c et c' les
entiers quelconques tels que n >> 4 ce'.
J'ai supposé que dans
n
fE{- ) + 2cE, ' "-
,4c
il fallait poser
a = I, 3, 5, . . . , al n
et
c = I, 2, 3, . . . , 4c< n,
On aura, par une transformation analogue à celle déjà emplojée,
SaE(v/« — aa') = ^g{p) e{^ n — />) (/» = i, 3, 5, . . . , 1 «)
-S(_i).'cE(v/;r:i7,7c')-S^'(5')E(v/^r^4^) (^5' = i,2,3, ...,<:^');
en posant
^'('Z) = — -(— 0''^. cc'=q,
on voit facilement que pour
cj impair ^'(^) = é'(</),
q = 2>>/-, /■ impair é'-'f^r) = ff(r).
Mais en faisant les calculs pour n = 5, i3, . . ., je trouve la for-
mule fautive; je ne puis donc que conclure que je ne l'ai pas bieji
comprise ou (pi'elle est gâtée par quelque erreur que je n'ai pu
deviner. Voici cependant les valeurs de F(i)H-. . .-\~F(n) que
LETTRE 16.
23
J ai trouvées
n = I . . .
lO
n = 6.
57'2
n =11..
. •2462
71 = 1. . .
JO
7/ =7.
. . 892
Il = 1 •). . .
2862
« =- 3 . . .
i3o
/t =rr S .
.. J09'2
/* r= 1 3 . .
. 34'22
/i = 4 • . ■
2'>.0
n^Ç).
1 34?-
/i = 5 . . .
. 332
n = 10
. . 1902
Je crois que ces valeurs sont exactes; je les vérifierai par un calcul
indépendant et contrôlerai votre formule avec plaisir, si cela vous
parait intéressant, dès que je connaîti-ai la forme exacte. J'espère
pouvoir revenir plus tard siu" une autre question que vous ave»
posée dans votre lettre.
Veuillez bien me croire, Monsieur, votre très dévoué.
P. -S. — En adressant cette lettre à Paris, j'espère qu'elle vous
parviendra en bon ordre. J'ai une copie de tous les calculs.
Me
16. — STIELTJES A H ERMITE.
Leyde, \î août i883.
Lorsque, hier soir, j'apercevais la transformation dont votre for-
mule est susceptible ('), j'ai voulu vous en donner connaissance le
plus tôt que possible et le temps m'a manqué à indiquer comment
j'j suis arrivé.
Prenons /? = 3^ ; en jetant les jeux sur le calcul
'\P-
33
2,5
'7
9
^Uii-kp). M
giP)-
I
4
6
8
i3
j'observe que dans la colonne ^ = E (
v/« — /\p -h i
giP)-
3
12
12
16
i3
56
on trouve les
( ' ) Le début de la lettre semble indiquer qu'il existe une lettre du 11 août.
Elle manque.
24 COUUESl'ONUA.NCE d'hKUMITE ET DE STIELTJES.
nombres (en renversant l'ordre) i, a, 2, 3, 3. On s'assure aisément
que, dans le cas général, ces nombres sont
I 2 -i 3 3 3 4 4 4 4 etc.
/ deux fois , , trois fois i /quatre fois \
en sorte que le second membre de votre formule peut s'écrire
ff(p)-^^[S'(p— i) + g{p- 4)]
-h-^[g{p~ Ç>) + g{p— 8) + ^^-(/> — 10)]
+ 4[.c(/? — i'i)-i-,^(/) — i4)M-^(/? — 16) + ^(/) — i8j]
-f-
En remplaçant n par n — 8, /? par p — 2 on a de même
g{p — i)^a[g{p- 4) + ^-(/>- 6)]
+ 3[^(/>— 8) + ^^(/> — 10) -H^(/^ — r2)J
+ 4[^(7? — i4) + ^(/> — i6) + ^(/> — i8)H-i>-(/' — 20)]
la dilTérence est
gip) —gip— 2)
^■i\g(p^ 2)-g(p- 6)]
-h3[g(p~ 6) -,:?•(/>— 12)]
+ 4 [^(/^ — 1 2 ) - g(p — 20)]
ou
ffip) + S'{p — 'i-)-^ gip- 6)-+-^(/> — 12)^...,
c'est-à-dire
j., . /n~\\ In — ()\ (n — 25 \ In — 49 \
A-t-on jamais vu une formule plus belle! Je n'aurais jamais
pensé qu'une expression aussi simple pourrait exister. Et que cette
formule est différente de celles qu'a données Eisenstein ! Je ne puis
exprimer, Monsieur, que mon admiration pour des recherches qui
vous ont mené à une vérité aussi belle. J'espère être assez heureux
pour connaître un jour les principes que vous avez suivis dans
cette investigation.
Votre très dévoué.
LETTRK 17.
25
17. _ STIELTJES A IIERMITE.
Leyde, i3 août i883.
Monsieur,
En réfléchissanl de nouveau sur votre première formule, je me
suis aperçu qu'on peul l'obtenir très simplement comme il suit :
Attribuons à ^jj-, z, t^ ?< seulement des valeurs positives impaires,
/î ^ 8A " + 5 et considérons le nombre des solutions de l'inégalité
a?2-i- j'- -f- 3- -I- C- -\- U-- n ;
ce nombre sera évidemment égal à
/(5)+/(. 3) +...+/(«).
Mais le nombre des solutions ])Our lesquelles x = i est, d'après le
théorème de Jacobi (C/'e//e^ t. 3, p. 191), égala: [g'{r) somme des
diviseurs de r],
' n — 9
4
4
-r^)
Le nombre des solutions pour lesquelles ^ = 3, 5, ... est respec-
tivement
ff
n — 33
En sommant, on obtient pour le nombre total
n — 4 1
~4~~
n — 73
c'est bien là votre formule.
Il est difficile à croire qu'on puisse avoir une démonstration plus
simple. Du reste, il va sans dire que je n'aurais jamais fail le rai-
20 nOHUESPONDANCE d'hEKMITE ET DE STIELTJES.
sonnemenl plus haut sans voire Commuuicalion. A cuillez bien me
croire toujours votre très dévoué.
18. — UERMITE A STIELTJES.
t'ouras ( Cliarenle-Inféficure), \\ août i883.
Moi
Vos Communications sur la propriété arithmétique dont je vous
avais donné bien succinctement l'énoncé m'ont extrêmement inté-
ressé, en ajoutant encore à l'estime cpie m'avait inspirée votre péné-
tration et votre beau talent en Analyse. Je n'ai point suivi tout à
fait la voie que vous avez découverte, et, touten arrivant au même
résultat, j'y ai été conduit par une autre méthode. Je m'étais pro-
posé, Monsieur, d'entrer avec vous dans des développements
étendus sur ce sujet, et c'est dans cette espérance que j'ai ajourné
ma réponse à votre dernière lettre; mais un état d'indisposition
m'a contraint de mettre les vacances à profit, non pour travailler
comme je l'aurais voulu, mais pour prendre le repos dont j'avais
besoin. En attendant que je me remette à l'ouvrage, permettez-moi
cependant de vous dire, en peu de mots, comment j'ai été amené
aux décompositions d'un entier en cinq carrés. Dans le principe,
je n'avais en vue que les foi^mes quadratiques de déterminant né-
gatif et, en désignant par F(D) le nombre des classes de détermi-
nant — D, j'avais voulu tenter la recherche de la valeur, pour D
très grand, de— ^ ^ — rr Mais mes eflorls n ont pas
eu de succès, et je n'en retiens que la formule suivante dont j'ai
donné communication à M. Kronecker, il y a quelque temps.
Soit D = 4'^ — ï ' <'t désignant par F(D) le nombre des classes
proprement primitives de déterminant — D, on a
les diverses'sommes étant prises en supposant v =: o. i, 2. . . •. ji'^-
LETTRE 18. 27
<[ii'à ce que les quantités sous le signe E, assujetties à la condition
d'être positives, deviennent moindres que l'unité.
Cette expression de la fonction sommatoire de F(D) ne m'ajanl
point servi pour l'objet que j'avais en vue, j'ai cherché dans le
voisinage. J'ai supposé n impair et considéré les décompositions
d'un entier en trois carrés impairs, puis en trois carrés quelconques,
puis en cinq. C'est alors que j'ai entrevu, comme consolation de
mon insuccès, quelques remarques qui ne m'ont point paru sans
intérêt, et, en ce qui concerne la décomposition en cinq carrés
impairs, l'introduction d'une fonction numérique qui s'ofTre tout
naturellement et d'elle-même. Cette fonction est la somme des
diviseurs ô d'un nombre impair, tels qu'en faisant n = ùù , on
ait ù^rj mod4 et o<<35', La fonction correspondante au cas
de la décomposition en trois carrés impairs est la somme des divi-
seurs tels que l'on ait 0<<2Ô'. Mais ces recherches demandent
plus d'efforts que je ne puis en faire en ce moment, et je dois, en
me proposant de vous communiquer mes résultats, attendre que
j'aie repris courage à l'ouvrage, afin de ne point m'exposera vous
envoyer encore des formules inexactes.
Je pense aussi. Monsieur, à vos belles recherches sur le déve-
loppement en fraction continue de l'intégrale de Tchebicheff et de
Heine, et, comme l'Algèbre est chose plus facile que l'Arithmétique,
j'ai vu, sans avoir à travailler pour cela, ce que sans doute vous
avez remarqué vous-même : qu'on a sous la même forme le numé-
rateur et le dénominateur des réduites de [x — ay-^ix — b)'^ où
a -f- [3 = un entier k. Supposons k ])Ositif; dans une réduite de
rang quelconque —, A se détermine en posant
D;^. [(,r — a)"+=' (a? — b j«+P \ = {x — a)« (.r — b )? A,
et B par la relation semblable
D:i:+''[(^ — a ;"+''-=' (^ -6)"+/'-P] = ix — a)-'J-{x ~ b)- \^^\
et, en écrivant ceci, il me semble voir que le résultat subsiste, que
k soit positif ou négatif.
Je dois, dans quelques jours, partir pour la Bretagne, d'où j'es-
père pouvoir vous écrire en traitant les questions plus à fond qu'au-
jourd'hui; veuillez en attendant. Monsieur, recevoir l'expression
28 CORRESPONDANCE d'hERMITE KT DE SÏIELTJES.
(le mes senliments de bien sincère sympathie el l'assurance de ma
plus haute estime.
19. - HE R MITE A STIELTJES.
Paris, 6 octobre i883.
MoKSIEtIR,
Vos recherches sur l'évaluation approchée des intégrales ( ' ) ont
été présentées à la dernière séance de l'Académie et paraîtront dans
les Comptes rendus de cette séance. Mais, votre rédaction dépassant
en étendue la limile réglementaire de trois pages d'impression, j'ai
dû la diviser en deux parties, de sorte que la fin de voire Note pa-
raîtra seulement dans les Comptes ?'endus de la prochaine semaine.
Permettez-moi, Monsieur, de profiter de cette occasion pour rec-
tifier l'erreur (-) que vous avez reconnue et signalée dans l'énoncé
de ma formule, concernant le nombre des solutions de l'équation
.r^-H T-+ -■' + i'-\- li- ^ n. Si l'on désigne ce nombre \yâv fÇn),
la somme /'(i) -f- /Y '^) -I- ... + /(/?) = F(/?) s'obtient comme il
suit :
Désignons par a les entiers impairs i, 3, 5, . . ., el ])ar c et c'
les entiers quelconques i, '>., 3, . . .: on a
F(«) = ^E(v/«) + 82;['H^(i^) + .cE,(^,)]
-I- i6\^[rt E(//i — ac) — ■2(— I )'''cE(v/« — 2.CC )\-
Dans cette expression, ¥^(x) est l'entier contenu dans x,
Ei(.r)= E (.r^ -\ —E(x)^ E{:ix) — -jtE{x),
de sorle qu'on a toujours E,(.r)= o ou = i , suivant que la diflé-
rence entre x et le plus grand entier qui y est contenu est infé-
rieure a -j ou bien égale ou supérieure a -•
Voici, dans cet ordre de recherches, les formules que je viens d'ob-
tenir, ])Our le nombre des solutions de l'équation x--i-j'-= n. En
C) Les recherches présentées à l'Académie et mentionnées au dél)ul de cetic
lettre sont celles dont il est question dans la lettre 13.
(') La formule rcclifiéc est la seconde formule de la lettre 14.
LETTRE '20. 29
désignant ce nombre par y"(/i), vous savez qu'Elsenstein a donné,
le premier, pour la somme /(i) +/{'■■'-) H- • • --^f {''>-) = F(w),
cette expression bien remarquable :
4K")-'^(î)-^(l
J'ai remarqué qu'en posant
- v/8 /* -^
X = E
puis
S =E
,±E
n -+- X
F ( /i ) — 4 ( s + Si — À si ir^
on a aussi
J'obtiens encore pour la somme suivante,
/(2)+/('2.5)+/(2.9)+...
où n^\, mod 4, l'exi^ression que voici
32 \ ^/n — 5'-\
It.'
■/(■>■"),
4^('^)-'K^>^('^)-]-^-^'
( '}. I ) TT
en désignant j)ar ij. l'entier impair immédiatement au-dessous de
\^n ou égal à \//i.
Je me ferai. Monsieur, un plaisir, quand je publierai ces résul-
tats, de donner la méthode si élégante que vous m'avez commu-
niquée au sujet de la décomposition en cinq carrés impairs des
nombres ^ 5 mod 8, en insérant dans mon travail la lettre que
vous m'avez adressée sur cette question. Veuillez, en attendant
recevoir la nouvelle assurance de ma plus haute estime et de mes
sentiments bien dévoués.
20. - STIELTJES A HE R MITE.
Leydc, 10 octobre i883.
Monsieur,
Vous m'avez fait un très grand |)laisir en m'écrivanl votre der-
nière lettre, et encore une fois vous m'avez fait votre débiteur en
3o nORUESPOXDANCE d'hERMITE KT DE STIELTJES.
présenlanl mou travail à l'Académie. Vous ne dites rien de votre
santé : j'espère bien sincèrement qu'elle soit complètement rétablie.
Maintenant (pie j'ai sous mes yeux voire formule pour
je vois bien <|ue seulement quelques légères erreurs d'écriture dans
votre premier énoncé m'avaient empêché de la bien comprendre.
Mes efforts pour découvrir ces erreurs moi-même ont été inutiles.
Voici comment j'avais tâché de retrouver votre formule :
Le nombre des représentations de n par x- -\- y- -\- ^- + t' est
8[2+(— i)"J^"-'{/0,
où je désigne par o'(|/?) la somme des diviseurs impairs de n. C'est
ce qu'on peut déduire de la dernière formule des Fundamenta
no^'a [OEavres de Jacobi, t. 1, p. 289)
Vit/ \^ y V' — 'Z H-g- \ — q^ l~-q- )
A l'aide de ce résultat, on trouve facilement
/(«)= i6[^-'(n)-H'2^^-'(«-i2) + 2^-'(n-22) + 2^'(n — 3'-)+...!
-i-(-i)"8[^'(rt)-2^'(/e — r^) + -.>.^'(/î — 22)+ 2^'(n — 32) +...],
où il faut continuer les séries jusqu'à ce que les arguments devien-
nent négatifs. Si n est un carré, il faut prendre g''{o) = — r*
24
Partant de cette expression, on trouve, ]iour
F(n)=/{n)+/[n-i)+....
F(/i) = 16P -F(— i)"8Q — 1,
^ ff'(n)±: Zg'{n~ i)^5g'{n — \) ± 7 -'( « — 9) -^-. . .
-h3^'(« — 2)±5^'(/v — 5)-+-.. .
±: 'iff'in — 3) -i- 5ff'( n — 6)
±5,^'(/( — -)
-(-5^'(n — 8).
(Pour avoir P, prendre le signe supérieur; pour Q, le signe inférieur).
J'avais pensé, par analogie à ce qui se passait dans le cas de la
décomposition d'un nombre S/.-l- 5 en 5 carrés impairs, que cette
LETTRE 20. 3l
formule résullerail aussi, par une Iransforaiation facile, de celle que
vous avez donnée. Mais en lâchant de transformer voire formule je
n'ai point vu se confirmer celte prévision, de sorte que je n'ai
point trouvé une méthode pour arrivera votre formule. Cependant
je n'ai pas encore pu faire le calcul avec le soin nécessaire et je me
propose d'j revenir.
Comme je trouve toujours un plaisir à accompagner des
recherches abstraites par des calculs numériques, j'ai été vivement
frappé par la transformation que vous m'avez indiquée de cette
expression
K")-'H3)-'^(")"'^
Votre transformation, en effet, permet de calculer cette somme
pour des valeurs de n j)Our lesquelles le calcul direct serait rebu-
tant, quoique je vois bien qu'on ne doit point envisager celle trans-
formation seulement sous ce point de vue. En effet, je me rappelle
d'avoir vu dans le second Volume des Œuvres de Gauss ( ' ) d'autres
formules encore plus faciles pour ce calcul, déduites de cette con-
sidération que
est le nombre des points dont les deux coordonnées rectangulaires
X, y sont des nombres entiers, situés à l'intérieur d'un cercle décrit
de l'oi^igine avec le rajon \jn.
Quoi qu'il en soit, j'ai voulu appliquer votre transformation à
d'autres cas pour en bien comprendre le sens. J'ai considéré à cet
effet le nombre f{n) des représentations de n par x--^ 'iy- ; on a
f{n) = 'i.{d^+ di — di — d-,),
OÙ dx, G?3, (5^3, â?7 signifient les nombres des diviseurs de n qui sonl
compris dans les formes 8/i -f- i , 8/i -|- 3, 8A" -f- 5, 8/: -|- 'j. C'est
ce que j'ai trouvé par la considération du développement de
(') Cf. Gauss, Werke, l. II, p. 270, ■>■](), 29^
32 COIinnSPONOANCE d'iIKUMITE et de STIELTJES.
on en concluL
/(!)+/( ■>.)+/(. 3) +... + /(«)
|.;,2^-Er4)-E"'
ij-y-]
lin faisant usage d'une transformation analogue à celle que vous
avez donnée, j'obtiens les formules suivantes :
Soit o{x) une fonction numérique définie pour des valeurs en-
tières de X par
:p(.i/v + 2)=2, . _^-x
cp(4A--i-3) =1, ^' ' 4
o{\k) =o,
c'est-à-dire '^{x) est égale à la somme des x premiers termes delà
série
I-4-I — I — I^I-hl— I — IH-I-Hl — I — I-I-I-+-I— ....
Posons maintenant
E
I -I- y/S «. -t- I '
S =E
EiV\-M'\
alors
/(.) + . .. + /(n) = 2[S-S,-X'^(X.)l.
11 est évident que i +/(i) +/(^) +• • • + /(/0 est égal au
nombre des points à coordonnées rectangulaires entières situés à
l'intérieur d'une ellipse dont les demi-axes sont égaux à \^' a et i/-*
L'aire de cette ellipse étant —^, ce sera l'ex[)ression approchée
(') La formule ^(J?) = 2 sin^ -^ a été ajoutée par llcrniile.
4
LETTRE 21. 33
de /(i) -(-/('>.) H-- • • + ./V0 poiii' /' LiT'S grand. On en déduit
^ _ / 1 I I i I I
\J-i " \ I 0 3 7 () 11
Je ne vois pas encore la raison de cette autre formule que vous
m'avez communiquée, mais je veux j penser.
Ces derniers mois ne m'ont point été favorables pour les études...
je vais quitter l'observatoire vers la fin de ce mois et je suis main-
tenant chargé provisoirement, pendant la maladie d'un des profes-
seurs ( ' ), de leçons de Géométrie analytique et descriptive à l'École
Polytechnique de Delft J'aurais cependant à dire quelque chose
sur les intégrales définies, mais je dois finir cette lettre déjà trop
longue.
Croyez-moi toujours votre très reconnaissant.
21. - STIELTJES A HERMITE.
Leyde, i5 octobre i883.
Monsieur,
En reprenant le calcul, j'ai, en effet, trouvé que ces deux formules
-+- iG\^[«E(v//i — ac) — 2(— i)c'cE(v/«"— ce')],
(B) ^ 0
In
Q =2^" '^" t' - ■^'^Wp)] g'(n -p)
0
peuvent aisément se réduire l'une à l'autre.
(') .M. le professeur Van den Berg.
34 CORRESPONDANCE d'fIERMITF. ET DE STIELTJES.
ConiiiK' on a «-'(o) =^ —5 la foi-imile (B) peut se meltre aussi
sous la forme
n-l
(B') F(«)= ■iE(iG)---iG^[i^'îE(Jp)]g'(n-p)
0
n- l
+ (-i)''82(— i)/'[i-f-'>,E(\/^)]^-'i«-^)
0
D'un autre côté, on trouve facilement
/• étant égal k n ou k n — 1 . selon que n est pair ou impair.
Et puis,
^ « E (v^/i — acj = \^ ^' ( /? ) E {\/n — p )
=^^Wp)s'(n—p) (p=i,2 n — i),
\^ — (— i)c' cE{\/n — -icc') =^ g'ip) E(v''« — -ip) (p= I, 2, 3, . . . ),
=-^g'{9)^W'i — -^']) C^ = 2, 4:6, ...),
= ^^E{\/ q) g' { n — q) (q ^ n — i, n^^. n — 6, . . .).
(') Eq cfTct
E^(x) — E{2x'j — 2E(a;).
Donc
Celle somme est égale à
ou bien à
LETTRE 22. 35
A raide de ces transformations, la formule (A) se met sous la forme
suivante :
(A'; F(/i) = 2E(v//i)-F- 8[/( t ) ^ ^'(2) + . . . -t- é^'C» >I
^ i6[,5-'('2;^^'(4)-t-...-+-^'('-']
+ 16^ E{\/p) g'(n -p)
^ Sa^] E Wq ) g'in — (j )
(/7 = I, 2, 3, . . .. n — i),
j (npair (7 — 2,^,6,.. ,11—1).
{ ( n impair gr = 1 , 3, 5, . . ., 11 — i ) .
En distinguant les deux cas : n pair, n impair, on reconnaît de suite
l'identité des formules A' et B'.
En vous communiquant ce calcul, j'espère ne vous point impor-
tuner. Du reste, les remarques que j'ai faites à l'occasion des for-
mules que vous avez bien voulu me communiquer ne méritent
point de figurer dans un Mémoire que vous vous proposez de faire
paraître. '
Le peu de temps que je peux consacrer à l'étude ne me permet
point de faire quelque chose qui vaut la peine et parfois je crois
que ce serait plus sage d'j renoncer tout à fait.
Cependant j'éprouverai toujours un vif sentiment de reconnais-
sance en me rappelant l'accueil si bienveillant que vous avez bien
voulu faire à votre très dévoué.
22. — HERMITE A STIELTJES.
Paris, i5 octobi-e i883.
Moxs
En vous informant que la suite et la fin de votre Note sur l'éva-
luation approchée des intégrales sont dans le numéro des Comptes
rendus que je viens de recevoir, je prends la liberté de vous de-
mander une nouvelle Communication pour l'Académie. C'est à
mon tour de ne pas réussir à deviner certaines combinaisons ana-
lytiques; il ne m'a pas été possible de voircomment vous êtes par-
venu à l'expression de la somme /(i) -1-/(2) -t-. . .-!-/(«) où
f'yii) désigne le nombre des représentations de n par la forme
36 CORRESPONDANCE d'heRMITE ET DE STIELTJES.
x- -[- "iy- . ^lais voire résultat m'intéresse extrêmement et me
semble si remarquable que, dans l'intention d'être agréable aux
amis de l'Arithmétique, je viens vous prier de pidilier dans les
Comptes rendus la Note extraite de votre dernière lettre, que j'ai
transcrite sur une feuille détachée afin que vous puissiez j faire
les changements qui vous conviendront. Et, puisque les mêmes
questions nous plaisent également, je prends la liberté de vous
communiquer sur la fonction que vous aj)pelez g'(x), et qui est
désignée par c2(/i) dans Xes Fundainenta, une transformation sem-
blable à celle qui concerne K ( - ) — E (-)-+- E ( ^ j — . . . et
permettant de calculer rapidement la somme
* ( /l ) = cp ( I ) _t- çp ( 2 ) -f- . . . -f- CD ( n ) ,
c'est-à-dire
*(«) = E(^--j^-3E(-^j-^E(^_--JH-....
J'introduis, dans ce but, en outre des fonctions E(.i") et
E, (jr) = E(2,r) — riE(.r), la fonction suivante, à savoir :
EH^) = {[E2(.r) + E(.r)].
Elle donne d'abord, en effet, cette expression :
où vous voyez que, dans la première ligne, le nombre des termes
est et, dans la seconde, l'entier compris dans — r— • Je le
réduis à l'entier contenu dans y//i en distinguant deux cas, suivant
qu'il s'agit de la somme
<p(3) -I- C5(7) H- 'f (il) -^. . .4- œ(4« — I)
ou bien
t^(l)^-?(5)^-o('^)-^-. .■-+■?(. i/i-Hi)-
C'est la première qui donne la formule la plus simple ; j'obtiens.
LETTRE 22. 37
en effet, pour cette somme, la quantité suivante :
_,[,.,„,.H,(^).E.(-^>E.(^)-...].
^ ous avez, ^Jonsieur, très heureusement exprimé ])ar la formule
8[2-(-i)«]'^(n),
dont l'idée ne m'était jamais venue, le nombre des représentations
de «par une so«ime de quatre carrés, et je mettrai à profit votre
expression dans mes recherches. La fonction sommatoire m'a con-
duit à introduire la quantité ainsi définie (' ) :
E-iix) = E(a;)Ei
et je trouve en faisant ]iour abréger à (n) = [3 -f-( — i)"]'j (/?),
les équations suivantes :
'!^{i)-^'l{2)^...^'!^{n)
H'î)-H'^)-H^)
r-)
mais bien des calculs me restent encore à faire pour arriver à trans-
former la somme 'i;(i) + '^(a) +. . .-\-'\>{n) de la même manière
que cp(3) + 0(7) -+-• • •+ ç(4^i — 0-
Je ne puis douter que vous n'arriviez à démontrer mes formules
pour la somme /(i) 4-/(2) -j-. . --{-/{n) en suivant la voie que
vous m'avez indiquée. Beaucoup d'autres doivent s'y ajouter, et
je m'occupe de les réunir, mais, chemin faisant, je suis revenu à la
fonction F(/?) exprimant le nombre des représentations de n pai-
une somme de trois carrés. On a alors
F(i)--F(2)-^...^F(/0 = 2E(v/rt)+:So(c)[i --E(v//r^=^)],
(') Voii" la noie de la page 44-
38 CORRESPONDANCE d'iIKKMITE ET DE STIELTJES.
en supposant que 'f (c) soil le nombre des représentations de c par
une somme de deux earrés et qu'on prenne c= i, 2, 3, . . ., n.
C'est sous une forme toute paredle que peut se mettre la fonction
sommatoire du nombre des décompositions en cinq carrés.
Je souhaite vivement, Monsieur, que les devoirs d'enseignement
auquel vous éles appelé vous laissent assez de loisirs pour songer
à l'Arithmétique. Permettez-moi de vous demander, lorsque vous
me retournerez votre Note ci-jointe, si l'Ecole Polytechnique de
Delft est à la fois civile et militaire, comme notre Ecole Polj-
lechnique, quelle est la durée des études et cjuelles sont les matières
de l'enseignement. En vous remerciant de votre intérêt pour ma
santé qui, sans être parfaite, ne met cependant pas obstacle à mon
travail, je vous prie, Monsieur, de recevoir la nouvelle assurance de
jna haute estime et de mes sentiments bien sincèrement dévoués.
23. — STIELTJES A II ERMITE.
La tlaye, 17 octobic i883.
Monsieur,
Il semble bien c[ue la manière que j'ai suivie pour arriver à votre
transformation de
dilFère de celle que vous avez employée. Je forme le Tableau
I I, -i-, 3, 4, j, 6, 7, , E( - j,
', 2, 3, 4, 5, 6, 7, 'm "3 ''
(A)
1 , a . o ,
I, 2, 3, K
I, -i,
1, ■',
■ip — \
LETTRE 23. 89
La somme de tous les nombres de ce Tableau sera égale à 4^sl
l'on a eu soin de changer les nombres de la première, troisième el
cinquième ligne horizontale en + i , ceux de la deuxième, qua-
trième et sixième ligne horizontale en — i . De plus, si l'on désigne
par s(/) - - E ( — — j le nombre des nombres impairs i , 3, 5, -, . . .
qui ne surpassent pas t (l étant entier ou non), on voit facilement que
la première ligne verticale contient £( -) -^ E ( ) nombres.
la seconde liiine verticale en contient ef - ) = E( — — ], la troi-
\, 2/ \ 4 /
sième eZ-jr— E(— ; — ), etc. Soit encore <f{x) la somme des
X premiers termes de cette série
I — I-T-I — I-^I — I-l-I — T-f-....
en sorte que la somme des nomlires de la yj*"^'™'' ligne verticale est
Considérons maintenant votre nombre \ :
, \/8/i-t-H-i
2 A -+- 2 £ — I =
d'où
donc
O, -^^ 2 A -!- £ r: À,
•2 À — I ^
2 X -+- I "" -r- o ^ ^
c'est-à-dire la À"'""' ligne Ao/7'^o/?/rt/e contient }v nombres au moins^
la X. -h 1"'"° en contient A au plus. Maintenant on pourra obtenir la
somme de tous les nombres de (A) (après le changement indiqué
en ± i) en prenant d'abord les À premières lignes Iwrizontales ;
cela donne
4o CORItESPO.XDANCE d'hEUMITE ET DE STIELTJES.
puis on prendra les ). ])remières lignes verticales : cela donne
On aura maintenant compté deux fois les nombres qui sont écrits
dans un carré avec le côté )> ; il faut encore retrancher leur somme
qui est égale à ).©().); donc
Cela ne diffère pas essentiellement de la formule que vous avez
obtenue.
Le même raisonnement s'applique pour transformer l'expression
avec cette seule différence que o{x) sera maintenant la somme
des X premiers termes de la série
i-^i — I — i-f-i-f-i — I — i-t- ...
Vous voyez, donc bien. Monsieur, combien fut simple l'applica-
tion de votre transformation à ce nouvel exemple
dès que j'avais trouvé la démonstration que vous venez de lire de
votre formule.
Je suis trop pressé, en ce moment, ])our ajouter encore d'autres
développements. L'Ecole Polytechnique de Delft est une école
civile; tous nos ingénieurs civils, des mines, etc., sortent de cette
école. Dans les deux premières années, les élèves ont à suivre des
cours d'Anal jse, de Géométrie analytique et descriptive. La Méca-
nique fait partie du cours des deux dernières années, le cours
complet comprenant quatre années. En arrivant, les élèves pos-
sèdent les éléments de la Géométrie descriptive, mais ils n'oni
point de notion encore de la Géométrie analytique et de l'Analyse.
Je ne trouve rien à changer à la Note que vous avez bien voulu
transcrire, et qui pourra paraître dans les Comptes fendus si cela
vous paraît utile. Veuillez, encore cette fois, recevoir les remercî-
ments de votre très dévoué.
LKTTRI': 2i. 4'
p. s. — Veuillez bien adresser mes lettres encore à Lejde;
ordinairement elles me parviendront ainsi ])lus tôt. Vous aurez
bien remarqué que je n'avais point encoi'e reçu votre dernière lettre
quand je vous acbessais ma lettre du i 5 octoln"e.
24. — H ERMITE A STIELTJES.
Paris, 19 octol)ie i883.
MOJNSIEUII,
La démonstration que vous venez de me communiquer de ma
transformation de la somme
C=Kff)-Ef"
m'a fait le plus grand plaisir, et mon intention, qui, j'es]ière, ne vous
contrariera pas, sera d'insérer votre lettre du i^ octobre dans mon
travail, en disant que vous me l'avez adressée en réponse à la
communication de l'énoncé de ma proposition. Les méthodes en
Arithmétique sont loin de se présenter aussi variées et aussi nom-
breuses qu'en Analyse, et je ne puis m'empêcher de croire qu'il
sera utile de donner pour parvenir aux mêmes conclusions, deux
procédés très différents, surtout lorsque le vôtre s'applique à des
(juestions que, par le mien, je ne puis aborder. En effet. Monsieur,
je suis moins que vous, vir aritliineticus, comme dit Jacobi : je
ne fais que recueillir chemin faisant, dans le champ des fonctions
elliptiques, quelques résultats faisant suite au n" 40, p. io3 des
Fondamenta, et mon travail s'intitulera par conséquent : Sur
quelques nouvelles applications à V Arithmétique de la théorie
des fonctions elliptiques. Je compléterai, si vous voulez bien, en
ce qui concerne les nombres ^n -f- i, ce que je vous ai précédem-
ment dil sur la somme des valeurs de la fonction ^{x) où co(^) est
la somme des diviseurs impairs de x, en considérant les nombres
4 n -- . ) .
Soit
je distinguerai deux cas suivant que 4 '? -^ ■'> est différent d'un
!\2 CORIU-SI'ONDA.NC.K l) llKHMITi; KT DK STIKLTJKS.
carr('', ou hini éi;;)! à iiu carré. On a dans le |)reiiiier, la lormiile
C5 ( 0 -H 'i ( j ) -4- . . . -4- o ( . rt -+- 1 I — '-i 7 1'- M 7,
' • • ' .^d \ V. C ^ I / 3
(c = 1 , 2, 3, . . . , À — i) ;
dans le second cas. le terme algébiiqne se modifie, et j'oliliens
alors
cp(r)-f-ç(5)-^. ..-^o(/in^i) = 'A^Ï{.'- ("^_^)
3
Mais vos devoirs à 1 École Polytechnique vont réclamer tout
votre temps et, comme je le fais moi-même, vous allez, Monsieur,
renoncer aux recherches pour ne songer <]u'à vos leçons. Je vois
que l'Ecole de Delft ressemble bien plus à notre Ecole Centrale
<ju'à TEcole Polytechnique, pour son objet, comme pour l'ensei-
gnement qui y est donné, et c'est en vous remerciant des détails
cfue vous avez eu la bonté de me donner pour satisfaire à ma
curiosité que je vous renouvelle l'expression de ma plus haute
estime et de mes sentiments bien dévoués.
25. - II ERMITE A STIELTJES.
Paris, 24 octobre i8S3.
MoNSIEUT^,
Les théorèmes que vous venez de me communicjuer sur la
somme des valeurs de la fonction f{ii) pour les valeurs de 11 qui
sont E^ I ou ^ 5 mod8, m'ont paru si intéressants que je n ai pu
m'empêcher de donner à l'Académie les résultats auxquels vous
êtes parvenu, ainsi cjue ceux qui concei'nentla fonction '-^{n). Vous
ne serez point mécontent, je l'espère, de trouver dans le prochain
numéro des Comptes rendus les énoncés de vos théorèmes con-
tenus dans votre lettre du 20 octobre, en même temps que votre
proposition sur la somme des nombres de représentation de n par
Va forme x- -\- 2J'-. Il me parait hors de doute que vos méthodes,
(jui permettent de démontrer les résultats tirés des formides de la
théorie des fonctions elliptiques, vont plus loin et donnent des
résultats entièrement nouveaux. Les deux points de vue auront
donc, à la fois, un domaine commun et des domaines distincts, par
LETTRE 25. 4'^
exemple, en ce qui concerne la théorie des formes quadratiques de
déterminants négatifs. En particulier, pour les déterminants — D,
lorsque D^3mod8, la théorie des fonctions elliptiques con-
duit à introduire la fonction numérique qui, à l'égard d'un
nombre /?^^3mod4, représente l'excès du nombre de ses divi-
seurs ^ I sur le nombre des diviseurs ^ 3 mod4 sous la condition
que ces diviseurs, d'une espèce et de l'autre, soient inférieurs à y//?.
Posant donc
,i — \
où d représente tous les diviseurs de n moindres que sa racine
carrée, et désignant par F(N) le nombre des classes proprement
primitives de déterminant — N, on a pour la somme
F(3)-F(ii)-...-Fi//)
où n zh; 3 modS, la \aleur
'];(3) + 'j/(ii)+...-H'i(7i)
+ 22<|;(/0 R(iV«^^-) --<2]'^^^) f^^(iv/'^^^^+ à)-
Il faut prendre, dans les sommes, pour /,■ et /, les valeurs :
A' =z 3, II, . . . , n; l = '], 1 5, • • • , n — 4 e^ relativement à la fonc-
tion '^(/i) je trouve ces formules
J;(3) -4- ^.(7) ^-. . .- <|.(4 N -^ 3 ) -^2 ^- ')'""' E (^"T^ZT^) '
i;(3; - 4^(7) + . . .± <].( 4'N ^ 3) =2 E. (^4v:':t^') •
Pour ce qui concerne la somme des diviseurs d'un entier impair,
j'entrevois dès à présent que les formules elliptiques donnent les
théorèmes que vous avez découverts, où l'on distingue entre les
diverses formes de n, par rapport au module 8. Mais déjà sur-
viennent des devoirs qui m'obligent d'aller à la Sorbonne, faire des
examens de baccalauréat, et il faut m'arracher à mes réflexions et
à mes calculs.
Recevez, Monsieur, la nouvelle assurance de ma vive sympathie
et de mes sentiments de haute estime.
Je crains de vous avoir inexactement donné la définition d'une
44 CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.
(les fonclions que je nomme ^^{x) et E:i(x\: permettez-moi de
vous indiquer les expressions exactes qui sont
Es(x) = Ii;(a7-f- i)[i — -iEiix}].
Ces expressions me servent dans l'étude de la fonction cp(/i) (').
26. - STIELTJES A H ERMITE.
Leyde, 28 octobre i883.
Monsieur,
Certainement je ne suis point mécontent de ce que vous avez
communiqué à l'Académie quelques formules que j'ai rencontrées
en méditant sur les résultats que vous avez bien voulu me commu-
niquer. Mais, comme je l'ai déjà dit, tout cela est facile; toutefois,
cela met sur la voie de déduire d'autres formules plus difficiles.
J'ai consulté de nouveau vos beaux Mémoires dans les Tomes VIT
et IX (2^ série) du Journal de Mathématiques , et je crois main-
tenant être sûr- de pouvoir démontrer à ma manière arithmétique
les formules de M. Rronecker et d'autres H[ui résultent de la
théorie des fonctions elliptiques. Toutefois, dans mes recherches,
je fais usage de votre manière d'introduire la notion de classe,
c'est-à-dire, elle est remplacée par celle du nombre des fomnes d'un
système complet de formes réduites. Pour moi, je n'ai point de
doute que ma méthode n'ait pas une grande analogie (ou peut-être
ne diffère pas essentiellement) de celle que M. Liouville a suivie
dans ses recherches. Mais, pour le moment, je n'ai pu consulter
encore c[ue les deux volumes précités du Journal de Mathéma-
tiques, et je ne sais pas encore si M. Liouville n'a pas exposé sa
méthode dans un autre endroit. Vous m'obligerez infiniment en
( ' ) La Note aux Comptes rendus mentionnée au début de cette lettre est
insérée dans le nuuiéro du 22 octobre et intitulée : Sur quelques tliéorèmes
aritfimétiques (extrait d'une lettre adressée à Hermite). Cette Note a trois
pages dont la troisième contient, avec de légers changements de rédaction, la
seconde moitié de la lettre 20 du 10 octobre. Les deux premières pages devaient
se trouver dans la lettre du 20 octobre, qui manque.
L'expression de '^^{x) donnée à la fin du post-scriptum diiïère de celle donnée
dans la lettre 22.
LETTRE 26. 45
me renseignant sur ce point. En ce moment, j'ai en effet reconnu
la source de plusieurs des théorèmes de M. Liouville. Mais, en tout
cas, pour pouvoir dire quelque chose de plus certain sur cet objet,
je devrai faire une étude sérieuse des résultats de M. Liouville
dans leur ensemble, ce que je n'ai pu faire encore et ce que je ne
pourrai faire dans les premiers mois.
Je veux ajouter quelques remarques sur vos dernières formules.
En premier lieu, n^ 3 modS. Alors
F(3:)^F(ii)-.-...-F(«)
= 4.(3) + -|;(ii)-H...-^.^(«}
-^i^^{k)E{\^'iir^^c) (A- -3, II, .... rt)
^^y t{;(/)E(V;r^TH-|) (/ = 7, i5, ..., rt-4):
dans votre lettre, vous avez écrit, par une inadvertance
Cette formule est équivalente à celle-ci :
F(/i) = J/( «) -1- 24'(/i — 4- 1^) -i- '-^'K 'i — 4-'-i^ j -t- '•^4'(^ ~ 4-3" ) -. . . .
en ce sens que l'on déduit immédiatement l'une de ces formules
de l'autre. Mais cette dernière formule se trouve, sous une forme
un peu différente, dans la lettre que M. Liouville vous a adressée
(t. VII du Journal, p. 43, 44)- H tlit • " Or, je trouve que ce
nombre (des solutions 771 = i'--^ i''--\- i"- où /, /', i" sont impairs
et positifs) s'exprime aussi au moyen de p'(/i)[ = tl;(/i)], par
p'(m) -- 2p'(/?i — 4- 1^^ -i- 2p'(m — 4-2^) — . . . . »
M. Liouville dit lui-même, du reste, que cette formule se tire aussi
de vos formules.
Quant à vos formules pour les sommes
J;(3) ± 6(7) + 4'(iO ±- • -^ '}'(4N 4- 3),
j'ai reconnu qu'on peut les déduire directement de la définition
même de la fonction »];. Il j a encore d'autres formules du même
genre, par exemple,
^ ^ ' ^ : ' ~ 2 2.3 2 . D
46 CORRESPOXDA.XCE U HEUMITE ET DE STIELTJES.
On doit avoir des formules analogues pour la i'ouclion
tandis nue
<^in) = S( — ij 2 .
par exemple,
cp(3) + cp(7}-T-...-^cp(4N^3)
mais tout cela est très facile.
^ ous êtes tellement au courant dans cet ordre de recherches que
j'ose vous prier (sans que cela doive vous coûter de la peine) de
vouloir bien m'indiquer si les formules de M. Kronecker ont été
l'objet d'autres recherches, que je ne connais pas encore. Mais il
n'j a pas de hâte : dans ces premiers mois je ne puis songer à des
études sérieuses.
Je vous prie, Monsieur, d'agréer l'expression de mon respect
et de mon entier dévouement.
27. ~ HERMITE A STIELTJES.
Pai'is, 5 novembre i883.
Mowi
Recevez tous mes compliments pour le beau théorème con-
cernant la décomposition en cinq carrés des nombres N^o modS,
que vous m'avez communiqué et que je présenterai aujourd'hui
à l'Académie pour qu'il soit publié dans le prochain numéro des
Comptes rendus [^). A votre lettre j'ajoute une courte Note dans
laquelle je donne, pour le même objet cjue vous avez eu en vue, la
propriété suivante, qui se tire des formules de la théorie des
fonctions elliptiques. Décomposons de toutes les manières un
(') Entre la lettre 26 et la lettre 27, il existe une lettre de Slieltjes à Iler-
niite contenant la Note : 5m/' la décomposition d'un nombre en cinq carrés,
publiée aux Comptes rendus du 5 novembre. Cette lettre manque.
LETTRE 27. /)7
entier n 's^ i mod4 en deux facteurs d et d' assujelLis à la condi-
tion suivante : <:/'> 3<i, et posons
7/«) ^^-iC^d-d').
Le nombre des décompositions de N (en cinq carrés impairs,
à racines positives) sera
Je saisis cette occasion pour vous donner l'assurance que
AI. Liouville n'a rien publié sur l'Arithmétique en dehors des nom-
breuses Notices contenues dans les derniers ^ olumes de son
Journal de Malhéniatiques. J'aurais bien préféré, au lieu de
fragments disjecli meinhra poëtœ, un seul et unique Mémoire
bien condensé, où le lecteur aurait à la fois le principe et les
diverses applications de la méthode. Mais M. Liouville, à qui j'ai
exprimé ce désir, n'a point voulu le satisfaire, sans doute pour se
réserver à lui seul la récolte plus complète de toutes les consé-
quences de sa découverte première. Sur ce même sujet, vous trou-
verez dans les Comptes rendus une ou deux Notes du P. Joubert,
entre 1860 et i8jo; mais c'est un géomètre allemand extrêmement
distingué, M. J. Gierster, dont les recherches vous intéresseront par
leur importance. M. Gierster a suivi la voie ouverte par M. Kro-
necker, et ce m'est un regret de n'avoir pu, à cause de l'allemand,
lire et étudier ses travaux qui me semblent extrêmement remar--
quables. Cette difficulté n'existant pas pour vous, permettez-moi,
IV'Ionsieur, de vous adresser un exemplaire, que l'auteur a eu la
bonté de m'envojer, de l'un de ses Mémoires, et que vous pourrez
conserver aussi longtemps qu'il vous sera utile. Vous trouverez, en
consultant la table des matières des Matkeniatische Annalen,
ses autres publications sur ce sujet; mais j'ai lieu de penser que
c'est celle que je joins à ma lettre qui est la plus étendue et la plus
importante.
En vous souhaitant, avec la continuation de vos succès, un bon
courage pour mener de front le travail de recherches avec les
leçons et les devoirs d'enseignement, je vous prie. Monsieur, de
recevoir la nouvelle assurance de ma plus haute estime et de mes
sentiments bien sincèrement dévoués.
48 COKIIESPONDANCE D IlERMITE ET DE STIELTJES.
28. — STIELTJES A H ERMITE .
Leyde, 6 novembre i883.
MoJNSIEUK,
Vous m'avez fait un très grand plaisir par la communication de
votre formule pour la décomposition d'un nombre 8/i-f- 5 en cinq
carrés, formule beaucoup plus cachée que celle que jai donnée.
En efi'et, le raisonnement qui m'avait donné ma formule était assez
compliqué et curieux, ce qui m'avait empêché de reconnaître le
véritable caractère de ma formule. Maintenant, j'ai reconnu que
cette formule peut se démontrer d'une manière assez simple, et l'on
peut établir un grand nombre de formules analogues pour la
décomposition en 3, 5, "j carrés impairs; mais dans toutes ces for-
mides entrent seulement les fonctions
2
m impair, d parcourant les divisevus de m.
Ces fonctions jouissent toutes de la propriété expiùmée par
F(m)F(/i)= Y {mil),
m et n étant premiers entre eux. Mais elles ne sont point de la
nature singidière de votre fonction 'b et de cette fonction nou-
velle y,
■/ {n) = N { ( 3 û? -f- <i' ), d' > 3 d. ti = dd'
que vous avez introduite.
Païuni les résultats auxquels je suis parvenu il j a quelque temps
il en reste cependant un qui me parait avoir plus d intérêt. Le
voici :
Soit n := 8A" ± 3, F(/i) le nombre des classes pour le détermi-
nant — n, excluant les formes avec les coefficients extrêmes pairs
tous les deux. Alors
2f(„
\r^)= — {^'{n) u-^o, ii:i,±2,
LETTRE 29. 49
$'(aî) est la fonction de M. Kronecker
*''"'=2(3
d
d parcourant les diviseurs de n.
Cette formule, en effet, ne semble point rentrer dans les formules
données par M. Kronecker, tandis que la sommation s'effectue
encore par cette fonction simple ^' [n). Dans les Monatsberichte
de 1875, p. 22.3-236, M. Kronecker a donné de nouvelles relations ;
mais, comme il le remarque, dans ces nouvelles formules il entre
des fonctions arithmétiques plus compliquées, en sorte qu'il reste
toujours encore possible que ses anciennes formules soient les
seules où entrent seulement ces simples fonctions arithmétiques,
qui ne dépendent que de la totalité des diviseurs d'un nombre.
J'ai communiqué cette formule, il J a quelques jours, à M. Kro-
necker, mais je ne sais pus encore son opinion là-dessus.
Je vous suis extrêmement reconnaissant pour l'envoi du Mémoire
de M. Gierster qui ne m'était point connu. Mais je ne pourrai l'étu-
dier, comme il le mérite, dans le premier temps, en sorte que je
devrai faire usage de votre permission de le conserver assez long-
temps.
Veuillez bien agréer. Monsieur, l'expression de mon profond
respect et de mon entier dévouement.
39. — H ERMITE A STIELTJES.
Paris, 9 novembre i883.
Monsieur,
Un deuil de famille m'oblige de quitter Paris; permettez-moi
avant de partir, de vous demander si vous voudriez bien rédi<^er
pour les Comptes rendus, une Note contenant les résultats que
vous venez de découvrir, pour la décomposition en 3, 5 et 7 carrés
impairs. Je ne puis, par mes moyens, d'aucune façon aborder le
cas de 7 carrés, et ma méthode ne me conduit aucunement à vos
fonctions -I/q, '},, 'h-^'i vous rendi-ez donc service à ceux qui aiment
l'Arithmétique, en annonçant des théorèmes entièrement nouveaux
et d'un grand intérêt. Joignez-j, Monsieur, cette proposition
4
5o CORRESPONDANCK d'hERMITE ET DE STIELTJES.
2F(/i — 8r-) = — ^^'(^n) qui tient aussi à des principes différents
de ceux que j'ai employés, et qui doivent avoir une grande puis-
sance. A mon retour, j'ajouterai quelques remarques à ce que je
vous ai déjà dit de la fonction y (/i); en l'employant pour toutes les
valeurs impaires, et les valeurs paires divisibles par 4, de n, elle
donne le nombre des décompositions d'un entier quelconque en
5 carrés.
Croyez, Monsieur, à mes meilleurs sentiments d'affection et de
haute estime.
30. — STIELTJES A HERMITE.
Lej-de, 12 novembre i883.
Monsieur,
En réponse à votre dernière lettre, je vous adresse ci-joint une
Note contenant un théorème que je crois nouveau. Ce théorème
s'est offert à moi, il y a quelques jours, sans que cela m'ait coûté
la moindre peine. En effet, c'est une conséquence si facile des ré-
sultats que j'ai obtenus auparavant, que je m'étonne de ne l'avoir
point vu immédiatement.
Je n'ai pas encore eu le loisir nécessaire pour voir par quelle
formule ce théorème s'exprime dans la théorie des fonctions ellip-
tiques. 11 serait intéressant de déduire encore ce théorème de cette
théorie.
Vous trouverez plus bas les formules que j'ai obtenues concer-
nant les décompositions en cinq et sept carrés ; mais peut-être il en
existe encore d'autres, et je crois qu'il sera sage d'ajourner la
publication jusqu'à ce que j'aurai eu l'occasion de revenir à cette
recherche. Dans ce moment, d'autres devoirs ne me laissent pas
le loisir nécessaire.
J'attends avec impatience. Monsieur, les observations que vous
m'avez promises concernant votre fonction '/{ri).
J'espère bien retrouver vos résultats à l'aide de considérations
arithmétiques; cela sera le premier travail que je me propose d'en-
tamer.
Croyez-moi, Monsieur, toujours votre très reconnaissant et
dévoué.
LETTRE 30. 5l
m impair, m = dd' :
Fi(/i) « = 8 /i -H 5, nombre des solutions de
« = a?^ -H J/2 -H ^32 _^ 1(2 _4_ jf 2 j
¥=i{n). .'. n = 8/i -t- 7, nombre des solutions de
n = 37-2 -+- j2 _|_ ^2 _|- ;2 4. j<2 _,_ (;2 _,_ ^^2.
JT, jKj -3, ^, î^, t', ^v positifs impairs :
n — i-\ f n — 3"-'
Fi(«) = cp
4 / \ 4
8F,(„, = ,,(^)+,.('±^)^,,(Î
8Fi(rt) = cpi(n) + 2cpi(/i — 2^) + 2(pi(n — 42) + . . .,
6 î F.2 (yi ) = <p2 ( «) + 2 cf 2 ( Ai — 22 ^ _,_ 2 cp, ( n — 42 ■) _|_ , _ ^
4Fi(«) =4/i(/i)-H 2<|;i(/i — 8.i2) + 2(];,(n — 8.22) +. . .,
48F2(«) = '4;2(/i) + 2f2(« — 8.i2)-h2(|;2(n — 8.22)+...,
2Fi(n) = l{;i(n — 2.l2) + (];i(/t — '^.32) + .l;i(/i — 2.52) -^. . .,
24 F2 ( n ) = ({^2 ( « — 2 . I 2 ) -1- (l>2 ( « — 2 . 32 ) -i- 4/2 ( n 2 . 52 ) -f- . . . .
Siu^ un nouveau théorème d^ arithmétique .
On connaît le beau théorème, trouvé par Legendre et démontré
par Gauss, qui établit une relation si simple entre le nombre des
décompositions d'un nombre entier /r = 8A'-l-3 en trois carrés
impairs et le nombre des classes de formes quadratiques de déter-
minant — n.
J'ai trouvé qu'il existe un théorème analogue pour tout nombre
entier de la forme SA" + 5.
Désignons généralement par F(/?) le nombre des classes de
formes quadratiques de déterminant — n^ les coefficients extrêmes
étant positifs, et excluant dans le cas « = 8/r4- 3 les formes qui
ont ces coefficients pairs tous les deux. Alors, n étant ^5 (mod8)
52 CORRESPONDANCE D HERMITE ET DE STIELTJES.
le nombre des solutions de l'équation
H = X- -+- ly- -\-- -iz-,
en admettant pour x, y, z seulement des valeurs positives et im-
paires, est égal à |F(/î).
Voici encore deux vérités qui sont intimement liées à ce
théorème.
Posons pour un nombre impair quelconque n
^("^=^2(i)^'
d parcourant tous les diviseurs de n, d' étant le diviseur complé-
mentaire, en sorte que dd' = n.
Alors on a
F(n) — 2F(/Z — 8.l2)4-2F(/J — 8.22) + 2F(« — 8.32)-t-...= i'j;(/0,
pour // = 8/>r -j- 3 ou n = S k -{- 5 ; et puis
F(« — 2.i2)-HF(« — 2,32) -H F(7l — 2.52)-f-.. .= i(p(«),
pour n ^= 8k + 5 on n ^ 8A + 7.
31. _ SriELTJES A HERMITE.
Leyde, i5 novembre i883.
jMojvsieur,
Depuis que je vous ai adressé ma dernière lettre, j'ai pu consulter
les Disqu. Arithin. J'ai vu alors que le théorème auquel j'ai été
conduit par des considérations d'une autre nature est encore, un
simple corollaire de ce que Legendre a trouvé par induction et de
ce que Gauss a prouvé dans son Art. 292 (je n'ai à ma disposition
que la traduction par Pouillet-Delisle, p. 349-35o). J'aurais donc
dû mentionner cette circonstance. Pour le moment, je ne puis que
vous prier de retirer ma Note et de ne la point pi'ésenter à l'Aca-
démie. En effet, Monsieur, je sens bien qu'il faudra attendre
jusqu'à ce que j'aurai la tête libre et pourrai approfondir plus
à mon aise toutes ces choses, avant que de publier mes études.
Voici encore quelques formules (si vous voulez bien en prendre
t'onnaissance ) qui pourront se déduire, sans doute, toutes de la
LETTRE 31. 53
même source, c'esl-à-dire de la relation découverte par Legendre
entre F(n) et la représentation de n par trois carrés.
'/— I
Soit c£>(/z) = S( — i) - , cl parcourant tous les diviseurs impairs
de n {n pair ou impair) et prenons F{n) toujours dans le sens de
M. Kronecker. Convenons encore que, dans les sommations, il
faudra prendre s =^ i, 3, 5, ... et /• ^ o, ± i, ±2, ±3, ....
Alors on aura
n = i (mocl8) F(nj = 2 ^^ y
si n est un carré, il faudra continuer jusqu'à ^(o)
n = 3 (modS) F(/i)= Vç
/2 = 5(mod8) F(n) = 2\^
. n — S'
Encore, n étant le double d'un nombre impair
re = 2 (mod^) F(«) = > o(n — 52) =^ - '
n — 4 s-
En distinguant, dans cette dernière formule, les cas /i = 8/iH-2,
8A" + 6 et faisant attention que cp(4A- + 3) = o, on pourra écrire
■^ / n — 16 r- \
n = '2(mod8) F{n}— X'f( 7^ ■)'
ns6(mod8) F(n)^'i\o
Comme on a généralement
F(22/'m) = 2/'- F (/??),
les formules précédentes donnent toujours une expression de F(n)
excepté seulement dans le cas /i = 4^(8r + 7). Ces nombres
^k(^^^ _s^ rj'j étant précisément ceux qu'on ne peut repi-ésenter
par X- -\-j- + z^.
A l'égard de ces déterminants SA + 7, j'ai encore trouvé la
relation
SF(rt — i6/-2) = !-*(«) — «I>'(n),
$(n) désignant la somme des diviseurs de n, <!>'(/«) la somme des
diviseurs inférieurs à y/«.
)4 CORRESPONDANCE D HERMITE ET DE STIELTJES.
Ija formule VII de M. Kronecker fait connaître la somme
2:(— i)'-F(n — i6/-2),
8k ^ y.
Celte somme est une fonction arithmétique de n un peu moins
simple que celle plus haut.
Les théorèmes de Legendre doivent donner facilement les exprès
sions asymptotiques de
F(i) + F(9; + F(i7) +
F(2)-4-F(io)-t-F(i8) +
F(3)+F(ii)-f-F(i9)H-
F(5) + F(i3) + F(2i)-f-
F(6) + F(i4)-4-F(22)-H
+ F(n),
+ F(n),
+ F(«),
+ F(n),
-■.-Fin).
Ces expressions sont égales à 7^^-, tandis que la valeur appro-
chée de
F(r)^F(2)+...-^-F(/0
I -i
est huit fois plus grande et égale à ^"^'ï'-
Mais il ne semble pas qu'on puisse obtenir cette dernière valeur
aussi facilement.
Je suis, Monsieur, avec le plus profond respect, votre très
dévoué.
32. — STIELTJES A HERMITE.
Leyde, 24 novembre i883.
Mo
NSIEUR,
Permettez-moi de compléter les formules que je vous ai déjà
communiquées, et d'indiquer, en même temps, comment j'ai pu
vérifier partiellement ces formules à l'aide de la théorie des
fonctions elliptiques.
Soit, d parcourant les diviseurs impairs de /?,
«ï>(n) = \ I — I <:/, dd = n,
en sorte que Q.W{n) est le nombre total des représentations de n
LETTRE 32. 55
par X- -{- ly-. On a alors [F(/?) toujours dans le sens de M. Kro-
necker]
(A) /i=i(mod8) XF(n — 87-2) = }t>(n) + ivF(/0
(/• = o. ± I, ± 2, ± 3, . . .),
(B) n = 3, 5 (modS) S F(ai — 8/-2) = {*(«)
(/• = o, ±1, ±2, ±3, ...),
(C) 71 = 3, 5, 7 (mod8) ^¥{n — j.s'^) = \^{n) -^ \W{n)
(5 = 1, 3, 5, 7, . . .).
D'ailleurs W[n)^= o lorsque /z ^ 5, 'j (modS).
Partons maintenant du développement
s f _ iKx^'
2Â-K -^ q'- . ( ^ = —
^ ^^ ' — V' (s = 1, 3, 5, 7, ...),
en différentiant et posant après a: =: ^ ? on trouvera, à cause de
;n — = i / T7 , dn — = \/k ,
(•) ^^\/ni-A-')=^2^^- ^_^^, ^ (5 = 1, 3, 5, 7, ...,).
Soit, comme à l'ordinaire
6(^)=:l — iq ^-xq* — 25-9-+-...,
1 9 2_5
62 ( 7 ) ^-= 2 g * -t- 2 (7 '* + 2 <7 * -t- . . .
63(5') = I -4- 2 ^ -f- 2 g-^ -f- 2 (y9 -1-
on a
et, changeant ^ en q-.
^ /{i-k')K
y — ^^ — =^^iq-\
de plus,
, /2"FK ^, ^
56 CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.
en sorte que le premier membre de l'équation (i) devient
|e2(5r)0,(5-2)63(gr),
ou bien, à cause de
QHq) = niq')-n(q-),
s- — 1 s
(2) [e|(g-)-el('7^)ie2(y^)03(?) = ^^^~|'_y^'
(5 = I, 3, 5, -, . . .).
J'emprunte maintenant les formules suivantes à M. Kronecker
(Monatsberichte der Berliner Akademie, 1875, p. 229)
(3) \^¥{J^n~i)q"^~' =02(f/)0|(^),
0
(4) 82F(8n+3)/"^^ = 0|(fy),
0
La formule (4) est du reste la même que celle que vous avez
donnée dans \e Journal de LiouvlUe, 1^ série, t. VII, 1862, p. 38.
Dans ces formules, on a généralement
FU) = F(/i);
seulement si n est un carré impair
F(«) = F\n\—\ (n = I, 9, 9.5, 49, . . . ).
Comme on a
on voit facilement que la formule (3) se décompose d'elle-même
dans les deux suivantes :
<^ 1
0
42f(8« + 5)7'"^* = 0,(7)01(^2).
0
A l'aide des formules (3), ( ^), nous trouverons
(5) 263(7)
. 0 0 J
.«- — 1 s
LETTRE 32. 57
En posant maintenant, avec M. Kronecker,
(i>'(n}—'Z{ — ^f) ^ d (<:/ diviseur de n),
le développement du second membre de (5) donnera
s
S*'('5)^2 (s = 1, 3, 5, 7, ...)•
La comparaison avec le développement du premier membre
donne
«=i(mod8) ^\n)= aSFCn — 8 z'^),
n = 3 (mod8) *'(«)=— 4 5:F(« — 8/-2) -r- 42:F(7i — '252),
n=5(mod8j *'(«)= •2SF( /i — 8/-2) — 8S F(« — 25^ ),
rt = 7 (mod8) *'(«)= 4SFl'/i — 2s2)
(/• = o, ±1, ±2, ±3, ..-.; 5 = 1, 3, 5, 7, ...)•
Il est facile, maintenant d'introduire la fonction F{n) au lieu
de F(n); on trouve
n=i(mod8) ^'{n)-^W{n)^ ■y.ZFin — Sr^ ),
/i = 3 (mod8) *'(«)-+- iIf(>) = — 4SF('/i — 8/-2|^4SF(n — 252),
rt = 5(mod8) *'(>)= 2SF(/«— 8/-^) — 8SF(rt — 2s2),
71 = 7 (modS) <ï>'(/0= 4SF(n — 252).
Ces relations résultent aussi directement des formules (A), (B),
(G) en remarquant que
*(«) =
*'(n)
lorsque
n=±i
( m û d 8 ) ,
*(«)=-
-<P'(n)
lorsque
n=±3
(modS).
Mais pour retrouver les formules (A), (B), (G) elles-mêmes, il
serait nécessaire de recourir à d'autres formules de la théorie des
fonctions elliptiques, formules que je n'ai pas encore cherchées.
Toutefois, cela ne sera pas difficile, probablement.
J'ai encore retrouvé quelques relations dans lesquelles les dé-
terminants sont compris dans la suite 3k^ — n ; voici les plus simples
«^5(modi2) SF(«-3/-2j = r,(/0 ^ ^ . o ,
n = 7(modi2) ^F(n — 3/-2) = |r,(n)
7l(«) signifiant la somme des diviseurs de n de la forme laA" ± 5,
diminuée de la somme des diviseurs compris dans la forme
58 CORRESPONDANCE b'uERMITE ET DE STIELTJES.
12/rrhi. Peut-être on ])ourra ol)tenir ces formules encore au
moyen de la liiéorle des fonctions elliptiques, en faisant usage de
la transformation du troisième ordre des fonctions 8; c'est ce que
je me propose d'étudier Dans une de ses nombreuses Notices,
M. Liouville a donné la relation
( s = 1 , 3 , 5 , 7 , . . . ) .
C'est une formule qui appartient évidemment à la même caté-
gorie, et qu'il faudra retrouver.
Voici une question, Monsieur, qui s'est présentée à moi, à l'occa-
sion de ces études. En posant
1 9., 2 5
61 ( .r, q ) — -2 q '* si n x — iq* ^\r\'ix -^ -iq '* sin 5 a: — ...
on sait que
6'i(o, q)= fXq^— 3q~'*-^5q^—...) = 9(0)9,(0)63(0).
Maintenant, je crois voir qu'il serait utile de connaître de même
une expression de
I.n^q"-
en fonction des B. Quelques formules que j'ai obtenues d'une ma-
nière arithmétique me font soupçonner qu'il existe une telle
expression de ^n-q"' par les fonctions B. Mais je n'ai pas encore
tâché d'étudier cette question. Peut-être une telle expression est-
elle déjà donnée sans que j'en aie connaissance. Dans ce cas, si une
telle formule vous serait connue, vous m'obligeriez beaucoup de
m'en avertir quand cela vous conviendra.
Crojez-moi toujours, avec le plus grand respect, votre très
dévoué.
P. S. — En parcourant, dans ces derniers jours, le beau Rapport
de M. Smith sur les progrès de la théorie des nombres, spéciale-
ment dans le Rapport de i865, ce qui a rapport aux formules de
M. Kronecker, j'y ai rencontré cette expression 8[2 H-( — i)"]X(/i)
pour le nombre des représentations de /? par x- -\- y- + z- -{- l- .
De même, la relation
n = -j (modSj I.F(n — \Gr^-) =^ 15(«) — 0"(«)
LETTRE 33. 69
que je vous ai communiquée i^J{/i) somme des diviseurs, Ç'{n)
somme des diviseurs << \/nj est une conséquence directe de deux
formules données par M. Smith. Mais probablement cette formule
rentre dans celles I-VIII de M. Kroneckcr.
33. — STŒLTJES A HERMITE.
Leyde, 2.5 novembre i883.
Monsieur,
Permettez-moi encore d'ajouter à ma lettre d'hier quelques
remarques sur ces séries 'Sn'-q"'.
En posant
K= r' ^"^ . E= P /i-^2sin2(f ^ç,
«-') V • — ^^ sin^o ^'o
les formules de Jacobi ayant rapport aux fonctions de seconde
espèce donnent d'abord
U ) 4\ K - E ) ^ 8 9_zil9l±9q!^2^9^^. ^ ,
7i2 ' , _ 2gr -I- 2^*— ag-^ — . . .
1 9 j^
4KE _ ^^-t-9^^-H25y ^
q'* -^ q'* -\- q '* -^ . . .
Par le changement de q en ^% la formule ( •-« ) donne
(3) 5- H- 9^9-t- 25<7-3-H 49^''9-+-. . .
= P = SS2^'%
.-y/F^^. , ^//(,_AV//)^-
et, ensuite, à l'aide de (i)
(4) a(45r*-)-l67i«H-36g36_,_...)
Ici, et dans la suite, dans les sommations il faudra prendre
5 = 1, 3, 5, 7, ....
^ ==:: o, ±-2, d=4. ±6, ....
6o CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.
Mainlenantj on a encore
(6) Q,= Vr/^=(i-^v//7)^/A.
Gomme vous voyez, la fonction de seconde espèce E est éliminée
dans cette combinaison
PQi-QPi= :^AVr
2 71'*
que l'on peut écrire aussi
(7) i(3ss(5^-r-)r"+'"-=^AV/7=ee|03,
en posant
AA-'K
0 = 1 — iq -h iq* — 2(]/^ ^. . .= 1/ j
^2= iq* -+- 9.g* -+- 2g * + . . . = 4 / ,
/ÏK
^3=1-^ 2g -i- ■2q'*-h'iq^-^. . .— i/
Mais on a
06363= 2[q^— 3q^ + 5q * —...) = 9.S(— r) ^ gq*
et
e,^ = sV F(8/? + 3)^^^
0
en sorte qu'on obtient
,î - 1 5- "=_ 8 H -H 3
(8) ^i-i)~sg'^^F{8n^'S)q~^^^^{s-^-nq^"-+'\
fi
La comparaison du développement des deux membres suivant
les puissances de q donne cette relation singulière que l'on doit
encore à M. Liouville et dans laquelle N signifie un nombre impair
.« — 1
(9) ^(-i)~^sF(/i^-s^-)=^{s^--n.
Dans le second membre, la sommation s'étend à toutes les repré-
sentations de N par 5-+ t-, ce second membre s'évanouissant si N
LETTRE 34. 6l
ne peut pas être représenté par la somme de deux carrés.
Prenons par exemple N = aS, on a
N = 32-^(±4)2= 52+02,
donc
S ( 52 _ f 2 ) =3 2 ( 9 — 1 6 ) -f- -25 = 1 1 .
En effet, on trouve
iF(99)-3F(9i) + 5F(7J; — 7F(5i) + 9F(ig),
= 1.9 — 3.6H-5.7 — 7.6 — 9.3=^ II.
Pour N = a'-, on trouve
,F(.o7i-3F(99)-t-5F(83) — 7F(59)-9F(27),
= 1.9 - 3.9 + 5.9 — 7.9 + 9.4 = o.
En effet, 27 n'est pas la somme de deux carrés.
Comme vous voyez, le théorème arithmétique exprimé par
la formule (9) est équivalent à la formule (8); cette dernière
formule revenant à {'j ) comme on le voit à l'aide de votre relation
Veuillez m'excuser si j'ai demandé trop de votre attention, mais
je craignais ne pas m'être exprimé assez clairement sur ce que je
me proposais en parlant des séries Hn'-q'^'. La formule (7) est une
de celles dont j'avais pressenti l'existence. Crojez-moi toujours,
avec le plus profond respect votre très dévoué.
34. — HERMITE A STIELTJES.
Paris, 27 novembre i883.
MoNSIEUK,
Je m'empresse, en revenant à Paris, de vous accuser réception
de vos communications du 24 et du 20 novembre, dont j'ai fait
l'étude avec le plus grand soin et avec le plus grand plaisir. Les
théorèmes contenus dans les relations (A), (B), (C) sont extrême-
ment intéressants et l'analyse par laquelle vous établissez en partie
ces relations au moyen des développements de la théorie des
fonctions elliptiques me prouve que les méthodes dont j'ai fait
02 CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.
usage dans mes recherches sur ces questions vous sont bien fami-
lières. Vous allez même bien au delà, car il ne m'est jamais arrivé
de rencontrer des déterminants de la forme 3 A- — /«, ni la fonction
numérique 'fi{n) auxquels vous avez été amené. Mais les détermi-
nants compris dans la formule n — 8/-- que vous considérez si
souvent s'offrent continuellement aussi, sous mon point de vue.
Je viens, par exemple, de remarquer qu'en désignant par F(/i) le
nombre des solutions de l'équation x- -]-y- -i- z- = n, lorsqu'on
suppose X impair, y divisible par deux, et z par quatre, si l'on
continue de représenter par 'f (/<) la somme S( — i) - , où d par-
court tous les diviseurs de n, qui actuellement est impair et
=^ I (mod4), on a la formule suivante
F(n)^(— [) 32 2^1— i)''cp(/i — Sr^) (r = o, ±1, ±-2, ...).
Votre méthode pour parvenir à la relation
PQ,_QP,=.i^/.VF,
2 71"»
d'où vous concluez
i6I.I.(s^-—t'-)g^'+<"-= 06.^63,
est fort belle, et c'est également un excellent résultat que d'avoir
rattaché à la théorie des fonctions elliptiques le théorème si remar-
quable découvert par M. Liouville. Mais je ne puis en rien
satisfaire à votre demande relativement aux quantités '^n-q'^^] j'ai
remarqué seulement que l'on a
Sn2^"'^=03(ry)^^^-^^^^ (a = i, 3, 5, . . .),
S2aVyT=0,(ry)[,-t-82^7ip^,] (^='^,4,6, ...).
Veuillez, Monsieur, m'excuser de ne vous rien dire sur la
fonction '/{n), mon travail arithmétique ajant été interrompu par
les circonstances qui m'ont appelé dans ma famille de Lorraine,
mais vous ne perdrez rien, j'espère, pour attendre un peu. En vous
priant de vouloir bien me faire savoir s'il vous convient que
la partie essentielle de vos deux lettres soit publiée dans les
Comptes j'endiis, comme les précédentes, je vous renouvelle,
LETTRE 35, 63
Monsieur, avec l'expression de ma plus hauLe estime pour votre
beau talent, l'assurance de mes sentiments bien dévoués.
MONJ
35. — STIELTJES A II ERMITE.
Leyde, 2^ novembre i883
Comme les remarques suivantes concernent encore l'appli-
cation de la théorie des fonctions elliptiques à la théorie des
nombres, j'espère que vous voudrez bien les considérer avec indul-
gence.
En premier lieu, je trouve, par un calcul qui n'offre point de
difficulté,
(1) 2^^ ' ~ <P(^'— 2^-,) q^'^^y _3
(37,7 = 0, =tT,±2, ±3, ±4, ...)
ou bien
Mais on a :
e(5r2)62(5r2) 03(^2) =,22] (-1) ^ sq-^ (>• = . , 3, 5, 7, 9, . . . ),
4_2F(4n + 2)^"^2=6;(5')(e3)5r;
0
donc
i — 1 £; "" 1
(2) 22(_i)~F-5^22F(4n + 2)r^"^2
0
= 22*~ 0^(^^-272) q^+^y\
On en tire ce théorème, dans lequel N désigne un nombre entier
(positif) quelconque :
(3) ^^(-O 2'sF(4N-252) = (-r) ^ ^^Î^'-'^J-)
(5 = 1, 3,5, 7, ...),
la sommation, dans le second membre, ayant rapport à toutes les
solutions de
N = 3724-272, 07,7 = 0, ±1, ±2, ±3, ...;
64 CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.
le second membre étant égal à zéro s'il n'existe point de représen-
tation de N par x- -\- 2y'-. Par exemple,
NiN-l)
N=9.5, 25 =(±5)2+ '2.02; (— i) 2 ^(.r-2— ■ij^) = 2.15,
2[F(98) — 3F(8'i)M-5F(5o) — 7F(2)] = o.{9 — 3.44- 5.7 — 7.0 = 2.25.
N = 26, pas de représentation par x--h 2j'2,
F(io2i — 3F(86)-^5F(54)- 7F(6) = 4 — 3.10 + 5.8 — 7.2 =0.
N = 27, 27 = (±3)-2+2(d=3)2 =i±5)2 + 2(±r)2;
(— I) ^ 2(072 — 272) =_ 4 [9 _ 18 -4- 25 — 2] = — 56,
2[F(io6) — 3F(90) + 5F(58) — 7F(io)]
= 2 ( 6 — 3 . 1 o + 5 . 2 — 7 . 2 ) — 2 ( — 28 ) = — 56.
J'avais d'abord obtenu la relation (3) par des considérations
arithmétiques; c'est en réfléchissant sur cette formule que j'ai eu
l'idée d'inlroduire ces séries 'En'-q'^^. Voici encore une autre for-
mule du même genre :
X— 1 '■'' — 1 , TV 0 < N + 5
Neee3 (^mod8), ■2y{ — \}-^'^~^sVl^—^]=( — i) » 2^{x'-—iy^)
(5 = I, 3, 5, 7, ...),
la sommation, dans le second membre, ayant rapport à toutes les
solutions de N = .r-+ ajK", x et y étant positifs et impairs.
Par exemple,
>>' = 99. 99 = r- -4- 2.72= j2_i_ 2.52=, 92_j_ 2.32;
donc
N-t-S
(—1) 8 S(0'2— 2_^K-j = — ( I — 98 + 49 — 30 -<- 81 — 18) =-+- 35,
2F(49)-+-6F(45)-ioF(37) — i4F(25) + i8F(9)
(1 S ^
= 2--t-6.6 — 10.2 — i4- — f-i8. - = n-!-36 — 20 — 35 + 45 = + 35.
2 22
Le second membre devient o quand il n'y a point de solution
de N = X- -j- 2y'-. Par exemple, N = 35, pas de solution
I' ( 1 7 I + 3 F ( I ■) ) — 5 F ( 5 ) = 4 -r- 3.2 — 5.2 = 0.
Ce théorème est une conséquence du développement en série que
voici :
LETTRE 35.
OÙ il faut attribuer à x el y sevilement les valeurs i, 3, 5, n.
En efl'et, on a
o(\/^)o.>(vA})o,(\/ry) = 2:s(-i) 2 ,,,yi
et
^Wq) (ijy^) (hUj ) = (i-'( cj )i)i( q).
Maintenant, j'observe que la formule de M. Rronecker,
" 1
i /, F ( 4 /i -+- u '7 '' = d-, ( q ) 9fj ( q ).
donne, à cause de
°° 1
65
iV F(8« ^-5)/""^^= ^■i(q)^{q-'
donc
>^ F(8« — \) q "^ '• — \ F('8/i H- j ) ^'"^ '* = ^'iiq) 62(^ ).
0 0
\ l'aide de ces formules, nous aurons
V F(8/t - l)q'"' ' — '^ F(8/i -- f})q
( - I ) - .s-^ •
.^2]i-^-- — ■'X-)^y
La comparaison des développements des deux nombres donne
notre formule
(4 )
■'"£
N ci^ 3 ( modS j,
— Il- " sv[ ) = (—!) " 7 (■^■-— -•2J'--)
.f = I , J , > ,
\ --= a;2-f- lyi, x,y r-: ,, :j, -,, ;. . . . ).
Comme vous le voyez, ces deux formules se met lent à côté de celle
donnée par M. Liouville i .Journal de M allié m. ^ 'i'' série, I. \1\ .
66 CORRESPONDANCE d'hERMITE El DE STIELTJES.
année iSGy ; p. i ).
A- 1
(5) N = i(mod'2), V(— i)~^^F(4N — 52)=V(.r2— y2)
(s = i, 3,5,7, N=x^--hy\ a; = i, 3, 5, 7, . . .,
j = 0, ±2, ±4,±6, ...).
Dans la formule (3j les arguments des fonctions F sont de la
forme 4^'+ 2; dans la formule (4) ces arguments sont de la
forme 4 ^- + i ; enfin, dans (5) ils sont de la forme 8A'H- o. Dans
tout ce qui précède, F(/î) désigne le nombre des classes du déter-
minant — n pour lesquelles un au moins des coefficients extrêmes
est pair. Seulement si n est un carré impair [ce qui peut seulement
arriver dans la formule (4)] il faut retrancher ^ du nombre de ces
classes.
Dans la démonstration à l'aide de la théorie des fonctions ellip-
tiques de la formule donnée par M. Liouville, j'ai fait usage de
cette formule :
8K3
iG
= iG<7
n impair.
"y (— I )'>cf'
= [6 7[(i — q* ) {\
Il ri^'i^ — 2«
= \(S^2^[s^-l'^)q-''-+''-= iG^/,/^
)q"
8K3
/( 71) = '^(s-'^— t-), n = s'--h r^
( A- = i, j, j, . . . ; ^ = o, d= 2, ± 4, . . .),
k'-^I' = i6(q — G^-'-^9^5-^io7i3_3o^i7_)_ij^2o
-+- 42^-5 — 70 ^^'^ -h 187^'— 54 '7** 4- 49?''^ + (jOfySS, , _)
ou bien, par le changement de q en rf,
---- AA' = fi 2^ fis)q^ s = I , o , 5,
J'ai observé que cette fonction arithmétique f{s) jouit de celte
propriété
Par exemple.
/( m )/( n } = /( mn ).
/(■3)/(9) =-6.9=-54 =/(45),
LETTRE 35. 67
m el n étant premiers entre eux. Soit maintenant q un nombre
premier de la forme /\k -{- ^, on aura
/( y2«+i ) =: o, /(.q-" ) = q''" .
En désignant par p un nombre premier de la forme 4^' H- ', ou
pourra calculer les valeurs successives de
à l'aide de la relation
mais il faut déjà connaître /(p) = ^(a- — b-), p = a- -\- ù'^ ,
a impair.
Mais la valeur générale de /(p" ) se met sous une forme élégante
en introduisant les facteurs complexes de p. Soit
vy = a -h bi, w =^ a — bi, p = mm',
on a
fip) =m^-{-m'- —(m'* — m"*)Um^ — rrs'-i )■
/( /?2 ) z= ra^ -f- m-m'-^ m''' =(m^ — rn'^ ):{ m- — m'- ),
f{p^) = 715^-1- m'*m''^-\- m'^'m"* -\- m'^ ={m^ — m'^):{m- — m'- i.
, . . /., ,. sin(2A- -I- 2 ) a sinfa/: -f- '2)7. ,
m = /•( cosa + t sina ), f ( pi^ ) = ^-^ /-^a — :^ pi,
sinaa suaaa '
Celte fonction arithmétique présente donc une certaine analogie
avec la fonction ù[n) que M. Kronecker a introduite dans son
Mémoire dans les Comptes rendus de V Académie de Berlin
(avril 18^5)011 l'on trouve ces formules :
En posant de toutes les manières
n^X'-^y"^, r = I, 3, 5, 7, . . ., a? = o, ± 1, ifc 2, rb 3, . . . ,
on a
y-'
£2(rt) = S(— i) ' y [on suppose rt = I ou /i = 2(inod4)].
Veuillez bien excuser la longueur de cette lettre; mais je croyais
68 COURESPONDANCE D'HERMITE ET DE STIELTJES.
devoir VOUS indiquer comment on peut arriver à ces relations (3),
(4), (5).
Grojez-moi toujours votre entièrement dévoué.
Mo]
36. — STIELTJES A H ERMITE.
Leyde, 3o novembre i883.
Vous poussez votre bonté trop loin en m'offrantde faire paraître
dans les Comptes rendus la partie essentielle de mes lettres
du 24 et du 20 novembre. En effet, il ne m'est jamais venu dans
l'esprit que ma correspondance vous causerait de la peine de celte
façon et j'espère vous pouvoir donner bientôt une Note contenant
la démonstration du théorème de M. Liouville, à laquelle je crois
pouvoir joindre les deux théorèmes que j'ai obtenus. — Je dois
vous avouer que je ne suis pas bien content des calculs à l'aide
desquels j'ai démontré en partie ces théorèmes (A), (B). (G) de
ma lettre du 24 novembre et que j'espère trouver un autre chemin
(pii mènera d'une manière plus complète au but. Si je ne joins pas
ici la Note svir le théorème de M. Liouville, c'est qu'une indisposi-
tion m'oblige de m'abstenir de tout travail; — vous voudrez bien
m'excuser aussi, dans ces circonstances, de vous écrire une lettre
où il n'entre pas d'arithmétique et de vous remercier simplement
|)Our la communication des formules contenues dans votre dernière
lettre.
Crojez-moi toujours, avec le plus profond respect, votre très
dévoué.
37. — STIELTJES A IIERMITE.
Leyde, 8 décembre 1880.
Monsieur,
Je vous prie de vouloir bien présentera l'Académie la Note ci-
jointe ( ' ). L'espace m'a manqué pour indiquer comment la théorie
des fonctions elliptiques conduit à ces formules; mais il n'y aura
pas d'inconvenance, je l'espère, si je doiiu*; la démonslraliou du
(' ) 5a/' un théorème de Liouville. Noie de M. Slielljes, présentée par M. ller-
niile {Comptes rendus, 10 décembre i883).
LIiTTUE 37. 69
théorème de M. Liouville dans une autre Note. Je pourrai alors
encore indiquer les formules qui donnent les trois autres
théorèmes.
J'ai été, d'abord, un peu efïVayé des calculs que demandait la
vérification du théorème IV. Posons
1 . •«-
Ji=^(—i)'-sq'x^F(8n^5)q « (s = i, 3. 5, 7, . . .).
0
Le théorème IV fait voir que dans le développement
^^= aiq ■+- a>q--h a^cj^ -+- aiq'*-i- . . .
la partie paire
«2 q^ + «i q'*^ Ctf, q^ -^ . . .
est égale à
V V(a72 — 3r5)72(<'-i-3.i5) (r, j = o, ± i, ±2, ±3 ) (j7+jk impair)
ou bien qu'on a
y H- j"
4^ étant ce que devient t^par le changement de ^ en — q.
Or, je trouve
_ 1 K^ ., ,g sina| / K 2 K ~
3/3tt3 ' ' sinaf \cl\
d'où
ai = ain -77 ' ^2 = ^"" "T"
_ _ uK' ., sin ni
3^/3-3 .inafA::,
Après quelques réductions on obtient
■C + -C' K-u-^ . . „
-^^ -^- = — — — s in ai cosai sinar, .
C'est la même valeur que je trouve pom^
J'ai calculé d'abord la somme
^^(JT- — 3j'-)<^'^' + 3j2 (toujours x~y impair)
y"
qui s'exprime par
CORRESPONDANCE D nEHMITE ET DE STIIÎLTJES.
/\K^k^ sinaîcosaf
■.^3^3 sina.
Le changement de g en q- donne la valeur déjà écrite de
22(^'-37^-)^^""'""'-"^' =
r -^i"
Pour avoir la somme
j'ai pris comme point de départ les sommations des séries
où j'ai remplacé q par q^, etc. Les fonctions de seconde espèce
sont éliminées dans le résultat, mais elles entraînent bien des lon-
gueurs dans le calcul qui, par là, a seulement le caractère d'une
vérification. Mais, d'autre part, les démonstrations arithmétiques
demandent aussi quelques développements. Le théorème III a été
obtenu seulement en suivant la voie que je vous ai indiquée; je
n'en ai pas encore une démonstration arithmétique comme des
autres théorèmes.
Agréez, Monsieur, l'assurance des sentiments respectueux de
votre serviteur dévoué.
38. — STIELTJES A HERMITE.
Leyde, i4 décembre i883.
Monsieur,
Je prends la liberté de vous adresser en même temps la suite de
ma Note sur le théorème de M. Liouville ( ' ). J'y ai ajouté encore
trois théorèmes du même genre. Vous avez bien remarqué que dans
(') Sur un théorème de M. Liouville. Note de M. Stieltjes, présentée par
M. Ilermile {Comptes rendus, 17 décembre i883).
LETTRE 39. T^I
toutes les relations de ce genre qvie j'ai rencontrées il n'entre point
des valeurs de F(8A-h7)- J^ ^^^ propose de tâcher de combler
cette lacune et j'ai quelque espérance de réussir, mais je dois
encore ajourner un peu cette recherche parce que ma santé ne
me permet pas encore de m'appliquer trop à ces études. Certaine-
ment, si elle réussit, la démonstration analytique sera un peu plus
difficile parce que la fonction génératrice
ou bien
que vous avez donnée, est d'une nature plus compliquée que dans
les aTitres cas.
Agréez, Monsieur, l'assurance des sentiments respectueux de
votre serviteur dévoué.
39 — Il ERMITE A STIELTJES.
Paris, i5 décembre i883.
Monsieur,
Votre Note sur un théorème de Liouville a été présentée à la
séance de l'Académie de lundi dernier et paraîtra dans les Comptes
rendus de cette séance. Je me rends compte, par les indications
contenues dans votre dernière lettre, des difficultés qu'il vous a
fallu surmonter, et aussi de la joie que vous avez dû éprouver en
voyant les fonctions de seconde espèce disparaître dans le calcul
de la somme S2(^- — ?>y')q^°"^^''"\ Vous aurez certainement donné
le premier exemple de l'emploi, pour l'arithmétique, de la transfor-
mation du troisième ordre, et je suis bien sûr que M. Kroneckcr
et d'autres s'intéresseront vivement à vos résultats. En tout cas,
vous travaillez avec une telle activité que je ne puis vous suivre
que de loin. J'en suis encore aux formules (A), (B), (C) de M. Kro-
neckcr qui ont été mentionnées dans votre lettre du :î4 novembre
et qui m'ont rappelé, en réveillant d'anciens souvenirs, une
recherche à laquelle je suis revenu. M. Lipscliitz, avec qui je suis
depiiis longtemps lié, m'y a encouragé, et, en me bornant à la pre-
72 CORRESPONDANCE D HERMITE ET DE STIELTJES.
mière (p. ^.aç) des MonalsbericJite) voici mon procédé de démon-
sl ration :
Je remarque d'abord que, pour un délerminaiil
AG — B2££E9. (mod4),
toutes l€s formes, et en particulier les formes réduites, peuvent se
répartir en trois catégories, représentées de celte manière :
(a, a', rt"), («, b, ■>.a'), (art, b, a'),
OÙ a, a', a" sont des nombres impairs et b un nombre pair. Ceci
posé, excluons les formes ambiguës, qui, dans le cas actuel, sont
toutes données en supposant b ^= o; supposons de plus le coefficient
mojen positif; il est clair qu'il suffira de changer b en ^ b pour
obtenir la totalité des formes réduites non ambiguës. Maintenant,
je ramène ces formes à Jin seul type, le premier, représenté par
(a, a', a"); mais, au lieu de limiter le coefficient moyen par la
condition 'la! <^ a, j'admettrai qu'il reçoive la série des valeurs
«'—I, 3, 5, . . ., a — 2.
Considérez, en effet, les réduites («, è, 2a'); elles deviennent
par la substitution a: = X + Y, y ■=^ — ^', au déterminant — i :
(«, a — 6, a -\- ia! — ib) et rentrent par conséquent dans le pre-
mier type, le coefficient a — b ayant pour limite supérieure a — a,
et le coefficient a + a a' — ib étant supérieur à a d'après la con-
dition ib <Cia' .
Envisagez, en second lieu, les réduites représentées par
(aa, b, a'); elles sont improprement équivalentes à (<ï', b, 2«)et
ces dernières formes sont elles-mêmes, comme nous venons de
voir, improprement équivalentes à (a', a' — b, r//+2rt — o,b).
Or, on retrouve encore par le coefficient a' — b la limite supé-
rieure a' — 2 et la condition a'-i-^a — '2b^a'. De là je conclus
que les formes réduites de ces deux types (a, b, 2fl'), (aa, b, a')
sont équivalentes, les premières improprement, et les secondes
proprement, aux formes (a, a', a") dans lesquelles nous suppo-
sons «'=[, 3, 5, ..., a — 2 et d' ^ a! . Ces dernières formes
peuvent donc être employées à représenter la totalité des classes
non ambiguës, en leur joignant celles qui n'en diffèrent que par
le signe du coefficient moyen : {a, — «', «"V
LETTRE 39. 7.3
Ce point établi, je fais le produit des séries suivantes :
^'•^'TW-^S-'t^T^ («=.,3,-,...,
H
r
sin.r
(«'=3,5,7,...!.
J'intègre ensuite entre les limites zéro et - • Si l'on remarque
que l'on a
/*2 sinax , t:
/ —. dx = - :
J ?<\nx 1
on trouve ainsi
cr n' n 11"''
V"i
f),=
jLd 1 — C/'< ^ l
q" ^ 1 — 7«
où d' passe par la suite des valeurs
a" = I, 3, 5, . . . , a — 2.
Développons maintenant le second membre suivant les puis-
sances croissantes de q et il viendra immédiatement
r/ai =
na n- ini
a" prenant, comme a, les valeurs impaires i, 3, 5, ....
Des deux séries auxquelles nous sommes ainsi amenés la pre-
mière est évidemment
2^4?(Njg'2 (N=:i,3, 5, ...).
Soit ensuite
«2-1- 2 «a' — a"2 = 2 N ,
il est clair que 2N est le déterminant changé de signe de la forme
(a, a", a + 2a'). Sous la condition relative à a" , cette expression,
comme nous l'avons vu, fournit la moitié du nombre des classes
74 CORRESPONDANCE d'hERMITE KT DE STIELTJES.
non ambiguës: d'ailleurs, le nombre des classes ambiguës est pré-
cisémenl '^(Nj, comme Gauss l'a établi; désignant donc par F(2N)
le nombre total des classes de formes quadratiques de déter-
minant — 2N, on trouve le beau résultat de M. Kronecker
et l'on obtient pareillement les équations (13) et ( C i de l'illustre
géomètre. Ma dernière lettre (^) contient une erreur qui tient à ce
que j'ai écrit 83 au lieu de B, et ma formule obtient par là une
autre signification que celle que j'ai indiquée; une autre fois j'y
reviendrai. Tous mes vœux, Monsieur, pour le succès de votre
travail et la nouvelle assurance de ma plus haute estime et de mes
sentiments bien dévoués.
40. — HE EMIT E A STIELTJES.
Paris, 3o décembre i883.
Monsieur,
Vos propositions concernant les fonctions que vous nommez
A(/2) et B(«) me semblent extrêmement belles, et j'étais bienloin
de m'attendre que ma relation (a) pût avoir d'aussi imjjortantes
conséquences. Je ne puis pas garder pour moi seul les beaux théo-
rèmes contenus dans les équations (5) et j'en donnerai communi-
cation à l'Académie, pour qu'ils paraissent dans les Comptes
rendus (-), étant bien certain qu'ils seront accueillis avec l'intérêt
qu'ils m'ont inspiré. Je supprimerai toutefois la fin de votre lettre,
non parce qu'elle ne serait pas assez intéressante, mais uniquement
pour ne point dépasser l'étendue réglementaire des Commu-
nications insérées dans les Comptes rendus par les auteurs qui
(') Il s'agit probablement de la lettre 34, mais nous ne voyons pas à quelle
erreur M. Hermile fait allusion, ni quelle est la signification qui a été indiquée.
(^) Les Comptes rendus du 3i décembre i883 contiennent une Note de
Stielijes, extrait d'une lettre adressée à M. Hermite : Sur le nombre de décom-
positions d'un entier en cinq carrés. La lettre dont il est question ici nous
manque. Il y a lieu de signaler que la table du Volume des Comptes rendus, par
noms d'auteurs, ne mentionne pas cette Note.
LETTRE hO. 75
n'appartiennent pas à l'Académie. Un jour viendra j'espère, et mon
confrère M. Tisserand a eu la même pensée que moi, où vous aurez
droit à un nombre de pages moins restreint, et alors je me félicite-
rai pleinement de vous avoir engagé plus complètement que vous ne
l'étiez dans la voie arithmétique. Mais ménagez, Monsieur, votre
santé; je n'étais point sans un peu d'inquiétude en apprenant de vous,
précédemment, que le travail vous avait été défendu ; je me rappelle
ce qui m'est arrivé à moi-même lorsque je me suis occupé de l'in-
variant du 18" ordre des formes binaires du 5^ degré qui était alors
le premier exemple d'un invariant gauche, et je m'autoriserai de
mon expérience pour vous mettre en garde contre l'excès du tra-
vail. Votre intention doit être de réunir et de coordonner les nom-
breux résultats auxquels vous êtes parvenu et ceux que vous décou-
vrirez encore. Je me permettrai, s'il en est ainsi, de vous recom-
mander, pour les publier, le journal de Stockholm, Acta mathe-
matica. L'éditeur, M. Mittag-Leffler, fera à vos recherches un
bon et cordial accueil : c'est dans son journal que paraîtra une
seconde fois, à cavise de sa publicité plus étendue, un article que
j'ai adressé au Bulletin de V Académie des Sciences de Saint-
Pétersbourg, à la demande de M. Bouniakowskj et qui contiendra
les démonstrations des équations (A), (B), (C) avec quelques
remarques ( ' ). Je compte faire suivre cet article de plusieurs autres
sur les points que je vous ai communiqués, suivant la possibilité
que j'aurai de travailler, et ce me sera extrêmement agréable d'être
réuni dans ce Recueil avec vous et M. Lipschitz.
Veuillez, Monsieur, pour la nouvelle année, recevoir mes vœux
bien sincères pour le succès de vos travaux et pour votre bonheur,
et croire à tous mes sentiments de sympathie et de haute estime.
( ' ) Le Mémoire dont parle M. Hermite est, en effet, inséré au Tome V des Acta
matheniatica, p. 297-380, sous le titre : Sur quelques conséquences arithmé-
tiques des formules de la théorie des fonctions elliptiques.
76 CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.
41. — STIELTJES A H ERMITE.
Leyde, '\ janvier iSS/j.
Monsieur,
J'avais bien remarqué que la première de vos deux formules
= ( 1-4- ■:>.q-^iq'* -^i(f
I 9 2J
(h) (j''^{)q''^i'>q'* -^
1 9 23
= (q'*-^q*-^q'* -
q _ 7' ^ q"
ii-^q)- i\—q*y- (i-hq'n-
[ (1-4- 5?2)2~^ (, _|_ ^i)2 • (,_g,li)2 •■■]
suffit pour établir la plupart des relations entre A(/î) et B(ai) que
jai rencontrées; mais il n'est pas possible de les établir toutes de
cette façon. En réfléchissant sur cet objet, j'ai éprouvé une vive
satisfaction en voyant que les deux formules («) et [b) ensemble
contiennent en effet, en germe, toutes ces relations. L'intérêt que
vous avez bien voulu monti^er pour ces relations me fait espérer
qu'il me sera permis d'entrer là-dessus dans quelques détails. En
désignant par J(/i) la somme de ces diviseurs de n qui sont divi-
sibles par la même (plus haute) puissance de 2 que n, par g(n) la
somme des diviseurs impairs diminuée de la somme des diviseurs
pairs, on a :
(f^q)^ {\-^q^f (i-f-^M^
= V (— !)"-'/( n)q".
1
(^ -^ q )' ( ' -I- (j }
= I -^S^giiDq"-".
1
Pour plus grande conformité, faisons
/(o) = o,
LETTRE ki.
alors les deux séries seront
oc 00
0 0
el vos deux formules donnent ces relations
77
(Jl) /{11} — if {H — \-^)
-+- a/( n — '2- 1 — xfi II — 3'' )
o ou =( — ij"-i/i,
8
Ai ^s I ( inodH ).
= o, ou = n ;
la seconde valeur a lieu seulement quand n est un carré.
Ces deux relations donnent, en eflet, toutes les formules de ma
lettre précédente. Soit, comme autrefois, o(/^) la somme des di\i-
seurs impairs de n et supposons n := 9.^ m, m étant impaii'. Ou u
évidemment
f(n) — f{ ■2'''" m ) — -i'' o I m ] = ■!''/{ ni ),
gin) = g{i'^ ni) ={\ — -2 — 2- — . . .— 'x'' ) o( m ) =(3 — a''^' i ç-i ni i,
cp ( n ) = <& { 2^' »i ) = ç ( ni ),
d'où
(ij 2/(/i) -f- ^(ni = 3cp(rt ),
et si nous prenons, comme autrefois, csfo) =—. celte reUilion
reste encore vraie pour // = u.
Rappelons maintenant les définitions de A(/?), B( /? :
A ( n ) = 'f ( "• ) -+- 2 9 ( « — -i- ) - - ■i':j( n ~ \- ) ~T . . .
B ( /i ) = cp ( /i — I - ) -(- G ( /t — 32)-^...
et ])Osons, de plus,
A' ( n ) = J\ n ) H- 2/( n — -x- ) — ■>./[ n — \- ) + . . .
B' { n ) =/{n — \-) -+-/( n — 3- ) -h. . .
/i = I (m
[ B"(/( ) = o (jii /( J,
on a évidemment
( A(4/i) =^ A(/t)^ 2B(/n,
^^^ / A'(4/j,) = 4A'(/ij-r-8B'(//
^8 CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJHS.
Je vais maintenant déduire les formules i-elallves au cas où l'ar-
gument n est de la forme 4*"^ f^ == i (modS).
Posons d'abord n = m dans (oAd) et (ii'o). La première qui s'éciil
A'( rt ) — 5>B'(«) = o ou ( — i)"-'/i
donne, n étant impair et par conséquent A'(«) = A(/i),
(3) A(/n) — •2B'(/H) = o ou -^ m.
Mais on a évidemment
el la formule (iH») donne
/» — 3-'
B" ( m ) = %
= o ou
Donc, à cause de (i),
2B'("' ) H- B"( /?( ) — i\ Bi /?? ).
En retranchant donc W {m) des deux membres de (3). le second
membre devient loniours égal à zéro, et nous trouvons :
A( m ) = ai B( /?n, m s^ i (inodS).
Une application réitérée de
A'(4/î ) = 4A'(/? ) + 8B'(rt)
donne
A'(4/'w) = 4 /''A' (m)
+ 2[4/^-B'(7n) + 4^-iB'(4m) + . . .h- 4B'( 4^-1 m ij (/c^i).
D'après (Jl.) et (i(l)), le premier membre est égal à
•2B'(4^m) — 4^"B"(m).
En ajoutant donc des deux côtés 4''B"(/?î) et observant que
2B'(7?i) + B"(/n) = 24B(m),
k'{m) = A(m) = 24B(m),
on obi icnt :
B'( 4/'/» ) = 4/'. 24 B(/n) 4- [4*-iB'(4w i-f-. . .-+- 4B'( 4/f-i/// ) |
LETTRE 'il. 79
OU bien, parce que pour n pair B'(/? ) = B(//).
B(4w ) — \,i^ Bim ).
B(42wj = 42.'?.4B(m)-t-4B(4m),
B(43m) = 4^.24 B(m)-î-42B(4/?i)-+-4B(42w),
6(4* w ) = 4*.24 B(/n) + 43B(4m)-h 42B(42w ) -^^B(^^rn),
Donc
B(4w) =:96B(/n),
B(42wj= 8B(4m),
B(437n)= 8B(42m),
B( \'*in) = 8B(4»/«).
et ces relations jointes à A(4/^) =-= -^('') + 2B(/^) donnent immé-
diatement les formules que j'ai données pour le cas d'un argument
de la forme 4^m, m^i (modS). Les autres cas peuvent être
traités d'une manière analogue; mais alors la relation (.A,) suffit et
il n'est pas nécessaire de connaître cette seconde relation (itî)).
Mais voici, Monsieur, une nouvelle propriété de celte fonc-
tion B(/i) qui entraîne immédiatement une propriété semblable
de la fonction ^(n).
SoityO un nombre premier impair, n un nombre quelconque non
divisible par p^. Alors :
OÙ ^ - 1 est le symbole de Legendre et où il faut prendre ( —
lorsque n est divisible par/?. Le facteur de B(A^) est
pZ/, _;_ p3k-3 _(_ y^3/.-6 _^_ _ . , _j_ , | _ \ p( pZk-Z _|_ p3k-& _;_ _ . ^ _,_
i3Am-3 I / n\ n3A' — j
PI />"— 1
Mais je n'ai pu établir cette formule que très péniblement pour le
cas de k = i seulement, et il faudra trouver une autre méthode pour
traiter le cas génér^al. Vous trouverez donc, peut-être, que je suis
trop hardi à donner déjà la formule générale; mais quelques ana-
logies m'ont guidé et, ayant confirmé cette relation dans plusieurs
cas, A' étant égal à 2, 3, 4. • • ., j'ai une entière confiance dans l'exac-
titude de cette relation.
8o CORRESPONDANCK d'hERMITE ET DE STIELTJES.
Comme une conséquence, voici, par exemple, la valeur expli-
cite de ^{n), n étant un carré,
S^+i _ ,
cî ( 22^7)2=' 5r2p/-2Y.. .) r^ [O PQR...,
7
P = p3a_p3a--2_^y,3a-3_^3a -5_;_. . .-4- [,
n étant un carré très grand, on a donc sensiblement
^{ti) 8o ,„
— ^— =^ — •=11,43... ou lo.
7
"Z ' I n nair 1
I n impair)
(j'est un peu moindre que la valeur moyenne
Mais, Monsieur, permettez-moi cette demande : la réduction de
^(np-) à ^(n) ne se trouve-t-elle pas dans les Mémoires couronnés
|)ar l'Académie l'année passée : Sur la décomposition d'un
nombre en cinq carrés? En effet, dans le Mémoire de Dirichlet
([ui servira pour toujours comme exemple dans ces recherches, les
relations analogues ont été déduites des séries infinies qui servent
à exprimer le nombre des classes.
Sojez bien remercié. Monsieur, pour les bons vœux- que vous
avez exprimés à mon égard; certainement je vous souhaite le même
bonheur.
^'^otre très dévoué.
P. S. — J'ai remarqué une erreur dans le théorème ^ de ma
Note sur un théorème de M. Liouville : l'expression exacte csl
rN = 5(mocl8), •2N = ^2^jk2,
(') T^'expression donnée dans les Comptes rendus, l. \CVII, p. i4i5,ctuit
^--7') (
)
i 1110(1
i(> )
b
8^] (- . ; '^ ^- 1'- Cl N - 2 5= ; =^ ( X"- ~ y- )
0 inodS , 2N = x--hy\ ^ ■' )
y^ ^ 1 { mod ^ )
LETTRE 42. 81
42. — IIERMITE A STŒLTJES.
Pai'is, i4 janvier 1884.
MoNSIEUU,
J'étais tout occupé de votre lettre du 4 janvier et des beaux résul-
tats qu'elle contient, lorsque j'ai été frappé d'un nouveau malheur
de famille. Ma belle-mère, après une courte maladie, nous a été
enlevée à l'âge de 85 ans et j'ai dû quitter Paris pour me rendre à
Bain-de-Bretagne assistera ses obsèques. Je m'empresse, Monsieur,
dès mon retour, de vous exprimer mon intérêt le plus vif pour
votre analyse extrêmement ingénieuse concernant les fonc-
tions A(/i) et B(/i) et aussi pour vous dire que je me proposais
d'appeler votre attention sur la fonction F(/i) de M. Ki'onecker
lorsque m'est parvenue votre carte postale du 6 janvier ( ' ) et le
beau théorème contenu dans l'équation
F(/ip2) = [(/j^M- />/'-« -f-...)— l — -\ (^^-i-t-/J^-2-f-..,)|
F(/0.
L'introduction du symbole de Legendre a la plus grande impor-
tance à mes yeux; c'est un point qui vous appartient absolument,
et je ne vois aucunement de quelle manière vous y parvenez. En
attendant de connaître la méthode qui vous y a conduit, je réponds
autant que possible à votre demande i^elative aux Mémoires cou-
ronnés par l'Académie, sur la décomposition d'un nombre en cinq
carrés, en vous indiquant deux articles de M. Smith publiés dans
les Volumes XIII et XVI des Proceedings of the Royal Society
intitulés : On the orders and gênera of quadratics fornis, contai-
ning more than tliree indeter minâtes, qui sont le fondement du
Mémoire adressé à l'Académie. La comparaison entre les nombres
de décomposition en cinq carrés, pour les entiers n et A"*w, nous
y a paru implicitement contenue. Son travail et celui de M. Min-
kowski sont livrés à l'impression et par conséquent ne tarderont
pas à paraître (-).
(') Cette carte postale manque dans le Recueil des lettres.
(2) Les deux Mémoires de M. S. Smith et de M. Minkowski ont paru dans le
Tome XXIX de la 2" série des Mémoires des Savants étrangers (1887).
6
82 CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.
Veuillez, Monsieur, recevoir la nouvelle assurance de ma plus
haute estime et de mes sentiments dévoués.
43. — STIELTJES A H ERMITE.
Leyde, i5 janvier i88^.
Monsieur,
Je vous ai communiqué, il j a quelque temps, les sommes de
ces séries
VFfn — 8/-2) (/• = o, ± i,d=9., ...)
Vf(«— is^) f.v = 1,3,5, ...)
en supposant, dans la première, /i^i,3, 5, dans la seconde,
/i ^ 3, 5, 'j (modS). J'ai enfin réussi à combler la lacune qui se
montre ici, et à sommer la première série encore dans le cas n ^ 7,
la seconde, dans le cas n ^ i (modS).
Je vais rapporter les formules générales qui supposent seulement
que n est impair. Prenons toujours F(/i) dans le sens de M. Kro-
necker [en sorte c^xC on di sans exception F(4/i)= 2F(/i)] et posons
de plus
(J/(«)=V(_i) 8 d (ddt = n),
la sommation ajanl rapport à toutes les solutions de
X étant positif, y positif, nul ou négatif, mais inférieur en valeur
absolue à -.r (ou, ce qui revient aii même, 2y-<</î, ou encore
:r--< 3 /r). S'il n'y a pas de relation de cette (façon) sorte, il faut
prendre 7(^) = o; c'est ce qui a \\v\\ loujours quand n est ^^ 3 ou
= 5 (modS), mais encore en d'autres cas. (^cla posé, on a les rela-
tions suivantes :
n — \
( .1, ) 'xS (— 1 )'F ( n — •>. 7-2 ) =: (— I ) ^ •/ C /? ) ( « = o. d= I , ± 'i, . . . )
LETTRE 43. 83
Considérons encore les solutions de /? = jr- — ajK" ; mais, cette
fois, prenons y positif, x positif ou négatif et d'ailleurs, comme
précédemment, en valeur absolue, j)^- <; - et posons
Alors on a les deux formules suivantes dans lesquelles n est Loujours
impair,
(8) 2^_,)rF(2n- -.A/-^) = y_(n)_/_,(/i),
(CD) ^¥{-2,1 - r^- ) ^- '2'!^in)-y(n) ^ yj(n).
L'intérêt principal de ces nouvelles relations me paraît consister
dans l'introduction de ces fonctions '/{n),'/{ (n) qui dépendent delà
représentation de n par la forme d'un déterminant positif x- — •s.y-
avec cette limitation aval. abs. y<^val. abs. x. Il me semble
en effet que cette circonstance sera la source de très grandes diffi-
cultés si l'on (voudra) veut entreprendre de retrouver ces formules
par l'analyse des fonctions elliptiques ou, du moins, par des déve-
loppements analogues. Je ne crois |)as qu'on ait jamais vu s'intro-
duire, dans ces calculs, des formes d'un déterminant positif tel
que x- — aj'-.
Comme un exemple plus simple, j'ai, maintes fois, lâché, mais
toujours sans succès, de démontrer par l'analjse seule cette formule
11
,X'-2J'
9
ry3
1 — q*^
r — </!'* ' I
<!''
l — q-
_,^K,
X impair,
2.r > Zy -^o
qui exprime ce théorème connu que le nombre k des solutions de
n = .r^ — ■ly'^, n impair, x impair, ix^'iyl-o
est égal au nombre des diviseurs de n compris dans la forme 8/' ± i
moins (minus) le nombre des autres diviseurs 8rrt3. Et, avant
moi, ]M. Heine n'a pas été plus heureux, comme il le dit dans son
Traité des fonctions sphériques (a^ édition, t. I, p. 112).
84 CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.
En prenant successivement a' = i , 3, 5, . . ., on a
11"-
-2yi
- q'
2.r > 3_x = o
^q' (
I + <7-2-i
-i-q^Hi
+ ^-21
-\-g^Ui
+ ^-2.1
^-^8«(I
+ 5r-2.i
_1_ ^-2.4 _^ ^-2.9 _^. ^-2.16)
_(_^-2.V_j_ ^-2.9 _|_ ^-2.16 _^ ^-2.25)
Mais la condition 2^"^ '6j^ ^ o donne dans le second membre une loi
un peu compliquée. J'ai remarqué, toutefois, que cette expression
est susceptible d'une transformation élégante. En efTet, je trouve
que le nombre des solutions de n = x^ — 2 j'^, a: > ay ^ o est égal
à - ou à selon que A" est pair ou impair. On aura donc
^22 ^"'~''' ~22 ^"'~''' = ^' + 7' + 7" + • . •
X > ly ^o ix "^ 3 y^o
parce que A" est seulement impair quand n est un carré. Or on a
^>2/^0 -h q^ (1 + q---'^)
-t-<725(x_t-^-2.1^_^-2.4)
7"(l + 7-2-»+ (/-^-i-j-gr-î-»)
donc
VV«-'-^r' =
g,a--zj-_ ^.
2a">3jKèo -I- 7^'(i-t- 27-^'')
-+- q^{\ -f- 27— -■•'-1- 2(7-
+ 7(2" + Jl'(l -4- 27-2-1°-+ 2 <7-2-2'+ . . .-+-25--!"»).
Le second membre rappelle bien, de loin, les développements
que vous avez rencontrés dans vos recherches sur les théorèmes de
M. Rronecker; mais je n'ai pu prouver par l'anal jse l'égalité de
ce second membre à — - — H [-•••• Or il me semble que la
I — 7 ' — ■ q"
démonstration analytique des relations (JU), .... (ôD) sera difficile à
LETTRE i3. 85
plus forte raison et je ne (me) hasarderai pas à l'entreprendre après
mon insuccès dans la question plus simple dont je viens de parler,
La formule (<.l)) par exemple revient à celte identité
-+-• m
— » 0
= ^'
-H 5^25(, _ 2^-2.1 4_ 2^-2.4)
-^{■m -4-l)5r'2/2 + I)'(i _ 2^-2.1_t-2 5r-2.4-l-.. .-+- -^i— lyiq-ln^
-H
Je prévois déjà que les formules données par M. Liouville, dans
lesquelles la série des déterminants est — ■ (/i — 3/'2), ne forment que
les cas les plus simples ; pour avoir des formules plus générales il
faudra des fonctions analogues à y et qui dépendront des solutions
de n = x- — ?>y'^ et n^=z x--\- 3^2, J'espère aussi que je pourrai
maintenant compléter le système des relations données dans ma
Note sur le théorème de M. Liouville, et je me propose de pré-
senter alors ces formules à l'Académie.
On m'a offert, il y a quelques jours, un professorat d'Analyse
[Calcul différentiel et intégral) à l'Université de Groningue.
J'ai accepté cette offre et je crois que cette position me permettra
d'être plus utile. Je dois beaucoup, dans cette circonstance, à l'ex-
trême bienveillance de mon ancien chef M. Bakhuyzen, le direc
teur de l'observatoire. Un de ces jours, ma nomination définitive
arrivera. Mais vous comprendrez bien que ce changement entraine
pour moi des distractions qui m'éloigneront de l'étude dans les
premiers mois à venir.
Agréez, je vous prie, Monsieur, l'assurance des sentiments res
pectueux de votre serviteur dévoué.
P. S . — Je viens de recevoir votre lettre qui me fait une impres-
sion pénible en me portant la nouvelle du deuil de famille qui vient
de nouveau vous frapper.
Acceptez mes remercîments pour vos renseignements précieux
sur les Mémoires de M. Smith. Je me propose, dès que j'aurai
86 CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.
le loisii', et ce sera, j'espère, dans les vacances de l'été prochain,
de faire une étude sérieuse de ces théories. Peut-être aussi, alors,
les Mémoires couronnés par l'Académie auront paru. Je ne doute
point que la relation entre F (np^^)el F(/i), comme celles entre
F(/i.4*)et F(/i) ne soient (seront) contenues dans les résultats de
M. Smith et je me promets beaucoup de satisfaction à voir comme
cela découle de ses théories si belles et si importantes. Quant à la
formule
elle est une conséquence facile des résultats de Ganiss (Disc/. A rit h.,
art. 2o3-2o6) retrouvés et complétés plus tard par Dirichlet. La
recherche de (jauss est une application de sa théorie de la compo-
sition des formes quadratiques; ses résultats ont été démontrés
aussi d'une znanière très belle et très simple par M. Lipschitz(yo«/'«.
de Borch., t. LUI, p. •i^S-'Àog) qui se fonde sur l'étude des sub-
stitutions linéaires de déterminant/? qui transforment directement
une forme quadratique d'un déterminant n en une autre de déter-
minant np^.
Nommons H (/i) le nombre des classes proprement primitives
de déterminant — n; alors
(a) H(«/y^A)=. L/._(^:=_!!^y,-ij H(«);
seulement, lorsque /< = i , il faut prendre la moitié du second
membre;. Et, de plus,
si l'on prend pour d tous les diviseurs de n (jui sont des carrés
impairs. Seulement, lorsque n est un carré im])air, il faudra retran-
cher-1 du second membre. Mais, comme, dans ce cas, il y aura un
diviseur d = n, on voit que les deux formules (a) et ( [3) sont vraies
sans exception, si l'on convient seulement de prendre H(i) = - au
lieu de H(i) = i. En supposant maintenant que n n'est pas divi-
sible par yo-, vous trouverez sans difficulté que les équations (a)
et ([3) donnent ce théorème : ¥{np^'') = . . . etc. L'équation (a), du
reste, ne suppose point cette restriction que n doit être divisible
LETTRE kk.
par/)'-. En effet, l'équation (a) donne
87
i:"("r)K'"-(^)Hi:"(r;)=k-("i;^)H^-
de même
2 H
np^
["'-'-{'--)"'-'] ''('^^^
F{n),
et l'addition donne la formule voulue par une nouvelle application
de(^).
44. — H ERMITE A STIELTJES.
Paris, 28 février li
Monsieur,
Une élection qui doit se faire lundi prochain à l'Académie pour
remplacer M. Puiseux que nous avons eu le malheur de perdre
l'année dernière, au mois d'octobre, m'a imposé une lourde tâche
dont je viens seulement d'être délivré. En me consacrant aux tra-
vaux des autres, il m'a bien fallu renoncer aux miens, et j'ai quelque
peine maintenant, après une interruption de plusieurs semaines, à
ressaisir mes idées et à reprendre la trame de mes calculs. Je reviens
à l'Arithmétique en vous remerciant, Monsieur, de votre dernière
lettre et vous exprimant tous mes vœux pour que vous trouviez à
l'Université de Groningue une situation entièrement favorable et
qui vous permette de donner à la Science ce qu'elle attend de votre
beau talent. Vos recherches publiées dans les Comptes rendus ont
attiré l'attention, et je viens vous apprendre que vous avez un
émule digne de vous dans M. Hurwitz, privat-docent à l'Université
de Gottingue. Son nom ne doit point vous être inconnu si vous
lisez les Malhematisclie Annalen où il a publié récemment une
extension à de nouvelles transcendantes de la méthode exposée à
ses élèves par M. Weierstrass pour établir plus simplement que ne
88 CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.
l'a fait Lindemann que le rapport de la circonférence au diamètre
n'est pas un nombre algébrique. En ce moment, ce sont vos résul-
tats sur la décomposition d'un nombre en cinq carrés et les for-
mules extrêmement remarquables que vous annoncez avoir obtenues
par induction :
F(/)2) = I0(/?3_^4-i), F(p^) = 10[/)(/>2— l)(/>3+l)-+-l]
que M. Hurwitz démontre en confirmant votre prévision, et il les
généralise de la manière suivante :
Le nombre des décompositions du carré d'un entier quelconque m
en cinq carrés s'exprime par
F(m2) = io r 1 r j ^ j
1^ — I p^ — I q-^ — I
on suppose
m = 2'^ p"-*- q\^ . . . ,
2, /?, q^ étant des nombres premiers différents.
La démonstration que vous verrez dans le prochain numéro des
Comptes rendus et qui se déduit de cette formule
F(m2) = 10 ^ — [(f(«2)-4-2(p(rt2_22)-|-2Cf(rt2— 42) — .. .]
est aussi simple et élégante que profonde; je suis sûr qu'elle vous
intéressera vivement.
En attendant que je puisse revenir sur ce sujet, en le prenant
sous le point de vue que je vous ai indiqué, je rédige pour le Bul-
letin de V Académie de Saint-Pétersbourg, afin de ré[)ondre à
une bienveillante demande de M. Bouniakowskj, la démonstration
des théorèmes (A), (B), (C) de M. Kronecker, avec quelques
remarques auxquelles ils donnent lieu. Ainsi le théorème (A) con-
tenu dans l'égalité
^2
F(4«-f-2)/""»=S|(7)2r,(^)
conduit à exprimer la somme
F(2) + F(6) -t- F(io) -+-. . .-+- F(/i« + 2)
par la formule suivante.
LETTRE 45. 89
Considérez tous les entiers positifs impairs, a et a', qui satisfont
à la condition
et soit
=2:<-
a — \
S,
a
a — l
^-17/4/^ + 2
on a
4«
F(2) + F(6)^-...+ F(4/n-2) = S + 2S1.
Que de choses j'aurais à vous dire, Monsieur, sur cette question ;
mais il me tarde que cette lettre parte et vous porte le motif du
retard qvie j'ai mis à vous répondre, en même temps que mon vif
désir de recevoir bientôt de vos nouvelles. La liste des candidats à
la place vacante, dans la Section de Géométrie, a été arrêtée comme
il suit : i" M. Darboux; 2° M. Laguerre; 3° M. Halphen; 4° 6X-
œquo et par ordre alphabétique : MM. Appell, Picard, Poincaré ;
l'âge et l'ancienneté des services rendus à la Science ont été pris
en considération, comme le mérite scientifique; mais, sans doute,
à une autre occasion et quand je céderai, à mon tour la place
que j'occupe, cette liste pourra être bien changée. Je suis toujours,
avec les sentiments de la plus haute estime, votre bien sincère-
ment dévoué.
45. — STIELTJES A HERMITE.
Leyde, i" mars 1884.
Monsieur,
En rentrant en ville hier soir, j'ai trouvé votre lettre qui m'est
bien précieuse.
J'avais réussi, de mon côté, à démontrer les formules trouvées
par induction, mais ma démonstration arithmétique ne pouvait se
résumer en peu de mots. Votre lettre m'a fait penser de nouveau
sur ce sujet; voici comment je crois que l'on peut arriver à mes
résultats assez simplement en partant de
F(w2) = 10 [o(«^) 4- 2 0(«2_ 22)-4- 2Cp(rt2— 42) -H. . ].
go CORRESPONDANCE D HERMITE ET DE STIELÏJES.
Soil d'abord n ^p un nombre premier : il s'agit d'évaluer
4^= Cp(p2) -i- rj,r^ ( p2 _ .2-) -\-. . .
OU bien, à cause de
■ii-hp = 9{p)0{p) -i- .2'^(;,-2_ 22) + '2Cp(/?2_ 42)+.. .
OU encore
Ce sont deux l'ormules elliptiques qui mènent au but; en ellel,
on a (OEuv/'es de Jacobi, nouvelle édition, t. T, p. 162. 16-)
V ,) "" ^2'^^" *'^'" (/i =1, 3, 5, 7, ...),
I — q- I — ^+ I — cp
= '6[x(i) ry ^ /.( 2.) 7-^ 7.(3) 5-3 ^. . .],
y(/i) représentant la somme des cubes de ceux des diviseurs de //
dont les diviseurs sont impairs.
Or, en élevant au carré la formule (i), on voit aussitôt que
le coefficient de qP devient
(i(i)<p(a/) — n -^ cp(3) 0(2/? — 3) -f-. . .-H cp(/?) cp(/>) ^. . .-H cpfayO — i)o([)
donc
-l^-f-/J = -/.(/>)=/?=*-)- I C.Q.F.D.
On peut traiter d'une manière analogue le cas où n est composé .
Cela nécessite encore quelques considérations supplémentaires qui,
toutefois, n'olïrent point de difficulté.
Voici comment j'avais auparavant traité le cas de la décomposi-
tion d'un carré en trois carrés.
Soit
pour un nombre quelconque n, d parcourant les diviseurs impairs
de n et t|/(o) = I; alors :
(a) F(« j == ^l-K/i-i'-j + 'K/i- 32) + ■}(«- 52) ^...j.
LETTRE 45. 91
n étant un nombre de la forme 8A-+I, el¥{n) la fonction de
M. Kronecker. Si l'on considère iiY{n) comme représentant
le nombre des représentations de n par x'^+y--{-z-^ on peut
obtenir celle expression à l'aide des considérations les plus élémen-
taires. Maintenant on a
Donc
^^^^^.W,)^^)KW^) J^^^^'^ (. = „3,S,...,
ou bien, en changeant q en — q^
.ç — 1 J-5 — 1 .«5
e3('7)-= ,._! ,. -42'^*>"'^"-
En posant donc, pour un nombre ^ i (modS),
.*, G(„)=4.('^>H'i^)-*
8
= i
on aura, lorsque n n'est pas un carré,
(c) G(n) = o
et lorsque az esl un carré
Â-l x-^- 1
G(A-/o = (-i) 2 " -* A-.
Les formules (a) et (6) donnent maintenant
iF^n)-^^G{n) = /i'S\<!^{n-f^) (^=1,7, 9, '5,...),
( Fin) - '-G(n) = i^'i^{,i - ,r^) {a = 3, 5, u, i3, ...)•
Ce sonl ces formules (^d) qui donnent, par une discussion facile, la
valeur de F(/i) lorsque n est un carré impair quelconque.
Soit, pour considérer seulement le cas le plus simple, n =ip-^,
p étant un nombre premier ^ i (modS). Alors la seconde des
92 CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.
équations {d) donne, en faisant attention aux valeurs (c),
F(^U)_i^A-=42'}f/^2A-„2) („ = 3, 5, II, ...).
Considérons un terme quelconque
et supposons
u ^:= p''u' , ol /• < A:,
u' n'étant point divisible par/?; alors
Or, /)*~^ est ^£ I et ii! est ^ ± 3 (modS); donc un des nombres
p^~^-±L u' est ^6 (modS), et par conséquent
^{p'^^—u'^) = o et F(/>2A) = |pA-.
En supposant
/>,,/?25 ••• étant des nombres premiers ^ i (mod4), ^i, «72? ••• étant
des nombres premiers ^ 3 (mod4), on trouve que le nombre des
représentations de n- par x--\- y--\- z- est égal à
bpjp2...prX ~ X ^ X...X -^— ^
Çl — l Çi—l Çs—i
Probablement on pourra aussi arriver à ce résultat en suivant un
chemin analogue à celui (celle) qui m'a conduit plus haut au
nombre des décompositions en cinq carrés; mais le temps me
manque en ce moment pour vérifier cela. Je suis très intéressé
à voir la démonstration de M. Hurwitz, qui certainement ne m'est
point (connu) inconnu, parce que, en voulant étudier les Mémoires
de M. Gierster, j'ai dû recourir à un beau Mémoire de M. Hurwitz
intitulé : Fondements d'une ihéorie indépendante de la théorie
des fonctions modulaires.
Lorsque j'étais engagé dans ces recherches, j'ai aussi considéré
la décomposition en sept carrés. On a, dans ce cas encore, des
formules entièrement analogues; l'analogie est plus grande avec la
décomposition en trois carrés qu'avec la décomposition en
LETTRE 4^5. 93
cinq carrés. Mais je n'ai point mené à fin ces recherches, et aussi
je n'avais point encore trouvé une méthode pour déduire mes for-
mules de la théorie des fonctions elliptiques.
Peut-être vous trouverez intéressante cette remarque, que
j'ai faite à l'occasion de cette relation
F(np'-^)= r/>A+^/,-i^..._|.i_^3jL*V^A--i + ..,^_, Jf(«),
qu'on a des relations analogues pour la décomposition en 2, 4?
6, ... carrés. En effet, vous verrez aisément que l'on a, pour
/■=2, 4, 6, ...,
la valeur du symbole de Legendre ( I étant it i ou o
lorsque n est divisible par/? (mais non par/?^^^
^^(/i) est le nombre des solutions de n = x'^ -\- x', -\- . . . -\- x^.
De même, on a pour r = 3, 5, ^, . . .
P
A =/?('-2'/'-|-. ..-|-pr-2_^,^
mais je n'ai démontré cela, dans les cas /'=3, 5, 'j, que dans
quelques cas particuliers.
L'expression de 3'(/?) fournie par les fonctions elliptiques est
m — l r OT — 1"! rf — 1
d parcourant les diviseurs impairs de n ; il est facile, d'après cela,
de vérifier la relation donnée plus haut.
Mais, dans ces derniers temps, j'ai abandonné ces recherches
parce que je veux étudier d'abord les théories de M. Smith; or, les
Mémoires que vous avez bien voulu m'indiquer manquent dans la
94 CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.
bibliothèque de l'Université, en sorte (|ue je dois attendre la publi-
cation de votre Académie.
J'aurais encore à vous dire bien des choses concernant votre
lettre; mais le temps me manque et je dois finir cette lettre déjà
longue.
Crojez-moi toujours, avec le plus profond respect, votre très
dévoué.
46. — HERMITE A STIELTJES.
Paris, 12 mars i884-
Monsieur,
Vos théorèmes sur la décomposition des nombres en sept carrés,
contenus dans les équations
F7(4Am)=/(A-)F,(m),
sont entièrement nouveaux et extrêmement beaux et je viens vous
demander l'autorisation de les communiquer à l'Académie en pu-
Idiant votre lettre du 8 dans les Comptes rendus ('). Peut-être en
prendrai-je occasion pour j ajouter quelques remarques concernant
votre expression de la fonction F(/2) de M. Rronecker par la
formule
F(«) =y j/(« — 8/-2)
que vous tirez sans doute du développement
9,/iK il\x !\Jq?,\nx 4v'7^sin3.r
su = ■ 1 1- . . . ,
Ti; - I — q { — q-^
en supposant ^ =z y Le premier nombre devient, en effet,
4
T "nS fi
"7= n , 1 X J et le développement de la quantité x-Q, conduit pi'éci-
sèment à F(/\n -+- -i). 11 ne me semble pas inutile de i-emarquer que
votre résidtat est d'une autre nature que ceux qu'on tire immédia-
(') La lettre du 8 mars manque. Elle constitue, sans doute, la Communica-
tion insérée aux Compter rendus : Sur quelques applications aritlunétiques
de la théorie des fonctions elliptiques {Comptes rendus, t. XCVIII, p. 663;
17 mars i884).
LETTRE 46.
95
temenl des théorèmes A, B, C de M. Kronecker et qui dépendent
de la fonction plus élémentaire /(/«) donnant le nombre des solu-
tions de l'équation a:--\-y-^= ni.
On trouve aisément
I
3
/i = o, I, a, 3, . . . ,
«. = ±i,±3,±5, ....
6 = o, ± I, d= 2, . . .;
puis encore
C = 0,±I,lt2, ±3, ...,
mais ces formules ne sont point les seules à s'offrir.
Désignez par g{n) la fonction ainsi définie :
d-l
^(n)=2,(-0 ' '
en désignant par d tous les diviseurs de Ai, moindres que \/n et
supposant /i ^ 3 (mod4); vous aurez
6 = o, ±'2,±4, ±6, . .,
Soit ensuite gt (n) une fonction relative à un nombre pair, à savoir :
1 r 'i'—i
d-V
(-1) 2
où d représente tous les diviseurs impairs de n, moindres que i/n
et d' tous les diviseurs impairs, plus grands que \^n, on a :
Q 1 = 0 + 4^] ^' '^ "-«')'?" ^ ^2 *"■' ('^ — c') (- ^)"
avec la condition de prendre c ^ n (moda).
96 CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.
La difficulté est de reconnaître de quelle manière se ramènent les
unes aux autres des expressions si diverses; n'ayant aucun espoir
de la surmonter, je me résigne, Monsieur, à interroger les formules
elliptiques de diverses catégories, en demandant à chacune son
secret arithmétique, et à recueillir les réponses utiles ou inutiles
avec patience et persévérance ; plus laboris quani artis. Mais voici
mes leçons qui arrivent, avec les examens de la Sorbonne, et,
comme vous, il me faut faire la part aux devoirs et aux obligations
de l'enseignement. Non sans regret, je m'arracherai aux formules
suivantes qui m'ont coûté bien des efforts et dont je ne désespère
point d'obtenir quelques résultats. Soit toujours « :^ i, 3, 5, . . .;
on a
\^ ) ~2d (l— 5r2«)2 ^2d ' I — g2a '
puis, en faisant c = i,2,3, . . .,
Permettez-moi, Monsieur, de vous demander s'il vous conviendrait
d'appartenir à la Société mathématique de France ; le règlement
de la Société, qui impose aux membres étrangers la même cotisa-
tion annuelle de ao*^"" qu'aux Membres nationaux, et un droit de lo^'"
pour délivrance du diplôme, ne me permet point, sans avoir obtenu
votre consentement, de vous proposer au choix de mes confrères
qui, j'en suis assuré, vous accueilleront avec la plus grande sym-
pathie.
Recevez, Monsieur, la nouvelle assurance de ma plus haute
estime et de mes sentiments bien dévoués.
47. _ STIELTJES A HERMITE.
Leyde, i3 mars 188^.
Monsieur,
Je verrai avec le plus grand plaisir que vous fassiez (ferez) im-
primer dans les Comptes re ni us ma dernière lettre; seulement je
LETTHE k7. 97
ne sais pas si ce que je dis sur cette relation
F(«/>2/.) =, [pK_^p/c-y^__,.^ , _ (^j (/>/■-! + .. ■ /' ^- 0 F(n)
sera intelligible. Aussi, j'espère avoir (que j'ai) exprimé assez clai-
rement ma satisfaction sur la méthode de M. Hurwitz, qui est beau-
coup préférable à celle que j'avais suivie auparavant dans le cas de
la décomposition en trois carrés.
Enfin, il faut supprimer cette relation
(q^'-i-cf- ^.,.)(l — 9, cf^'^ ...) = cj^'-— cf ^ q-' ( , — 2 ^S-''^ ) — . . .
parce que je me suis aperçu que le théorème arithmétique qu'elle
exprime a été donné par M. Smith sous une auti^e forme, et il
serait nécessaire d'j ajouter plusieurs remarques. Cette découverte
m'a intéressé beaucoup parce que la démonstration indiquée par
M. Smith est tout à fait différente de la mienne. Ces relations appar-
tiennent à ime classe dont on a vu le premier exemple dans le pre-
mier Mémoire de Gauss sur la théorie des résidus biquadratiques :
p étant un nombre premier ^ i (modS) et
alors si
ar ^ ± I ( inod 8 ). u est pair
et si
a7^±3(mod8), a est impair,
{OE livres de Jacobi^ nouv. édit., t. II, p. 218).
M. Smith, en parlant de ces théorèmes, remarque qu'il existe des
théorèmes analogues pour la représentation d'un nombre par deux
formes quadratiques, l'un des déterminants étant positif, l'autre
négatif. Et, comme un exemple, il donne un théorème qui ne diffère
pas essentiellement de celui donné plus haut.
Je sens bien. Monsieur, qu'il vaudrait mieux que je publie (si je
publiais) in extenso les recherches auxquelles je me suis (m'ai)
livré d'après vos indications et encouragements; mais je n'en vois
pas encore la possibilité prochaine.
La Faculté de Groningue m'avait bien présenté en première ligne
pour la place vacante, mais M. le Ministre a nommé un des autres.
Probablement la raison aura été que n'ayant point eu l'occasion de
suivre le chemin ordinaire, je n'ai point obtenu un grade à l'Uni-
versité. Je suis très sensible à votre proposition honorable à la fin
7
gS CORRESPONDANCE D'hERMITE Eï DE STIELTJES.
de voire lettre; mais dans mes circonstances un peu précaires, je
dois vous demander d'en ajourner quelque temps l'exécution.
Dans le commencement de la semaine suivante je serai à Paris
pour quelques jours; peut-être aurai-je alors le bonheur de vous
voir. Je suis toujours votre serviteur bien dévoué.
48. — STIELTJES A HERMITE.
Leyde, 25 avril 1884.
MojVSIEUR,
Permettez-moi de vous communiquer le résultat d'une recherche
que j'avais projetée depuis longtemps, mais que je n'ai exécutée
que dans ces derniers jours. Le résultat simple auquel j'arrive,
c'est que la quadrature de Gauss
I
+ 1
f{x)clx = Ai/(Xi) -\- k^fi^X.,)^...^ knf{Xa)
s'applique avec une approximation indéfinie (en augmentant /i) à
toute fonction intégrable.
Supposons x^<iXi<i . . . <C,x,i'i on sait cjue
Al-+- A2-+-. . .+ A,; = 2
et mon résultat est une conséquence immédiate de la définition
d'une intégrale définie et des inégalités suivantes dont j'ai véi'ifié
la justesse :
— 1 <a7i< — iH-A,,
— 1 -i-Ai<:r2< — i-i-Ai-f-Aj,
— I -^ A 1 -+- A2 < a"3 < — I -4- A 1 -i- A.2 -i- A3,
J'ai supposé n assez grand : alors on peut vérifier ces inégalités
pour celles (ceux) des racines Xh qui ne sont pas proches des
limites ± i , à l'aide des valeurs approchées des Xu-, ^k qu'on ob-
tient sans difficulté. Toutefois il est un peu pénible d'obtenir les A^
avec une approximation suffisante.
Ensuite, j'ai considéré les racines extrêmes qui diffèrent peu de
± I et j'arrive aux formules suivantes.
Soient j', , JK25 J)'3j • . . , les racines de
■1/2 yZ
F( y ) = I — Y -^ — h. . .
LETTRE 48. 99
rangées dans leur ordre nalurel de grandeur (on a à peu près
j/f= ' ' — ^lorsque k est gi-and ; cela donne _;>', ^ i , 38^9 ...
04
au lieu de 1 ,44^^^ —
Alors on obtient les plus grandes racines de X//=:o,
.r , > ^0 >> X:j . . . en substituant JK) , jk^? ^37 • • • au lieu de y dans
l'expression
%y 8u Hv
^+--M
(•2 11 -i- l)'> ( '2 /t -t- X )
j3 8 , 3'2 ,
Par exemple, on trouvera jCi par
1 1 ,566386. . . 26,i523i... 20, 453...
I '- -1- — ? iii_i _|_ _ ^ ,
(•2/t-Hl)- ('2/1 -H ij» (2/1 + 1)'"'
Pour /ï = 2, l'erreur restante est o, 000046.
Pour II = 3, elle est o, 000004 ; pour de plus grandes valeurs
de n elle devient insensible sur les six premiers chiffres.
Je développe une expression analogue pour obtenir les coeffi-
cients correspondants A, A0A3 . . . dont je n'écris ici que le pre-
mier terme
8 I
La vérification des inégalités données plus haut conduit alors à
celles-ci qui ont effectivement lieu :
1 I
Une légère indisposition m'a obligé d'abandonner l'Arithmétique
pour quelque temps ; mais maintenant j'éprouve de nouveau l'attrait
de ces études ; toutefois je ne pourrai faire beaucoup faute de loisir.
En vous souhaitant un sort plus heureux, Monsieur, je (me)
signe votre très dévoué.
100 CORRESPONDANCE D UERMITE ET DE STIELTJES.
49. — HERMITE A STIELTJES.
Paris, 2 mai 1884.
Monsieur,
Votre lettre m'a vivement intéressé par les beaux résultats
qu'elle contient; elle ajoute encore, s'il est possible, à mes senti-
ments de haute estime et de sympathie pour votre beau talent. J'ai
eu dernièrement l'occasion, que j'ai mise à profit, d'exprimer ces
sentiments à votre compatriote M. Bierens de Haan, venu, comme
moi, à Edimbourg pour assister aux fêtes du cinquième centenaire
de l'Université, et M. Picard qui m'accompagnait a fait de même
de son propre mouvement. Ce me serait une vive satisfaction si le
témoignage de mon opinion sur votre mérite scientifique pouvait
vous servir en quelque chose et contribuer à vous faire obtenir une
situation digne de vous et qui vous permit de vous livrer en entier
aux recherches que vous avez entreprises. Permettez-moi, Mon-
sieur, de vous prier de disposer de moi, si vous en avez l'occasion :
je ne puis douter que mon confrère et ami M. Tisserand ne s'em-
presse, à ma demande, de joindre son témoignage d'astronome et
de géomètre au mien. La publication, dans les Comptes rendus,
des résultats de vos travaux, pouvant ne pas être inutile pour
appeler sur vous l'attention, je viens vous demander s'il vous con-
vient que je présente à l'Académie votre Communication du
28 avril et, en attendant votre décision, je me permets une
remarque au sujet de l'équation
(1.2)2 (l.2.3j2
Si vous faites j^ = \ — ) vous avez la fonction de Bessel qui joue
un si grand rôle dans la théorie de la chaleur et autres applications
physiques. Or, l'équation dont vous obtenez les racines par la
formule a|q>rochée
(4 A- -1)2^2
64
a été l'objet des recherches d'un géomètre extrêmement distingué
LETTRE 50.
M. Boussinesq, qui obtient l'expression
A- i\ . Ik i\2 /i
C'est dans les Comptes rendus, t. LXXII, p. 48o, que vous
trouverez l'exposé de ses recherches sur ce sujet, qui a longuement
occupé M. de Saint-Venant; ne jugeriez-vous pas à propos d'en
prendre connaissance et de le citer en le rapprochant des vôtres?
La liaison que vous avez découverte, liaison cachée et qui
m'échappe entièrement entre les racines de l'équation de Bessel
et l'équation X„=:o, me semble on ne peut plus intéressante,
ainsi que votre expression des coefficients A par la formule
Vous avez indiqué trop succinctement votre point fonda-
mental, que l'extension à une fonction intégrable de la formule
d'approximation de Gauss est une conséquence immédiate des
inégalités
I-i-Ai<a72< — I4-A] + A2, ....
Plus de détails ne me sembleraient point superflus si vous devez
publier la lettre que vous m'avez adressée, et il vous serait facile,
dans ce cas, d'y joindre une addition qui serait mise à la place
convenable.
En remettant l'Arithmétique à une prochaine lettre et attendant
votre réponse, je vous renouvelle. Monsieur, avec tous mes vœux
pour vous, l'assurance de ma plus haute estime et de mes senti-
ments bien dévoués.
50. — STIELTJES A HERMITE.
Leyde, 3 mai 1884.
Monsieur,
Je viens répondre à votre lettre pleine de bonté par quelques
développements sur la question que j'avais agitée. Ces développe-
ments sont probablement trop étendus pour permettre de les
publier dans les Comptes rendus. Je composerais cependant avec
I02 CORRESPONDANCE D IlERMITE ET DE STIELTJES.
})laisir une rédaction pour quelque Journal et je demande votre
conseil sur un choix.
Comme vous verrez, la manière dont je traite maintenant la
question n'a rien de commun avec celle que j'ai décrite succincte-
ment dans ma lettre précédente. Elle est infiniment plus simple.
J'ai toujours été frappé par cette circonstance que, tandis que la
définition même d'une intégrale définie
(A) / G(.T)r/.r = lim[ôlG(^l)^32G(b)-^...-^5„G(t^)]
'-'a
permet toujours de calculer sa valeur avec vine approximation indé-
finie, cela n'était point du tout démontré si, en appliquant une
quadrature mécanique, on calcule
(B) AiG(^i) + A2G(^2)+...-^A„G(3"«).
Si l'on prend, avec Mewton et Cotes, les ^i, .To, . . ., ^„ en pro-
gression arithmétique, les A,, ne sont pas toujours positifs (comme
on le voit par les valeurs calculées par Cotes et reproduites dans
le Mémoire de Gauss), et cette circonstance m'a fait croire qu'il j a
bien peu d'espérance d'arriver, dans ce cas, à un résultat simple.
[Toutefois je n'ai pas cherché si, peut-être aussi dans ce cas, les A;-
ne finissent pas par (de) devenir tous positifs, n augmentant.]
Mais, dans la quadrature de Gauss, les A^ sont tous positifs, en
sorte qu'on est porté naturellement à chercher si l'expres-
sion (B) ne rentre pas dans celle qui figure au second
membre de (A) en prenant, comme il est permis de le faire
(en efi'ct A, + Ao H- . . . + A„ = 6 — a) o, = A, , ôo = Ao, . . . ,
o„=A„. Mais, pour que celte identification soit possible, on
devra avoir
« < ^1 < « -1- A] < j~2 < « -t- A] -H Ao < . . .
inégalités qui expriment que x^ x^, ^n sont compris dans les
intervalles choisis.
C'est ce qui a lieu, en eft"et, et ce que j'avais vérifié d'abord
d'une manière fort pénible en me servant d'expressions approchées
des Xr et des A^, en supposant n très grand.
Je vais établir maintenant une proposition plus générale :
Soiiy(:r) une fonction qui reste constamment positive dans l'in-
tervalle a — b.
LETTRE cO. I03
On sait qu'on peiil déterminer n constantes ^i, .To, . . ., x„
« < ^1 < -^2 < • • . < •^w < ^
et n autres constantes A,, Ao, • • ., A„ de manière que l'on ait
(U
l f{x)G{x)dx = A,/(jri)-HA2/(.r,) + ...+ A„/(.r„)
toutes les fois que G(^) est un polynôme en x du degré 2« — i
au plus.
Les A/f sont tous positifs : c'est ce que l'on voit en prenant
(X—Xiy'...{x — Xn)-,
{x — XkY
cela donne
r''
/ f{x)G{x)dx = \kG{xk).
Les Ay; étant positifs et
Ai-h A2-1-. . .-t- A,j= / f{x)dx,
'J a
on pouri\i déterminer /? — i constantes j^,, y^-, • ■■, J'»-i de ma-
nière que
« < 7i < J'2 < • • • < J«-i < ^
et
Ai= / f{x)dx, A2= / f(x)dx,
I f{x)dx, .... A„_i= / f(x)dx.
On aura alors aussi
A,j= / f(x)dx.
Je dis maintenant, et c'est ma proposition fondamentale : que
ces constantes j^,, y 2, ■ ■ -, Jn-\ séparent ;r,, X2-, ■ • -, ocn- Donc
a < J"i < Ji < x-i < j2 < .r.j < . . . < j„-, < Xn < b.
Il faut remarquer que la démonstration que les A/t sont positifs
se fonde seulement sur l'exactitude de (i), Q{x) étant un polynôme
du degré in — 2 au plus (et non in — i). Aussi, dans la démon-
stration suivante de la proposition fondamentale nous ferons usage
de (i) seulement dans le cas que G(.r) est du degré in — 2.
io4
CORRESPONDANCE D HERMITE ET DE STIELTJES.
Je détermine un poljnome du degré m — ■>., T(^) par les con-
ditions suivantes :
T(a^i)- I,
T(a^2)= I,
T(3;/,_i) = I,
T(^/,)= I,
TCr/,+i) = o,
T(.r/,_^o) = o,
T(x„) = o,
T'(.ri) = o,
T'(.^A-i) = o,
T'(a-/,+i) = o,
T'(.r/,+,) = o,
T'(.r„) = o.
Ces conditions étant au nombre de in — i, le poljnome T(^)
est parfaitement défini par cela, et l'on aura
,r
f{x)i:{.x)dx = Ai + A2-
Les racines de l'équation
T'(^) =0
sont (d'après le théorème de Rolle).
A/..
Nombre.
A-
ia) Xi, X2, ..., a-A_i
(6) ^1, ^2, •• , ;/,-!_ 'Vi<çi<^i<h<^i<--<^/^-i<^A Z^ — I
(c) 37/,+], :rAM-2, .-.. .r„, ;; — A-
Le nombre total de ces racines est m — 3 ; T' [x) étant du degré
in — 3, l'équation ne saurait en avoir davantage, et toutes ces
racines sont simples.
Il est facile d'a[)rès cela de se représenter la marche de la l'onc-
tion T(.r) ou de la ligne j'^= T(.r). Dans la figure ci-dessous, c'est
Oi^ a^Xj
•^k-2'^k-i-^H ''«•i •*"*«:
■^n-i ^n
la ligne en trait plein; en effet, la ligne pointillée ne saurait con-
venir parce qu'il en résulterait au moins une racine de T'{x) = o
fnlre x^ et x^^^^ qui n^ existe pas.
LETTRE 50. I05
On voit :
1° Que T(^) est toujours positif dans l'intervalle <7, b]
2" Que I estla valeur mmî/?zi<mdeT(:r) dansl'intervallert — x^.
De l'équation
Ai+ A2-+-...+ Â/,= / f{x)i:{x)dx
nous pouvons donc conclure
Ai+A2-+-...-i-AA.> ^ f{x)'Y{x)dx,
et enfin
(a) Aj-t- A,-!-. . .-t- A/,> / f{x)dx.
On démontrera d'une manière parfaitement analogue, en consi-
dérant l'autre limite b de l'intégrale
A/,+ 1 -4- Aa+o -h . . . + A;î > / f{x)dx;
mais,
Ai-i- A2-I-.. .-4- A„= / fix)dx,
donc
(P) Ai-^A2^-...^-AA.< / /{x)dx.
Ces deux inégalités (a) et ([3) font bien voir que la quantité jka
définie par
Ai+ A2 + . . .-i- A/,-= / f{x)dx
reste comprise entre Xk et x^j^k- C'est la proposition qu'il fallait
démontrer.
Avant que j'eusse trouvé cette démonstration, j'avais constaté
l'exactitude dans les cas suivants :
J-i \/i — x^ n.Ld''l 111 \
1 ^i — X- (t(x) dx = — ^ — y s\n- ( — ^^ ) Cl' ( cos — ^ ),
J_^ ' ii-^iAd V /i ^ I / •' V ;i -i- 1 /
r i/'-^i^qix)dx=~^^S.\n^-J^^q(co.^^)..
{j(x) du degré m — i au plus.
I06 CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.
Quand j'éLais, dernièrement, à Paris ('), j'ai été votre auditeur
à la première leçon de votre cours du second semestre, et c'est
même de ce temps que datent mes nouvelles réflexionssur la ques-
tion que je viens de résoudre enfin.
Si mon séjour eût été un peu plus long, j'aurais certainement
tâché d'avoir le plaisir de vous parler. jMais alors, l'heure du dîner
me semblait trop proche et je suis parti le lendemain matin.
Votre très dévoué.
51. — HERMITE A STIELTJES.
Paris, 5 mai 188^.
Mon 5
Ne sojez pas fâché si, après avoir lu, avec toute l'attention dont
je suis capable, votre dernière lettre, je viens de nouveau vous faire
part de difficultés qui n'en sont certainement pas, dans le fond,
et que quelques développements feront évanouir. On sait, dites-
vous, qu'en désignant par G (.r ) un poljnome en x du degré in — i
au plus, on peut poser :
/
h
f{x) G{x) dx = \,/(x, ) + A,/(..-,) +. . .-^- A„/(^„),
les quantités x^^ X-y, ^« étant comprises entre a et b. Je dois
vous avouer que cette propriété m'est complètement inconnue, si
inconnue cjue je ne vois aucun moyen d'y parvenir et de l'établir.
Je ne vois pas non plus pourquoi ayant trouvé, en supposant
(a- — .-r, )2. . .(.r — .r„)2
0{x) = ; -,
(x-xi,y
une valeur positive pour A^, vous concluez immédiatement que
pour tout autre polynôme cette constante sera la même, et, par cela
seul, sûrement positive. En attendant que, par f[uelques mots
d'explications, vous dissipiez les ténèbres de mon esprit, permettez-
moi de vous demander s'il vous conviendrait de Aonner n\\^ A nnale s
(') Pendant le voyage annonce à la fin de la Lettre 47.
LETTRE 52. 107
de V École normale supérieure, dont M. Tisserand est le rédac-
teiii" en chef, un Mémoire étendu et bien complet, sur cette ques-
tion des quadratures qui a été le sujet de vos dernières lettres (').
Aussitôt que je connaîtrai vos intentions, j'en ferai part à M. Tis-
serand qui sera, j'en suis certain d'avance, exti^êmement satisfait
d'offrir un jMémoire de vous à ses lecteurs. Mais, pour nombre
d'entre eux, il est d'une absolue nécessité de ne supprimer, dans
les développements, aucun intermédiaire; je me range, tout le pre-
mier, dans cette catégorie ; la peine à prendre et l'effort à faire pour
combler les solutions de continuité que je trouve dans un travail,
sont un motif suffisant pour me détourner d'en faire l'étude. La
question de l'intégration par approximation est de la plus haute
importance, et le point de vue auquel vous vous êtes placé en envi-
sageant les fonctions intégrables d'après Riemann est entièrement
neuf et intéressera vivement les géomètres. C'est donc une occasion,
Monsieur, d'attacher votre nom à un sujet élémentaire et fondamen-
tal en Analyse; je n'ai |ias besoin de vous dire combien je serais
heureux de le faire connaître en exposant vos recherches à mes
élèves de la Sorbonnc.
En vous renouvelant. Monsieur, l'expression de ma plus haute
estime et de mes sentiments bien dévoués.
52. — STIELTJES A HERMITE.
Leyde, 7 mai 1884.
Monsieur,
Je suis bien fâché que mon travail vous ait causé tant d'ennui et
je me hâte de vous donner les développements demandés.
Soity(jc) luie fonction donnée, qui ne devienne pas négative
entre a et b. Il n'est pas exclus qu'elle devienne infinie ; seulement
/ fi-^) ^^-^ ào\l avoir un sens.
( ' ) Ce travail a efTectivement paru dans \es Annales de l'École NoF'nia/e supé-
rieuie : « Quelques recherches sur les quadratures dites mécaniques », 3° série,
t. I, p. 409-426; 1884.
Io8 CORUESPONDANCE d'heRMITE ET DE STIELTJES.
Problème. — Déterminer un polynôme
d'un degré donné n, tel que
(i) / f{x)'^{x)xf^dx = o
'■'a
pour A' = o, 1 , 2, . . ., « — I .
Ces conditions donnent, pour déterminer les inconnues «(,
«2, •••, ctrtj les équations linéaires suivantes :
1 / x'^ f{x)dx + ai I x"-'^ f{x) dx
I '^a "-'a
pb h
l ' -i- «2 / x'^-^ f{x) dx -^ ...-{- a „ I f(x)dx = o,
/ a;«+i /(a7)</a;-)- «1 / .r" f(x)dx ■
■'Il ^ a
-i- a.2 I x"--'^ f{x) dx -{-. . .-\- a,i j xf{x)dx = o,
'-'a >J a
(2) / /. l,
I x"-+'^ f{x)dx-\- ay I xn-^i f(x)dx
-)- «2 / *■" f{x)dx-\-...-^a,i I x^f{x)dx = o,
Jf x^'i-'^f(x)dx -+- ai I x'^-'i-"- f {x) dx
+ «2 / X^-n-^fl^x) dx -h. . .-h Un f X'^-^f{x) dx = O.
Le problème est donc déterminé en général et flri,«o. ...,a,t
deviennent des fonctions rationnelles des in constantes
r''
/ x'^ f{x) dx ( /i = o, 1,2, . . . , 2 n — i).
Mais, si, comme nous le supposons, la fonction /(x) ne change
point de signe, on peut démontrer qu'aucune contradiction ou in-
détermination ne peut se présenter dans la solution du système (•^.),
LETTRE 52. 109
le déterminant A étant, alors, certainement différent de zéro.
En effet, écrivons, dans les intégrales de la première ligne, x^ au
lieu de x, dans celles de la seconde ligne, ^o, etc., enfin dans celles
de la dernière ligne, x,i au lieu de a: ; le déterminant A peut alors
se mettre sous la forme d'une intégrale n-iiple, ainsi :
= f f ■■ f f(^i)A^-2)...f(^n)
^ a ^ a '-a
r ou \ ce \
.x%
ClX \ CtX^ . . • (XX f^
ou bien
(3) A=r f ... f f{x,)f{x,\..f{xn)x,xlxl.
.x% ^ n dx\ dxi. . .dx,ii
n
x%
X'.}-
La notation des variables étant indifférente, on peut, dans l'ex-
pression (3), permuter de toutes les manières (en nombre i .•2.3...n)
les indices 1,2, ..., n. Par ces permutations. Il ne change point,
ou change seulement de signe et, faisant la somme de toutes les
équations que l'on obtient par ces permutations, on aura
X^Xr,
donc
(4)
.■i.3...n\= I I ... I fixi)f{x,)...f{x,,){Uy-dxidx,...dx„,
ce qui fait bien voir que, dans notre supposition concernant la
fonction f{x), A est positif et différent de zéro.
Conclusion. — Le problème posé conduit à un polynôme N(^)
parfaitement déterminé pour toute valeur de n. Désignons ces
polynômes pour /i= I, 2, 3, ... par N, (a^), N2(.r), N3(ji:), . . . .
Les conditions (i) qui ont servi à déterminer N(^) font voir que
(5) f f{x)^{x)i:„_,{x)dx = o,
T,,_,(^) étant un polynôme de degré n — i au plus, d'ailleurs
IIO CORRESPON»ANCE U HEIIMITE ET DE STIELTJES.
loul à fait arbitraire. On a donc aussi
(6) f f(x)N/,{x)?i/{x)da;^o
lorsque les indices A" et / sont inégaux.
Proposition. — Les racines de l'équation
N(^) = o
sont j'éelles, inégales, comprises entre a et b.
En effet, désignons par ^,, x>, • . - , Xk toutes les racines réelles
de cette équation qui sont comprises entre a el b. Nécessaire-
ment k est au moins égal à i, parce que N(^) doit changer de
signe entre a et b k cause de
/ f{x) N{x)dx = o ,
Posons
N ( rr ) = ( X — ^1 ) ( ^ — ^2 ) • • • ( ^ — -^"A- ) P ( ^ ) ;
P(^) ne change point de signe entre a et b. Or, si P(^) n'était
pas simplement égal à l'unité, {x — Xi)(x — Xo) • • -{x — x^) serait
au plus du degré n — i et, d'après (5), on aurait
I /{x)'N{x)(x — Xi){x — x-i). . .(x — x/,) dx = o,
ce qui est impossible, parce que la fonction sous le signe / ne
change point de signe.
Toutes les racines sont donc comprises entre a et b. Mais aussi,
il ne saurait y en avoir d'égales. En effet, supposons
N{x) = (x — xiY P(x),
P(.r) sera du degré n — 2; ])ar conséquent
/
b
f{x)'N{x)P{x)dx = o,
ce qui est aussi impossible (de nouveau).
Application des résultats précédents à la quadrature méca-
nique. — Désignons par Xt, x-,, ■ • . , x,i les racines de IN (x) = o.
LETTRE 52. II I
Soil G(x) un polynôme de degré iii — i au plus, d'ailleurs
parfailement arbitraire. En divisant G(^) par N(a') on aura
(7) G(:r) = Q(^)N(ar) + R(:r),
le quotient Q(^) et le reste ^{x) étant tous les deux de
degré n — i au plus.
Nous aurons donc, d'après (5),
(8) f f{x)G{x)dx= f f{x)Rix)dx.
Maintenant, R(^) étant du degré « — i, on a identiquement,
d'après la formvde d'interpolation
N (' X )
^ ' {X — Xi)K{Xi)
{X — X.2)N'{X2) " {X — Xn)N'{Xa)
En ]30sant donc
\ ■ -^ , , , „ ,
I r\ N(x) ,
A/s ne dépendant donc en aucune façon du poljnome G(^),
l'équation (8) devient
1
f{x)Q{x) dx = AiR{>i) -H A2R(a-2)-i-. . .-t- A„R(a'„),
mais, d'après ( -),
R(ri) = G(x,), ...;
donc
r''
(lo) / /(a7)G(a")û?^= A,G(^i,) + A2G(a72)-^...-+-A„G(a7„).
Je crois qu'après ces développements tirés du Traité des fonc-
tions sphériques àeM. Heine, ma lettre précédente ne présentera
plus d'obscurité. M. Heine ne nomme pas l'auteur de cette démons-
tration que N(.r)==o a toutes ses racines réelles, inégales, comprises
entre a et b. Je crois me rappeler (un peu confusément) que
Legendre est l'auteur de cette démonstration extrêmement ingé-
nieuse dans le cas /(;») = i, N(.r) = X„. Mais j'aurai soin de
m'en assurer (de m'assurer de cela).
J'ajoute encore la remarque suivante qui, certainement, n'est
112 CORRESPONDANCE D HERMITE ET DE STIELTJES.
pas nouvelle pour vous, seulement pour indiquer la liaison de ces
recherches avec la Noie que vous avez bien voulu présenter
à l'Académie en octobre i883.
Comme on a
''' fi^)
ty a '-Il
dx
I r'' I r*
—^ I xf{x)dx-\ / x-f{x)dx
les équations (2) expriment aussi que, dans le développement de
niz)f''J±^dx
J Z X
suivant les puissances descendantes de z, les termes en -»
__, ..., _ manquent ('). N(;) est donc le dénominateur de la
réduite d'ordre n de la fraction continue
/ z — X
dx =
Ko —
X.,
X3
et l'on a
N3=(^ — a2)N2— ÀoNi,
L'équation
(a) Na-m =(z-a;,) N/, - X/, N/,_,
donne, en multipliant par Na(^)/(^) c/:; et intégrant de a à b,
à cause de (6),
f zN,(z)N,.(X)jX^)dz
'J a
(II) «/.=
/"na-(
z)N;,{z)/{z)dz
(') A'ote de l'auteur. — C'est ainsi que M. Heine a posé le problème, Tome I,
page 28G, cL qu'il arriva à ces équations (2).
LETTRE 52. I l3
d'où l'on voit immédiatement que a^ est compris entre a et h.
De même, en multipliant (a) par ^k-{{z)f{^)cl^ et intégrant
de a à b, on trouvera, à cause de (6) et de
^N/,_i(^) = N/i,.(\3) + polynôme du degré /i — i,
(12) X/, *^"
'J a
Donc \h est positif. J'avais démontré ces résultats d'une autre
manière dans ma Note d'octobre i883. Du reste, la fonction y(^)
étant donnée, ces équations (i i) et (12) donnent un moyen régu-
lier pour déterminer de proche en proche toutes les constantes a, \
de la fraction continue
Xj
on a d'abord
>>o- Ç A^)dz, a„= f zf{z)dz= f f{z)dz.
u a •- a '-'a
Ayant trouvé ao, N, (j:;) est connu, et les équations (11), (12
donnent a,, X, qui font connaître N2(^), .... ,
La théorie de M. Heine n'étant peut-être pas connue générale-
ment en France, il sera bon probablement d'en donner un aperçu
comme celui plus haut, dans mon Travail, quoique ce qui me reste
propre devienne (devient) de cette manière peu signifiant, en
regard de ce que j'emprunte à M. Heine.
J'avais démontré, dans ma Note d'octobre i883, que la quadra-
ture mécanique
AiG,(ari) + A2G2(^2) -1-. . .-H knQxn(Xn)
donne avec une approximation indéfinie
f{x)Q{x) dx,
l
G[x) étant continue et présentant un nombre fini de maxima et
de minima. Et il est même facile de voir que cette dernière res-
triction est superflue et qu'il est suffisant que G{x) soit continue.
Il4 CORRESPONDANCE d'iIERMITE ET DE STIELTJES.
Pour cela, il suffil de remarquer que G(^) étant continue, et s
une quantité donnée aussi petite que l'on veut, il existe toujours
une fonction continue F(:r) cjui ne présente qu'un nombre fini
de maxima et minima, et tel que Gfx) — F(a") reste inférieure à e.
[Ce nombre fini de maxima ou minima de F (a') croît au delà de
toute limite avec - lorsque G(x) présente une infinité de maxima
ou minima, mais cela est indifférent pour la question.]
Ce résultat d'octobre i883, que la quadrature est applicable à
toute fonction continue, a été pour moi la raison princi])ale qui m'a
lait croire [avant c[ue j'eusse (j'avais) trouvé luie démonstration]
à la vérité de la proposition fondamentale de ma lettre précédente,
et qui m'a fait chercher avec un peu d'obstination à (d'en) en
obtenir une démonstration.
Cette lettre. Monsieur, est devenue trop longue pour parler
encore de mon premier Travail et des (sur les) racines de l'équa-
tion F(j') = o et des transcendantes de Bessel. . ..
Crojez-moi, avec les sentiments de profonde reconnaissance,
votre très dévoué.
53. - HERMITE A STIELTJES.
Paris, i5 mai 1884.
Monsieur,
Votre lettre est parfaitement claire et explicite; elle m'a rappelé
bien des choses dont le souvenir, s'il n'avait pas été en grande par-
tie effacé, aurait arrêté les demandes d'explications cfue je vous ai
faites. Vous trouverez, dans les Exercices de Calcul intégral de
Legendre et j'ai, moi-même, donné autrefois, dans le cours de
seconde année de l'Ecole Polytechnique, la méthode si élégante et
ingénieuse par laquelle vous démontrez que l'équation N(j;) = o
a ses racines toutes réelles et inégales. J'ai aussi donné dans mes
leçons la théorie de Heine et de M. Tchevicheff du développement
en traction continue de 1 intégrale / -7- — - dx et, si je ne me
trompe, ces choses sont assez généralement connues pour que vous
puissiez vous bornera rappeler les résultats en renvoyant le lecteur
LETTRE 53. I l5
au fJandbuch deM. Heine. Je vous renouvelle l'expression de mon
vif inlérêt pour la question que vous avez heureusement et habile-
ment traitée de la quadrature mécanique, avec une approximation
indéfinie de l'intégrale / f{x)G{x)dx, loi^sque G(^) est con-
linue, même en admettant un nombre infini de maxima et de
minima. Mais permettez-moi de vous demander de ne point laisser
de côté les résultats si intéressants que vous avez découverts sur la
valeur approchée des racines et des multiplicateurs dans la formule
de Gauss. Je ne vois absolument pas par quelle voie vous êtes
parvenu à établir une dépendance entre les racines de l'équa-
tion X„=o et celles de la transcendante de Bessel, ni surtout
comment vous obtenez la valeur approchée des racines de cette
transcendante qui ont été l'objet des recherches deM. Boussinesq.
Toutes ces découvertes portent témoignage de la rare pénétration
et de l'activité de votre esprit, et ce que vous voudrez bien en
donner pour être publié dans les Annales de V Ecole Normale
sera accueilli avec empressement. En attendant que vous reveniez
à l'Arithmétique à laquelle, moi aussi, je ne puis consacrer le temps
que je voudrais, à cause de mes devoirs, je prends la liberté de
vous énoncer un petit résultat recueilli comme d'aventure. 11 con-
cerne le nombre m des points dont les coordonnées sont des entiers
et qui sont contenus à l'intérieur ou sur la circonférence de l'el-
lipse k.x- + ^y- = M. En posant
j'obtiens la formule
/n = I -i- ^pq -f- 4 S -f- 4Si,
et l on a :
^=/)-4-T,/>-1-2, ..., P.
M — Bk2
S,= ^
Il6 CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.
On est ramené, dans le cas de A = B, à un ihéorème de Gaiiss
dont j'ai trouvé l'énoncé dans le Tome II de ses œuvres complètes.
Avec la plus haute assurance de ma plus haute estime et de mes
sentiments bien dévoués.
54. — STIELTJES A HERMITE.
Leyde, i6 mai 1884.
Monsieur,
Je suis complètement enfoncé, en ce moment, dans des calculs
numériques : déterminations du temps, azimuts du soleil, réduc-
tions d'observations j)our déterminer la déclinaison magnéticpie...
et, pour quelqvies mois, il m'est défendu de m'arracher à (de) ces
calculs, et je vais répondre seulement à un point nommé dans
Notre lettre. J'ai déjà envoyé à M. Tisserand un Mémoire sur les
quadratures mécaniques; mais il m'aurait été bien difficile de
donner là mes premières recherches sur les valeurs approchées
des A/jetc, dans la quadrature de Gauss.
Voici le chemin bien simple que j'avais suivi pour obtenir les
racines des transcendantes de Bessel,
, £ _ _£^ , _JJ_ zi ^ ^ _ r/V f_) .
^^^^~'2 '22.4 "^ -22.4^6 2-2.42.62.8 "^■■' dz '
Hansen a donné les séries semi-convergentes
Jo(-s)= y -~z^^^
sin I ^ ^
i-
.32
-,
l2.
32.52.
-2
^
1
8.
iG "
8.:
[G. 24.
32~
")
I
.-.-
i-
.32
.52
-s^
.32
16.
.52
24.
.72
32
•9'-
.40
\
8
8.
16
.24
. ...),
-T
3.5
8.1
. I
-2.
3.5
8,
.7.9.1
, 16.24
.3.
.32
5 _
-* + .,
■■)
-' —
3 5.
■ / ■
1.3
-.+^
.5.;
8.
••9
16.
. 1 1
24.
. I .
02.
3- J-7 __;
8.1
16.
24 ^
,40 ~
Soit t=(k — y ) TT une valeur approchée d'une racine de
LETTRE 5i. * I 17
J„(3) z=z o; alors j'ai supposé cette racine développée ainsi :
La substitution de cette expression dans celle de Jo(2) écrite plus
haut donnera, en développant suivant les puissances de <~', le
moyen de déterminer X,, ).3, . . .; je trouve
donc
I , 3i , i52Qi7
L'expression de M. Boussinesq
8^/,= (4A- — i)Tr -H- \/(4A- — 1)2 712-1-8
devient, par l'introduction de
ou bi
k-V)-, ^ic=-t-\-
i/r-j
o 04
elle donne donc des valeurs trop fortes, comme l'a remarqué aussi
M. Boussinesq.
On peut suivre la même méthode pour les racines de J, (:;) = o
(calculées par M. de Saint-Venant) en posant t =:■ ilc A- -;\ r.\
je trouve •
je n'ai pas calculé le terme en (avec) t~^.
L'expression de M. Boussinesq
8 :;A' = (4 -^^ + i) - + v/(4A--M)2-n:2— 24
devient, par l'introduction de l^
1(8 CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.
OU bien
3 n
t f-i -t-^,
8 64
elle donne donc des valeurs trop faibles.
Mais voici qu'un ami, qui s'intéresse beaucoup (de) à la Phy-
sique mathématique, vient de ra'informer, un de ces derniers jours,
que ma méthode n'est pas nouvelle.
Et, en effet, dans les Comptes rendus de V Académie de Berlin
du 26 avril i883 (p. Saa), M. Kirchhoff fait usage de l'expression
suivante (dans ma notation) :
,1 o,i5iq82 o,oi53f)q o, "245835
( 2 ) Zk : TT = A- 4- -j h —r-, '—. -Ti + • • • ,
^ ^ ^ i 4A- + I i.\k^\Y K\k + \r
ce qui n'est autre chose que la formule (2) mise en nombres et
complétée par le terme en t~'^ . M. Kirchhoff dit que c'est une for-
mule due à M. Stokes, qu'il a empruntée au Theory of sound de
M. Rayleigh, vol. I, p. 2'^3. Peut-être M. Stokes ne Ta pas publiée
ailleurs...; je n'ai point vu le livre de M. Rayleigh.
Je vous remercie beaucoup, Monsieur, pour votre jolie formule
arithmétique; mais, pour le moment, il m'est interdit de faire de
l'Arithmétique.
C'est avec une profonde reconnaissance que je suis toujours
votre bien dévoué.
P. S. — Dans le Tome LVI du Journal de BorcJiardl, M. Lip-
schitz a donné une démonstration rigoureuse des développements
semi-convergents de Hansen.
55. — HERMITE A STIELTJES.
Paris, 9 juin li
Mon SI
Je viens d'apprendre que vous avez été honoré, par le Sénat
académifjue, du titre de Docteur en Mathématiques et en Astrono-
mie. J'espère que cette distinction est d'un bon augure et présage
que, bientôt, vous obtiendrez une situation digne de votre beau
talent et de vos travaux. A mes félicitations je joins des excuses
LETTRK 56. 1 19
de vous avoir fait altendre ma réponse à votre dernière lettre, et je
vous les dois d'autant plus que vos renseignements au sujet de là
fonction J(x) de Bessel m'ont rendu un grand service. Le Mémoire
de M. Lipschitz, que vous avez eu la bonté de m'indiquer dans
le Tome 56 àvx Journal de d'elle, est très important et très beau
Il ressemble à ce que Gauchj a fait, avec tant de succès, pour le
développement de logr(;r) en série semi-convergente, et, ayant eu
l'occasion d'écrire, à propos d'Arithmétique, à l'auteur, je me suis
donné le plaisir de lui en faire mes compliments. Laissant l'Arithmé-
tique, à laquelle une autre fois je reviendrai, quand je serai dé-
livré de leçons et d'examens à la Sorbonne, je viens vous demander
si votre méthode, qui m'a extrêmement plu, pour développer en
série les racines de J(j;)^o, s'appliquerait encore à l'équa-
tion X„=: o en partant de l'expression de Laplace
X,, = 4 / ^T— 7, COS ( 71 6 H ) ;
où :r = cosB. Je suppose que non, mais avec doute; en tout cas,
je prends la liberté de vous conseiller de faire un article où vous
développeriez ce que vous m'avez écrit sur la détermination appro-
chée des racines de cette équation.
Avec mes félicitations pour votre nouveau titre, je vous renou-
velle. Monsieur, l'expression de ma plus haute estime et celle de
mes sentiments bien dévoués.
56. — STIELTJES A HERMITE.
Leyde, 27 juin 1884.
Monsieur,
Veuillez bien me pardonner d'avoir ajourné trop longtemps de
vous remercier pour votre dernière lettre, ce que j'aurais dû faire
d'autant plus que je ne doute point que c'est surtout à l'intérêt que
vous avez bien voulu montrer pour moi que je dois la distinction
que le Sénat académique m'a accordée.
Je ne suis point en état de vous donner une réponse satisfaisante,
I20 CORRESPONDANCE D «ERMITE ET DE STIELTJES.
concernant les racines de X« = o en partant de
y n-K sinb L\ ■i/ 1 J
J'avais seulement remarqué que, dans la valeur approchée de la
racine qu'elle donne
(\k I) TT
37^= COS h £ (A- = I, '2, ... , II),
4 n -r- 1
£ est de l'ordre (de) ^- En tenant compte des termes en — jj on
obtient la valeur plus approchée
r I "1 ("4^—1)71
Xk= I -; COS • / , ,
4 n
Dans cette expression, on a /?-£'= o pour n :=co, en supposant
toutefois que le rapport — reste fini et différent de zéro ou de
V unité. Mais je n'ai pas poussé plus loin les approximations;
il semble que les termes suivants deviennent assez compliqués ; ils
doivent contenir sin — ■> cos — Je crois entrevoir que
4 /î -t- 2 \ll, -\- i ^
tous ces termes deviennent de l'ordre (de) — ; en posant /i = i , 2, . . . ,
en sorte que la formule générale serait
, r . (4/c — i)TiV'-2
F:(2/i-f-i)^- sin-^-i ^ ,
L 4^1 + 2 J
„ , r • -11 • > sin ( 4 A- — Oti
r étant une lonction rationnelle et entière en — -•
COS 4^+2
Peut-être je reviendrai encore sur ce sujet et, s'il m'arrive (à)
d'obtenir quelque résultat net, j'en ferai un petit article.
En étudiant, autrefois, le Mémoire de Lagrange : Sur V usage
des fractions continues dans le Calcul intégral [OEuvres,
t. IV, p. 3oi), j'avais remarqué qu'en appliquant la méthode de
Lagrange à l'équation non linéaire
x{i — ^)-f- +Y^ + (p — a) ^7 -+- - — ' x^y- — Y = *^'
c'est-à-dire en développant une solution particulière en fraction
LETTRE 56. 121
continue, on est amené à la fraction continue que Gauss a donnée
pour
cf(a, P -+- 1, Y + ', 3-)
#(a, [3, Y,^)
En posant y = - .
^ ^ .f(a, [3, Y, ^)
^(a, pH-i, Y + i, ^)
est donc une solution particulière de
(i) x{i — x) ~ — ^(z{i — z) -h ((x — {i)xz — ; — —X = o,
et l'on trouve encore facilement cette autre solution
P(a — Y) .'fd — a, I— p, 2 — Y, ^)
"'~ ï(i — ï) "^ 3^(1 -a, — p, i-Y> ^)
En me rappelant celte remarque, j'ai obtenu maintenant l'intégrale
générale.
Guidé par les résultats obtenus par Lagrange, j'ai supposé que
l'intégrale générale serait
A.f (g, [j, Y, 37) + B^(a — y)xuri(i — a, i — p, 2 — y, -t)
Ag^(a, p -t-i, Y-i-i, a?) -H By(i— y) «■^^(i — ^» — ^7 i — Y, ^)
avec la constante arbitraire A:B, en sorte qu'on obtient :;, et ^^
en posant B = o ou A = o, u étant une fonction de ^ qu'il faul
encore déterminer.
Or, en posant
p = \^{iy., p, Y, ^) -H Bp(a — y)x Ur'f{i — a, i — '^, 2 — y, x),
q = Â.f(a, p + I, Y-t-i, x) -^ By{i — '() u § {y — :c, — p, i — y, x),
j'ai trouvé (') qu'en déterminant « par
/ . \ du ,
c'est-à-dire en prenant
(') A l'aide des relations entre les formules contiguës de Gauss. {Note de l'au-
teur.)
122 CORRESPONDANCE D HERMITE ET DE STIELTJES.
on a
dx I — X 7 1 — X
^ = V „ _ T-'^-^ ,, ,
dx x{i — x) x{i — x)
d'où l'on lire
en sorte qu'on trouve, pour- = c-, l'équation (i) dont l'intégrale
générale est par conséquent
, Ai(a, ^, Y- a7) + Bp(-;t — y) ^'-y(i — 37)r-^-P ^(i — a, i — .3, 2 — 7, a:)
A3^(a, p + i, Y + i, ^)-+-By(i — Y):3?-y(i — iP)T-='-P J^(i — «, — 3, i — y, •^■)
En remplaçant x par - el prenant a ^ 00, on trouve
dz ^ ^ 3
(2) a?-; Y^([ — Z) -i- X Z — ^X = 0
' dx ' Y
avec
i'i) z
\ a / a = 00 \ "J-
U ("a, p + I, Y + '' ^)^_^-^ ^ï^^ - Y) ^-^«-"'^(i - «. - ?' • - Y, f )^
En remplaçant ^ par-^» en prenant a = co, ^ = 00, on trouve
encore
(3) ^g-Y^-(i-^-)-^^ = o,
avec l'intégrale
A3^/a, j3 + i,y + i,^^+By(i-y)^-^^'^'(i-«, -P, i-ï, ^) ^^""'^'*'
Enfin, remplaçons :r par -^ et prenons [i = co,
(•2a) ^-7 yz{\ — z) — xz '-37 = 0,
dx Y
kiL, p, Y, ^) +B(a-Y)^'-re-''j(i-a, i _ p, 2 — y, f )
('^«)-'=— 7^^ ^^-^x —/ x\ (^ = -^-
AJU, ^ + 1, Y+i,-gj -r By(i — Y)^-Te'^-^(^i — a, — P, '" T' "pj
LETTRE 57. 123
Mais ces équations ne diffèrent pas réellement de [2) et de (2')
comme on le voit en changeant .r en — x et remarquant que
donne
pour CT = 00.
Veuillez bien agréer de nouveau, Monsieur, l'assurance de ma
reconnaissance et de mes sentiments bien dévoués.
57. — STIELTJES A HERMITE.
Leyde, 28 juin 188:^.
Monsieur,
Permettez-moi de compléter encore l'étude de l'équation diffé-
rentielle de ma lettre d'hier.
En posant
$ = §{oi, p, Y' ^).
^=: p(a — Y)^i-T(t — ^)ï-='-P^ki — a, I— j3, 2 — y, x),
t|'i = #(a, p-M,Y-+-i, ^),
■^1 = T(i - Y) -y-TC' - ^)ï-«-Pi(i - a, - [3, I - Y, X),
l'équation différentielle
(i) x{i — x)-f- — Y-^('~^)~'~(^~ P)-^-^ — — ; — X = o
admet l'intégrale générale
$ et ^ sont deux intégrales particulières de
tandis que (E*( et ^1 satisfont à
(^ _ ^2) ^Z + [,^ + 1 _ (a -t- p -t- 2) ^] ^^ - a(p -J- i)r = o.
124 CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.
Les valeurs de ^ et ^, peuvent se mettre sous la forme
^ = P(a-Y)^-i-y#(«-Y-i-i, p_v-i-i,.2-Y, X),
^, = Y(i_Y)3-T5^(a-Y, p — Y + i, I — Y, ^)-
Posons maintenant
a:'(l — .r) dw r 1 " ^
Z := — — OU W = e'' -l^U— "<)•
Y «^ cix
L'équation (i) se change dans l'équation linéaire
(2) x{i — xy--^ ^(i_a7)[i — Y + (a — p-2)^]^ - (3(a — y)«^ = o
et nous arrivons à cette conclusion :
L'intégrale générale de l'équation linéaire (a) est :
(3) ty =Ge^ r(i-.r)y,, ^^^^
et cette intégrale peut se mettre toujours sous la forme
(3') n.=.Orte^"^^^ Aa\ + B^,,
Supposons la forme (3), c'est-à-dire 3 et (D connus et tâchons
d'en déduire le rapport -r^ •
Soit
— Ç^.pJ ■«•(1— •ïl'J'i o — ri>^^ ■'•(! — -«■•) ^1
En égalant le second membre de (3') à ii -\- v^ différentiant et com-
binant avec (3'), on trouve sans peine
La fonction (qui figure) dans le second membre doit donc être
une constante, ce qui exprime une propriété des deux solutions
particulières u et v facile à vérifier.
La différentielle logarithmicjue de (4) donne, en effet,
Y l^l l\ _ ff', ^'i
x{\-x)\t^^ ^i/ ^îx Ij
LETTRE 57. 125
$, et ^, étant des solutions particulières d'une même équation
linéaire du second ordre, on trouve
f; :^,— (E^i^; = '[x-^-l{\ — :r)T-a-p-i y(i — t)
\^OEuK'res de Gauss, t. III, p. 222, formule (94)]-
On devra donc avoir (avoir donc) :
ce qui revient à
(5) J(a, (3, Y, x)§{i — y., — j3, i — Y' ^)
T(i-Y)
xS'i X, j3 -f- 1, Y + i, ^) 3^(i ~ oc I, — P, 2 — Y, ^) = !■
C'est une relation qu'on ne trouve point explicitement dans le
Mémoire de Gauss; mais la formule (99) (p. 228)
{\ — x)S{'x, p, Y, a7).7(i — a, I— P, I — Y' ^)
— *^XllllllZlU^3?(a, S, Y + i, x)§{i — oi, 1—3, 2 — y, ^) =1
Y(i — Y) ^ ' r' 1 î / V ) 1 ) . |) /
donne, en transformant les quatre fonctions ^ à l'aide de
^(a, p, Y, :r) = (i-^)-aJ(a, y - p, Y, 7)> ^ = - 7:^ '
I = #(a, Y — ?, Y> r) '^'(i -=«,? — T, I — Y, JK)
T(i — Y)
En changeant [3 en y — P? JK en :r, on trouve la relation (5).
Nous avons vérifié ainsi l'équivalence de ces deux formes (3) et
(3') de l'intégrale générale. Cette réduction dépend de la pro-
priété (4) [équivalente à (5)] des deux solutions particulières m et
V. Je ne sais point si celte intégration de l'équation ( 2 ) est connue ;
j'ai vu seulement, dans le livre de M. Cajlej sur les fonctions ellip-
tiques (édition italienne de Brioschi, p. 228) que cet auteur a con-
sidéré les équations
3-H
{'
0
)Q-
— Q2-f
-3(1
-k'-
' dk
Q^
= —
3(1-
kr).
dz
'dk'
3(1-
-k'-
' dk'-
1
+ -
I — 5 k'-
k
'■ dz
dk
I
I
_/f2
126 CORRESPONDANCE d'HERMITE ET DE STIELTJES.
Mais, aulanl que je puis le voir, il ne semble pas avoir rencontré
la forme analytique que je viens de trouver pour l'intégrale géné-
rale. Je dois ajouter que le Messenger of Mathematics n'est pas
à ma disposition.
Veuillez bien accepter de nouveau l'assurance de mes sentiments
dévoués.
58. — STIELTJES A HERMITE.
Leyde, 3o juin 1884.
Monsieur,
Permettez-moi de revenir encore, pour une dernière fois, sur
le sujet de ma dernière lettre, parce que je viens de faire une
remarque qui éclaircit une circonstance qui semble singulière.
En elî'et, j'avais trouvé que l'équation
admet deux intégrales particulières a et v telles cjue le rap-
port - : ;^ est constant, ^JE*, et :^, étant deux intégrales particu-
lières de
d- V , r, -. t dv , f. .
(2) x{\—x) ;^ -+-I-Ï + 1 — (^+ ' -"^J^ -«(? + 1)7 = 0.
La raison bien simple de cette circonstance est qu'on passe de (i)
à (p.) par
on en conclut à cause de
y — Jl>J(a, p -hi, Y -H 1, X) -f- 'l)l)2-TcT(a — -;, fi -t- i — y, i — y, x),
w = X(\ — x) '^-Tcf (a — Y, p H-i — Y, 1 — Y, x)
-l- llb^rTd — ^•)-^-ycF(a, P -+- I, Y + 1, ar)
ou bien
w = Ao(i — ir)-?.f (1 — a, — [3, 1 — Y, X)
-+-a)l)a7Y(i — a7)^^-rj(a, ,3-4-1, '{ -^i, ^)-
LETTRE 58. 127
La comparaison avec l'autre forme de l'intégrale ol)lenne donne :
(3) (i-:r)-p^"(i-a, — p, I — Y, ;r)=:ae^-''*'~^' ^',
(4) a:-y(i — .rj''-Y.'7(a, p + i, Y + I, 57) = Ge-^ "'' ''* ^''•''.
Les seules choses que j'aie obtenues, à proprement dire, sont donc
ces deux identités (3) et (4) faciles à vérifier d'ailleurs par différen-
tiation logarithmique. Je rappelle
$ ^.f(a, p, Y, 0-),
'^ = P(a — y)^^-T(i — ^)T-='-Pcf (i — a, i — !3, 2— y, ce),
Ç, =.f(a, p + i, Y + i, •^),
^1= Y(i-ï)-^-Y(i — -rK-^-Pcl^Ci-a, -P, i-Y, ^),
on relombe ainsi sur deux relations identiques entre trois fonc-
tions rf. En considérant le cas particulier traité par M. Cajlej,
j'ai obtenu cette relation :
sinam'^-— - —
Donc
'^U'~G' 3'^
3
,2K 4
sin am2 -— =
2.4
2.1b
2.16
A-2
^•'^/t^
a. 28
I k^
2.28
2.40
Posant /,-= -> l'avais trouvé antérieurement
2
9K
G4oi['iG",59,
logsin = 9,954 3521, logsin2 =: 9,908 704*2;
128 CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.
la fraction conlinue m'a donné
logsin- = 9,908 7043.
D'après les règles de M. Schwarz, ■^ ( ,-t > ^ ' ^ ? A" j cl S' (-, —^, ^> k-j
sont toutes les deux fonctions algébriques de A\ Leur rapport l'est
donc aussi, comme nous le voyons aussi par la valeur sin-am — r- •
Je crains Lien, Monsieur, d'avoir demandé trop de votre indul-
ffence, mais ce résultat — : •:r— = const. me sembla bien singulier
avant que j'en aie (avais) aperçu la raison si simple.
Voire très dévoué.
P. S. — Voici une des formules les plus remarquables auxquelles
(à laquelle) j'ai été amené (comme expression d'un théorème
d'Arithmétique) :
q'
' + ^9 +
= q'
~q'
■Cf
+ ,^25
;(i
^-8.1)
— 9" (1 — 2r/-8-')
-i-981 (1 — 2g-8-i+ ag-s-f^)
— 9l21(i_ 2 9-8-'-F- 2y-8-'0
^ ^(4« + l>2(l_ a^-S-l'-h 2</-8-2' ...± 2^-8'»')
_ ^,(V«+3)2(j 2 9-8.1î_i_ 2^-8-2' . . .± iq-'^n'-).
59. — HERMITE A STIELTJES.
Flaaville (Lorraine), ! juillet 1884.
Monsieur,
J'entrevois bien des difficultés au sujet de l'expression appro-
chée des racines de X„ =^ o par la formule Xk^ cos -^^-^^ tt; -|- s.
' 4 ^ -+- 2
Je n'ai point réussi à voir de quelle manière vous parvenez à la
forme éléffante x^^ { \ ; ) cos tt, et ie crains bien
lettrp: 59. 129
maintenant de vous avoir engagé, en vous proposant cette
question, dans une de ces voies où les difficultés sont trop
grandes pour le but à atteindre. Vous aurez plus de profit à
suivre vos inspirations; les recherches que vous me communiquez
sur l'équation
x{i — ^)jk' -+- Y^ -l-(p — ot.) xy -\ *— ^ xj^ — y = o
Y
sont très belles et je viens vous demander de les publier soit dans
les Comptes rendus, et, en deux articles, vos lettres du 2-! et du
28 juin dépasseraient l'étendue réglementaire, soit dans les
Annales de l'Ecole Normale supérieure. Peut-être j aurait-il
quelque avantage pour vous à paraître dans ce Recueil, d'un accès
beaucoup moins facile que les Comptes rendus, et qui vous donne
droit à un tirage à part. M. Tisserand, à qui vous ferez grand
plaisir en lui envoyant une nouvelle communication, m'a appris
de vous, Monsieur, une circonstance qui m'a rappelé de désolants
souvenirs de mon temps d'écolier. J'ai eu aussi les examens en
horreur, et j'ai passé une année, étant élève de mathématiques
spéciales, à lire à la bibliothèque Sainte-Geneviève les mémoires
des collections académiques, les ouvrages d'Euler, etc. au lieu de
me mettre en mesure de répondre sur les questions de géométrie,
de statique, etc. M. X... m'avait pris en aversion et j'ai expié par
un liLinnliant échec mes fantaisies d'écolier savant. Plus tard, je n'ai
|ju prendre sur moi de subir les examens de licence es sciences
mathématiques lorsque cela eût été bien nécessaire, et ces examens
que je \ ais faire dans quelques jours en revenant à Paris et inter-
rogeant sur mon Cours, je les passerais fort mal, car mes leçons
faites, je les oublie. Je vous renouvelle mes félicitations au sujet
du titre que vous avez reçu du Sénat académique et qui vous dis-
pense des concours ; vous avez mieux que cela à faire ; au besoin,
M. Tisserand et moi, nous nous en porterions garants.
En attendant. Monsieur, un mot de vous sur une carte postale,
qui me fasse connaître vos intentions pour la publication de vos
deux dernières lettres, je vous offre la nouvelle assurance de mes
sentiments de haute estime et d'amitié.
Les quatre formules données par Jacobi, dans ses recherches sur
la rotation pour les développements en séries simples de sinus et
9
l3o CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELÏJES.
cosinus (les quantités —^rr- — — -> ... doivent être coniplélées par
douze autres, dont une partie appartient à un type anal vtiijue diffé-
rent, que voiei :
2K H'(o)H(.r-t-a) - " — ^ " "" "'"'"'
^ — C(
U(x)H{a)
cot ;-^ {a -h in ÎK' ) ~zi\ e '^
On suppose dans le second membre /? = o, ±i, ±2, etc., et quant
à £, on doit le prendre = -4- i , o, — i suivant que n est positif, nul
ou négatif. En développant ensuite suivant les puissances crois-
santes de q, on trouve
>\\ W (o)ll( T-h a) -X -iza v^ . -( mx -^ Jia)
■ n-^ rn = cot -p. -f- cot -— -+- > ^'""sin
- W{x)\\{a} 2 k 2 Iv ^ ^ K
(/« = I, 2, 3, . . . , « = I, 2, 3, . . .).
60. — STIELTJES A IIERMITE.
3 juillet 1884.
MoKSiEun,
Votre lettre m'a fait bien heureux, ci en réponse je vous informe
que je me propose de composer un article sur l'équation diffé-
rentielle qui admet comme intégrale particulière le quotient de
deux fonctions J.
Grand merci pour votre nouvelle formule elliptique. J'ai été
frappé surtout par le résultat élégant que vous avez obtenu en
développant suivant les puissances de q.
Un de ces jours j'espère vous présenter une petite Note qui
aura paru dans les Aslron. Nachrichten. A cette occasion je sens
encore le besoin de vous dire que j'ai beaucoup profité par l'étude
de votre cours de la Sorbonnc, dont vous m'avez fait un présent
si précieux.
Votre très dévoué.
LETTRE 61. l3l
61. — HERMITE A STIELTJES.
La Bourboule, i" septembre I88i^.
Monsieur,
Un commencement de diabète, qui n'a pas été sans quelque in-
fluence sur mon travail depuis l'année dernière et que je soigne en
prenant les eaux, ne me met guère en disposition de faire de l'Ana-
lyse. Cependant j'ai pris le plus grand plaisir à votre théorème si
nouveau sur les mineurs du déterminant
I A-f-a B-+-6 G-+-
R = I A' -4- a'
I y-^a"
et, si j'étais en meilleure santé, j'essaierais de retrouver votre démon-
stration. Permettez-moi, au moins, d'appeler votre attention sur
une remarque très belle de M. Rosanes, sur les transformations
en elles-mêmes des formes quadratiques, qui conduit immédiate-
ment aux expressions des substitutions orthogonales que j'ai don-
nées autrefois. Considérez la substitution que j'écris, dans le cas
de trois variables seulement,
a.r -I- a' y -+- a" z = aX -f-^Y -:-cZ,
bx -r- h' y -^ b" z =: a'X -t- 6'Y -4- c'Z,
ex -T- c'y -+- c" z = a"\ -f- 6" Y -i- c"Z.
Vous vérifierez sur-le-champ qu'on en conclut
x{ax -+- a' y -H a!' z) -^ y{hx -l- h' y -\- h" z) -t- z{cx -+- c'y -H c"c )
= X(«X -t- a'Y ^ cc"Z) + Y(6X 4- 6'Y -\- b"'l)-h Z(c\ -^ c'Y -^ c'Z ),
cest-à-dire une transformation en elle-même de la forme
a b' c"
b" -h c' a"-^c a' -^ b
En particulier, les relations
X — ^ty — [JL s = X -i- V Y — [ji Z,
^ix -{- y — \z = — > X -H- Y + X Z,
— \}.x -t- \y -^ z — [j. X — À Y -H Z,
où 1, 'J-, V sont les indéterminées d'Olinde Rodrigues, résultent.
l32 CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.
comme vous voyez, de la remarque de M. Rosanes. Je ne sais si ces
expressions, sous forme rationnelle en \, pi, v, permettraient de
démontrer votre proposition et surtout de la généraliser, ce qui
serait extrêmement important. En tout cas, permettez-moi de pu-
blier dans les Acta mathématica (' ) votre lettre que mon éloigne-
ment de Paris m'empéclie de donner aux Comptes rendus et qui
intéressera vivement, indépendamment de son application méca-
nique, et veuillez, en même temps, recevoir la nouvelle assurance
de mes sentiments de haute estime et de sincère amitié.
62. — STIELTJES A H ERMITE.
Leyde, 6 septembre 1884.
MoN!
J'ai appris avec (bien) beaucoup de tristesse cette mauvaise
nouvelle de votre santé, que vous me donnez dans votre dernière
lettre. Veuillez accepter mes vœux sincères pour votre rétablisse-
ment ! Je suis sûr que partout, dans le monde mathématique, on
en fera de même.
Votre lettre m'a fait reprendre l'étude de ce théorème sur les
substitutions orthogonales et j'ai réussi, dans le cas de quatre va-
riables, par un calcul qui ne laisse pas d'être un peu pénible. Le
raisonnement suivant laisse à désirer sur un point, mais il s'applique
à un nombre quelconque, pair, de variables.
Soient
a -f- Art h ^ \b (? -h Ac d -h \d
d"
Art ' d" -}- \d'
les coefficients de deux substitutions orthosronales de détermi-
(') La lettre de Stielljcs a été publiée (par extrait) dans le Tome ^I, p. Sig-Sao
des Acta mathématica, sous le litre : Un théorème d'Algèbre. — On peut rap-
procher ce travail de Stieltjes d'un travail antérieur : Sur le déplacement d'un
système invariaO/e dont un point est fixe {Archives néerlandaises des Sciences
exactes et naturelles, t. XIX, p. Sya-Sgo; iS84).
LETTRE 62.
i33
liant -}- 1 , et de plus
■. + i Art 6 + I \b
R
d" -+- l \d"'
\a Aô Ac Af/
\a"' . . .. Ul'"
En multiplianl, il vient
R X D = S =
(aa) (ab) (ac) (ad)
(ab) (bb) (bc) (bd)
(ca)
(da) (dd)
en posant
(aa) = (a -h { \a) \a -h (a' -+- { \a') Aa'-
(ab) = (a-i-lXa) \b h- ( a' + \ \a' ) \b' -
en sorte qu'on a
(aa) = (bb) = (ce) — (dd) = o,
(^ab) = — (ba), (ac)— — (ca).
c'est-à-dire le déterminant S est gauche.
Supposons R = o, cela entraîne S = o. Mais S étant gauche, la
condition S = o entraîne que tous les mineurs de S s'évanouissent
[cette remarque, qui s'applique à un déterminant gauche d'un ordre
quelconque /?«//"^ n'a peut-être pas encore été formulée expressé-
ment (peut-être)].
En supposant maintenant que D n'est pas zéro, on en conclut
aisément que tous les mineurs de R s'évanouissent aussi. En effet,
en nommant D^, D^^, . . ., les mineurs de D, on aura
R =
(art) (ab)
(da)
(ad)
(dd)
D
D
D
D
D
D
et les mineurs de R s'expriment linéairement par les mineurs des
deux déterminants à gauche, il vient, par exemple,
DRa = 'èiaa) ^« + ^{ab) ^b + S(„,.; Ac -h S,
'(«<-')
A(5f.
Rfl étant mineur de R, S^a^), S,^ad) étant des mineurs de S qui s'éva-
nouissent lorsque S = o.
l34 CORRESPONDANCE d'iIEKMITE ET DE STIELTJES.
Il reste à faire voir que, lorsque R = o, on n'a pas en même
lemps D = (I.
Dans le cas irun nombre pair de variables, ces deux dclermi-
nants D et R sont de même nature parce qu'il est alors permis de
changer de signe tous les nombres du Tableau.
h c d
\ ly .
Dans le cas d'un nombre impair de variables, D est identique-
ment zéro, et la démonstration précédente ne peut s'appliquer ( ' ).
J'ai été vivement frappé par cette belle remarque de M. Rosanes,
que vous avez portée à ma connaissance. Que c'est simple! On en
1 , 1 • -Al c 1 , , 1 ni n — [ ) , .
déduit aussitôt les lormules générales avec arbitraires pour
la transformation d'une forme (juadratique en elle-même, qu'on
vous doit (à vous), en même temps que l'expression rationnelle
d'une substitution orthogonale due à Cajlej et qui a coûté tant de
peine à Euler.
Si vous le jugez (cela) convenable, je verrai avec plaisir que vous
publiez ce que bon vous semblera (semble) de ma lettre. Mais tou-
tefois, cela ne doit pas vous coûter (causer) de la peine.
Je suis toujours, Monsieur, votre sincèrement dévoué.
P . S . — 11 j a (juelques jours, ma femme est accouchée duii
hls. Heureusement la mère et l'enfant se portent très bien.
63. — IIERMITE A STIELTJES.
Flanville par MeLz (Lorraine), 9 octobre 1884.
INIOJVSIEUR,
Je suis bien touché et bien reconnaissant de l'intérêt que vous
avez eu la bonté de me témoigner au sujet de ma santé. Je viens
C) Après la publication de la lettre de Slieltjes, M. Netlo a publié deux Notes
dans les Acta mathematica, t. IX, p. agô-Sco; 1887; et t. XI\, p. io5-ii4; 1895,
Sur l'extension des résultats de Stieltjes au cas d'un nombre quelconque de
variables.
LETTRE G3. l35
VOUS remercier et, en même temps, vous informer que j'ai envoyé
à M. Mitlag-Leffler votre avant-dernière lettre, en lui demandant
de la publier dans son journal. Ce que vous m'avez ensuite commu-
niqué dans votre lettre du 6 septembre m'a extrêmement intéressé
et je vous fais mon sincère compliment de votre idée ingénieuse et
originale d'avoir considéré le produit RD qui se trouve, sans que
rien ait pu le faire soupçonner, un déterminant gauche.
C'est là un résultat on ne peut plus curieux, et votre singulier
théorème se trouve ainsi démontré pour les déterminants d'ordre
pair avec beaucoup de simplicité et d'élégance. Vous réussirez cer-
tainement à traiter aussi le cas de l'ordre impair et je me permettrai
de vous engagera consacrer à cette question, qui intéressera vive-
ment les amis de l'Algèbre, un article suffisamment développé qu'il
serait naturel de publier dans les Acla, après votre lettre, à laquelle
il ferait suite. Je ne puis vous dire si, avant vous, il a été remarqué
qu'un déterminant gauche ne peut s'évanouir sans qu'en même
temps tous les mineurs s'annulent; mais peut-être trouverez-vous
quelques données sur ces déterminants dans un Mémoire de
M. Cajlej dont je ne puis vous donner l'indication précise, n'ayant
pas ici le Journal de C relie , et que je crois, cependant, avoir été
publié vers i85o, dans ce Journal ('). Vous n'aurez [)as de peine,
je pense, à le découvrir, en consultant laTable générale du Tome 50,
[)ar noms d'auteurs. Dans quelques semaines, je vous enverrai un
[)etit article elliptique (-) qui paraîtra dans les Annales deV Ecole
Normale et dont je m'occupe en attendant que, à mon grand regret,
je sois forcé de revenir à Paris pour les examens de la Sorbonne.
J'espère aussi recevoir bientôt de vous le Mémoire sur les qua-
dratures que vous avez donné à ce Recueil et que j'étudierai avec
le plus grand plaisir.
En vous renouvelant mes félicitations pour vos dernières re-
cherches, je vous prie. Monsieur, de croire à mes sentiments de
haute estime et de sincère affection.
(') Les travaux de M. Cayley sur les déterminants gauches se trouvent dans
trois Mémoires insérés dans le Journal de d'elle, t. 32, p. 119; t. 38, p. 3; t. 50,
p. 299.
(^) Sur une application delà théorie des fonctions doublement périodiques
de seconde espèce {Annales de l'École Normale supérieure, 3= série, t. II, i885).
l36 CORRESPONDANCE D'HERMITE ET DE STIELTJES.
ÎSIoi
64. - STIELTJES A IIERMITE.
Leyde, i!\ novembre 1884.
Veuillez bien m'excuser de ne mèlre (m'avoir) pas appliqué
encore avec succès à cette question sur les substitutions orthogo-
nales.
En réfléchissant sur certaines questions qui se rapportent à hi
théorie de la figure de la Terre, j'ai été frappé de (par) la puissance
de cette méthode où Ton conclut Texislencc d'une fonction (jui doit
remplir certaines conditions en faisant voir que cette fonction se
présente comme solution d'iui certain problème de maximum, ou
(de) minimum. Si l'on peut reprocher à cette méthode, dans
beaucoup de cas, un manque de l'extrême rigueur qui est toujours
désirable, en (par) revanche, il me semble qu'on peut aborder
ainsi, quelquefois, des questions qui paraissent inabordables par
d'autres méthodes.
Peut-être la Note ci-jointe en donne un exemple ('). J'ai envoyé
cette Note à M. Mittag-J^effler jîour ses Acta. Le cas p = i donne
immédiatement un polynôme hjpergéométrique de Jacobi dont
toutes les racines sont réelles.
Dans le courant de décembre, je compte me rendre à Paris;
j'espère que, vers ce temps, j'aurai résolu la question des substitu-
tions orthogonales.
Veuillez bien agréer, Monsieur, rexj)ression de mes sentiments
dévoués.
65. — HE B MITE A STIELTJES.
Paris, 27 novembre 1884.
MONSIKLR,
Je viens vous remercier de la Communication extrêmement inté-
ressante que vous m'avez faite de l'article que vous destinez aux
Acta mathematica, et qui concerne la généralisation des poly-
( ') Sur certains polynômes qui vérijient une équation différentielle linéaire
du second ordre et sur la théorie des fonctions de Lamé {Acta mathematica,
t. VI, p. 321-326; i885).
LETTRE 65. 187
nomes de Lamé, imaginée par M. Heine. Votre analyse qui est si
originale est, en même temps, parfaitement claire et je ne crois pas
que jamais personne ait eu l'idée de rattacher, comme vous l'avez
fait, à une considéi-ation d'équilibre la démonstration de la réalité
et des propriétés des racines d'équations algébriques. Permettez-
moi, Monsieur, de vous engagera insister tout particulièrement sur
le cas le plus simple et qui est aussi, jusqu'à présent, le plus im-
portant, celui des polynômes même de Lamé. Si mes souvenirs sont
fidèles, il me semble que M. Klein serait déjà parvenu aux résul-
tats que vous avez découverts, dans un article remontant à cinq
ou six ans, que contiennent les MaUiematische Annalen. Mais,
M. Klein n'aurait considéré que le seul cas des polynômes de Lamé,
et sa méthode n'a rien de commun avec la vôtre. Je ne me suis
point mis sous le même point de vue en m'occu])ant de ces quan-
tités; en prenant l'équalion du second ordre sous la forme
— [(H- A-2):p — ik"' x'^Y-j^ -j-[n(n -t-i) /i2^2-4- Z]7 = o,
j'ai surtout considéré les quatre polynômes en /, P, Q, R, S qui
déterminent, lorsqu'on les égale à zéro, les valeurs de cette
constante auxquelles correspondent des solutions de l'équation
différentielle qui sont des polynômes entiers ou bien des produits
de polynômes entiers multipliés par \/i — x- ^ \i \ — k'-x'-^
y/(i — x'-) (i — k-x'-). En laissant indéterminée la constante /, ces
diverses expressions sont des solutions de l'équation différentielle,
avec un second membre de la forme
P, Q^/i — :r2, R/i — A-^x'^, S\/{i — x^-) {i — k'^x'^)
ou ces mêmes quantités multipliées par^, suivant les cas.
En second lieu, et considérant toujours / comme un paramètre
arbitraire, on a cette circonstance analytique bien remarquable
qu'en développant j' suivant les puissances descendantes de x,
on a pour n pair cette expression
l38 CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.
puis, pour n impair,
^=F,(-)+p(u|;+...).
où V[x) el F, [x) sont des polynômes de degré n et dans lesquels
les coefficients a, a', . . ., |i, [3', . . . des séries infinies sont fonc-
tions entières de degrés croissants o, 1,2, ... de /. Et de
même
y = /T^^ [f, (a- ) + Q (^ J- + I- +. . . j j ,
j-^ /i — .r2 F3(.r) + Q( |. +^i-^---
En résumé, c'est moins aux solutions algébriques de l'équation
qu'à ces polynômes en /, P, Q, R, S que je me suis attaché jus-
qu'ici.
Mais vous avez embrassé, dans vos dernières recherches, bien
d'autres belles questions, la loi de la variation de la densité de
l'écorce terrestre ('), et, en dernier lieu, une généralisation pro-
fonde de la théorie des quadratures mécaniques (-), dont je me
fais un plaisir de vous apprendre que mon cher confrère M. Tisse-
rand m'a parlé avec les plus grands éloges. En vous exprimant,
Monsieur, le désir et l'espérance qu'à votre prochain voyage vous
voudrez bien venir chez nous, diner en fanulle, pour que nous ayons
ainsi l'occasion de causer de tout ce qui nous intéresse, je vous
renouvelle, avec l'expression de ma plus haute esliuie, celle de mes
sentiments de bien sincère afl'ection.
( ') Les travaux de Slielljes sur la loi de la variation de la densité de la Terre
ont été publiés dans trois iNotes :
1° Note sur la densité de la Terre {Bulletin astrononi., t. I, p. "jlJS; 188^);
2" Quelques remarques sur la variation delà densité dans l'intérieur de
la Terre {Arch. néerland., t. XIX, p. 435-''|6o; 1884);
3° Réimpression du travail précédent dans le Tome I, 3" série, p. 272-297; i885,
des Verslagen en Medeelingen der koninklijke Akadeniie van Wetensc happe n
te Amsterdam.
(-) Le travail auquel M. Herniilc fait allusion a paru dans le Tome XCIX des
Comptes rendus, p. 85o, 17 nov. i88'|, sous le titre : Sur une généralisation de
la théorie des quadratures mécaniques.
M0N5
LETTRE G6. 189
66. — HERMITE A STIELTJES.
Paris, i3 février i885.
La Note manuscrite jointe à l'exemplaire publié dans les Acla
m'intéresse extrêmement. Les résultats auxquels vous êtes parvenu
ajoutent, s'il est possible, à mon admiration ])our votre beau talent
en Analyse, et je viens vous prier de m'autoriser à les publier dans
les Comptes rendus avec la modification suivante qui est chose
bien légère et de pure forme, mais que je dois vous soumettre. Je
vous propose donc de dire que les racines x^^ x-^, . . ., x,i de X„ = o
font acquérir une valeur minimum à l'expression
en faisant
Et, de même, pour le théorème analogue concernant le polj-
nome l],i = x" — x"~--\-. . . qui ne m'est pas inconnu,
mais auquel je n'ai plus songé depuis longtemps. TNlais comment
avez-vous découvert ces propositions sur les minima ; comment
avez-vous obtenu les discriminants de X„, U,i et V« ?
Pendant que vous vous livrez avec un si grand succès à vo^
recherches de haute Analyse, je fais, par suite des circonstances,
des leçons à la Sorbonne, et je dois même dire que je suis redevenu
écolier. Mon cher collègue et ami, M. Bouc[uet, qui fait le cours de
calcul différentiel et de calcul intégral aux candidats à la licence,
a eu une attaque de goutte, et je l'ai remplacé pendant qu'il était
malade, en croyant cjue ce ne serait que pour une semaine ou deux.
Mais son médecin lui ayant ordonné le repos, il a renoncé entière-
ment à son cours; on m'a demandé de continuer à le remplacer
jusqu'au i5 mars, c'est-à-dire jusqu'à l'époque où je commence
mes leçons pour mon propre compte. A ce moment, ce sera, sans
doute, M. Picard que la Faculté nommera suppléant de M. Boucjuet,
et M. Poincaré qui fera, à sa place, le cours de Mécanique expéri-
mentale. Il m'a ainsi fallu rapprendre des choses, comme les lignes
de courbure des surfaces, les lignes asymptotiques et bien d'autres
du même genre, dont je n'avais plus aucun souci, et qui m'étaient
presque complètement sorties de l'esprit. M. Picard m'aide beau-
t4o correspondance d'hermite et de stieltjes.
(^ou]i à me remémorer ces ihcories de calcul différentiel. Mais j'ai
lin effort sérieux à faire pour apprendre au jour le jour ce que je
dois enseigner, et plusieurs recherches que j'avais commencées,
entre autres sur la transfoi-niation des fonctions elliptiques, sont
forcément interrompues.
En vous priant, Monsieur, d'avoir la bonté de m'envojer un mot
sur une carte postale, pour m'informer si vous consentez à la [)u-
blication de votre Note dans les Comptes rendus, je saisis cette
occasion pour vous renouveler l'expression de ma plus haute estime
et celle de ma bien sincère affection.
Vous convient-il de donner à votre Note, jiour titre : Sur
quelques théorèmes d'Algèbre {^)?
67. — STIELTJES A HERMITE.
Leyde, 20 février i885.
Monsieur,
La Note ci-jointe (-) formera peut-être une suite naturelle à celle
(|ue vous avez présentée dernièrement. J'avais calculé, il J a déjà
quelqvie temps, le discriminant de X == o, ce qui m'avait montré
(pie cette équation ne peut avoir d'autres racines multiples que o
et I . Mais c'est seulement après votre flernière lettre cpie je me suis
aperçu que le calcul des fonctions de Sturm peut s'effectuer sans
difficulté.
Je trouve :
o(n,rt,c) — x':^{n — l,r^c) = — Ao(p(« — i,« — i,c — 1)
vi{n — i,«,c) — cp(rt — i,« — r,c — i)= — Bicp(« — 1, a — i,c — a)
(f ( « — 1 , rt — I , c — I ) — x<d{ii — •>. , a — I , c — 2 ) = — A I o ( /j — 2. a — •>., c — 3 )
<f (n — 2, « — I , c — 2) — œ(/i — 2, a — 2, c — 3) = — Bj ci>(« — 3, a — 2, c — 4 )
cp(rt — 2, a — 2,c— 3) — xc^{n — 3,rt — 2,c — 4)= — ^i'fin — 3, « — j,c — 5)
œ( rt — 3, a — 2, c — 4) — o(n — 3, a — 3, c — 5) = — B3<p(rt — 4- « " 3, c — 6)
o{n — 3, a — 3,c — 5) — a^'f(/i — 4,« — 3,c — 6)= — k^oi^n — ^, a — \, c — 7)
'f(rt — 4,« — 3,c — G) — cpfn — '|,a — 4,c — 7)= — K4«p(« — 5)« — i^c — 8)
(') C'est effectivement le titre delà Note de Stieltjes imprimée dans le Tome C
des Comptes rendus^ p. 439-44^; 16 février i885.
C) Cette Note, qui est la suite de la Note indiquée dans la dernière lettre,
a paru dans le Tome C, p. 620-622, 2 mars iS85, des Comptes rendus avec le
litre : Sur les polynômes de Jacobi.
LETTRE 67. l4l
OU
B,= ^'^-')^
B,=
c{c — 1)
{n — 'i)(b — i)^
(c — 2)(c — 3)'
(»-3)(6-90
(c-4)(c — 5) '
A,=
A3 =
(«-
• )/c-
n)
I)(C-
0
(a-
-3)(c
3)(c-
-4)
/i —
2)
(c
-5)(c
-(3)
d'où
cp(/2, a, c) — (37— Ao) cp(n — I, a, c) = — An'Bio(n — -2, a — i, c — 2),
o{/i — I, a, c) — (.r — Bi — Ai)o(/i — 2, a — i, c — 2)
= — AiB2cp(Ai — 3, a — 2, c— D,
(f{n — 2, a — I, c — 2) — (x — B2 — Ao) cp(/i — 3, a — 2, c — 4)
= — A2B3<p(« — 4) Ci — 3, c — G);
or
donc
X == (f (/t, «, c), Xi—no(n — \,a,c),
X2 = AoBio( rt — 2, a — I, c — 2),
X3= /i Al BoçC/i — 3, a — 2, c — 4))
X;= AqBi A2B3cp(rt — 4> a. — 3, c — 6),
X5= /iAiB2A3B4cp(rt — 5, a — 4, c — 8),
elles fonctions de M. Sjlvester
/i2AoBiCf(/i — 2, a — I, c — 2),
«3(AoBi)2AiB2'f(« — 3, « — 2, c — 4),
nHAoBi)3(AiB2)2A2B3cs(/i —4, a — 3, c -6),
ft5(AoBi)''(AiB,)''(A2B3)2A3BiCp(/i — 5, a — 4, c — 8),
C'est le résultat que j'ai indiqué.
J'espère ne pas vous importuner avec ces remarques bien simples.
Veuillez Lien me croire votre très dévoué.
\^2 CORRESPONDANCE DlIFRMITr. ET DE STIELTJES.
68. — STIELTJES A IIERMITE.
Leyde, n mars i885.
^lo^SIEL'n,
Je me permets de vous communiquer le théorème suivant auquel
je suis arrivé par un chemin bien détourné. Si je ne me trompe,
il est de nature à vous intéresser. Je le crois susceptible d'une
grande généralisation.
Soient z et :;'deux variables complexes
\ §,{z, z') = z'-b-k'b{z,z')'
Pour des modules suffisamment petits de A et k, les écjuations
(2) rJ{Z, Z')^0, riiiZ, Z') = O,
admettent une solution z = u, z' = i', voisine de z =: a, z' = b.
Cela posé, je considère l'intégrale double
(|'( :;, z' ) dzclz'
(A) rrjj^^^u!^
J J J(z, z')J,(~;
le chemin d'intégration relatif à z étant un contour fermé envelop-
pant ^ = «, parcouru dans le sens direct; de même celui relatif à
z' un contour fermé enveloppant z'=^b. Alors la valeur de l'inté-
grale est
(?(". '')
(B) i-i-cr-
dz dz' dz' dz
Il me semble extrémeuient |)robal)le qu'il existe un théorème
analogue pour une forme moins parlicub'ère des fonctions S' et 5i
et comprenant le cas oiV(que) les chemins d'intégration renferment
plusieurs solutions du système (2); mais, pour le moment, je ne me
hasarderai point à cette généralisation c[ui devra présenter encore
des circonstances singulières dont je me contente de signaler l'ori-
gine. En effet, l'expression (A) ne change pas en permutant les
deux fonctions rT et J^i tandis (pic rcxj)ression (B) change de signe.
LETTRE C8. 143
Mais M. Kronecker, clans son jMémoirc Ueber Système von Func-
lionen niehrer Variabeln [Monalsbericlite de r Ko nigl . A kad . d .
Wissensch. 1869), a déjà introduit des considérations qui s'appli-
queront probablement avec certaines modifications dans le cas
actuel.
Voici, n)aintenant, comment je suis arrivé à ce théorème.
On a
V ! / - 1 \ ) / 0 0
ou bien, d'après les formules de Cauchj,
. ^"V ''"' ^"^ d"'+"Ç(a, b)'f'"(a, b)'lff"(a, ù) _
0 0
.m \ .1. . .11 da'" db'^
or, la série
0 0
j-n d"'+''Ç(a, b)(f'>'(a, b)'y'(n. b)
\. ■>.... Il da"'db"
est égale à
d'après une généralisation de la série de Lagrange donnée par
M. Darboux (Co/»/>^<?5 rendus, t. LXVIII). J'ai envoyé dernière-
ment une démonstration de cette formule à JVI. Tisserand ('), en
la généralisant en même temps pour un nombre cjuelconque de
variables. Aussi, le théorème énoncé peut être énoncé de cette
manière.
L'intérêt qui me semble s'attachera cette généralisation du théo-
rème de Cauchj m'a déterminé à vous la communiquer. Certaine-
ment, si je ne me suis pas trompé, le théorème en question doit
être démontré d'une manière plus directe et moins particulière,
quant à la forme des fonctions § et §\ . Mais je suis, en ce moment,
trop occupé pour songer sur cela. Je ne nie pas, cependant, que
j'aurais bien volontiers votre opinion et celle de M. Picard (sur
(■) Cette généralisation de la série de Lagrange a été publiée dans Iq^ Annales
de l'École Normale supérieure, Z" série, t. II, p. gS-rjS ; i885.
l44 CORRESPONDANCE d'hERMFTE ET DE STIELTJES.
cela) à ce sujet. Ya-t-il, après tout, une erreur, dans le raisonne-
ment? je ne vois pas (').
Votre bien dévoué.
69. — STIELTJES A HERMITE.
Le} de, i3 mars i8&5.
Monsieur,
Quoique pressé par des calculs numériques, je n'ai pu résister au
aies
Ç){z^ z' ) dz dz'
désir de songer sur les intégrales
//
§{z,z')§i{z, z')
excité surtout j)ar le paradoxe apparent dont j'ai parlé dans ma
dernière lettre. Pour en savoir la cause, j'ai envisagé directement
des contours infiniment petits autour d'un système ii^ t'
§{u, v) =o, ^i{u, v) = o.
Soit :.^zu-\-t, z'=^^v-\-t', et négligeant des quantités d'ordres
supérieurs,
^ {u-h t, V -+- t') = at + bt\
§i{a ^ t, i> -^ f') = et -+- dt' .
Dans les intégrations, les modules infiniment petits de / et /' i-estent
constants. Il faut distinguer quatre cas :
U«H> ! è^'l ,,. , , , , . , . „ ^ff". <^^
iW \ . ' 1 intégrale est esrale a (.jr f )^ -'S ; — '
^ > ( |c^ l<If//'l ad — bc
U «' l< K^'' 1 „. , , • , - .
l\\\ { 1 intégrale est égale a zéro,
\\at\>\bt'\ ^,. , , , , . ,
<\\\\ ' 1 intégrale est égale a zéro,
{\<-i(\<\bl'\ ^„ , , , , . . „ Qdi-^v)
(IVi < 1 intégrale est égale a (27ïi)2^£ ■•
^ \ \cl\>\ dl' I '' ° ^ ' bc-ad
(') M. Poincaré, clans son Mémoire sur les résidus des intégrales doubles
{Acta inalhematica, t. IX), a montré (§5, p. 307) l'origine de la contradiction
du résultat de Slielljcs.
LETTRE G9. 145
Il faudra certainement trouver une interprétation naturelle de la
différence qui existe entre I et IV. Je n'ai qu'une idée imparfaite de
la méthode qu'il faudrait suivre pour arriver à une théorie com-
plète de ces intégrales.
Naturellement, pour que l'intégrale ait un sens, les chemins
d'intégration ne peuvent être choisis tout à fait arbitraires, comme
dans le cas d'une seule variable.
Je remarque c[ue, lorsque la théorie de ces intégrales sera com-
plète, on en déduira la formule de iM. Darboux :
.^(.,.-):i=y,y,
^ — a — ho{z, z') = o,
z' — b — k '\i(z^ z') = o,
/i'« k" r/'«+"i(a., h) o"'(a. b) 'V'^a, b)
A^^ \..-i. . .m \ .1. . .n da"^ db"^
0 0
précisément comme vous avez déduit la formule de Lagrange du
théorème de Cauchj. Et de même pour un plus grand nombre de
variables. Comme vous vojez, j'ai suivi un chemin inverse, en adop-
tant la formule de M. Darboux. J'ai été amené, grâce à votre mé-
thode de démonstration de la série de Lagrange, à la considération
de ces intégrales :
//
q{z,z'Ulzdz
1{z,z')É,{z,z')
Aussi, si je n'avais eu connaissance de cette démonstration si
simple exposée dans votre Covirs professé à la Sorbonne, sans
aucun doute je n'aurais jamais été conduit à la considération de
ces intégrales. Mais je dois borner ici mes recherches. Initié à la
théorie de Cauchj principalement par votre Cours, j'en suis un
admirateur plutôt qu'un cultivateur, et (je- dois) restreindre mes
efforts aux applications des mathématiques aux phénomènes na-
turels.
Comme vous le voyez, la remarque accidentelle que j'ai faite l'au-
rait pu être depuis bien longtemps.
Votre élève bien dévoué.
l46 CORRESPONDANCi: o'ilERMlTE ET DE STIELTJES.
70. — U ERMITE A STIELTJES.
Paris, i3 mars i885.
MoNSIEUl!,
Nous avons lu, iM. Picard et moi, avec le plus grand intérêt,
votre i-ésultat concernant l'intégrale
Çl(:;, z')dzdz'
II:
mais la circonstance signalée par vous-même que l'expression ob-
tenue change de signe en permutant S et S'x nous paraît bien grave.
M. Picard s'est demandé s'il était bien sûr qu'on pût aussi, comme
vous le supposiez, obtenir pour z un contour d'intégration conte-
nant à son intérieur le point z ^= a^ puis pour z' un contour com-
prenant z' =^ h et tels que jamais le long de ces chemins on n'ait
^{z, z') = o, ^i{z, z') = o?
J'attendrai, Monsieur, un mot de vous avant de communiquer à
l'Académie votre résultat qui touche à des questions du ])lus haut
intérêt et qui ont certainement préoccupé bien des analystes.
M. Picard croit se rappeler que les Annales de V Ecole Normale,
dans les environs de l'année 1869, contiennent une Note de Didon
(mais je n'ai pu encore la rechercher dans ce Recueil) qui se rap-
porte au même sujet (').
Avec la nouvelle assurance de ma plus haute estime et de mes
sentiments ]:)icn dévoués.
71. — STIELTJES A II ERMITE
Paris, 18 juin i385. 120, avenue d'Orléans.
MOWSIEUR,
Parla Note ci-jointe (-) vous verrez que je suis encore fidèle à
l'Analjse. Dans le cas où (que) cela ne vous paraîtrait (paraît) pas
( ' ) La Note de Didon, qui a pour titre : Sur une formule de Calcul intégral,
est insérée dans les Annales de l'École Normale supérieure, 2° série, t. I,
p. 3i-48; 1873.
(') Sur une fonction uni/orme {Comptes rendus, t. Cl, p. i53-i54, i3 juillet
i885).
LETTRE 72. 1^7
trop indigne, je vous serais très reconnaissant si vous vouliez (vou-
driez) la présenter à l'Académie afin d'être insérée dans les Comptes
rendus.
Je me propose de calculer les premiers coefficients Co, Ci, Go, ...,
mais je n'ai fait le calcul jusqu'à présent que pour C| seulement,
la valeur de Go étant Lien connue. On a
Cl = — - 0,07281 55iio, . . .
Donc
^(^ -I- I) = - -t- 0,577-21 5G6j . . .-h 0,07281 5520. . . ^ -H. . . .
Ges trois termes donnent, pour ; = zt i ,
^(2) = -!- 1 ,65oo3 au lieu de i ,04493,
^(o) = — 0,49560 au lieu de — o,5.
D'après cela, il semble que déjà les premiers coefficients diminuent
assez rapidement et le terme suivant doit être, à peu près,
— 0,0047 ''•
Quand je suis allé visiter M. Picard, il y a quelques semaines,
j'ai été bien aise d'obtenir de bonnes nouvelles de votre santé. J'ai
voulu aussi aller vous voir, mais j'ai mal choisi mon temps et vous
étiez sorti.
Je suis déjà (depuis) quelque temps à Paris, où je pense rester,
du moins en France, et j'ai déjà fait le premier pas pour me faire
naturaliser français en demandant l'admission à domicile, que j'es-
père obtenir bientôt.
Veuillez bien agréer, Monsieur, l'expression de profond respect
de votre très dévoué serviteur.
72. — HERMITE A STIELTJES.
Paris, 19 juin i8S5.
Monsieur,
Permettez-moi, sauf avis de votre part, de supprimer après l'équa-
tion du commencement de votre Note,
^ - -I- I ) = - -+- (70 4- «1 :; 4- . . .
l'jS COIMJESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.
les mots « convergent dans tout le plan », puisque vous avez soin
\(nis-mêuic de dire un peu plus loin que la série
définit seulement la fonction lorsque la partie réelle de z surpasse
Tunilé. Je regrette aussi que vous n'ayez point rappelé que c'est à
Dirichlet qu'est due la valeur + i du résidu correspondant à ^ = i ;
mais j'espère que vous développerez plus complètement vos idées
sur ce sujet dans un travail suffisamment étendu et que votre pré-
sente Note est surtout pour prendre date.
Nous nous félicitons, M. Picard et moi, que les circonstances
vous amènent à devenir notre concitoyen, et c'est en vous expri-
mant tous mes regrets d'avoir perdu l'honneur de votre visite que
je vous prie, Alonsieur, de recevoir la nouvelle assurance de ma
plus haute estime et celle de mes sentiments bien dévoués.
73. — HERMITE A STIELTJES.
Paris, 21 juin i8S5.
MOJVSIEIJR,
Vous avez mille fols raison, et j'ai grandement fait erreur en
croyant que la partie entière dans votre équation
n'était pas convergente dans tout le plan. C'est ce que j'ai reconnu
au moyen de l'expression dont Riemann fait usage, à savoir :
Écrivant, en efï'ct,
x^dx r x^dx /** x^ dr
/""■ xUlx _ r x^dx r x^dx
on volt d'abord que la seconde intégrale, qui n'est plus infinie pour
s = o, détermine une fonction holomorphe de cette variable, si l'on
convient de j)rendre parmi les diverses déteruiinations de .r^ ce que
~ — ~'
e-*^ I
LETTRr: 73.
I49
j'observe qu'en supposant mod.i' <^ 2~ el a fortiori .x <ii, on a,
en série convergente,
d'où
B, — -B. —
1.2 I . '2 . i . 4
Jr x^dx _ r
e-^ — i ~ s
B,
I . 2 ( s -t- 2 ) 2 , 3 . 4 ( S -T- 4 j
Tl en résulte facilement que le second membre représente une
fonction analytique de s dans toute l'étendue du plan, fonction
méromorphe, admettant pour pôles 5 = 0, — i, — 2, .... Mais
est la fonction holomorphe
1\5H-I)
e"n
(n = I, 2, 3, ...),
de sorte que le produit
r ( s -H I ) \ 5 2 .s -H [
a perdu tous ses pôles, à l'exce|)tion du seul pôle 5 := o et, en même
temps, on voit que le résidu correspondant à ce pôle est bien égal
à l'unité.
En m'excusant de vous avoir fait un reproche si mal fondé, je
m'en permettrai un nouveau. Pourquoi, Monsieur, dans votre beau
résultat, et qui m'a on ne peut plus intéressé,
(logi)'^' (logn)'^' (logn)^+>
1 ' ' ' n /i -I- I
(«
écrivez-vous le premier terme et ne commencez-vous pas par le
, (log2)''''o T 1 7 -1
seconu ^ — - — • L,e cas de A' = o ne sera pas exceptionnel, avec
cette minime précaution.
En vous renouvelant. Monsieur, l'expression de ma plus haute
estime et de toute ma sympathie.
CORRESPONDANCE I) HERMITE ET DE STIELTJES.
74. — HERMITE A STIELTJES.
Paris, 23 juin i885.
M(
En m'occiipant, pendant la séance de l'Académie, de la relation
f|iie vous avez obtenue sous la forme suivante :
ou
Uz-\-\) = - H-Co— Ci^ + C,^^ ....
Z 1.2
y(logn)^-_(Io^n)^ ^^^^
Ad n A- -f- I
je rencontre une difficulté que je prends la liberté de vous soumettre.
On trouve, en effet, au mojen de vos coefficients C^ que ^(s + i)
est la limite, pour n infini, de
II II
C'est certainement exact pour :; positif, mais non lorsque^ + i est
gatif.
La quantité à retrancher de
négatif.
I
I -î
pour obtenir un résultat fini, lorsqu'on suppose n infini, étant beau-
coup plus compliquée que -^—.'
Dans quelques jours, je vous enverrai la rédaction plus correcte
de ma démonstration de l'égalité
Veuillez, en attendant. Monsieur, recevoir la nouvelle expres-
sion de mes sentiments les meilleurs et les plus dévoués.
LETTRE 75. l5l
75. _ STIELTJES A II ERMITE.
Monsieur,
Je ne crois pouvoir mieux répondre à votre lettre qu'en vous
envoyant une démonstration de ma série — h C — C(5 +. • • qui
me semble à l'abri de toute objection ( ' ).
L'idée de considérer ^(^ + i) comme définie par
est bien naturellement indiquée par la forme des coefficients C.
Toutefois, ce n'est pas ainsi que j'ai trouvé d'abord ces coefficients.
Mais on peut aussi, avec certaines précautions, obtenir le dévelop-
pement de cette façon et détruire tous les doutes.
L'équation dont je fais usage,
Ç ( s -(- I ) = - -h — î— / ( — -) x^ e-^ dx
' s X\.{s)J^ Veï^— I xj
est valable pour partie réelle de 5 >■ — i , et étend ainsi déjà la défi-
nition originelle (originale).
Mais on a
e^ I I B, B,
se '- — : x^-\- . . ,,
e^ — I X 1 1 . '2 1.2.3.4
et l'on peut écrire ainsi :
Ç(5-i-i)= i + i + — !— / i~ l^l\xse-^dx (PR5>— -2),
5 2 n(5)J|j Ve*- — 1 X 2/ ^ ■"
(:(5-t-i)=-H \- ■ — (s + 1)
s 2 1.2
TTl—, -7: x)x-'e-^dx (PR«>— 4),
11(5) / \e-^— I X 2 1.2 / ^ -^ M/,
^(.S+ I) = - -H- -f- — ^(5 + 1) L_(5-f-l)(5 + 2)(5-H3)
S 1 1.2 1.2.3.4
n(^)i
e^ I _ I B, B2
I X 2 1.2 2
~xAx^e-^dx (PR5>_G
(') Voir à la fin de cette lettre.
IJ2 CORRESPONDANCK D IlEHMITE ET DE STIELTJES.
I ; n(i) étanl holomorplie dans tout le plan, on reconnaît aussi, en
procédant ainsi, le caractère analjlique de la fonction s (')•
J'avais cru, un moment, que ce procédé ne différerait j:)as au fond
de votre méthode; mais cela ne me semble pas vrai et, tandis cjue
votre méthode donne aussitôt les valeurs de "^{o), J^( — i), Ç( — :>.)...,
les expressions précédentes donnent
C(o) =--\
' 3 2
— 2 >
I .2
«-3,=-^.i
^ ''■ , 3 '. . ^'-
1.2 1.2.0.4
c<-.)=-^i
/ Bi , „ B.2
— . [-4.3.2 ^—
1.2 I .2.3.4
«-5,=-l-.l
.- ^1 , -. / o B2
1.2 1.2.3.4
5.4.3.2.1
1.2. 3. 4."). 6
et ce n'est qu'ajîrès avoir profité de ces relations
/Il B,
— - H 2 = O,
3 2 r . 2
I i .. Bi
— - -\ 3 = o,
4 2 1.2
5 2 1.2 1.2.3.4
— - -f- 5.4. J
(> 2 1.2 1.2.3.4
qu'on trouve les valeurs définitives.
Ces relations (A), du reste, découlent de
e*' — I / I B]
e-«^ = 1 i -+- -x-\
2 I .'.
Cette fonction X^ présente pour moi encore bien des difficultés;
par exemple, jusqu'à présent, je ne vois aucun moyen sûr d'évaluer
(') Dans CCS formules, n(5) désigne, suivant les notations de Gauss, la fonc-
tion culérienne r(5-hi), et PRs la partie réelle de la variable imaginaire s.
LETTRE 75. l53
à peu près l'ordre de grandeur de Ca lorsque A" est grand. Je penche
un peu pour croire que les Ca eux-mêmes (sans être divisés par
1.2. . .k) diminuent rapidement; mais je ne vois pas clair et peux
me tromper.
Je vous remercie encore d'avance, Monsieur, pour la rédaction de
votre démonstration de ^(; H- i) = - + (j'(:;) et sais avec le plus
profond respect votre serviteur bien dévoué.
Développement de (j(.y + i).
Je pars de la relation
G'(s + I ) = --- — • / dx,
J^ ' 11(5) J„ e---i
que j'écris d'abord sous la forme
ce qui met en évidence déjà que
Q{s -\- i) ■ =G (pour s = o),
G étant la constante bien connue d'Euler.
En développant l'intégrale suivant les puissances de s, 11 vient
(f) y(*-^- 0 = - + 7r7T^(«o-+-«i5M- -^s2
où
«„=^ {-l--'-:^y\0^X)ndx.
Je vais calculer maintenant la valeur de a„.
Pour cela, je rappelle que
n(5)= / xse-'^dx,
d'où, en dilTérentiant n fois,
n(«)(o)= / {\ogx)" e-"^ dx = k l {\o^x -\-\o^k)n e-i^^ dx,
(2) / {\o^x -h\ozk)"e-''x dx = j\\"{o) (/.•>o).
ID4 CORRESPONDANCE D HERMITE ET DE STIELTJES.
En posant, pour abréger, log^ -+- logA' = T, on aura
/ {logx)"e-^-^ dx = I Çï — \ogk)"e-'''^ dx,
•'o «A
el développant la formule du binôme, on trouve, à l'aide de (2),
1) / {\o^x)"e-''-': dx
^0
= n"(o)y — n"-»(o)— ^^ — 1 — î^ ^n'«-2'(o)-^ — ^—^ + —
Al k \.i k
En prenant successivement ^ := 1 , 2, 3, . . . , r, et faisant l'addition
^) J i^e-^ {lo^xydx
X, s ; 1 I I
n'Ho)(--4--H-3
" r. ,/ X /'oS2 loi;3 loï/-\
1.2 L 2 3 '■ J
Le premier membre peut se mettre sous la forme
-+- / (l0ga?)«(5?^
— / ( ! )e-('-+"'^(lo£r^)" f/a7.
La première intégrale est précisément «„, la troisième tend évidem-
ment vers zéro; quant à la seconde, en la désignant pary(/'), il vient
/'(/•)= j e-'''-+^ix{\o^x)" dx
c'est-à-dire, d'après (3),
/V) = ;:^n»(o)-2n.-.(o,!2£<^
■^''^''-■)nu-.-(o)''°8<'- -*-■>''-...,
LETTRE /O.
donc,/(r) s'évanouissant avec r,
•2
1.2 3
Il vient donc
n „ , , , Uoga logr i r . .
n"-i(o) — ^ 4-...M 2 [|og(,. + ,)]2
I (2 /• ,. L o \ /j
»("« — I) ^^ I(l0g2)2 (log/-)- f ri / 1,1
1.2 ( ■'- /' 3 ^ '
et, pour /• = 00, en posant
G = - H-.- -f-. . .H logf/'-t-i) (r = zo).
12 /•
^ (log2)^" (log;-)^' T r, ,
C/,= ^ — ^-^ +...4- ^ ^ ^ ^ log(r + i)U-+i
(;- = cr., /c =1, 2, 3, ...),
a,, = n«(o)C- -n"-i(o)G,+ '^^''~'^n^'-2(o)C. ....
Celte valeur de «„ montre bien que la série
«o-t- «15 -1 s2 + . . .H : s'
1.2 I.2.. . .11
est le produit des deux séries
et
TT/ X n(i)/ N n^o) , n"(o)
1.2 l.l. . .11
G_G,5 + -^52-...± ^" —
1.2 1.2. . ./i
Or la première série étant le développement de n(5), l'équation (i)
donne
l56 CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.
76. - STIELTJES A IIERMITE.
Paris, 28 juin i885.
Monsieur,
En réfléchissant sur cette question delà continuation analytique
de fonctions définies par des intégrales définies dans une partie du
plan seulement, j'ai fait cette observation bien simple que
1 ^a-1 ( g-x_ , _|_a- ±...± )dx,
^ \ [.■>. \.i...nj
tant que la partie réelle de a reste comprise entre — /i et — (/i + i).
A Taicle de cette remarque, on trouve facilement que la conti-
nuation analytique de
^^ (I<PR«)
est donnée par les formules
*(rt)=r -^"'^^ (;7zr7 ~ i) "^^ (o<PRrt<i.)
*«" = /'--' (?^-^*î-r^") (-3<PR„<-
^(a) = r*^«-' ( — î + ~cc^ |-^^M ^f^ (— 5<PRa< — :
^ ' J V e-t — I X '1 1.9. 1.2.3.4 /
Ces formules sont d'un caractère bien diflérent de celles que je
vous ai d'abord communiquées.
Comme (une) autre application, j'ai considéré la fonction
définie d'abord pour o <^ Pila ■< i seulement.
L'équation
/(«) -T{a) =J x-^ (^j^ - e— ) dx
*
LETTRE 77. l57
donne déjà la continuation de f{a) dans la bande trois fois plus
large
— 2 < PRa<+i,
et l'on voit que, dans cette bande, fi/i) a deux pôles, savoir « = o
et rt ^ + I avec les résidus -j- i et — i . Or, nous avons vu que
Donc
c'est-à-dire
r(rt) = / x^-He--'<-—\)dx (— i<PRa<o).
•A
/(«)=—/(« + •:
Cette relation, démontrée d'abord seulement pour les valeurs de a
dont la partie réelle est comprise entre — i et o, peut s'étendre
ensuite à tout le plan.
Ce raisonneuient bien simple, qui suppose toutefois la notion de
la fonction r, a donné ainsi les propriétés les plus caractéristiques
de la fonction y(/7) et l'on peut déjà conclure que
f{a)%ina- et f{n) . " _
sont liolomorplies dans tout le plan. On sait bien que
/(«)= ^
'' ^ ' sui«-
J'espère, Monsieur, que vous voudrez bien recevoir avec votre
bienveillance habituelle ces remarques qui sont, je le reconnais
bien, d'une simplicité peut-être trop grande.
Veuillez bien agréer, Monsieur, l'expression de mon profond
respect et de mes sentiments tout dévoués.
77. — STIELTJES A H ERMITE.
Monsieur,
En continuant à creuser dans la nature de la fonction ^(j), je
vois enfin la route ouverte pour arriver à tous les résultats annoncés
par Riemann. Cependant j'ai dû prendre un chemin bien différent
que lui n'a indiqué, et le passage où il dit avoir obtenu le nombre
l58 CORRESPONDANCE u'uER.MITE ET DE STIELTJES.
a[)|)ro(lié des racines de ç(^) = o à l'aide de rinlégrale / <:/log-^(/)
me reste absolument incompréhensible; je ne vois aucun moyen
pour évaluer cette intégrale. J'ai été pourtant assez heureux (à)
j)()ur éviter cet écueil en démontrant cette propriété annoncée
(•omme très probable par Riemann, que toutes les racines de ^(^) = o
sont réelles. Par là, la question est ramenée à la discussion d'une
l'onction réelle pour des valeurs réelles de la variable et cela est fai-
sable, du moins, et j'ai fait assez dans cette direction pour être sûr
d'atteindre mon but.
Mais toutes ces recherches demanderont encore beaucoup de
temps; je dois, en outre, vérifier mes calculs des constantes d,
C-2, . . ., G5 et je me propose d'y joindre les valeurs des coefficients
D, D,, Do, ..., D5 :
D, . D, „ ^ I
Uz) = — -^ D — Di3
I r"
D/. = (log2y^- + (log3)/^--l-...4-[log(/i-i)]/--+ (log«)/.- / (log»/'-
^ ^1
d/i
(A- = i, 2, 3, ...; D,= --log('2-) — I
Comme je ne puis pas pousser, en ce moment, activement ce travail
à cause d'autres devoirs, je me propose de prendre un peu haleine
et de laisser tout cela pendant quelques mois. Mais il n'y aura pas
d'inconvénient, je l'espère, à publier dans les Comptes rendus la
Note ci-jointe qui, ce me semble, doit intéresser les géomètres qui
ont étudié le Mémoire de Riemann. La fonction s (^) est intimement
liée à bien des recherches arithmétiques sur certaines lois asymp-
totiques relatives à la suite des nombres premiers, etc. Par exemple,
quoique je ne l'aie pas démontrée encore d'une manière rigoureuse,
je n'ai aucun doute sur l'exactitude de cette proposition que
(J)(|^^ — loglog.2; converge pour x = oo vers une limite finie dont
l'expression est un peu compliquée, $(:r) indiquant la somme
1-1 h - H — • • • ielati\ e à tous les nombres premiers infé-
■2 ■] 5 7
rieurs à .« . M. Halphen, du reste, dans les Comptes rendus du
5 mars i883, a iiidl(pié l'inlerNention de la fonction Ç(:;) dans ces
(juestions.
•Je m'estiiue heureux qu'en vous demandant de me rendre le ser-
LETTIU-: 78. iSq
vice de faire insérer dans les Comptes rendus la Note ci-jointe ( ' ),
je pourrai maintenant moi-même corriger les épreuves, quoique
naturellement, j'accepterai avec reconnaissance les corrections
dans le langage qui [jourraient vous sembler nécessaires dans le
cas que vous parcourrez ma ]Note.
Je suis avec un profond respect, Monsieur, votre bien dévoué.
78. - HERMIFE A STIELTJES.
Paris, 9 juillet i885.
Monsieur,
Votre belle découverte au sujet de la proposition de Riemann
sur l'équation ^(^) ^= o m'intéresse au plus haut |)oint, et pour la
grande importance du résultat d'avoir mis hors de doute cette |jro-
position et aussi par la méthode que vous avez employée. Rien ne
me fera plus plaisir que de connaître par quelle voie vous avez opéré
l'extension analytique du produit n|i^ -\ à partir de ^ >> -;
cette voie est hors de ma portée et je ne puis m'en faire aucune
idée. Lundi prochain votre Note sera présentée à la séance de l'Aca-
démie; je n'ai rien trouvé à changer à votre rédaction qui est extrê-
mement claire et correcte, si ce n'est que d'écrire ç(5) au lieu de
'C,{z) afin d'employer la notation dont Riemann s'est servi dans son
travail. Si vous voulez, je tiens à votre disposition pour y être inter-
calée, dans le cas où ce serait encore à votre convenance, la démon-
stration de la formule ^(g) = ^^— h (j'(^)) ^n allant corriger les
épreuves mercredi, à Timprimerie Gauthier-Villars, vous l'ajoute-
riez à votre texte (-).
Avec mes l^ien sincères et bien vives félicitations, je vous renou-
velle. Monsieur, l'assurance de ma plus haute estime et celle de mes
sentiments dévoués.
(') Voir Comptes rendus, Sur une fonction uni/orme, l. CI, i3 juillet i885,
p. i53.
(^) Voir, Comptes rendus, la Note de M. Hcrmitc, t. CI, i3 juillet i885, p. 112.
l60 CORRESPONDANCE d'HERMITH ET DK STIELTJES.
79. — SrilJLTJES A HERMITE.
Paris, 1 1 juillet i885.
MoNSiEur, ,
Recevez mes remercîments sincères pour la rédaction définitive
de votre démonstration de s(^) = :: '^ {)i^-)j cette marque de
votre bienveillance m'est bien chère. Mais permettez-moi, main-
tenant, de remarquer que dans ma Note je me suis tout à fait
conformé à la notation de Riemann.
Riemann pose ^^(5)= ^ — * Après avoir trouvé que
n
Kis)
ne change ]ias en remplaçant s par 1 — s, il considère la fonction
obtenue en multipliant par - s(s — i),
n(
(5-0- 2^(5),
<pii aiu-a la même propriété. Ce qui revient à dire, qu'en posant
5 = ; — [- ti,
n
' '(5-1)71 ^-US)
sera une fonction j)aire de t qu'il désigne par ^{t).
L'expression (ju'il Irouve directement pour l{t), qui fait voir en
effet que cette fonction est paire, fournit donc une seconde démon-
stration de la relation entre 'Ç{s) et ^(i — s) obtenue d'abord.
Quant à la fonction ^(t), vous voyez qu'elle a perdu le j)ôle 5 = 1
et les zéros 5 = — 2, — /\, — • (3, .... Or, la relation
•:a^)=IX(>-
/>.-
montre (pie ç(.s) n'a j)oint de zéro dans la partie du j)ian où
partie réelle 5 >> 1 . La relation entre ^{s) et ^(i — s) montre en-
I.I'TTIIE 79. i6i
suite que, dans la partie du plan où la partie réelle de s est néga-
tive, s^^ — -2., — 4' — tJ, ... sont des zéros, et les seuls zéros.
La fonction ^[t) ne peut donc avoir de zéros que dans la bande
où la partie réelle de s est comprise entre o et i, ou, ce qui revient
au même, si l'on a ^(a + bi) = o, 6 doit être comprise entre
et H Riemann dit, maintenant, qu'il est très probable que tous
les zéros de la fonction ^(f) sont réels (b^:=o). Or, ayant posé
I • 1 -, 1- , ....
s = — h ti, cela revient a dire que toutes les racines imaginaires
de ^(5) sont de la forme - + ai, a réel. C'est sous cette forme,
légèrement différente, que j'ai exprimé la proposition de Riemann,
n'ayant pas voulu introduire la fonction \{^t) qui n'esl pas l'objet
principal de la recherclie et s'introduit plutôt comme auxiliaire
dans l'étude de la fonction s('^)- C'est, du moins, ainsi que j'ai
envisagé la chose. 11 est vrai que cette fonction ^(/) réunit en soi
toutes les difficultés si l'on tâche d'obtenir la décomposition en
facteurs primaires de
s
{s — 0^(5) === -- 7- - Ç( t I.
n
En considérant l'expression obtenue par Riemann pour ^(<), on
trouve bien qu'elle a des racines réelles; mais j'ai inutilement
cherché à déduire de cette expression, par intégrale définie, qu'elle
a toutes ses racines réelles, et j'avais désespéré de démontrer cette
proposition encore un peu douteuse, lorsque j'ai aperçu qu'on ob-
tient cette proposition en modifiant légèrement le raisonnement
de Riemann pour obtenir les zéros de ^(5) en dehors de cette
bande mystérieuse où la partie réelle de s est comprise entre o
et I. En effet, si, au lieu de 1 : ^(5) = j j ( i ^j, je consi-
dère I I ^{s^ = 1 — - , ^ ,
■ ^ -1^ o"' V G
cette différence capitale, entre le produit infini et la série, que la
dernière est convergente pour 5 >> - > tandis que, dans le produit,
il faut supposer 5^1. Voici comment je le démontre : La fonc-
tion /(«) est égale à zéro lorsque n est divisible par un carré et
l62 CORRESPONDANCE D HERMITE ET DE STIELTJES.
|)Our les aiilres valeurs de n, égale à ( — i)*, k étant le nombre des
facteurs premiers de n. Or. je trouve que dans la somme
^(«)=/(i,)-f-/(2)-f-...-/(n;,
m;
les termes ± i se compensent assez bien pour que ^ reste lou-
jours comprise entre deux limites fixes, quelque grand que soit n
(probablement on peut prendre pour ces limites + i et — i). De
là il suit, s étant >■ -5
2
et de même la série ^ ' '^ ^'^j est convergente, \g{n) \ désignant
la valeur absolue de g(n).
n-\-m
Ce qu'il faut démontrer, c'est qu'on peut rendre N •= — j— aussi
n
petit qu'on veut par un choix convenable de n. Mais, à l'aide
àef{n) = g{n) — g{n — i). cette expression devient égale à
'Cn H- m I ^(n — 1 )
( n -+- m y n^
Mais on a
Donc
*('" 1 j; - (Tri— . J
r.-J ^U...
L ( /« -4- I )* (^ n -r- 2 )*' I
r I I 1
ffin ~ 7)1 — I )
" I (n -H /H — i)"" (^n-^-/?^)•'J
'- — = ^ r (o<e<i).
V" /( n ) ^ gjn-^ ni) _ g(n — \)
^ n^ ^ {n-\- m f n^
n
sg{n) sg(n-i-i) sg(n-^r7i — r)
(n-i-0)*+> (> -H I -H 0' )----^-» ■■■ (n-f-m— 1 + e)-'-»-'
= R.
Or, la série ^^ ^ \_^, étant convergente, un peut rendre
\gin)\ _^ \_ginj^)_\ ^ ^ \g(n-i-m — i)\
LETTRK 79. lG3
aussi petit ([uuii \eut : la même ehose a donc lieu pour 11 en
posant
H -I- m
2 fin) _ ,.y(/i-l- m ) _ g{n — i)
n« ~ (n-r- m y n^ "^
n
r» 1 1 » ,^( n -h 777) i'( n — n
Ue plus, les termes — et convergent vers zéro
^ • { n -h 771 y 71-^ ^
r
et peuvent être rendus aussi petits qu'on veut. Donc la série \ •
est convergente pour 5 >> 7* Je crois qu'elle converge encore pour
la valeur réelle s z=i ^ , mais je n'ai pu le démontrer. Ce qui est cer-
lain, c'est qu'elle ne peut converger lorsque s <C - et, s étant ■< -?
•1 .1 • -Il /"(r ) -H /i 9. I -f-. . .-^ /'(n)
il est donc impossible que ^ ■— — reste comprise
entre deux limites fixes car on en conclurail, comme plus haut.
la convergence de 7 ' i)our des >aleurs de s inférieures à ->
^ .^ 71^ ' 2
ce qui est impossible . Cela montre plus clairement la nature de
cette proposition sur laquelle je me suis appuyé, que
Y 71
reste comprise entre deux limites fixes.
Vous voyez que tout dépend d'une recherche arithmétique sur
cette somme /fi) H-/( 2) -h . . . +f{n). Ma démonstration est bien
pénible; je tâcherai, lorsque je reprendrai ces recherches, de la
simplifier encore.
Mais on peut déjà se faire une idée de la lenteur avec laquelle
croît g[n) (ou plutôt avec laquelle croit l'amplitude de ses oscilla-
tions) par la relation A'= E( \/ n ),
la fonction h{x) étant égale à i ou à o, selon que E(j7) est impair
ou pair. Comme g{k) est naturellement < /r en valeur absolue,
l64 CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIEETJES.
VOUS voyez cjiie
■<«)-. (f )-..... ..(fj
csl inférieur à ik + i en valeur absolue, et nuhne à A -h » lorsque A"
est. pair.
Vous voyez bien, maintenant, comment celte étude de "Cis) m'a
amené à des spéculations arilbméliques. Mais excusez-moi d'avoir
parlé, dans ma lettre précédente, de celle proposition
^ - — loglog/i = A (/i=oo)
qui a été démontrée déjà par ^I. Mertens {Crelle, I. 78) qui a
donné aussi la détermination de A, après avoir été, antérieurement,
considérée aussi par M. Teliebjchef ( Joi^r/î. de Liouville, i ""^ série,
l. XV II). Legendre, déjà, doit l'avoir obtenue par induction.
J'espère, monsieur, que celle lettre n'est pas trop longue; je
tiens surtout à vous avoirconvaincu que je ne me suis pas éloigné de
la notation deRiemann : c'est, ce me semble, un léger malentendu.
Je suis, avec un probnid l'espect, monsieur, votre bien dévoué.
80. — HERMITE A STIELTJES.
Paris, 12 juillet i885. (;')
Monsieur,
Vous avez toujours raison et j'ai toujours Lorl; j'avais cru lire
dans le texte de votre Note z( z), mais c'est bien Ç(3) que vous
avez écrit, conformément à la notation de lliemann. En vous
remerciant maintenant de votre dernière lettre que j'ai dévorée,
je dois vous faire part d'une inquiétude extrême que j'éprouve au
sujet de ma démonstration de la relation
On en conclurait en effet, d'après le théorème de Riemann,
F ( 5 ) -i- G ( 5 ) _ 1'^ ( I 5 ) "- G ( I 5 )
LETTRE 81. l65
ce qui est mille fois impossible et absurde, les pôles du premier
membre, sauf s = o, s=i, étant tous différents de ceux du
second membre.
Mes devoirs à la Sorbonne m empêchent tout autre travail et il
in'est impossible de découvrir où je me suis trompé, mais je ne
puis non plus un seul instant supposer que le théorème démontré
de deux manières différentes par Riemann ne soit tout ce qu'il y
a au monde de mieux établi. Ne croyez-vous donc pas qu'il serait
mieux de ne ])oinl publier ma démonstration qui est nécessaire-
ment fautive, bien qu'il ne semble j)as facile de voir en quoi?
En vous renouvelant, Monsieur, l'expression de mes meilleurs
sentiments.
81. — If ERMITE A STIELTJES.
l^aris, 29 juillet i885.
Monsieur,
Permettez-moi de vous informer que M. Lipschitz m'écrit s'être
vivement intéressé à ce que vous avez publié, dans les Comptes
rendus, sur la fonction 'C{s) de Riemann. L'éminent géomètre
ajoute que, lui-même s'est, à plusieurs reprises, occupé de cette
fonction et que, dans son Mémoire du Tome XCVI, page 16 du
journal de Rerlin, intitulé : Beitrage zu de/- Kenntniss der Ber-
nouillschen Zalilen, il a déduit de la formule générale de Riemann
la relation (!^( — 2/?-(-i)= > dont il a fait ensuite plu-
sieurs applications. Peut-être, Monsieur, penserez-vous devoir
citer ce travail de M. Lipschitz quand vous en aurez l'occasion
en publiant plus tard, dans les Comptes rendus, la suite de
vos découvertes sur ce sujet.
Permettez-moi aussi de vous faire part d'une intention que nous
avons eue, M. Darboux et moi, en vous demandant s'il vous con-
viendrait d'obtenir le titre de Docteur de la Faculté des Sciences
de Paris, qui vous ouvrirait l'accès dans notre enseignement supé-
rieur, et vous conduirait certainement, si toutefois une telle situa
tion vous paraissait acceptable, à devenir professeur dans une
Faculté des Sciences de province, en attendant que nous puissions
vous ménager une position digne de vous à Paris.
l66 COKRESPONDAXCE d'hERMITK ET DE STIEI.TJES.
Nous a\()ns loiil lieu de peiiseï' que nos colièj^ucs de la Sorbonne
accneilleroal fa\orablenienl la demande qui leur serait faite en
notre nom de déclarer au Ministre de rinstruclion publique qu'en
raison de rimportance et de l'éclat de vos travaux analytiques, il
V a lieu de vous accorder la dispense du titre de licencié, et de
vous autoriser à présenter et soutenir votre thèse, sans avoir à jus-
tifier d'aucun grade universitaire.
M. Darboux doit quitter Paris dans le courant de la semaine
prochaine; mais peut-être pourriez-vous le voir avant son dépari,
et lui faire connaître si le projet, dont nous avons eu l'idée, aurait
\otre agrément. Vous auriez de lui, en même temps, sur la ques-
tion, tous les renseignements que vous pourriez désirer : quant à
moi, c'est demain déjà que je pars pour les eaux de la Bourboule,
où m'envoie mon médecin. Je pense, Monsieur, que vous voudrez
bien voir, dans cette ouverture, un témoignage de la haute estime
que vous avez inspirée aux géomètres français, et c'est dans cet
espoir que je vous renouvelle, avec mes vœux pour le succès de vos
Iravaux, l'assurance de mon entier dévoùment.
82. — STIELTJES A HERMITE.
Paris, 28 aoiU i885.
jNIONSIEUr. ,
Vous aurez appris par M. Darboux que j'ai accepté de tout mon
cœur la proposition cpie vous deux m'avez faite. Je ne peux m'em-
pêcher de vous dire comment cette marque de votre extrême bien-
veillance ma louf'bé et j'espère présenter ma thèse en quelqu<'s
mois.
Permettez-moi, maintenant, de nous coniinnMKpiei" quebpifs
résultats que j'ai ol)tenus en continuant mes lYjllexions sur la fonc-
tion X^. J'ai (III (| Il ils pourraient vous intéresser parce qu'ils
semblent se ratlaclier à la théorie des fonctions elliptiques.
Les développements
{/ ^'^^'(~-) =2 '{/(/ — 6 v/78 - ro 'i/q^^ ■
LETTRE 82. 167
conduisent à cette conséquence, qu'en posant
TC.r 97tJ- 25 7r.>-
on a ces deux relations
Voici, maintenant, deux relations du même genre, _mais qui ne
me semblent pas se déduire aussi facilement de la théorie des fonc-
tions elliptiques.
En posant
Tt.r 4 71.1- IBIT.r I^TZX
c'est-à-dire, en introduisant le symbole de Legendre.
et
avec la convention ordinaire que | - j =: o loi'sque n est divi-
sible par 3 et de même pour / — ) on a
le ^
(3) A[^)=-T\M^),
(4) A(i)=^'fA^}-
J'indique, eu quelques mots, comment l'étude de la fonction ^
m'a conduit à ces relations.
Riemann a démontré, à l'aide de la relation (i), que
T. ^r(-)ç(5)
l68 CORRESPONDANCE u'iIERMITE ET DE STIELTJES.
ne change pas en rem plaçant s par i — s. Or, en posant
CiU-) = i - t; ^- T- —
les relations (2), (3), ( ^ ) permettent de démontrer de la même
manière que
.1
(l) 'H^)
(T > U- '^"■'>-
ne changent pas en remplaçant 5 par i — s. J'avais démontré
d'abord ces propriétés de C), s^, ss d'une autre manière, en me
servant d'intégrales définies analogues à celle-ci :
En tâchant d'obtenir ensuite (après) une autre démonstration,
en suivant le chemin indiqué par Riemann, je n'ai pas tardé à
obtenir les résultats indiqués.
Les fonctions ^,, "Ç^^ "Çz présentent beaucoup d'analogie avecÇ(5).
Elles sont holomorphes dans tout le plan. Dans l'étude de la fonc-
tion J^i (5), les (coefficients de la série
G. ., . C,
1.2 1.2.3.4
s'introduisent de la même manière que les nombres de Bernoulli
dans le cas de l:i (onciion 'C(s).
Ces quebpies résultats me portent à penser qu'on rencontrera
des résultats intéressants en étudiant les séries de Dirichlet
m)i'
LETTRK 83. 169
Peut-être pourra-l-011 arriver ainsi à la vraie généralisation de
ces relations singulières (i), (4)-
Mais, ayant découvert par une sorte de hasard ces relations (3)
et (4), je ne vous cache pas que je ne sais pas si elles ouvrent un
nouveau point de vue, ou si elles rentrent dans d'autres résultats
déjà accpiis à la théorie des fonctions elliptiques. Vous qui avez
approfondi, dans toutes les directions, cette théorie, vous pourrez
en juger heaucoup mieux.
Je suis, avec les sentiments les plus respectueux. Monsieur,
votre très dévoué et reconnaissant.
83. — STIELTJES A HERMITE.
Paris, 29 août i88.i).
MoJNSlEUll,
Permettez-moi de compléter, en quelques points, ma dernière
lettre. D'abord, j'ai omis une relation de la même nature que
(i). . .(4) et qui découle encore de la théorie des fonctions ellip-
tiques. En effet, j'avais écrit
fi{.r) = e * — 3e * -f-5e ^ — ...;
./"i ( -z) =-^\/'ii-^):
mais, en vertu de la belle relation bien connue
on aura, en posant
■K.f y-TiJ- 7-u.>- ir-7ir
•^^'"^=2Q
(a)
et
(5) A(^)=^V4(^).
n parcourant dans («) les nombres impairs non divisibles par 3.
ITO CORRESPONDANCE D I1ERMH E ET DE STIEI.TJES.
En j)(>saiil
J", (\s ) — > ( — 1 — ^ Il itunair cnmiue tout à l'heure ),
^ ^\n J n' '
cetlc rclalioii (5) penncLdc déiiioiilrer tacllemeul qiir
t;)"^^^-
ne change pas en remplaçant s par i — s.
Dans le choix des fondions sif'^)- ^2(*)- ••• •' éliidier, je me
suis laissé conduire ])ar celle analogie avec ^(s) que les /'ec/-
proques dc'Çti s), ^^{s)^ ■■■ peuvent s'exprimer par àe^ produits
infinis où entrent seulement des nomhres premiers et qui con-
vergent certainement dès cjue 5 p> i .
En effet, cela fait voir que ces fonctions n'admettent point de
zéros tant que la partie réelle de s est supérieure à un, et la rela-
tion entre Ci (•^) et Si (i — ■^) f'i't trouver dès lors toutes les racines
dont la partie réelle est négative et qui sont pour C, [s)
— I, — 3, --3, • . ■ ,
et de même pour les autres fonctions!!^.
L'introduction du symbole de Legeadre dans les séries !^, c'est-
à-dire la considération de séries de Dirichlet, était donc tout indi-
c{uée. Mais, comme je l'ai déjà dit, j'ai trouvé d'abord ces rela-
tions entre Ci (5) et Ci(i — s), ... tout à fait indépendamment
des relations (2), (3) Et comme, par exemple dans le cas de
la fonction
y;,x)::--2(j )"'
on f)btient une série analogue en dillérentiaiit
0 1 —^ — I =1 — iq cos iar -!- j.q* cos ] x — iq^' cosb./-. . . ,
par rapjiort à x ., et posant ensuite x ^= '^^ j'ai commencé à douter
si l'introduction du symbole de Legendi-e dans ces séries f.,[x),
f^{x) était bien naturelle; il ne serait pas impossible, en effet, que
ces séries dussent être regardées plutôt comme des fonctions qui
LETTIIK 84. 171
naissent de la division de l'argiiinenl dans les fonetions (-). Mais
je viens de tronver nn nonvel exemple : en posant
OU a
(6) J\ {'-) ^^ x\f-Jx\
et il ne me semble maintenant plus possible de douter que lintro-
duction du symbole de Legendre dans les séries 0 ne conduise à
des fonetions jouissant de propriétés remarquables et dignes d être
étudu'es.
Mais j'ajoute aussitôt ([ue je n'ai pas déiuontré cette relation (6).
En effet, d'après la méthode bien imparfaite que j'avais suivie
dans les cas plus simples, cela m'aurait entraîné dans des calculs si
compliqués qu'on n'en voit pas la fin. Je me suis donc contenti-
de vérifier numériquement pour quelques valeurs de x cette re-
lation et cette autre qui s'ensuit :
Mais, ayant trou\é un accord parfait en faisant le calcul avec sept
décimales, il ne me reste point de doute sur l'exactitude de cette
relation.
Mais, pour le moment, ce sont ces fonctions "C, (|ui uf oceupeni
encore toujours, et ce n'est qu'incidemment que jai fait cette
excursion dans une autre partie de l'Analyse.
Je suis, avec les sentiments les plus respectueux, Monsieur,
votre bien dévoué et reconnaissant.
84. - STIELTJES A HERMITE.
Paris, septembre i885.
M(
Je suis parvenu à étendre aux séries de Dirichlet la relation
donnée par Riemann entre ^(.9) et v(i — s). Je compte donnei-
dans ma thèse l'exposé complet de ces recherches avec les dc^ve-
loppements qu'elles comportent. L'intérêt que vous avez bien voulu
1^2 CORRESPONDANCE D HKlOIlTi: l'T DE STIELTJES.
montrer à ces recherches me fait espérer que vous ne serez pas
mécontent d'en voir ici un échantillon.
Soilyo un nombre imjiair sans facteur carr(';
/(., =2 (^) -.
(-] étant le symbole généralisé de Legendre: n parcourant les
nombres entiers inférieurs et premiers à p. Je désigne encore par
0(5) la série infinie
P
Je dé\elop])e suivant la puissance de x l'expression
1 — e-J'-^'
J'obtiens ce développement en décomposant en fractions simples
f{ .T ) • • . •
; en écrivant ensuite e~^ au lieu de x, développant ensuite
en fractions les expressions de la forme ^ et développant
enfin suivant les puissances de x. Je trouve ainsi ces formules
( f(e-^) s/ p \ , px p^x^ „. p'^x'^ ^^ p'x"^ 1
(l) •' \—e-l>^ 7i L 2 71 '23 71^ • ' ■1^T.'> ' ' <)? tO \
- (/> ;es I, mocLî),
(p ^= 3, niod4 I.
Dans ces formules, ^p doit être ])ris positivement . D'autre part, il
est évident (|ue les coefficients doivent être des nombres ration-
nels. En égalant les valeurs indiquées ci-dessus avec ces valeurs
rationnelles, on obtient des formules cjui me semblent devoir être
mises à côté de celles-ci, connues depuis si longtemps.
t:^ I
I
"6 ""^ ^
-^31-^
71 I
1
^5 -
7:3 ,
I
3^1 ^ '"~ 33
"^ 5^ ~
I.ETTUE Sik. 173
fît qui découlent de développements analogues, mais élémentaires.
Ces coefficients ont d'ailleurs un caractère arithmétique prononcé,
dans la formule (2) par exemple. — cp (i) a un rapport très simple
avec le nombre des classes de déterminant — p.
Ces formules (i) et (2) conduisent aussitôt aux valeurs des inté-
grales définies suivantes :
(3) / sin^^— -^^^ l-dx=-^^ f (^ = i,mod4,
/•°° ptx fie-^^ , ^ fie-') , ,, .,,
•0 ' -<
En effet, on n'a qu'à développer suivant les puissances de t et
intégrer alors à l'aide de la formule
Vis) r""
ciu'on trouve aussitôt à l'aide de — ^ — ==^ / x^"^ e'-^' dx .
De cette manière, les formules (3) et (4) sont démontrées en
supposant mod^<C — > mais on voit facilement, ensuite, qu'elles
restent vraies pour t = a -h bi à la seule condition que la valeur
absolue de b reste inférieure à ^^•
P
En multipliant, maintenant, ces formules (3) et (4) par
t^-uit (o<s<r),
intégrant de o à 00, renversant dans le premier membre l'ordre
des intégrations, et faisant usage de ces formules
s:
^'•■-l sin nix ax = sui
■2
,. , , r(5} sn
^'-' coèinx ax = COS :
m^ -2.
on obtient la relation entre 'f (s ) et^(] — 5), qu'on peut exprimer
174 CORRESPONDANCi; d'hERMITE ET DE STIELTJES.
en (lisant que
r I - J ^(s) I lorsque /j ;es I , mod 4 );
( - ) r ( '■ ) o{s) ( )) /? = 3, inofl/l I
ne change pas en remplaçant s par i — s.
En suivant la voie cpie vous avez indiquée pour la fonction ^(5),
la formule (5) permet de reconnaître que '-^[s) est une fonction
holomorphe dans tout le plan, et l'on peut alors étendre à tout le
plan cette relation qui lie 'f (5) à 0(1 — s). Cette propriété de '^(5)
donne lieu à la remarque suivante :
Comme on a
( - \ = I x^ e I' d.r,
( — — = l .1: - ne P tir.
\P) "■' J,
il vient, en posant
i,f(a7)=N(-) e r ( /? = I, inod 4 ).
' , \ H- 71.»'
/ Ç|\.r ) —^ \ - \ ne /' ( /> ^ 3. mod 4 1.
(«)
5
( - j " r ( - 1 cp (.s- 1 = / x^ d- (x) dx,
'PI - / «^(1
ri \ - Y ('^^ ) -^(s) =. / x7^ G^^x) d.r.
Les intégrales qui figurent aux seconds membres ne doivent donc
pas changer en remplaçant s par i — s.
L'analogie avec quelques autres formules du même genre donne
le plus haut degré de probabilité à ce tpie cette propriété se mani-
festera analvtiquement par les relations
l $ ( - ) = X' ^ (X),
(7) \ .' [ 3
LETTRE 80. 175
En admettant ces relations, on tronve
l—s
n^- _ \ p ^ i '1 1 \ SH X )
I j-'- ^ (x ] da; — I \ .r- -h X - ) - — ^— dx,
t- 0 • 1
/ x~^~ Ç{x)dx=, I { X ^--^x 2 jQ(x)dx,
ce qui montre bien linvariabilité pour le changement (Je s en 1 — s.
Mais la démonstration de ces relations singulières (^) doit dé-
pendre certainement d'autres considérations. D'après ce qui pré-
cède, cette démonstration foui'nirait une seconde méthode pour
établir la relation entre '^(5) et cp(i — s).
J'ajoute qu'il ne me reste plus le moindre doute sur rexactitude
de ces relations (^ ); numériquement, je les ai trouvées exactes
poury? = 3, 5, -, 11 et i3; mais pour /> = 3, 5, j'ai une démon-
stration.
Mais je n'ai pas encore abordé le problème de démontrer ces
relations pour une valeur quelconque de p. C'est une étude qu'il
me reste à faire. J'ai supposé, dans ce qui précède, p impair, sans
facteur carré, mais il j a des formules analogues dans les autres
cas. Je dois i-éunir tout cela dans ma thèse. Je désirerais vivement
de pouvoir j insérer la démonstration de ^j), mais je ne sais si je
serai assez heureux.
Ce sont là les choses dont j'ai cru pouvoir vous parler sans vous
ennuyer. Ces formules (i) et (2) m'ont donné quelque plaisir,
parce que leur établissement a levé les dernières difficultés (juime
barraient le chemin.
Je suis, avec les sentiments les plus respectueux, Monsieur,
votre très dévoilé et reconnaissant.
85. — H ERMITE A STIELTJES.
Flanville par Noiscvillc (Lorraine). 11 septembre i885.
Monsieur,
L'extension que vous avez découverte du théorème de Rieinann
à la fonction 'f (.^ ) =5j ( ~ ) "^^ ^^^ extrêmement belle et je vous
1-6 CORUESPONDANCR d'iIKRMITR ET DE SIIELTJES.
félicite bien sincèremenl de cette nouvelle découverte. Je trouve
aussi bien remarquables et intéressantes les relations que vous
tirez du développement, suivant les puissances croissantes de x.
de la fonction -^ — et ie n'ai i)as besoin de vous dire que vos
ihéorèmes non encore d<''montrés, mais qui me paraissent hors de
doute, sur les quantités
/ ^ ^ ri'-n.r
(j'f.r I = ^ I — ) «e P ,
ont attiré toute mon attention. 11 ne m'a ])as été possible, n'ajani
pas mes livres ici, de sviivre l'idée, qui a dû aussi, d'ailleurs, se pré-
senter à votre esprit, de les conclure des théorèmes fondamentaux
de Riemann concernant les fonctions 6(^), en remplaçant le sym-
|,ole |_| par les formules de Gauss, en sinus et cosinus; mais
peut-être aurez-vous déjà suivi cette voie et serez-vous parvenu au
résultat. Permettez-moi aussi d'appeler votre attention, au sujet
de la même question, sur un article des Anciens E xercices deCau-
(;hy dans lequel le grand géomètre obtient précisément le théo-
rème concernant 4 / comme conséquence d une relation exti'e-
mement générale entre les fonctions auxquelles il donne la
dénomination de réciproques. Mais il vaudra mieux qu'à mon
retour à Paris je puisse causer avec vous de toutes ces choses
dont vous allez faire une des meilleures thèses qui aient jamais été
présentées à la Faculté des Sciences. Vous n'ignorez pas, sans
doute, qu'en outre de la thèse imprimée, on demande une thèse
orale, c'est-à-dire une sorte de leçon de moins d'une heure sur un
sujet élevé d'Analyse, de Mécanique ou d'Astronomie, qui sera
laissée entièrement à votre ( hoix : })eut-être que l'exposition des
i-echerches récentes, dans lesquelles vous avez eu une si belle et im-
portante part, sur la variation de la densité à l'intérieur de la
Terre, pourrait faire le sujet de cette thèse orale. M. Darboux
et moi nous ferions naturellement partie de la Commission d'exa-
men, et M. Tisserand, j'en suis sûr, se joindra bien volontiers à
nous si vous faites choix, pour seconde thèse, de cette question
LETTRE 80. 177
dont il s'est occupé. Mais, je vous le répète, vous avez pleine et
entière liberté, et nous acceplei'ons toute autre question (pii auia
votre préférence.
En vous renouvelant, Monsieur, mes félicitations pour le succès
de votre Travail, et vous priant de recevoir l'assurance de ma plus
haute estime et celle de mes sentiments bien dévoués.
86. — STIELTJES A HERMITE.
Paris, i5 septembre i885.
MojvsiEun,
Je dois vous remercier beaucoup de votre dernière lettre et je
ne vous cache pas que je verrais avec plaisir que la Faculté choisît
pour sujet de ma thèse orale l'exposition des récentes recherches
sur la théorie de la figure de la Terre, auxquelles M. Tisserand a
donné l'impulsion. Un autre sujet auquel j'a\ais pensé, c'était
l'exposition de la démonstration, due à M. Poincaré, de l'exis-
tence d'une figure annulaire d'équilibre d'une masse fluide en
rotation uniforme, énoncé par MM. Thomson et Tait. Mais je crois
j devoir renoncer. Je suis trop accablé en ce moment et cela me
donnerait encore trop de travail.
Quant à ces propriétés de 3{x) et Ç{x), j'avais reconnu tle mon
coté qu'elles découlent presque immédiatement des propriétés fon-
damentales delà fonction 0 et des formules de Gauss, en sorte que
votre [)révision est réalisée complètement. En effet, sous la con-
dition ((b = 7:, on a
(I) \/a (I -h >,(?-"■ (io?,>.ax -+- ■i.e~'"^' cos ^^ax -\- . . .)
et pour 5 = 1, :i, . . ., p — ^ i
Soit/» ^ I, mod4, posons dans la formule (i)
s- sb
Ij8 CORRESPONDANCE u'hERMITE ET DE STIELTJIS.
el multiplions par ( - )• En sommant sur les valeurs 5=1, 'x
p — I. le ])ieniier membre devient, à cause de ('^),
Quant au second membre, le terme e~'' donne naissance aux
termes
s b'- / ^ '*b'- , (p-U'b-
et le terme e" '"''''' aux termes
'2\ -— ^ ^P~l\.-P.
à cause de ( - j ^ i- )> ce sont les mêmes termes cpii figurent
dans (a) : l'ordre seulement est renversé. Il en est de même des
termes qui proviennent de
g— (i + .fl- g^ p— (26— J)-
(.— [1 h\+'x)' g(_ (. — [■ib — x)°
en sorte que le second mend^re devient
■i.\/0 > ( - ) r ~P .
et, par conséquent,
ou, en posant
~x
P
d'où
=^ , L_ — ^2
aussi que, sous la condition ah =
On peut dire aussi que, sous la condition au =1 —, on a
I.ETTRK 87. IJ9
La relation qui lie {](^) à Ç{(- j , c'esl-à-dire
sous la condition
ab ^= — , o ^= 3 ( mod 4 ),
P
s'obtient de la même manière en partant de la formule obtenue en
prenant la dérivée de (i) par rapport à :r et mettant à profit la
formule (3). Tout cela suppose yo >> o sans facteur carré.
Les séries
II
D\ -^ v./r>, ,,.
et
/ I-, \ n^Tl.»'
D\
7ie
■2 1)
jouissent de propriétés analogues, ai parcourant les nombres
entiers positifs qui sont premiers à aD.
Ces fonctions ^{ûc), Ç{x) jouissent-elles de propriétés ana-
logues aux fonctions modulaires? C'est là une question qvii se
présente naturellement, mais dont je n'ai pu encore m'occuper.
Veuillez bien agréer. Monsieur, la nouvelle assurance de mes
sentiments de profond respect et de reconnaissance.
87. — II ERMITE A STIELTJES.
i3 féviier i886.
Monsieur,
Permettez-moi de vous engager à vous présenter à M. Lucien
Lévy, Directeur des Etudes à l'Ecole préparatoire de Sainte-
Barbe, de la part de M. Désiré André, Professeur de Mathéma-
tiques spéciales à cette école, à qui j'ai donné commission de vous
trouver des leçons, conformément au désir que vous m'avez
exprimé. M. Désiré André a réussi dans ses démarches et m'écrit
que M. Lucien Lévj vous recevra à son bureau, rue Valette, n" 4,
l8o CORRESPONDANCE DHERMITE ET I)E STfELTJES.
à 5'' de l'après-midi, et que le plus tôt (|ue vous pourrez venir sera
le mieux. Peut-être, Monsieur, ferez-vous bien également de rendre
visite à M. André, aa, rue Gay-Lussac, qui est un de mes élèves
et mathématicien distingué ayant publié dans les Comptes rendus
plusieurs Notes très intéressantes sur la règle des signes de Des-
cartes; je crois pouvoir vous assurer d'un bon et cordial accueil
de sa part.
Je prends à cette occasion la liberté d'appeler votre attention,
pensant que vous travaillez à votre thèse, sur un Mémoire de
M. Léopold Gegenbauer, publié dans les Sitziingsberichte de
l'Académie des Sciences de Vienne, LXXXIX Band, en i884,
p. 3'-', et qui roule principalement sur la fonction "Ci^s) de Rie-
mann. Vous y trouverez une foule de résultats qui me semblent
très intéressants, mais vous serez meilleur juge que moi de leur
valeur. Je puis, si vous le désirez, mettre le volume à votre dispo-
sition .
En vous renouvelant, Monsieur, l'assurance de ma plus haute
estime et celle de mes sentiments l)ien dévoués.
88. — STIELTJES A HERMITE.
Paris, i3 lévrier i88(i.
MONSIETJU,
Je viens de recevoir votre lettre, et je dois vous remercier de
tout mon cœur, quel que soit, du reste, le résultat de la visite à
M. Lucien Levy que je ne tarderai pas à faire. Je ferai aussi avec
un grand plaisir la connaissance de M. D. André, dont je me
rappelle bien les Notes dans les Comptes rendus. L'ingénieuse
définition de certains nombres entiers (pii donnent aussitôt les
coefficients dans les développements de tangjc, sécx, comme
nombres de permutations, jouissant de certaines propriétés, s'est
gravée dans mon esprit.
Je travaille à ma Thèse Élude de quelques séries semi-com'er-
gentes, en deux mois j'espère l'avoir finie. Vous voyez, par là,
que j'ai abandonné ma première idée. En elfel, d'un côté, j'étais
peu content de certaines parties et, de plus, j'avais vu que le
LETTRE 88. iSl
sujet comporte encore de grands développements que j'entrevois
un peu, mais qui demandent encore beaucoup de travail. En
m'indiquant, l'an dernier, un Mémoire de Cauclij sur les fonc-
tions réciproques, vous m'avez mis sur la voie des questions
nouvelles qui se sont [)résentées à moi. Vous voyez, par là, que je
dois encore remettre à quelques mois l'étude du Mémoire de
M. Gegenbauer que vous venez de m'indiquer, malgré l'intérêt
qu'elle m'inspire.
Ma Thèse contiendra beaucoup de choses (pii vous intéresse-
ront bien peu. Ce qui vous plaira peut-être le mieux, c'est que
j'ai l'idée d'une série semi-convergente pour Tiai) a réel très
grand ou plutôt de \o§T(ai).
La définition de Gauss
g '/' lu.' "
r(ai) = ■ — : ; — in = oc )
ail I -I- a/ ) I I H -)•••(
n J
montre de suite qu'en posant
r{ai) = R( COS0 -I- i'sinO ),
on a
R
c'est-à-dire
et
«- ) I -^ — n —
W \ 9
V.)
6 = a Iog« qz lire tang« — arc tang . . . — arc tang in = x),
OÙ l'on doit prendre le signe supérieur ou inférieur, selon que
a est positif ou négatif et les arc tang compris dans les limites dz -•
Vous voyez que
logTi ai ) = logR -h ië
et la série semi-convergente est celle de Stirling appliquée à des
valeurs imaginaires. Quoique celle idée de considérer, dans la
série de Stirling, des valeurs imaginaires est bien simple et que je
lai eue depuis longtemps, sans la développer pourtant suffisam-
ment, je n'ai pas vu qu'on l'ait eue déjà. Pourtant, il m'est
difficile de croire qu'elle soil nouvelle. Je me rappelle aussi que
i8i correspondan(;f. d'iiermite et de stieltjks.
Gauss a calculé (je crois) ( ') la valeur de n(f) = r(n- i) en la
déduisanl de n(io + f), celte dernière quanlité étant obtenue à
l'aide de la série de Slirling.
L'observation que
mod V(ai ) =
r
et la formule de Binct
logr(a) =.(« — -] loga~« + Iogv/-2--+- - j e<^^ ^^
dx
(p. io4 de voire Cours, second tirage) donnent lieu à cette
conséquence
ce qu'on trouve aussi facilement à l'aide de
1
(p. loi de votre Cours) et
/ -:; T% dx = —r e-"* ( 6 > o, a ^ o ).
Tout cela est si simple que j'ai peine à croire que c'est quelque
chose de nouveau.
Veuillez accepter, Monsieur, la nouvelle assurance de mes senti-
ments de reconnaissance et de profond respect.
(') Note des éditeurs. — Gauss {Werke, l. III, p. 280) a donné, dans un
allier de ÎNJotes, la formule
Ili =^-H Oj^gSoiôC) — <i, ij'i94'j*J '•
LETTRE 90. l83
89. — H ERMITE A STIELTJES.
Paris, i4 lévrier i88^.
MoNSIEUl!,
Voire expression de logr(«f) est exlrêmemenl élégante et
m'intéresse beaucoup. Si vous vouliez bien prendre la peine de
rédiger pour moi la démonstration de la formule
Q = a \osji d= arc tan<r« — . . .— arc tan<2 - >
je l'ajouterais à ma Leçon sur les intégrales eulériennes, dans la
troisième édition de mon Covirs à laquelle je travaille et j'aurais
grand plaisir à vous associer à mon œuvre et à faire connaître
votre nom à mes élèves. A celle occasion, permettez-moi de vous
informer que M. Lipsichtz a donné, en iSSiy, dans le Journal de
Borchardt, l'équation
T'(a-^ ib ^ \) , , ., 1 1
log'(rt -T- ib) -\
r I a -h f6 -+- I ) ^ % a -^ ib
i— i)"'B.2,„ I
im ( a -h ?6 i'^'« lin -^ ■>. a'^'«
OÙ £ et s' sont < i .
En vous écrivant hier, j'avais mis sur l'adresse de ma lettre
le n" 125, j'ai eu crainte, en me rappelant après que vous étiez
au n° 120, qu'elle ne vous parvînt pas, et j'ai écrit une seconde
lois; peut-être que vous aurez eu les deux letti"es qui contenaient
absolument la même chose. En vous souhaitant bon courage pour
votre étude des séries semi-convergentes, je vous renouvelle,
Monsieur, l'expression de mes meilleurs sentiments.
90. — STIELTJES A H ERMITE.
Paris, i4 février i886.
MoKsiEur. ,
En recevant ce matin une lettre conforme à celle que j'avais
reçue hier, j'ai tout de suite expliqué ce fait comme vous venez
de le faire, quoique je n'avais pas remarqué l'erreur dans l'adresse
iS/J CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.
de voire [)remièi'e lettre. Mais vous m'avez rendu un très grand
service en m'indiquanl le travail déjà ancien de M. f^ipsichlz qui
m'était inconnu et dont je dois prendre connaissance.
Je suis bien convaincu que jM. Lipsiclilz a, pour la première
fois, étendu à des valeurs complexes, sinon la série de Stirlin-g,
du moins sa dérivée. Vous trouverez plus loin encore une
remarque sur la formule de M. Lipsichtz.
Vous me demandez une démonstration de la formule
la = a logrt rp - — arc tang« — . . . — arc laiig— i n = ao ),
mais il me semble (ja'elle exige à peine une démonstration spé-
ciale, car, en considérant l'expression
T(ai} = -
il suffit de se rappeler que l'argument d'un [troduit est égal à la
somme des arguments des facteurs.
Je développe un peu ce que j'avais ])eut-être indiqué troj)
confusément dans ma lettre. D'abord, rien n'empêche d'attribuer,
dans la formule de Binet,
(i) \ogVia) = (a ) 'og« — « H- log Z^- -J — / ' '., e-"'' dx
à la variable a une valeur imaginaire, à condition seulement que
la partie réelle soit positive. [La fonction oi^x') a le même sens
que dans voti<' Cours; si j'ai remplacé x par — x dans l'intégrale,
c'est parce que cela me semble faciliter un peu quelques dévelop-
pements ci-après.] Je remar(|ue cpie les expressions logT(a)
et loga ont luic détcrmlnalioii uiii(|ue par la condition même que
la variable ne doit jamais traverser l'axe des^. Mais il est pei'mis
encore, dans cette formule, de remplacer a par ai parce que :
i" L'intégrale
r"^- o{x) ., r" o(x) . . ,
/ - — -— e-"'^ dx = I (cosax -i- i smax ) dx
a un sens. On sen assure, d'aiJiès une méthode bien connue, en
LF.TTKE 00. l85
changeant les intégrales en séries dont les termes sont alternative-
ment -t- et — , tandis qu'ils diminuent indéfiniment.
Et ■>(" Parce que
/ -i e-a'-^ dx
'K •^■-
est réellement la limite vers laquelle tend l'expression
cp ( .r )
I ^.~hxQ-aix dx
£
lorsque la quantité positive b tend vers zéro. Mais, comme peut-
être la démonstration de cela vous semblera à peine nécessaire,
je la rejette à la fin de cette lettre.
En remplaçant donc, maintenant, a par ai, il vient, en suppo-
sant or >> o,
/ . • ', / . ^ '• \ • i / —
\ogT(ai ) = [ai j ( loga H j — «j -i- log v/'-^~
I r°° 9(37) . . ,
H / -^ ^(cosaa" — ismaxax),
•J. . r cr- '
d'où
(2)
logR-
log/âïr —
(3.
T ;,
0 =
a loga ;
1
1 f o(.r;)
I /• °= o ( .r ) ,
loga-! — / -cosaxdx,
- / ' smax I
J. . / X-
dx.
sinaxdx, qui ligure dans la valeur de 0,
converge vers zéro poiir a ^ cc^ et c'est celle qui donne la série
semi-convergente en peut obtenir celte série semi-convergente
de beaucoup de manières. Une des plus simples me semble celle
qui consiste à appliquer une intégration par parties à l'intégrale
1 /•" ci(.r) . ,1
- / — — -smax dx \, en sorte que
77 B, B., B3
(4) 0 = «logf/ 7 -~ '■'
. x . a
mais la discussion du reste est beaucoup plus difficile que dans
le cas de la formule de Stirling. De fait, on peut continuer la
série jusqu'au plus petit terme et l'eiTeur est alors du même
l86 CORRESPONDANCE d'iIERMITE ET DE STIELÏJES.
ordre que ce terme; en sorte que la série est tout aussi prali(|U('
que celle de Stirling.
A cet égard, je remarquerai que, dans la formule de M. Lipsichtz
((ue vous m'avez communiquée
Via -^ ib -i-ï) . ., B,„+i z^z'i
— log(a-4- ih\^ . . .-^ ^^-^ ^ — ,
r(a-^ ib
le terme complémentaire devient infini pour cr = o, en sorte
,•1 ^ j . 1 • î • , , r'(/è-f-n
fin il reste douteux, du moins, qu on puisse calculer -r^n
' 'Il i\ib-+-\)
ou T^-^T— i)0ur de grandes valeurs de 6, par une série semi-conver-
gente.
Or, comme je viens de le dire plus haut à l'égard de T(iO), cela
est effectivement le cas. Je crois donc que mon travail ne sera
pas inutile.
\ous voyez par la valeur de 0 et par R = 4 / '-^ que,
lorsque le point z parcourt la partie positive de l'axe des y, en
s'éloignant de l'origine, le point dont laffixe est r(5) finit par
décrire, dans le sens positif, une s])irale, en se rapprochant
rapidement de l'origine, la vitesse angulaire croissant aussi indé-
liniment et, de là, on voit comment se comporte la fonction holo-
morphCj^.
Considérons encore les intégrales <[ui figurent dans les for-
mules (2) et (3), ou ])lu[ôt celle-ci :
I r 9 ( .1
^i "^
qui les réunit.
Au lieu d'intégrer le long de l'axe des x^ de o vers A, il est
permis d'intégrer le long de l'axe des j", de o vers B, en évitant
les pôles de ©(j^) par de petits demi-cercles de rayon infiniment
])etit £, puis d'aller de B vers A par un quart de cercle.
L'intégrale, le long de BCA, s'évanouit à la limite pour n =^ ce,
il ne reste donc que l'intégrale de o vers B. En posant x = it. on
obtient, pour la partie rectiligne,
I r o(it) , . -
- / ^- — -e-a'idl,
1.1 t^
LETTRE 90.
et rintégralion doit s'étendre de o À iTz
-, de 2 7: H- £ à
(2n*2)n,i
B
2mzi
r"""^^
\^C
kTtV
)
\
2T.Ù
)
\
oc
0
A
47rH-£, ...; comme 'f(«/) est réelle, celle partie est purement
imaginaire.
Quant aux petits demi-cercles, ce sont évidemment des moitiés
de résidus, et à cause de
I «p ( ;r )
y-^-( — - — ^
X -^ IIIT^I ,
on voit que le pôle imzi donne le terme
g—2amz^
Ces demi-cercles donnent, par conséquent, la partie réelle de
l'intégrale et
I /* '^ co ( j- 1 , V^ ' , ' j / ' \
mettant cette valeur dans (a), je retrouve la valeur
lo"R=-lo"
■JL aie'
(jue j'avais conclue d'abord, en envisageant directement la valeur
de r(ai) d'après la définition de Gauss.
Mais la nouvelle forme de la partie imaginaire
I /•* cD(a-) . , I r o(it) , ,
- / ■?,\aaxdx= / - — ; — e~"-^ dt
%J x-^ X J V-
(V de o à -i TT — £., •). t: -+- £ à !\r^ —z)
se prête difficilement à des développements ultérieurs en vue de
i88 nonRESPONDANCE d'hermite et de stieltjes.
la .série scmi-convergenlr. On obliont une forme plus iilile en
écrivanl
\ C^ oix) , "V r°° '>.e"-i^ dx
- / J— — e«'-ï- dx rrr > / — __- ,
2Jq X"- ^^J^ 372-^4/1^7:^
et en Irailanl / -— ^ — ; — — -, de la même manière. La partie ima-
,/ .7-2 -f- 4 «--2 i
ginaire peul s'exprimer alors parle logarillime intégral.
J'ajoute maintenant nue démonstration de ce lait que les
intégrales
r * ç t -^ )
OFl = / - — — ( I — e-^^ ) cos a x dx,
• 0 ^'
I ( I — e-"-^ ) SI 11 «a? dx
0
convergent réellement vers zéro en même tem})s que b. J'écris
sll
On a
1 Olo, I <
I ^— — ( I — <'-*•'" ) dx <,{i — e-'> 1 / -^ — — dx,
I X- .L x^
y'I
1 OK^ 1 < f ^ ( I - e-b^' ) dx < ( I - e-v'^) r " '^ dx
On voit ])ar là que DU, et ;)rco convergent vers zéro, car
-^ — -^ reste lime.
Pour faire voir rigoureusement que liinOlla^o, j'applique le
second théorème de la moyenne
/ u{x)v(x)dx = u{a) I v{x) dx -h m b) j v(x)dx.
Cela supj)ose que u{a)) varie toujours dans le même sens.
M. Dini [Fundanienti, etc., j). 3Go ) a étendu cette formule au cas
où l'une ou l'autre des limiles (ou même toutes les deux) sont
I.KTTRE 90. 189
infinies. Dans notre cas, u\x ) = (i — e~*' ), il vient
011,= / -^ -i\ ~ e-'''^)co?,ax dx
Or, comme l'intégrale / - — ^cosa^c/x a un sens, on a
lim / cos«a"«.r = o, liin / - — — cosaa? aj' = o,
) - x'- ' J, X'-
donc
lim 0113 = o
et, finalement,
liiuniL = o.
La même démonstration s'applique à l'intégrale n.
(Note. — Il parait hieu à peu près évident que
lim DR:
um / ( I — - e-"^ ) cosaa? dx = o.
4
mais, si l'on exige une démonstration rigoureuse, je n'en vois pas
de plus simple) (' )•
J'espère, Monsieur, que vous voudrez bien excuser la longueur
de cette lettre et me conserver la bienveillante affection dont vous
m'avez donné tant de preuves.
Votre très reconnaissant et dévoiu'-.
( ' ) iXote des éditeurs. — Le Mémoire où Slielljes a exposé les résultats contenus
dans cette lettre est inséré au Tome V de la 4' série du Journal de LiouvUle,
1889, p. 425-444-
igO COnUESPONDANCE I) HERMITE ET DE STIELTJIS.
91. — STIELTJES A HE R MITE .
Pi. ris, nj mars iSS^).
Monsieur,
Je viens de déposer ma Thèse au Secrétariat de la Facilité des
Sciences. Comme seconde Thèse, je voudrais bien exposer la
démonstration due à M. Poincaré de la possibilité d'une figure
annulaire d'une uiasse fluide en rotation. C'est un sujet qui m'in-
téresse beaucoup et j'ai encore rpielques mois de temps, certaine-
ment, avant que ma Thèse ne soit imprimée.
En travaillant à ma Thèse, j'ai reconnu que la formule
r(a)
1-1 J
' dz,
donnée par M. Heine dans le Journal de Boichardt, est due à
M. Hankel, élève de Riemann, et qu'une mort prématurée a
enlevé à la Science. Dans un Mémoire paru dans le Journal de
M. Schôlmilch (t. IX, p. i, i864), il donne cette formule
V{~ X)
I i— f)^e-' df.
Ce Mémoire, écrit visiblement sous l'influence des idées ilr
Riemann, contient beaucoiq^ de choses intéressantes. Le sujel
n'ayant pas un i-apport direct avec les développements de ma
Thèse, je n'ai pu mentionner cette remarque dans ma Thèse.
Je n'ai |)u retrouver dans aucun ^Mémoire publié la spirale qur
décrit le point -> mais d'aiirès i\n |>assa2re du Mémoire Ueber
^ \ \ ai ) ' I o
die Anzahl PrinzaJilen, etc., je suis convaincu que Riemann
avait déjà reconnu la manière; dont se comporte — ^^ lorsque
z décrit l'axe des y.
Veuillez bien agréer. Monsieur, l'expression de mes sentiments
de respect et de reconnaissance. \ otre dévoué.
LETTRE 93. 191
92. — STIELTJES A HERMITE .
( Extraits. 1
Paris, î avril 1886.
. . . Note concernanl la Thèse Recherches sur quelciues séries
semi-convergentes.
L'exactitude des nombres donnés dans ce Travail est assurée
par un calcul l'ail en double. Seul, le calcul de //(loooooooooo )
n'était pas contrôlé. En revoyant ce calcul, on a découvert une
faute d'écriture, par suite de laquelle les nombres donnés dans le
manuscrit sont inexacts. On prendra soin de faire les changements
nécessaires en corrigeant les épreuves.
Nombres exacts à substituer à ceux donnés dans le manuscrit
de ma Thèse :
e'i' rrz 10 000 000 000,
a = ii , o>. j 85o 9 . . . ,
N = 22,691 66,
n =22,
\ = o , 6g I 66 ,
li(^e"-) = 455o556i 1 ,222()7 -f- o, 524 57)..
(A ) li{e<^ ) — 455 0)5 6 14, 585 4,
En prenant n =^ 2.3, -^ = + o,02585o(). . . et en calculant Roj
par la formule (^), on trouve, avec une erreur inférieure
à o , 000 o I ,
(B) liie'^'-) = 455 o55 6 14,50662.
93. — STIELTJES A HERMITE.
Paris, 3 avril 188G.
M(
J'ai de nouveau recours à votre bienveillance pour vous
demander de vouh)ir bien présenter à l'Académie des Sciences la
Note ci-jointe (' ), où j'apjjelle l'attention sur un article intéres-
( ' ) Note des éditeurs. — ■ La Note citée a paru clans les Comptes rendus, t. Cil,
p. 2o5, 5 avril 1886, sous le titre : Sur le nombre des pôles à la surface d'un
corps magnétique.
19^ CORRESPONDANCE d'hERMITE El DE STIELTJES.
saiiL de M. Reech. La solulion de la question traitée par M. Betti
s'y trouvait d'avance et le résultat de M. Reech est même plus
complet.
Dans le second tirage de votre Cours, vous citez (p. loo) le
i^'' Cahier du Journal de V École Polytechnique, en parlant de
l'expression logT(«j découverte par Binet. C'est le 27" Cahier qui
contient le grand Mémoire de Binet.
Je suis, avec le plus profond respect, Monsieur, votre très
reconnaissant et hien dévoué.
94. — lïERMlTE A STIELTJES C).
( Dimanclie) Paris. 4 avril 1886.
Monsieur,
Votre Note fera grand plaisir aux amis de M. Reech qui aurait
mérité d'appartenir à l'Académie des Sciences, et, comme vous,
j'avais été très fraj^pé de l'article dont vous avez tiré une consé-
quence physique importante. Mais de physicjue je ne m'occupe
guère, je fais une troisième édition de mes Leçons, dans laquelle
je corrige bien d'autres inadvertances que celle que vous me
signalez pour la citation du Mémoire de Binet sur les intégrales
eulériennes. Sur la question de la fonction de Riemann
je viens de remarquer que (j'(^) pour s positif est toujours entre
les limites ^ et i ; on a d'ailleurs ^'(5) = i pour s infiniment grand
positif. Vous vous souvenez que je vous ai cherché querelle, l'an
<l(;rnier, sur cette fonction (j'(i) qui me semble bien mystérieuse,
la remarque concernanl sa limitalion me jette dans un abîme de
perplexité.
A vous, Monsieur, bien alTectueusement.
( ' ; Noie des éditeurs. — Celle lellre ne porle pas de date. Nous l'avons placét
immédialcincnt après celle du 3 avril 188G qui csl un samedi.
LETTRE 96. 198
95. — STIELTJES A HERMITE.
Paris, II juin iSSG.
Monsieur,
Ma thèse étant imprimée, je viens vous demander de vouloir
bien fixer, en accord avec MM. Darboux et Tisserand, la date et
l'heure de l'examen public.
En même temps, j'espère que vous ne me refuserez pas l'auto-
risation de mettre votre nom à la première page de mon travail en
vous le dédiant.
Veuillez bien agréer, Monsieur, l'assurance de ina profonde
reconnaissance et de mon entier dévoùment.
96. — HE RM [TE A STIELTJES.
Paiis, ri juin 188I.
MONSIEUII,
Je vous remercie de tout cœur, et je saisis l'occasion de vous
renouveler l'assurance des sentiments, que vous me connaissez
depuis longtemps, de la plus haute estime et de vive sympathie.
Permettez-moi de vous apprendre que, au moment où vous
devenez Finançais, je deviens quelque peu Hollandais, ajantétéélu
membre étranger de la Société des Sciences de Harlem. Pourriez-
vous, si vous le jugez convenable et que vous en ayez l'occasion,
dire que je vous ai personnellement exprimé, que j'ai été extrê-
mement touché et que je suis profondément reconnaissant de
l'honneur de cette élection. Je crois être le seul mathématicien,
parmi les membres de l'Tnstitut, qui soit membre étranger de cette
Société.
En vous priant, Monsieur, d'accepter quelques opuscules qui
vous parviendront prochainement, entre autres la première Partie
de la nouvelle édition de mes Leçons de la Sorbonne, et vous
renouvelant l'assurance de ma bien sincère et toute cordiale
affection.
i3
194 CORRESPONDANCE D'uKRMITE ET DE STIEl.TJES.
97. — HERMITE A STIELTJES.
3o juin 1886.
MONSIEUIS,
Après avoir demandé au Minisire de l'Inslruclion pul)lique, au
nom de la Facullé, de vous appeler à remplir une position dans
l'enseignement supérieur, je viens vous prier de vouloir bien me
faire connaître si la Faculté des Sciences de Toulouse serait à
^olre convenance, ou bien si vous donneriez la préférence à Lille,
où vine place de maître de conférences pourrait également vous
être ofî'erte. Le dojen de la Faculté de Toulouse, qui est un de
mes élèves, est aussi directeur de TObservaloire; je suis bien sûr
que vous auriez avec lui les meilleurs rapports; en même temps,
je dois vous dii^e qu'à Lille, où la vie est plus chère, il y a aussi la
possibilité d'être appelé à enseigner dans l'Institut industriel, et
M. Boussinesq y a été longtemps professeur. En attendant votre
réponse, je vous prie, Monsieur, de me permettre de me débar-
rasser d'une inquiétude; vous avez encore à attendre votre nomi-
nation, et je ne puis m'empêcber de craindre pour vous des
difficultés c|ue je désirerais extrêmement vous éviter. Excusez
donc mon indiscrétion et ne l'attribuez qu'à mes sentiments de
sympathie et de bien haute estime que je vous renouvelle en aous
félicitant, en mon particulier, pour votre Thèse encore plus vive-
ment et mieux que je ne l'ai fait en public.
Votre bien sincèrement dévoué.
98. — STIELTJES A HERMITE.
Paris, 27 octobre 1886.
MONSIEUK,
Je viens d'apprendre hier cjue je suis chargé d'un cours de
mathématiqvies à la Faculté de Toulouse. En apprenant cette
nouvelle, je dois vous renouveler l'assurance de ma profonde gra-
titude pour tant de bienveillance et d'amitié que vous m'avez
LETTRE 99. igS
voulu montrer. Mais, Monsieur, je suis incapable d'exprimer en
paroles le sentiment que m'a inspiré votre conduite envers moil
Je ne peux qu'exprimer tous mes vœux pour votre bonheur et
celui de tous les vôtres.
Votre sincèrement dévoué.
99. — STIELTJES A HERMITE.
(48, rue Alsace-Lorraine) Toulouse, i5 décembi'e i886.
Monsieur,
Depuis longtemps, j'ai voulu vous écrire pour vous dire que je
me trouve très bien ici et que je suis tout à fait content. Je donne
un Cours (deux leçons par semaine) à quelques boursiers d'agré-
gation (théorie des fonctions d'une variable imaginaire) qui sont
de bons travailleurs, et ensuite une Conférence pour ceux qui se
préparent à la licence et qui sont assez nombreux.
J'ai fait aussi avec beaucoup de plaisir la connaissance de
M. Baillaud, qui vous accorde volontiers tout le crédit de temps
que vous voudrez pour l'article que vous lui avez promis. Seule-
ment il y tient beaucoup et il espère ainsi que vous ne l'oublierez
pas. Mes autres collègues, ici, m'ont fait aussi un très bon accueil.
J'avais déjà l'intention de reprendre mes recherches sur la
fonction S/i^'^et sur les lois asjmptotiques pour les rédiger conve-
nablement, lorsque j'ai vu la Note de M. Kronecker où il en
fait mention. Mais il me reste beaucoup à faire et je veux par-
courir maintenant attentivement tout ce champ de recherches où
il reste encore tant à faire.
En attendant, je vous offre une Note pour les Comptes i-endus ( ' )
que j'ai pensé à rédiger en lisant l'article de M. Kronecker. Je ne
crois pas inutile d'appeler l'attention des géomètres sur celte
question très délicate
lim/''(a-) =/'('i)?
(') Note des éditeurs. — La Note citée a été présentée à l'Académie le 20 dé-
cembre 1886, et est insérée aux Comptes rendus, t. CIII, p. 1243-1216, sous le
titre : Sur les séries qui procèdent suivant les puissances d'une variable.
196 CORRESPO>DANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.
Je n'en sais rien; pour le moment, je penche à croire que cela
n'est pas vrai généralement.
Veuillez bien agréer, cher Monsieur, la nouvelle assurance de
mes sentiments de profonde reconnaissance et de respect.
100. — H ERMITE A STIELTJES.
Paris, 17 décembre 1886.
MojVSIKTJr. ,
Votre Communication, qui sera présentée lundi à l'Académie,
est extrêmement intéressante et je vous en fais mon sincère com-
pliment. En voyant avec quel succès vous traitez ces questions si
délicates de limites de valeurs des fonctions, dans le voisinage de
leurs discontinuités, la pensée m'est venue d'appeler votre atten-
tion sur un point de la théorie des ionctiuns qui me semble digne
d'intérêt. Rien n'est, en général, plus facile (piand on donne, sous
forme rationnelle et entière, une relation entre des fonctions
n'ayant que des discontinuités polaires, que de voir comment
disparaissent les pôles dans cette relation.
Mais, lorsque au lieu de points isolés on a des lignes entières de
discontinuités, il n'en est j)lus de même. Considérez, par exemple,
la fonction y/A" = 'j ( 10 ) , qu'on obtient en |)osant ^ = e''^" dans
l'expression
et qui a l'axe des abscisses pour cou|)ure. La transformation du
troisième ordre vous donne la relation
y( w ) = <p'*(3w ) — 'icpf 3 w) o( w ) [i ç»-( 3io I 'f-(co)] = o.
11 faut donc que la coupure ait disparu dans f{^), mais de
quelle manière? Vous savez, n'est-ce pas, que Riemann, d'abord,
puis M. Dedekind, par une analyse beaucoup plus facile et plus
claire, ont obtenu ce résultat important que pour M = a-rit,
t étant infiniment petit et positif, 'f (oj) est indéterminé loi\sqiic la
partie réelle a est une quantité incommensurable et qu'en suj)po-
sant <7 := —} où m et /i sont entiers, oUoi) est zéro ou lunité.
LETTRE 101. 197
suivant que in ou n sont pairs ou impairs. Je désirerais, mon cher
Monsieur, que, dans la même voie, vous fissiez un nouveau pas;
il me semble qu'on doit pouvoir établir quey*(to) est continu dans
le voisinage de la coupure, en allant plus avant dans l'étude
de '.p(« + î£); je voudrais vous inspirer l'ambition de pénétrer
dans le mystère de l'indétermination des quantités '-p(«) et fp(3«)
lorsque a est incommensurable, qui étant indéterminées l'une et
l'autre, doivent avoir une dépendance telle qucy(«) ne possède
plus aucune indétermination. De nouvelles lumières sur ce point
de vue se trouveraient amenées sur la théorie des fonctions analy-
tiques et aussi sur les équations modulaires de la théorie des
fonctions elliptiques. Vous verrez facilement et peut-être avez-
vous déjà remarqué que l'existence de la coujîure dans 'f (w) rend
possibles certaines relations qui jamais n'existeraient à l'égard de
fonctions uniformes n'ayant que des discontinuités isolées. On ne
peut donc se refuser à chercher dans l'élude de ces relations des
données sur un nouveau mode d'existence des fonctions, et celte
étude demande tout d'abord qu'on éclaircisse ce point, ])Our moi
si obscur, de la disparition d'une covipure, dans une combinaison
dont la fonction /( co) donne l'exemple.
Ce m'a été une grande satisfaction d'apprendre que vous vous
trouviez bien à Toulouse, et que vos collègues vous avaient fait
l'accueil auquel vous aviez droit; permettez-moi de vous jirier de
me rappeler au bon souvenir de votre doyen, M. Baillaud, en
l'assui^anl que je n'oublie point l'engagement qu'il m'a fait
prendre et veuillez, mon cher Monsieur, recevoir, avec l'assu-
rance de ma plus haute estime, celle de mes sentiments affectueux
et tout dévoués.
101. — STIELTJES A H ERMITE.
Toulouse, 3o décembre i886.
Monsieur,
Je dois vous remercier a ivemenl pour le précieux cadeau que
vous venez de me donner en m'envoyant la troisième édition de
votre Cours de la Sorbonne, précieuse, surtout, parce que c'est
une marque de votre amitié. Je l'ai, comme vous pouvez le croire.
10)8 COnRKSPONDANf.F d'iIERMITR ET T)E STIELTJES.
déjà parcouru cl j ai vu qu il j a de jiouNcau beaucoup de choses
dont je dois profiter.
Je connaissais bien le Mémoire de M. Dedekind Schreiben an
flerrn Borchardt ûher die Elliptischen Modulfunclionen,
mais je n'avais jamais pensé à vérifier, comme vous me le pro-
posez, l'équalion modulaire dans le voisinage de la ligne des
(lisconlinuilés. Je vais faire de sérieux efforts, mais je ne sais si
je pourrai trouver quelques résultats qui valent la peine; en tout
cas, je ferai de mon mieux.
J'ai cherché, pour mon Cours, si l'on ne pourrait pas donner
un exemple un peu simple d'une fonction qui n'existe que dans
une certaine partie du plan, et j'ai rédigé une Note de ce que j'ai
trouvé. M. Darboux la fera insérer dans son bulletin ('). Je crois
pouvoir indiquer, en quelques mots, ce que c'est. Je pose
<7,, r/o; • • • "n^ ■ ■ ■ sont des quantités dont le module est = i . On
peut développer
et 1 on voit que
iodc„<y-i;
supposons maintenant que z s'approche de «/, par le rayon vec-
teur, c'est-à-dire posons
u étant réel et tendant vers i . Alors le A'""" terme de la série
k^ Uk— z l<i I
est réel positif et croît au delà de toute iiniile.
Maintenant, on yieut choisir les «,, c/o, ..., <?«, .... <le lellr
(■) Note des éditeurs. — \n\v lliillctin bibliographique des Sciences mathé-
matiques, t. XI, 2' série, p. 4''-5i; 1887.
LETTRE 101. 199
manière que, après rexclusion de ce ternie 7:^ _ ,> la série reste
convergente pour z ^=0/^11, même pour 11 = i^ en sorte qu'on a
lim f(a/,u ) — — — = A,
A'^ I — a ] ,i=\
A étant une constante. Vous vojez donc que, dans ce cas, la
partie réelle de /(^) croit au delà de toute limite, tandis que la
partie imaginaire tend vers une limite fixe. Mais il y a un nombre
infini de points a/( snr un arc quelconque du cercle de conver-
gence C dont le rayon = i .
Voici comment on peut prendre «), a-i, . • ., ««, ... :
rti, a-, divisent G en deux parties égales;
«1, rtoj <^h, <^(', divisent G en qnalre parties égales;
a,, a-2^ «3, . • ., «8 divisent G en 8 parties égales;
a^, .... rt,c sont les sommets d'un polygone régulier de seize
côtés, etc.
La conséquence de cette distribution des quantités a^ est que
, DU
mod (cir — « î ) > '
r
011 étant une constante, /• le plus grand des deux indices /• et s.
Ainsi, il y a bien des points qui s'approchent beaucoup de a^,
mais pour que mod(a/i — a„) tombe au-dessous de s, le nombre n
1 ■ A ■ COnSt. 1 r . Il 1 ' ■
doit croître au moins comme , et le iacteur —> dans la série
-^^^ — ]i assure alors la convergence. Du reste, la même
série > — ( donne aussi 1 exemi>le dune fonction qui
1
n'existe qu'à l'extérieur du cercle G.
•J.OO CORRESPONDANCE I) UERMITE K T DE STIELTJES.
On peul dislribuer les points «,, a-, a,,, . . . snr une ellipse,
lin triangle, etc., et Ton a alors une lonclion qui n'existe qu'à
rinlcrieur (ou l'extérieur) d'une ellipse, d'un triangle.
Mes meilleurs souhaits pour le nouvel an, voire très respectueux
et dévoué.
102. — STIELTJES A UERMITE.
Toulouse, 2 janvier 1887.
MOKSIEUR,
La rédaction d'un article me donne toujours beaucoup de mal
et je ne réussis guère à la faire du premier coup. Je retrouve
encore par hasard un des premiers projets de mon article pour le
Bulletin et j'espère que vous ne me trouverez pas inopportun de
vous l'offrir, car je n'ai pas été sulTisammenl explicite dans ma
dernière lettre.
J'ai considéré exclusivement la fonction
à Vintérieur du cercle C. Cette fonction ne peut se continuer en
dehors du cercle.
Mais la même série représente aussi pour mods >> i une fonc-
tion qui n'existe qu'à l'extérieur du cercle C et cjui ne peut se
continuer à l'intéricm' du cercle.
Vous observerez que je n'ai étudié la manière dont se comporte
f{z) lorsque z- s'approche de la circonférence C, que dans le cas
très particulier où le rajon vecteur aboutit à un des points ajc
,1e ne sais rien, j)ar exemple, de ce qui arrive lorsque c se meut
sur un rayon vecteur qui aboutit à un ])oint de C qui ne coïncide
pas avec un des points Uh.
Mais comme il y a une infinité de points a h sur un arc quel-
conque de C, il était suffisant pour mon but de considérer seule-
ment ce cas particulier.
Je vous remercie d'avance, Monsieur, pour Verrata de votre
Cours que vous me promettez, mais je dois avouer (|ue je n'ai
guère encore rencontré des inadvertances qui changent essentiel-
LETTRE 103. 20 I
lemenL le sens d'un passage ou qui causent une ditticulté réelle
et, dès lors, cela n'a pas une bien grande importance.
Veuillez bien me permettre. Monsieur, de vous nommer mon
cher Maître, et de vous présenter l'expression de mes sentiments
dévoués.
103. — HERMITE A STIELTJES.
Pai'is, 7 janvier 1SS7.
MONSIEUU,
Votre Note est excellente, et après avoir lu la rédaction déve-
loppée que vous m'avez adressée, je n'ai que des compliments à
vous faire. Elle est rédigée avec une parfaite clarté, et sous ce
point de vue, qui a son importance, puisqu'on peut dire C[ue vous
êtes étranger, j'en suis absolument satisfait. A l'avenir, si vous le
permettez, je passerai la ])ierre ponce sur les articles que vous
donnerez aux Comptes rendus, mais les fautes que j'ai pu
remarquer jusqu'ici sont vraiment insignifiantes. Vous m'excu-
serez d'avoir attendu toute une semaine pour vous rendre la
justice à laquelle vous aviez tous les droits, mais ici, à Paris, cette
semaine est la proie des visites et des obligations du jour de l'an
qui ne laissent guère de liberté. Permellez-moi, |)uisque la pro-
vince vous donne plus de loisir pour le travail, de vous prier de
penser aux coupures, ou plutôt à la seule et unique coupure que
peut offrir le premier membre des équations modulaires, envisagé
comme fonction de la variable (o=-— -, afin de reconnaître de
K
quelle manière il arrive qu'elle disparaît dans la fonction consi-
dérée. Si vous réussissez à voir clair dans la question, magiius
inihi eris Apollo.
En vous renouvelant, mon cher monsieur Stieltjes, l'assurance
de mon affection bien sincère et bien dévouée.
202 COKKF.SI'ONDANCK I) IIKIIMITK ET DE STIELTJES.
104. — STIELTJES A HE R MITE.
Toulouse, 25 janvier 1887.
Monsieur,
Je viens de voir que vous ail ri huez à M. Markofl le théorème
suivant :
Soient
a"l > a?2 > .^3 > • . • > ^n
les racines de X„= o, alors on a
. (■}.L — I )7r 2 i-K
( A ) cos ~— > Xi > cos •
"3.11 -\- \ m -\^ i
jNlais ce résultat a déjà été ohlenu par M. Bruns daus \c Journal
de Borchardl, t. 90, p. 32'-.
De mon côté, j avais, d'un théorème inséré au commencemeut
de i885 dans les Comptes renias, non seulement ces inéga-
lités (A), mais encore la limitation suivante qui est plus étroite :
(•>. i — ij- „ /■-
(B) cos —^^Xicco?,- •
2/1 M -H I
Pour /< = 10, par exemple, on a
D'après (A) D'après (B)
limiles. limites.
\ o,98S8:i ) „ \ 0,98769 ]
oci ', • ..^ > o,o332() '^/'' 0,02820
( o,ÎP357 \ { 0,959,19 \
\ 0,90097 ) , ., i 0,89101 ) , „
5"2 ';^ •'; 0,07473 '; - 0,04970
( 0,82624 \ (0,84 I2J \
\ o,733o") / t 0,70711 ) .
a"3 r. .w i' 0,10936 \ '' ' ,, o,o522:»
/ 0,62349 1 ( 0,63486 \ '
\ o,5oooo / ,,„^ \ 0,45399 )
^k ' ( o,i3466 ' -/ ( o,oJ837
( o, 36^34 1 ( 0,41342 \
\ 0,22252 ) , l o, i5643 )
^■i ', -, 0,14779 .0 o, 01412
/ 0,07473 \ ( o, \'\-l6\ \
Mais j'avais négligé de rédiger complèlemeul ma démoiislra-
lion, ce que je vi<'ns de faire uiainlcnaiii . .l'envoie cet arlicle à
LETTRE 10^1 . 203
M. Millag-Leider, car c'est une suite naturelle à un article qui a
paru autrefois dans les Acla (' ).
Je regrette bien de ne connaître point la démonstration de
M. Markoft, mais aucun fascicule du tome XXVII des Mathema-
tische Annalen n'est encore parvenu à la bibliothèque de la
Faculté. Dans ma démonstration, je me fonde sur une proposition
d'algèbre très simple d'où découle cette conséquence :
Soit
m m
X = ^ ^ aikXjXu
1 1
une forme définie positive, dont les coefficients aihi^i^k) sont
négatifs, alors, dans la forme adjointe
m m
tous les Kik sonl positifs.
Comme l'adjointe de l'adjointe reproduit la forme primitive à
un facteur constant positif près, on pourrait croire que récipro-
quement pour
«/•yt>o,
on aurait
A//,<o (i§k),
mais cela n'est pas exact.
En reprenant cette question c]ue j'avais un peu perdu de vue, je
me suis aperçu que cette proposition d'Algèbre est liée intime-
ment à une question de physique (distribution d'électricité sur
un système de conducteurs). Ce rapprochement m'a conduit
encore naturellement à compléter cette px'oposition d'Algèbre
sous un autre rapj)ort. J'ai exjjosé tout cela dans mon article pour
les Acta.
Je pense beaucoup à l'équation modulaire, et la ligne de
discontinuité, mais je commence seulement à me rendre un peu
compte des difficultés qu'il faudra vaincre.
En vous renvoyant mes meilleurs souhaits, je vous pi'ie, Mon-
(') Noie des éditeurs. — Sur les racines des équalions X„ = o {Acla Matlie-
malica, t. IX, p. 385 -4oo: 1887).
204 CORUESPONDANCE D HEUMITE ET I)E STIELTJES.
sieur, de vouloir bien accepter Fassurance de mon dévoûmeiil
respeclueux.
105. — HERMITE A STIELTJES.
Paris, 27 janvier 1887.
Cher monsieur Stieltjes,
Mille remerciements pour les remarques que vous me commu-
niquez et pour les belles recherches que vous m'annoncez devoir
paraître dans les Acla. Il est bien difficile d'avoir loul ce qui se
publie à notre époque si féconde, présent à l'esprit, et celte diffi-
culté s'augmente pour moi de mon ignorance de l'allemand, ce
qui vous explique pourquoi j'ai attribué à M. Markoff, qui a écrit
son article en français, ce qu'avait déjà fait M. M. Bruns dans le
Journal de BorcJiardl. Mais ce me sera un plaisir quand je ferai
pour l'impression une rédaction plus correcte de mon Cours litho-
graphie d'j donner place à votre Travail qui excite extrêmement
ma curiosité d'après le peu que vous m'en dites. Qu'il y ait une
étroite connexion entre la théorie des équations algébriques et
celle des formes quadratiques définies, c'est ce que j'ai remarqué
depuis longtemps, mais ce qui me surprend, c'est qu'au moyen
de cette dépendance, vous ayez i^éiissi à obtenir les limitations
si étroites
cos
< -^i <
Permetlez-moi de vous envoyer le numéro des Matheiiialische
Annalen qui contient l'article de ]M. IMarkoflet que vous pourrez
garder autant qu'il vous conviendra, n'en ayant aucunement
besoin.
En vous renouvelant, mon cher monsieur Stieltjes, mes félicita-
tions les plus vives pour ce nouveau fruit de votre beau talent,
ainsi que l'assurance de mes sentiments dafTection bien sincère et
bien dévouée.
LETTRE lOG. 205
106. — STIELTJES A H ERMITE.
Toulouse, 3 février 1887.
Monsieur.
Vous avez poussé vraiment Irop loin votre bonté en m'envojanl
le fascicule des Mathematische Annaleii qui contient l'article de
AI. MarkofT, et, en vous le renvoyant, je ne saurais tro[) vous
remercier.
J'ai vu c[ue M. Markoff établit aussi et pour la première fois,
dans son article, la limitation plus étroite des racines X„= o que
je vous avais communiquée.
Mais la démonsti'ation que j'ai développée pour les ActaMatlie-
matica est différente de celle de M. Markofi".
Il me semble que la fonction
où a est une constante réelle, fournit un bon exemple pour
l'application du théorème de M. Mittag-Leffler. Je trouve
(^^ ^^^ = ^--2- x^-^i,^^ --'j(^^
La fonction entière (j'(x) change brusquement de valeur avec a :
ainsi
I
a = o, ^{^
1
0 < a < I, Cj'(a7 ) = o,
a — V, Q(^^ =-^ — }
2
1 < a < 2, Ç(x)= e(«-i'^',
si l'on développe le second membre de (A) suivant les puissances
croissantes de x (en supposant o <;a<<i) et qu'on compare le
résultat obtenu avec la formule
e
= a -ir '-Oiiajx -^^ o^{a)x^
2o6 COIIRESPOXDANCK d'hEKMITE ET DE STIELTJES.
qui sert de définition anx polynômes de Bernoulli cp, ( «), '-^-lici).
{Jordan, t. H, p. 102), on obtient
(?2/Aa) = (— I )'''+i > —7 -7—7
cp.2/,_,(a) = (— 1)^
■1^
1
ce sont les développements des poljnomes o en séries de Fourier
qu'on trouve dans le Tome II du 7/aité de Schloniilcli.
On peut considérer (A) aussi sous le point de vue d'une série
de Fourier, mais cela suppose x réel et ne donne pas le vrai
caractère de cette formule. Mais de cette manière ces disconti-
nuités pour « = o, a = i rentrent bien dans le type de celles
qu'on rencontre à chaque instant dans la théorie des séries trigo-
nomé triques.
A côté de la fomnule (A) on peut mettre les suivantes qui
donnent lieu à des remarques analogues :
rosi.r r v^ ( — aV'-'^'îx cos on- , .
—. = - + 7. -^r-^ -, (— I = o ^ 4- 1),
sin.r X ^^ n--- — x-
1
—■ = > T—^ — —^ (— I<6<+1),
sin.r ^ad n-T.- — x-
1
cosbx V7 ( — iV'~'i''>,/t — T)TCo?f« — ^)h- ,
= > r^ = I — ^ I <^ O < -T- 1 ),
cosa: .L^ i „ _ ' )2 7^2 _ ^2
sin^;.r -^ (' — iV'-i 2 3? sin ( « — i)^- ^ , ,
= > -^ 7-. = < — I = ^ - -v- 1);
COS.r Xd (^/j _1)2^2_^2
1
si la constante réelle b ne se trouve pas dans l'intervalle indiqué,
il faut ajouter à droite une fonction entière dont on trouve la
foruK; immédiatement.
INIais, à vrai dire, ces quatre formules peuvent se déduire toutes
de la Jbrmule (A) qu'on peut regarder comme la principale.
Mais en voilà bien assez sur un sujet élémentaire.
En vous [renouvelant, Monsieur, mes remerciements pour
toutes vos bontés, vous voudrez bien me croire votre tout dévoué.
LETTRE 107. 207
107 — HERMITE A STIELTJES.
Paris, 18 février 1887.
Cher monsieur Stieltjes,
J'ai été bien empêché de Lravailler pendant ces dernières
semaines et je viens bien tardivement vous dire que vos applica-
tions du théorème de M. Mittag-Leffler m'ont beaucoup intéressé,
surtout la première concernant la fonction — Les autres
, . , cos^.r s\nb.x
concernant les quantités —. ? —. :. ••• sont certainement
importantes, mais Legendre les a déjà données, avec la détermi-
nation de la partie entière, dans les Exercices de calcul intc-
gral, page 169 et 170 (5^ partie, § II). Si ce n'est pas abuser de
votre complaisance, je vous serais bien reconnaissant de me
donner la matière d'une leçon à la Sorbonne, en m'indiquant
l'analyse que vous appliquez au premier cas de — ^ De|)uis
longtemps, j'avais remarqué que, en considérant — , il semble
absolument impossible de parvenir à la détermination de la partie
entière, ce qui doit faire mettre d'autant plus de prix au cas où,
comme dans le vôtre, elle s'obtient facilement.
Cette année, je me propose d'insister sur la détermination des
intégrales au moyen des coupures, en utilisant les exemples
faciles qui se trouvent par d'autres méthodes, par exem|)le
• / .T — .- \ r r'i"X
dx.
I e'"^x cot ( dx, I -. —
- )
Une petite remarque à ce sujet : Supposez l'entier ni
et z un [)oint situé au-dessus de l'axe des abscisses, on aura
f
2 Tt
gmix col ^ 1 dx = 4 i-e""'
et, pour /li = o,
tandis que
f
f"
cot dx
cot ( — — ^ ] dx = o
208 CORRESPONDANCE D'HEUMITE ET DE STIELTJES.
Cela étant, j'envisage la formule de Fourier écrite ainsi :
ou
'^{x)= iAo-H^^A-,,,*--'"
( /« = 1 , 2 , 3 , ...
\ ous voyez que Ton a
f .T Z I
f(x)col dx =■ —-^oiz)
|)oiir tout le demi-plan au-dessus de l'axe des abscisses. Au-des-
sous, on trouverait pareillement
, 271
En vous renouvelant, mon cher monsieur Stieltjes, l'assurance
de mes sentiments affectueux et bien dévoués.
108. — STIELTJES A H ERMITE.
Toulouse, 19 février 1887.
MoNsiEur. ,
Vous trouverez ci-joint l'analyse cjue j'ai suivie pour obtenir la
décomposiliou de — et je m'estime heureux si je peux vous
être agréable de cette manière.
Comme vous verrez que je n'ai rien fait que suivre votre
Douzième Leçon (p. 92 et suiv.).
11 m'avait frappé que, pour obtenir la décomposition de
cot.r, vous ne considérez pas directement
dz
col G
X
mais
cot-: dz
f
rcolz dz
LETTRE 108. 209
C'est évidemment afin de démontrer plus facilement
r cnt z dz
iim / = o,
J z z — X
ce qui réussit maintenant à l'aide de la formule de M. Darboux.
Ce qui est un peu artificiel dans mon analyse, c'est cette suppo-
sition
hm - = o,
mais, sans cela, on ne trouverait pas si facilement que
lim^'^iiC— lim5DA= o
et aussi dans le cas a = 1 ou « = o
... I I
\\m-S = -1 ou •
Du reste, j'ai peine à croire que la formule obtenue soit nou-
velle, mais peut-être n'a-t-on pas insisté sur son vrai caractère.
Les formules
■2 e\ii — e-Xn 2X [2+ X- 2^-1- ).2
•71 gXx — e-).x [ v.\\\x 2 sin 2.r 3 sin3^
I — TZ <C X 'Ci'K)
jATt _ e-Xn 1 2 -f- X 2 22 _j^\-i 32 ^ )_ 2
(p. 142, 143 du tome II de M. Schlomilcli) qui se trouvent, je
crois, dans Euler, reviennent au fond à la même chose, mais
M. Schomileli les obtient comme application de la série de
Fourier; x est la variable principale et k une constante réelle.
Mais je troiive très remarquable que Legendre, en donnant les
formules pour ,
cos ,
. bx
cos
sin "
(— 1<6
ait déjà songé à voir comment il fallait modifier ces formules dans
le cas que b n'est plus compris entre nri, et je dois vous bien
remercier de m'avoir indiqué ce passage des Exercices.
Votre détermination des deux parties <^{x) et '^{x) d'une fotie-
14
2 10 COIIRESPONDANCE D IIKRMITE ET DE STIELTJES.
tiony(^) à laide de l'intégrale
/(>)col( ^^^^ ^ ) dz
me semble très singulière. En efl'et, une fonction réelle /"(^j étani
donnée arbitrairement entre o et 27:, il n'est pas possible, en
général, de l'étendre ])Our des valeurs imaginaires de la variable.
Mais votre formule montre que les parties es et 'h existent chacune
dans la moitié du plan! C'est un résultat dont je dois chercher à
me rendre compte.
Je crois me rappeler vaguement que M. Poincaré a annoncé
quelque part un résultat qui doit avoir un ra])|ioit intime avec
cela.
A -roccasion de cette détermination d'intégrales au moyen des
coupures, permettez-moi. Monsieur, de vous signaler une petite
difficulté que j'ai rencontrée dans votre Cours. Vous considérez,
page 143, l'intégrale
* ( s ) = / fyl—z)dt
et vous trouvez
*fN) — *(N') = - liT.K.
Mais la démonstration suppose essentiellement tpie a et |j sont
finis, car, sans cela, les intégrales
page 142 n'ont pas de sens.
Lapplication (p. i44) à un cas où a^ — co, ^ = + oc est donc
sujette à une petite difficulté. En étudiant votre Cours, je n'avais
j)as fait cette remarque, mais, au moment où j'exposais cela dans
mon Cours, je m'en suis aperçu et cela ma brouillé un peu.
J'espère sincèrement que la démarche faite auprès des autorités
suédoises aura le résultat désiré.
\euillez bien agréer. Monsieur, l'assurance de mes sentiments
res])eclueux et dévoués.
LETTUE 110. 21 î
109. — SriELTJES A HERMITE.
Toulouse, 21 février 1887.
Mon S
Permettez-moi d'ajouter quelques mots à ma lettre cl'avant-hier.
En parlant d'un résultat annoncé par M. Poincaré que je croîs
avoir un certain rapport avec votre intégrale
r'^ fx — z.\
<!>(';)= / f(x)col{ — ; ^ d.r.
'■'0 ^
*(5 -f- 27:) = *(2),
qui admet pour coupure l'axe réel et
lim[*(N) — <Ï>(N')] = T-^/(a7),
je ne pouvais pas vous donner une indication plus précise, parce
qu'il me faudrait consulter pour cela notre bibliothèque qui est
fermée pendant ces jours de fête.
Mais, naturellement, je me fais un devoir de chercher le plus
tôt possible l'article de M. Poincaré dès cjue cela me sera possible.
Si mes souvenirs sont si vagues sur ce point, c'est que je ne
connais cet article seulement par un extrait dans la dernière Partie
du Bulletin des Sciences inathémaliques de M. Darboux (dans
une des années avant 1880?) et intitulé Sur les coupures des
inlégvales, je crois. Mais je vous donnerai bientôt l'indication
précise.
Respectueusement votre tout dévoué.
110. — HERMITE A STIELTJES.
23 février 1887.
Cher monsieur Stieltjes,
Mille remerciements pour l'excellente démonstration de la
formule concernant la fonction ; ie ne fais point comme
gu,- — I •' i
212 CORRESPONDANCE I) IIERMITE ET DK STIELTJES.
VOUS grise mine à la condition lim-^ = o, je raccueille Ijien
volontiers comme condition caractéristique du genre de concours
auquel il est nécessaire de recourir, sans lui faire le reproche
d'être artificielle. Permettez-moi une remarque qui m'est venue à
l'esprit à propos de cette application du théorème de M. Mittag-
Leffler. En supposant la suite
A, , A.2 , , A„ ,
convergente, avec les conditions
mod ai < inod (72 < modas • ; . . . ,
j'envisage la fonction suivante
où G(^) est une transcendante holomorphe, et je me propose de
la mettre sous la forme analytique de ce théorème. Soit, à cet
edet, Si, t-2 î« des constantes telles que l'expression
repx'ésente une fonction uniforme. En faisant
G[x) = G(a„) -, \-. . .-. — Rv,
I I . -2 ... V
il est possible de déterminer l'entier v, de manière à remplir la
condition Rv-<Sv pour les valeurs de la variable dont le module
est moindre cjue ««. On obtient ainsi
2s,i A„
X — a,,'
(cc — a„)y-i G^'^Ua,,)
cl, puisque la seconde somme définit une fonction, il en est de
même de la première et l'on en conclut immédiatement le résultat
cherché
LETTRE 110. 2l3
Peut-être ne serait-il pas trop difficile de faire une application
de ce procédé à la quantité -^ ; il suffirait d'avoir iine limite
supérieure de D".[e'' ).
Mon inadvertance de supposer les limites infinies dans Tin-
té errai e
' a
est bien regrettable, et je vous sais bien gré de me l'avoir signalée.
En attendant que j'aie pu suffisamment rétlécbir, voici peut-être un
moyen d'éviter la difficulté. Soit d'abord
je remarque que la relation
<ï>(N)- *(iN'j =—>,/-
subsiste si l'on prend
<i>(z)= I \F(t + z)-i ^-^. :\dl
f [t'''^')^, _„!,,_,]
sous la condition que F(^ + r) soit finie le long de la coiqnire. En
admettant que cette fonction soit telle que la nouvelle intégrale
ait un sens pour ^ = + a, y. = — ce, il me semble que rien ne
s'oppose à ce qu'on admette, dans ce cas, la relation
<ï>(N) — *(N') = — '2iiz.
M. Picard vient de m(.' dire qu'au mojen d'un cliangement de
variable, l'aire d'un cercle peut devenir le demi-plan, d'où résulte
que de la formule de Gauchj
,., I rf(z)dz
•' ■J.IT.J Z —X
OÙ l'on suppose z = e'^, on peut, dans tout le demi-plan, conclure
les valeurs de /(x), de celles qui correspondent aux valeurs
réelles de / =^ o à ^ = 271:. Cette considération d'un changement
de variable ne me satisfait pas absolument et je profiterai de la
première occasion que je pourrai avoir de parler à M. Poincaré
de l'extension des fonctions <p(^) et 'h{^)-
2l4 CORRESPOM)ANCE 1) IIEKMIÏE ET DE STIELTJES.
Je VOUS renouvelle tous mes remerciements pour votre bonté
cl la peine que vous avez prise de me rédiger si clairement votre
méthode concernant la fonction — 1 tjue j ai pu ainsi m assi-
miler sans l'ombre d'un effort.
Crojez-nioi toujours, mou cher monsieur et ami, votre bien sin-
cèrement et affectueusement dévoué.
111. ^ STIELTJES A H ERMITE.
Toulouse, i" mars 1887
INI
ONSTEVR.
J'espère que vous voudrez bien m'excuser si j'ai ajourné à
quelques jours la réponse à votre dernière lettre c[ui m'a fait tant
de plaisir.
D'abord, je dois faire amende honorable, après avoir consulté
l'article de M. Poincaré {Comptes rendus, t. XCVI, p. 1 134), je
vois qu'il n'a pas le rappoil si immédiat que je crojais avec la
question qui se présenta à propos de votre intégrale
/
271
f{x) cot dx.
0
Le théorème de JM. l^oincaré est le suivant :
Soient fi^x) une fonction existant seulement dans la moitié
supérieure du plan, f\(.r) une fonction existant dans la
moitié inférieure du plan, alors on pourra toujours trouver
0 X
deux fonctions '■p(-i"), ^(-3:^) existant dans tout le plan, telles
que
o i x) -T- <h {x ) =^ f{x) ou fi{x)
selon le cas. o{x) admettra pour coupure la partie de Vaxe
de — 1 à -h I , '|(.r) les deux coupures de — x à — \ et de ~ \
à -f- 00.
LETTRE 111. 2l5
Dans sa démonslralion, M. Poincaré applique la formule de
Fouiner
el il sappuie aussi sur cette remarque que l'expression
2
A.,,,.e
nnx
définit une fonction dans la moitié supérieure du plan et
une fonction dans la moitié inférieure. Dans l'article cité, M. Poin-
caré introduit la dénomination de coupure arlificielle qui me
semble heureusement choisie et qui répond à un besoin que j'ai
ressenti quelquefois.
L'observation de M. Picard à l'égard de la formule de Cauchj
j\x ) = ~\- f -
f{z)dz
ne répond pas précisément à la question telle que je l'avais
envisagée. En effet, elle montre qu'on peut calculer f{x) lorsque
les valeurs de f{z-) (sur la courbe C) sont données. Mais on ne
peut pas donner arbitrairement les valeurs de y(;) sur la courbe.
Au contraire, on sait (Riemann, Dissertation inaugurale) qu'en
donnant simplement sur la courbe C \d, partie réelle u de
f{x) = u-\- iv,
la partie imaginaire v est déjà déterminée, par là, à une constante
additive près: en effet,
Dans la question telle que je l'ai envisagée, il faudrait donc
démontrer que v s'annule sur l'axe des quantités réelles.
Riemann {^OEuvres, p. ayo) a énoncé ce théorème :
Etant donnée une Jonction périodicjue J(x ) de la variable
2l6 CORRESPONDANCE DHERMITE ET DE STIELTJES.
réelle x^ alors il existe loujouis une fonction 'f(x + iy^) finie
pour y ^ o et qui se réduit à f[x) pour y = o.
Il renvoie à sa disserlallon poui- la démonslralioii. Mais
M. Schwarz [Journal de Borchardt, t. 7i) a déjà appelé l'atten-
tion sur celle assertion qu'il semble dilficile de justifier.
Pour ma part, je crois pouvoir démontrer sans réplique ce qui
suit :
Si la fonction y(^) a lïne discontinuité dans sa dérivée, alors
l'assertion de Riemann ne peut être exacte.
Si, dans ce cas, il est possible de continuer la fonction f[x)
dans une moitié du plan, la partie imaginaire v ne peut pas se
Keprésentalion de f{x].
réduire à zéro sur l'axe des quantités réelles. Mais, quoique mon
raisonnement n'est pas bien compliqué, je ne crois pourtant pas
devoir le développer ici.
Je viens de voir que la formule de décomposition de a été
donnée par M. Kronecker. C'est, en effet, la formule (-), page 85 i .
des Comptes rendus de l'Académie de Berlin de i885. M. Kro-
necker donne une démonstration très curieuse qui lui fournit une
formule plus générale (i a) où il suffit de faire ù = i pour retrouver
la formule {'j).
M. Kronecker dit aussi l'avoir donnée déjà dans les Comptes
rendus de i883, page 4991 ^''^^^is, en cet endroit, il s'est borné
simplement à dire que la formule revient au développement de
Fourier de cos«.r, sina.^. J'ajoute que dans le Mémoire cité
[Comptes rendus de i885), M. Kroneckera remarqué aussi qu'on
déduit aussitôt de cette formule le développement en série de
Fourier des polynômes de Bernoulli.
Votre très respectueusement dévoué.
r.ETTKE 112. 9.1-
112 - IIERMITE A STIELTJES.
Paris, S mars 1H87.
Gheu Monsieur.
J'ai bien de la peine, à cause de l'allemand et de la complicalion
des calculs, de tirer parti du Mémoire de M. Kronecker, qui me
paraît cependant d'une gi\ande importance, et je ne suis guère
plus heurexix avec le beau travail de M. Poincaré sur les fonctions
à espaces lacunaires. Comment donc arrive l'expression
e ^- e .'
Rebuté, comme vous voyez, par l'Analyse, je me suis occupé
d'une formule que Gauss donne dans l'article : De nexii inter
multitudinem classiitni, etc. {Œuvres, t. II, p. ■270), pour
exprimer le nombi'e des points contenus dans le cercle x--\-y- =^ A
et sur le contour, dont les coordonnées sont des nombres entiers
et j'ai remarqué qu'elle s'étend au cas de l'ellipse A^x^ -h ^y- = N.
Faites
puis
le nombre des points contenus à l'intérieur et sur la circonférence
de l'ellipse est
On doit à Dirichlet une formule d'une grande importance dans
les questions de ce genre et que j'ai employée récemment dans un
article du Journal de Crelle : Remarques arithmétiques sur
quelques formules, etc., t. 100, p. 55.
En voici une démonstration facile :
2l8
CORRESPONDANCE D HER.MITE ET DE STIELTJES.
Soily=/{jc) la courbe lîgurée par A'B' depuis x = 0A= ;
jusqu'à X = OB = p, et dont on suppose l'ordonnée décroissante
entre ces limites. En désignant par A" la projection de A' sur
y
A"
^^^A*
B"
^^
■^-^^
i
-~
0
A
B
JC
l'axe Oy, je chercherai le nombre des points ayant pour ordonnées
des entiers, qui sont contenus dans Taire OBB'A'A'O avec ceux
qui se trouvent sur la courbe et sur les axes de coordonnées OA"
et OB. L'aire en question se compose du rectangle OAA'A"0 et
du segment ABB' A A.
Dans le rectangle, avec la condition admise, le nombre des
points est ç.P][/(^)], et dans le segment c'est la somme
E\/{'r + n| + E[/( ^ H- '.i )] -H. . .^ E\/(p )].
Cela étant, je fais la même énumération d'une autre manière, en
projetant le point B' sur l'axe des ordonnées en B", ce cjui me
donne, de nouveau, un rectangle OBB'B"0 et un segment
B"B'A'A"B".
Or le rectangle me donne, si je pose x = g' {y)-)
et le segment conduit à la somme
K !,.-(/'
E[g{p-^:>.A
E[*°-(-^-'J
et faisant yj = E [/(i)]- On trouve, en égalant les deux expressions,
la formule même de Dirichlet, dont les applications sont nom-
breuses et intéressantes, par exemple en faisant j- ^= .r"'. Pour
m = 2, on trouve ainsi un résultat (ju'a donné M. Bougaïeff, dans
un article très remarquable pul)li('' diius les Comptes rendus (').
(') Note des éditeurs. — Voir Comptes rendus, t. C, p. nSg.
LETTRE 113. "^'ig
Je reviens aux fondions pour vous remercier des indications
précieuses que contient votre dernière Lettre et vous dire que, sur
ces questions difficiles autant qu'importantes, je ne suis qu'un
écolier, n'ajant pu, à cause de l'allemand, étudier Riemann dont
je n'ai qu'une idée absolument superficielle. Mais je sens tout
l'intérêt de la pro[)osition du grand géomètre à laquelle vous faites
des objections qui portent sur la discontinuité possible de la
dérivée. En précisant les conditions restrictives qu'elle couq^orte,
vous ferez une chose extrêmement utile, et ce me sera un grand
plaisir d'étudier votre travail sur ce sujet et de me faire voire
élève. M. Mittag-Leffler m'a informé que la lettre écrite par les
membres de la Section de Géométrie dans l'intérêt des Acta a
reçu du Ministre de l'Instruction [)ublique de Suède un accueil on
ne peut plus favorable, et que, maintenant, il ne doute pas que le
Stortbing n'accorde les subventions nécessaires à son Journal.
Avec la nouvelle assurance de mon affection bien dévouée.
113. — SriEl.TJES A HE H MITE.
Toulouse, 10 mars 1887.
Monsieur,
J'ai lu avec beuuc(jiq) d'intérêt votre démonstration de la for-
mule de Dirichlel et j'en ai fait l'application au cas j- = x- que
vous avez indiqué.
Quant à l'article de M. Poincaré, il m'a donné aussi du fil à
tordre; par inadvertance, il y a aussi sans doute une confusion
entre les fonctions a et 'j/. Mais je crois avoir réussi à en saisir le
sens et, si cela vous intéresse, je crois que la Note ci-jointe n'offrira
plus de difficultés.
J'espère pouvoir parler une autre fois plus amplement sur cette
assertion de Piiemann sur laquelle M. Schwarz a déjà appelé
l'attention. Pour moi, si je comprends bien le sens des mots, je
serai porté à croire que c'est là un lapsus, et que les cas où l'en
peut continuer de cette manière nue fonction réelle sont excep-
lionneh.
Mais je voudrais bien que quelque mathématicien plus autorisé
220 CORRESPONDANCE D HERMITE ET DE STIELTJES.
Irailàl ce poliil. M. Sachse, dans V Essai historique sur La repré-
sentation d' une fonction arbitraire par une série trigonomé-
trique {Bulletin de Darhoux, année 1880) a glissé sur ce point.
Je considère toujours comme mon travad principal la ligne de
singularité des fonctions modulaires, mais je ne fais que préparer
mes eflorts et j'attends les vacances pour pouvoir travailler plus
sérieusement.
... II me semble que les événements politiques des dernières
trente années, en excitante un si haut degré l'esprit de nationalité,
nous ont fait rétrograder sous bien des rapports. Il y a un demi-
siècle les partisans des idées libérales qui prêchaient une entente
amicale entre les peuples n'étaient pas rares. Aujourd'hui, dans la
Httératnre, personne ne semble penser à cela. Peut-èti'e faudrait-il
excepter ici les partis extrêmes, anarchistes, socialistes... mais
cela n'est pas bien fait pour nous consoler. Mais l'histoire continue
sa marche et qui peut l'arrêter ou prévoir son développement?
J'ai appris avec beaucoup de satisfaction l'eflet heureux qu'a eu
la démarche faite en faveur du maintien des Acla nialhematica,
et certainement vous n'en êtes pas moins content. Je sais comment
votre temps est précieux et je crains quelquefois que ma corres-
pondance ne vous pèse. J'espère donc très sincèrement que vous
ne consacrerez pas trop d'attention à mes lettres, si elles vous
arrivent à un moment inopportun.
Votre respectueusement dévoué.
114. — LIER. MITE A STIELTJES.
Paris, 1 1 mars 1S87.
Chek -NIoAsiEur,.
Vous avez éclairé de la plus vive lumière le théorème de
Poincaré qui m'avait paru si obscur avant d'avoir votre Note que
j'ai lue avec admiration, je vous le dis en tonte sincérité. Mais je
ne dois point garder jiour moi seul votre beau travail, et je viens
vous prier d'en faire le sujet d'un article étendu pour un de nos
recueils, le Journal de M. Jordan ou les Annales de L'Ecole
normale. Je suis extrêmement frappé de la possibilité que vous
avez si bien établie des développements en séries de '3[x)^{x),
LF.TTKI' 114. 221
suivant les puissances desccndanles et de 'b(x) Q(x), suivant les
puissances croissantes de la variable, et je ne puis douter que tous
les géomètres n'attachent le plus grand prix à votre analyse.
Il me semble même que je pourrais donner votre méthode dans
une de mes Leçons, à moins que vous ne désiriez vous réserver
d'approfondir encore davantage le sujet, qui en vaut la peine par
son importance. Vous pensez bien que je me suis demandé si l'on
peut prendre comme exemple
4
au-dessus de l'axe des x^
1 r''^' t — x ,
•^ 4'-./,, 2
au-dessous, de manière à associer à la formule de Fourier
<pii peut n'exister que pour des valeurs réelles, la fonction F{x)
qui existe dans tout le plan, sauf sur l'axe des abscisses. Mais il
m'est vraiment superflu de vous donner aucune indication et,
mieux que moi, vous saisissez, dans toute leur étendue, le rôle de
ces considérations nouvelles et profondes, sur une question capi-
tale d'Analjse.
Vous me faites grand plaisir en m'apprenant que vous songez à
la coupure des équations modulaires, coupure qui n'est pas artifi-
cielle, comme celles de Riemann ou celles des intégrales définies.
Si vos efforts sont couronnés de succès, comme je l'espère,
permettez-moi de vous engager à en faire le sujet d'un Mémoire
présenté à l'Académie des Sciences et sur lequel M. Darboux,
M. Poincaré et moi nous ferions un Rapport qui nous donnerait
occasion de dire publiquement ce qvie nous savons tous de votre
beau talent.
En vous renouvelant, mon cher monsieur Stieltjes, l'expression
de mes sentiments affectueux et bien dévoués.
222 COnUESPONDANCE D HERMITE ET DE STIELTJES.
115. - HERMITE A STIELTJES.
12 mars 1887.
Cher Monsieur,
J'ai bien crainle de vous prendre indiscrèlement voire temps el
d'abuser de votre complaisance, aussi ne vous pressez point, je
vous le demande instamment, pour me dire si je comprends bien,
comme je le crois, la proposition de Poincaré en admettant que
la fonction F(x), telle qu'il la détermine ainsi que vous me l'avez
si bien expliqué, a dans tout le plan, nono])slant la coupure, une
seule el unique expression analytique.
Dans ce cas, on aurait un exemple d une extrême généralité, du
fait analytique déjà signalé par Weierstrass et que met en évi-
dence la série de Tannerj
(jui existe dans tout le plan, étant -j- i ou — i, suivant que
moda^' < I ou mod^r > i . Mais je ne me trompe point sans doute,
en regardant que celte expression unique n'est point donnée
au moyen de vos développements cp(:r) 0(a- ) ^\ <7,,,r~" el
'!/(.r) 0(^) =^^"-^ "5 p^'i^qiie le premier suppose mod,r>>i el
le second mod j: <C ' • Faul-il par conséquent se résigner à l'expres-
sion
■iiT. o{x)Q{x) = / dz-
' J z — X
suivant votre [premier contour et à
■21- A) (x) 0(',r)
suivant le second? J'ai tout lieu de le penser; préoccu])é d'autres
choses, j'ai recours à vous poui- dissiper ces nuages, sous les plus
expresses réserves de votre convenance, et en vous priant de ne
vous presser aucunement pour me sortir d'embarras.
Avec la nouvelle assurance de mes sentiments bien afleclueux.
I.KTTRK 116. 2 23
P . S. — A olre expression
F(.r) &{x) = V«„.rn-)-\^6„^"
supj)Ose eomme vous le menlionnez moAx = i, mais pourquoi?
116. — n ERMITE A STIELTJES (').
17 mars 1887.
Cher Monsikuiî,
Voire expression de ^[x)o{x) clans tout le plan, |)ar la frac-
lion continne
me paraît extrêmemenl remarquable; elle me rappelle que M. Hal-
phen, dans les Comptes rendus d'il y a deux ans, a déjà signalé,
au poiul de vue de la convergence, les circonstances singulières
que présentent les développements de cetle forme, et je suppose
que le travail de l'émineiil géomètre aura attiré votre attention.
Pendant que vous songez à la cinématique, aux déj^ens de recher-
ches d'une nature plus élevée, je dois aussi m'occuper de mon
enseignement, et j'ai charge de fournir des exemples d'intégrales
définies qu'on détermine au moyen de résidus. Peut-être dans vos
conférences serez-vous aussi conduit à ce sujet; c'est ce qui m'en-
gage à vous indiquer la remarque suivante qui fera le sujet d'une
de mes leçons.
Soil
¥{z) = {z-a)"'iz — by...{z- ly.
Je me propose d'obtenir l'intégrale
re--«dz
prise le long d'un contour fermé comprenant à son intérieur
(') Notes des éditeurs. — Kiilre le 12 et le 17 mars, il y a eu sûrement
quelque lettre de Stieltjes que nous ne possédons pas.
224 CORRESPONDANCE DllERMITE ET UE STIELTJES.
rt, b, ...,/. Si l'on désigne par ijl le degré de F(-:;) de sorle que
jjl = 7?i -I- /» -f- . . . -H .s-,
il résulle d'abord de l'expression même de l'intégrale que. pour
^ = G, on aura
et par conséquent le développement suivant les puissances crois-
santes de X
J = A.rP--i+ BxV-r- Cx^+^-^
Telle est donc aussi la somme des résidus de la fonction
F(^
pour les divers pôles a, b, . . ., /.
Or le résidu correspondant à l'un d'eux, z- r= «. par exemple,
est de la forme
e«^-n,„_i(a7),
n„i_, [x) étant un polynôme en x, du degré m — i . On aura donc
la relation
= A,r!i->-f- BxV-^ CxV--+-^-^
Cela étant, je remarque que le système des polynômes Ilw_i,
n„_,, ... donne le degré d'approximation le plus grand possible
de la fonction
Effectivement, le nombre des constantes arbitraires contenues
dans P,«_i, P//_i, ..., Pi_i est /?i -|- /i +. . .-4- 5 = [Ji, et comme
elles entrent sous forme homogène dans les coefficients des diffé-
rentes puissances delà variable, on pourra égaler à zéro les [j. — 1
premiers termes. Elles se trouvent en conséquence délerminées,
sauf lin facteur commun, par la condition que le développement
de la fonction linéaire des diverses exponentielles commence au
lermc en xV-~^^ et c'est cette détermination qui se trouve réalisée
par les expressions
LETTRE 117. 225
Je confie maintenant à votre cœur arithmétique ce dont je ne
dirai rien aux élèves qui ne s'en soucieraient guère; je me pro-
pose de donner un système de formules récurrentes, pour obtenir
de proche en prociie, pour toutes les valeurs de l'entier m, le
système des polynômes qui se rapportent au cas de
J [(^-«
e--^ d.T
)(z-~ù)...{z-l)\'
Mais pour cela, j'ai besoin d'un peu de temps, et je ne sais pas
trop quand il me sera possible d'en venir à bout.
Dans l'espérance qu'un beau travail résultera de votre idée
excellente et si originale sur le mode d'expression des fonctions
t)(:r) cp(^), Q(x)<i^(a;), et en vous félicitant vivement de cette
nouvelle conception, je vous renouvelle l'assurance de mes senti-
ments bien affectueux et bien dévoués.
117. — HERMITE A STIELTJES.
Paris, 29 mars 1887.
CuEa Monsieur,
M. Mittag-Leffler a pris pour sujet de ses leçons à l'Université
de Stockholm, le Mémoire de Riemann sur les nombres premiers
qui a été l'objet des excellentes recherches dont vous avez donné
les résultats dans les Comptes rendus de i885. Le théorème mer-
veilleux que le nombre des racines de l'équation ^(;) = o, dont la
partie réelle est comprise entre les limites o et T, est
T , T T
— log j
271 271 271
a naturellement appelé son attention et il m'écrit qu'il lui a été
impossible de le démontrer, en faisant appel à mes lumières. Vous
ne serez pas surpris que j'y ai répondu par le conseil de recourir
aux vôtres, qu'il a suivi avec empressement. M. Mittag-Leffler se
trouve cependant arrêté à un point, il ne peut voir comment vous
établissez que la série
1 I I I I
^ ~ 2I ~ 3^ ~~ 5^ "*" 6^ "~ ^ "^ ■ ■ ■
220 CORRESPONDANCE d'iIERMITE ET DE STIELTJES.
est convergente tant que la partie réelle de s surpasse - > et c'est en
son nom que je viens vous prier de vouloir bien lui écrire pour le
tirer d'embari-as. Vous lui ferez grand bien en lui donnant les
éclaircissements qu'il attend, me dit-il, avec impatience.
Permettez-moi une remarque élémentaire et pédagogique sur les
facteurs primaires à laquelle m'a fait penser le passage de l'expres-
sion
sina: = :r I | | i
/tTI
n
à celle-ci
cosa? = I I ( I— -^ J e'"'^
(w, = ± I, ± 3, ± 5, . . •).
On y parvient immédiatement, au moyen de l'équation
sin2a7 = 2sina7 cosa?
qui donne cos^r ^ -^^ — -. — ? mais on peut désirer d'y parvenir en
changeant :r en [- x. Considérez plus généralement la formule
F(.)=.n('-f,) '='•■'"'
où les polynômes P«(cr) sont de degré quelconque. En changeante:
en .r + ç, l'identité
permet d'abord d'écrire
on obtient ensuite, en divisant membre à membre avec
l'expression
LETTRE 118. 227
que je vais appliquer au cas de sinx. On trouve alors
qui ne donne point pour ^ == - la même formule que tout à l'heure.
La réponse à cette difficulté est dans l'expression plus générale
que voici, où a désigne une constante quelconque, à savoir
sin(a^-+-n
. i Z± ;^ g — .i-col
''n[(^-;r^)^"^H-
Faites, en effet, en particulier «= '-■, avec ^= -, et vous
avez bien le résultat cherché. Enfin isolez le facteur qui correspond
à « = o, vous avez la quantité
e''
et comme cotrt s'annule pour a = o, vous parvenez à l'autre
formule .
Et tels sont les pauvres fruits de mes leçons.
En vous renouvelant, mon cher monsieur Stieltjes, l'assurance
de mon amitié bien dévouée.
118. — STIELTJES A HERMITE.
Toulouse, 3o mars 1887.
Moi
J'avais déjà reçu une lettre de M. Mittag-Leffler concernant
celte proposition du nombre des racines de l'équation ^(^) = o,
et je lui ai déjà répondu de mon mieux. Je crois que j'ai réussi à
retrouver à peu près la méthode que Riemann a suivie, en calcu-
lant l'intégrale
/
d\o^l{x).
Votre lettre me rappelle que j'ai voulu appliquer dans mes
leçons la formule de M. Weierstrass à la fonction e^ — C. Pour
228 CORRESPONDANCE d'qERMITE ET DE STIELTJES.
plus de simplicilé, je mets la constante C sous la forme e^ et
(I e"' \
à l'aide de la décomposition de ^_^ _ — ^_ ^^ j
ex — e^ = (i — e^)e ''"-' 1 I
a -{- iii-i
tii -i-'lnUi
Pour rt = o, il y a un léger changement de forme analytique et
l'on a une formule cpii ne diffère pas essentiellement de la for-
mule qui donne la décomposition de sin^.
Si vous savez que je suis dans les examens pour le baccalauréat,
vous voudrez bien excuser, Monsieur, cette lettre écrite un peu
précipitamment.
Votre respectueusement dévoué.
119. _ H ERMITE A STIELTJES.
i8 mars i8S8.
120. — STIELTJES A IIERMITE.
Toulouse, 23 mai i888.
M(
J'espère que vous n'aurez pas expliqué trop à mon désavantage
le long silence que j'ai gardé après votre lettre si pleine de bonté
et pour laquelle je dois vous remercier encore de tout mon cœur.
Mais nous avons été si abattus par le coup cruel qui nous a fait
perdre notre aîné, après une semaine de cette terrible maladie
(diphtérie), que je n'étais guère capable de parler de notre
Science. Vous savez ce que Lagrange disait de la nécessité de ne
jamais cesser de travailler, d'être toujours sur la brèche pour ne
pas laisser s'endormir l'esprit et le tenir en haleine et je sens que
ce n'est que trop vrai.
Veuillez donc m'excuser celte fois si j'ose vous parler d'une
LETTRE 120.
question que je n'ai pas encore approfondie, mais à laquelle je
pense depuis quelque temps.
Soient
X = a^x'* -\- ^aix^ -+- GaoX^ -h- . . .-\- a^,
je pose d'abord celle question. Dans quels cas est-il possible
d'établir la relation
dx dy
(0
à l'aide d'une substitution linéaire
(2) p -\- q X -^ ry -[- sxy = o ?
La réponse est immédiate : il faut et il suffit l'égalité des inva-
riants
S = «û^i — («^«i^a-H 3a| = b^b^ — 4 ^1 ^3+ 3 6|.
bo bi h..
(3)
«0
ai
«2
«1
a^
«3
=
«2
«3
«4
^1 b. bs
b, b, b.
(Je fais absti^iction des cas particuliers où X = o, Y= o auraient
des racines multiples.)
Ces conditions (3) étant supposées satisfaites, je me propose
d'approfondir, au point de vue algébrique, la détermination des
coefficients p, q, /•, s.
Soient
Xlj X-^j X^j Xr^j
les racines de X = o, Y= o. Leurs rapports anharmoniques sont
égaux et si l'on suppose, par exemple,
(a?i, X.2, X3, x^) = rapp. anharm.,
{xi, x.,,x3,x!,) = iyi,y2, .73,7'.),
alors les substitutions (2) font correspondre
xi, x.2, X3, xr, à yi, y2, 73, JKi,
ou à JK2, JKl, Ji, 73,
ou à ys, yk, yi, yi,
ou à j'i, y-i, y., yi-
23o COKRESPONDANCE d'iIERMITE ET DE STIELTJES.
Ainsi, il J a loujours quatre subslitulions de la forme (2) el le
problème doit dépendre d'une équation du quatrième degré.
11 est vrai qu'on peut écrire directement ces substitutions si
l'on connaît ;r,, ^o, ..., ^4, jKi? JK27 •••; J'k-, mais cela exige la
solution des deux équations
X = o, Y = o.
Il est bien vrai que, à cause de l'égalité des invariants, cela ne
doit pas compter pour la solution de deux équations indépendantes
du quatrième degré, mais toujours cela exige un peu plus (le
calcul de deux racines carrées) que la solution d'une seule équa-
tion du quatrième degré. Or, la vraie solution du problème doit
dépendre ai une seule équation du quatrième degré que je me suis
proposé d'établir.
Dans un cas particulier, la solution est facile, et je veux l'indi-
quer parce que cela montre aussi comment j'espère parvenir au
but dans le cas général.
Supposons
«/= ht (t = o, I, 2, 3, 4),
alors il est clair qu'une des substitutions demandées est
la détermination des trois autres doit dépendre d'une équation
cubique.
Je considère l'intégrale générale de l'équation diflerentielle (i)
que j'emprunte au Traité de IM. Cajlej-Brioscbi Sur les fonctions
elliptiques, page 3 18,
n -\- •}A\ X -\- <^x- -\- "iyi h -\- -ih X -h f .r^ ) -h y-{g -h ■2ÎX -\- cx^) = o.
Je conserve les notations de M. Cajlej qui a pris
X :^ a -h bx -+- cx--i- dx^-h ex^ (p. 3i8),
Y = a-h by -+- cy--\- df^-\- cy'*,
les coefficients a, b, c, f, g, h sont des polynômes du second
degré en C, la constante arbitraire, el si Ton écrit l'équation sous
la forme
A -4-2Bj('-i-Cjk2_o
ou
Aj-f- aBiA' H- C^x- = o,
LETTHE 121. 23l
on a
B2_AG =0X,
Bf — AiCi= 0Y,
0 étant du troisième degré en G. Or, si l'on détermine maintenant
C par la condition
0 == o,
on s'aperçoit aisément que l'intégrale générale peut s'écrire
{{xy-\-gx-+- g7-i-h)2=o;
donc
farK + g.r + gjK + h = o.
Ce sont les trois substitutions linéaires qu'il fallait obtenir et qui
dépendent de l'équation cubique
0 = o,
qui peut se transformer directement en
4 ?<^ — Su — T = o.
Mais il me reste à établir l'équation du quatrième degré qui
doit se présenter dans le cas général. Pour le moment, j'entrevois
une méthode qui doit me la faire connaître, mais elle exigera
d'effrayants calculs j avant de les entreprendre, je veux chercher
s'il n'y a pas un moyen plus facile d'y arriver. J'ai supposé que le
problème n'avait pas encore été traité sous ce point de vue, peut-
être pourriez-vous me dire si cela est.
Respectueusement votre tout dévoué.
121. — STIELTJES A HERMITE .
Toulouse, i3 juin i888.
Monsieur,
J'espère que vous me pardonnerez si je continue à parler du
problème que j'ai mentionné dans ma lettre précédente.
Posant
X = aoar'*+ 4«i^* + • • •+ «V)
232 CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.
OÙ les Gi, bi vérifient les deux relalions
S = «o«i — 4^1 '^:i+ 3a| = bob;, — 4 (^i ^3 -t- 3 6|,
«0
«1
*72
«1
a-i
'/.•i
=
a-i
«3
«4
h.
bi
b-i
hy
b-i
b.
b.
bz
b'.
Il s'agit de la détermination des qviatre intégrales particulières
de la forme
(i) p ^ qx + ry -\- sxy =. o
de réf[ualion différenlielle
(2)
dx'^ _ dy'-
Je viens d'abord d'obtenir l'équation du quatrième degré dont
dépend la solution, mais elle serait trop longue à écinre, aussi
n'ai-je pas fait le calcul de certaines vérifications. Mais voici un
autre résultat de mes recherches qui pourra vous intéresser.
Soit
\\^ = ( «0 «a — a\)x'* -\- . . ,
le Hessien de X; de même
\\y={b,b.^-b\)y* + ...
le Hessien de Y.
Alors vous avez donné ce résultat remarquable que, en posant
on obtient
de même, en posant
on aura
2 dx
H..
du
v/X v/4«^— Sii — T'
2 dy
dv
Il est clair par là que la relation
LETTRE 122. 233
OU
(3) XH^ — YH^=n
est une inlégrale particulière de (;>.).
Or, je trouve maintenant que
XHj — YH.^
est égal au produit de quatre expressions de la forme
p-k-qx^ry-^s xy
et, en égalant à zéro ces quatre expressions, on a précisément les
intégrales particulières cherchées de l'éc[uation différentielle.
Il est facile de vérifier ce résultat dans le cas a/= 6/, l'un des
facteurs de XHj — YH^ est précisément x — y. Mais je n'ai pas
encore effectué complètement les calculs prolixes, nécessaires
pour la vérification dans le cas général.
Veuillez bien agréer, Monsieur, l'expression de la plus sincère
reconnaissance de votre dévoué et respectueux serviteur.
P . S. — J'espère pouvoir bientôt publier dans les Annales de
notre Faculté ces recherches sur l'équation différentielle
dx^ _ dy^ ,
~X ^ Y ^ ^*
122. — STIELTJES A HERMITE.
(4, rue de Fleurancc-AIonplaisii') Toulouse, i5 juin i8S8.
Monsieur,
Voulez-vous bien me permettre de i-evenir encore sur ce pro-
blème des substitutions linéaires
p -\- qx -^ ry -h s xy = o
(') JYote des éditeurs. — Le Mémoire de Stieltjes sur ce sujet est inséré dans
le Tome II des Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, p. K.i, i888
et a poui' titre ; Sur la transformation linéaire de la différentielle ellip-
dx
tique — =•
234 CORRESPONDANCE d'uERMITE ET DE STIELTJES.
([ui donncnl
dx'^ _ dy^-
je vous promets expressément que ce sera la dernière fois.
Vous savez que j'ai considéré d'abord le cas cn^bi, alors
p, q, /•, s s'expriment rationnellement au mojen de «/, racine de
l\u^ — '&U — T= o.
J'ai tâché alors de traiter le cas général de la même manière en
établissant dabord l'intégrale générale de l'équation différentielle
sous la forme
a + 2 a' ar -1- a" a?^
(i) -H 2(P + 23'ir -t- P"a;2)j
-+- ( Y -}- 2 y'^ + y"^- )y- = o>
OÙ les a, |j. Y, . . . sont des polynômes du second degré en C (la
constante arbitraire).
Mais il m'a coûté beaucoup de peine pour trouver cette for-
mule (i) et elle est très compliquée. Mais, une fois cette formule
obtenue, la solution du problème n'offre phis de difficulté et l'on
trouve directement l'équation du quatrième degré en C. Si
G satisfait à cette équation, le premier membre de (i) est un
carré parfait et l'on obtient ainsi les suljstitutions linéaires
Pi + qiX -\- i-jY -f- 5,:.rj = o ( t = i , 2, 3, 4 )•
Mais le théorème que je vous al communiqué,
YH_r — XHy = const.n (/?/-t- qix -\- riy H- sixy),
permet de résoudre la question d'une manière beaucoup plus
facile.
En effet, il est clair qu'on n'a qu'à donner à y une valeur par-
ticulière (par exemple o ou ce) et à résoudre alors une équation
du (piatrième degré
all^ — j3X = o.
Il y a même avantage à considérer directement l'équation
YH.,.— XH^=o,
en y regardant y comme constant. Or il est bien connu qu'on
LETTRE 122. 235
peut faire dépendre la solution de cette équation encore de
l'équation résolvante
4 ;<^ — Su — T = o.
En poursuivant cette voie, je trouve que la détermination de
ces substitutions linéaires s'obtient aisément à l'aide de ces fonc-
tions di, . . .
^2 ^,6 (^- + 63/),
que vous avez rencontrées dans votre premier Mémoire Sur la
théorie des fonctions homogènes à deux indéterminées [Journal
de Crelle, t. 52, p. i5). Il faut considérer en même temps celles
qui appartiennent à X et à Y.
En somme, on reconnaît que, pour avoir les p,^ qi^ ..., il faut
calculer d'abord les racines W|, «25 '^3 de l'équation en u. Ensuite
il j a à calculer les racines carrées
/??, = \/[a\ — rto«2 — aoUi){ùi — 0^)0., — ^u"i j,
/??, = \/(a'i — «o«2 — «o"2) (^î — ^0^2 — ^0"2),
'«3 = v/(«'l — «0«2 «0«3) (^1 1*0 l>2 bo^s),
mais à cause de
nii in^ni^^ 7 («0 ^3 — 3ao«i «2+ 2«f ) (6^ 63 — S^o^i ^2+ 26f ),
on a à calculer réellement seulement deux racines carrées.
Les Pi, cji, . . ., s'expriment alors rationnellement.
Pour avoir séparément les racines de X = o et de Y =
faudrait calculer
\a\ — «o"2 — «uWi, \/ 1>\ — ^0^2 — ^u «1)
\/a\ — «o"2 — «u Uii V^^i — bob 2. — ^0 "2,
\/a\ — a»a.i — rtu«3, \/b\ — b^b^— boih,
ce qui constitue, en réalité, quatre racines carrées à calculer. En
somme, je me suis donné bien du mal pour éviter le calcul de
deux racines carrées; on pourra penser que c'est bien peu de
chose.
On voit aussi maintenant comment il arrive que, dans le cas
a,-= bi, il suffit de connaître «,, u-j, u^.
236 CORUESPONDANCE d'hEKMITE ET DE STIELTJES.
Je crois que ces résultais éclairciront aussi la nature de
l'équation en C dont j'ai parlé ])lus haut. En effet, si je considère
Téqualion en D dont les racines sont
«ii-t- m -2— /na,
mi — 7}i-> — m 3,
■ — /»i — m.,-\- nis,
il me semble qu'il doit exister une relation simple entre C et D,
et je ne pense pas me tromper en soupçonnant que cette relation
sera
T
D
en sorte qu'on pourrait même avoir simplement C = D en chan-
geant convenablement la constante arbitraire C qui figure dans la
formule (i).
Quant au théorème
YII^— XII_j. = U{pi -+- qtx + Vif -t- Sixy),
VOUS aurez remarqué sans doute que, à cause des propriétés inva-
riantes, il suffit de l'établir dans le cas
X = (.-:r2)(i-A-2:r2),
et il vient alors
YH.,. — XHy = conî-t. (372 — j2) (i _ W-x^-y'^ ).
Mais cette remarque si simple que le problème proposé revient
à décomposer YHj. — XHj ne s'est pas présentée tout d'abord.
Veuillez bien me croire, Monsieur, votre respectueusement
dévoué.
123. — HERMITE A STIELTJES.
Paris, 17 juin 1888.
jNIon cher ami.
C'est à moi de m'excuser du retard que j'ai mis à répondre à vos
deux dernières lettres et surtout à vous exprimer combien je suis
LETTKE 1*23. 287
heureux que vous ayez réussi à surmonter votre chagrin en vous
remettant au travail. La question que vous avez traitée est d'un
grand intérêt et ce me serait un plaisir de m'y engager avec vous,
ainsi que vous m'avez vu faire autrefois, quand vous vous en pre-
niez à l'Arithmétique, si je n'étais à bout de mes forces et ayant
quelque peine à cause de la fatigue que j'éprouve à en finir avec
mes leçons à la Faculté. Au moins permettez-moi, puisque vous
vous proposez de publier vos recherches dans les Annales de
Toulouse, d'appeler votre attention sur un excellent travail de
M. Halphen sur le sujet que vous avez traité, qui a paru à l'étranger
dans les Rendiconti du Cercle math'nnatique de l'Université
de Palerme. Je vous envoie le numéro de ce Recueil que vous ne
recevez sans doute pas, pensant qu'il devra vous intéresser. Il me
semble qu'il y a quelque analogie entre ce que fait M. Halphen et
votre méthode extrêmement ingénieuse de conclure une solution
particulière de 1 équation -^ = -~ de 1 égalité ^ := -y^- Je crois
bien aussi avoir rencontré autrefois comme conséquence de la
relation qui lie une forme biquadratique avec ses invariants du
sixième et du quatrième ordre une substitution qui ramène l'inté-
grale elliptique générale à la forme que vous considérez
/
du
y/4 "* — Sa — ^ T
et peut-être y aurait-il utilité à la rapprocher de celle dont vous
faites usage u = ^- Je la rechercherai dans mes anciens arti-
cles sur la théorie des formes du Journal de Crelle, mais elle
m'échappe en ce moment; permettez-moi, avant que je la retrouve
et si paresseux que je sois, de vous indiquer une conséquence
arithmétique de l'équation
Hi(o) = 2t/^"AP2,
où l'on a
A = (r — 7'-)(i-5'')... et V = {i ^ q''-){\ ^ q'^). . . .
Si l'on désigne par/(/i) le nombre des solutions en nombres
entiers et positifs, sans exclure zéro, de l'équation
(1) a-i-h Zxi-^ 5:^3 + . . .4- {■?.•) — r)^v= «,
238 CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.
OÙ je suppose
V = 11,
je trouve d'abord que Ton a
P=V/(,i)^2« (« =0, 1,2, ...)•
Cela étant, la fonction numérique /(/?) s'obtient de proche en
proche, par celte formule de récurrence
/(n)= f {n — 1) — fi n ~ lo) ^ f{n — %\) — .. .
+ /(« — 4)— /(« — i4 )-+-/( /i — 3o)—...
+ + (-!)'-/(« - 3 7-2 + /•)
+ (-0'-'/('i-3/-^-/-)
-f- 1.
Le terme s est égal à l'unité ou à zéro, suivant c[ue n est ou n'est
pas de la torme •
^ 2
La même équation donne la relation suivante, à l'égard de la
fonction plus complicpiée
F(n) =2('^i + 0(-2'2 + i)---(-^v-M),
où le signe /, se rapporte à tous les systèmes a^i, X'^,^ . . ., ^v fis
solutions de la même équation (i). On a alors
au lieu de
fin) =^i- 0'-' [/(« - 3r2+ ,■) +/(n - 3/-2- ,-)] + s
(/■ = I, 2, 3, ...),
la sommation s'élendant à toutes les valeurs de r telles que l'on
ait, soit
3 /-^ ± r
Il — (3/'-± /') ^ o ou bien n — ^o.
L'équation
0(o) = (i-^î)(l-ryi)...[(l-<7)(i-73)(i_5,5)...]2
donne lieu à des conséc[uences analogues sur d'autres fonctions cpii
LETTRR 123. 289
se rapportent à réqualioli ^, + 2^0+ 3^3 +. . .+ «jfrt = /i, mais
ce ne sont là que des remarques bien faciles et qui ne me semblent
avoir (jue peu d'intérêt.
Dans le même genre, et sans faire plus d'efforts, j'ai complété nn
article de M. Hejmann (') dans le dernier cahier de Crelle, en
présentant comme il suit la réduction à la forme P + iQ de l'inté-
grale elliptique
J \/\{x — a — ib)'
où X est un polynôme du deuxième ou du troisième degré à coef-
ficients réels. Le modvile y/(x — a)--\-b'-^ se transforme en une
expression rationnelle, en posant
b{t^--^)
X =^ a -\ ;
it
or on trouve ainsi
b{t — i)- . dx /b (t + i)dt
X — a — ib =■ —- — nuis = — 4 / - ^ ;£: — .
2^ s/x — a~ib V 2 t^t
T T .
Désignant par — ou — > suivant que X est du deuxième ou du
troisième degré, la transformée de X par la substitution considérée,
j'obtiens
f) dt
ou bien
i)dt
C'est le résultat bien connu de Jacobi qui se trouve ainsi fort
simplement.
En vous priant, mon cher ami, de vouloir bien faire parvenir à
M. Baillaud mes remercîments pour l'envoi qu'il m'a fait d'excel-
lents Mémoires, où j'ai vu avec grand plaisir le concours analy-
tique que lui a prêté M. Tannery, et en vous renouvelant l'expres-
sion de mes sentiments de Ijien sincère affection.
(') Note des éditeurs. — L'article de M. Heymann est inséré au Tome 103 du
Journal de Crelle, p. 87-88 (1888).
24o CORRESPONDANCE D HERMITE ET DE STIELTJES.
124. - STIELTJES A HERMITE
Toulouse, le 17 juin 1888.
Monsieur,
Je suis extrêmement heureux d'avoir reçu votre lettre qui me
montre de nouveau votre amitié qui m'est si précieuse. Mais,
monsieur, il y a dans votre lettre un passage qui m'a vivement ému
et que je ne peux pas laisser sans réponse. Vous dites : « Je crois
bien aussi avoir rencontré autrefois comme conséquence de la
relation qui lie nne forme biquadratique avec ses covariants du
sixième et du quatrième ordre une substitution qui ramène l'inté-
grale elliptique générale à la forme cjue vous considérez
du
f
v/4 U^ S H
et peut-être y aurait-il utilité à la rapprocher de celle dont vous
faites usage
u = ^ » .
Or, Monsieur, je suis sûr d'avoir dit expressément dans ma
lettre que j'ai emprunté à vous cette substitution 11= —• Mais,
Monsieur, c'est un résultat classique, aujourd'hui, comme du reste
tout ce qui se trouve dans ces beaux Mémoires du Tome 52 du
Journal de d'elle. Et je crois que si mon travail a quelque
intérêt ce sera surtout à cause de ce qu'il éclaircira un peu la
nature de cette substitution u ^= ;^«
Je me propose de faire un exposé un peu complet de mes
recherches et comme nos Annales sont aussi destinées à des lec-
teurs qui ne peuvent pas se procurer facilement tout ce qui se
publie en France et à l'étranger, je donnerai quelques développe-
ments, sans crainte de répéter des choses qui sont, il est vrai, bien
connues, mais qui me sont nécessaires.
Le seul travail sur lequel j'avirai à m'appuyer seront vos
Mémoires sur les fonctions homogènes à deux indéterminées. La
raison en est que je ne peux m'empêcher de regretter que si cer-
LETTRE 124. 2^1
tains résultats de ces Mémoires classiques sont répandus mainte-
nant dans les livres élémentaires, comme celui de M. Salmon, on
a en général peu reproduit vos démonstrations et enfin les idées
qui s'y trouvent. Ainsi, par exemple, la démonstration de la rela-
tion
est souvent donnée simplement par une vérification opérée sur la
forme canonique de y. Je trouve aussi dans vos Mémoires, déjà, la
notion des invariants et des covariants irrationnels, comme, par
exemple, les racines 0 de l'équation résolvante
40^ — j6 -+-y = o.
Dans ces dernières années, un jeune géomètre allemand,
M. Hilbert, de Konigsberg, a repris cette idée des invariants et
covariants irrationnels, et il y a consacré un Mémoire étendu dans
le Tome XXVIII des Math. Annalen. Je pense que M. Hilbert
ne vous est pas inconnu; j'ai aussi fait sa connaissance à Paris
en 1886.
Naturellement, comme professeur, j'ai dû étudier aussi un peu
les travaux d'Algèbre de Glebsch, Gordan et de leurs disciples,
pour en avoir au moins une idée sommaire. Mais s'il est incontes-
table que, par exemple, le théorème de Gordan est tout à fait fon-
damental, je ne peux m'empêcher de croire que ces théories-là
n'ont pas encore reçu leur forme définitive, — il me semble que le
formalisme (oppressant pour moi) a bien besoin d'être vivifié par
des idées.
Vous m'annoncez l'envoi d'un fascicule des Rendiconti de
Païenne et je dois vous en bien remercier, mais prol)ablement
pour m'engager à y souscrire, on m'a envoyé justement deux
fascicules de ce Recueil où l'on trouve l'article de M. Halphen.
C'est même un peu par cetarticle que j'ai été conduit à me poser
la question d'une autre manière.
Il est évident par là que mon travail n'est pas la reproduction de
celui de M. Halphen. On pourrait le considérer comme une conti-
nuation et une généralisation de ce dernier.
Votre très dévoué et respectueux.
242 CORRESPO^'DA^CE D HERMITE ET DE STIELTJES.
125. — HERMITE A STIELTJES.
Paris, 19 juin 1888.
Mon cher ami,
Je mérite grandement les reproches que vous me faites; je me
les suis adressés moi-même après vous avoir écrit lorsque peu à peu
be sont réveillés les souvenirs de mes recherches d'Algèbre qui
remontent à plus de trente ans. Mais vos reproches ont si peu
d'amertume qne je ne m'engage nullement à ne pas bien d'autres
fois les encourir, en écrivant rapidement, sans beaucoup réfléchir.
Lorsque j'ai abandonné mes études sur les formes pour m'occiiper
de la transformation des fonctions abéliennes du premier ordre,
l'avais entrevu quelque possibilité d'étendre aux formes à trois
indéterminées, la méthode qui m'avait conduit aux lois de récipro-
cité pour les formes binaires. C'est dans la dernière ou Tavant-
dernière année du Journal de Cambridge et Dublin que j'ai
exposé mon procédé et dans l'espérance que vous ferez ce que je
n'ai pu faire, que vous entrerez en pleine et complète possession
de ce que j'ai seulement entrevu de loin, je viens vous prier de
jeter les yeux sur cet ancien travail, le plus étendu de ceux que
j'ai publiés sur la théorie algébrique des formes. Vous connaissez
certainement et vous admirez comme moi le Mémoire de M. Sal-
mon sur les formes cubiques à 4 indéterminées. Vous aurez
remarqué le complet parallélisme entre les covariants et les con-
travariants de la forme considérée qui m'a extrêmement frappé;
j'en lirais l'induction qu'il doit y avoir une liaison analyti(}ue qui
associe nécessairement à tout covariant un contravariant de même
ordre, et en me bornant aux formes ternaires, c'était cette liaison
ciue je voulais d'abord découvrir. Il me semblait qu'en étendant
aux formes ternaires les transformations en symboles dont j'avais
fait usage pour les formes binaires, le lien cherché apparaîtrait, de
sorte qu'à la fois on aurait une loi spéciale de réciprocité interne
entre les covariants et les contravariants et la généralisation de la
loi de réciprocité que j'ai obtenue entre les covariants et les inva-
riants des formes binaires. Vous me dédomuiageriez, mon cher ami,
et vous me feriez oublier le regret de n'avoir point jiersévéré dans
LETTRE 125. 243
cette voie de recherches, si vous vouliez bien avec votre don d'in-
vention, ingeniam divlno dono aureuni^ vous j engager et la
suivre.
En attendant que vous vous décidiez à entreprendre la conquête
des lois de réciprocité interne et externe, je vous fais mes compli-
ments, parmi bien des choses intéressantes que vous m'avez com-
muniquées, en particulier pour l'équation
Y II i — X Hj, = cm p -^ qx -\- xf -^ sry)
qui me semble extrêmement originale. Et je ne saurais trop vous
encourager à écrire pour les Annales de Toulouse un Mémoire où
la concision ne nuise pas à la clarté et qui n'exige point pour être
compris cette attention fatigante qu'exigent les notations par trop
condensées de Clebsch, dont l'usage est malheureusement si géné-
ral. Je ne reno'nce pas à peut-être ajouter quelques remarques à
vos recherches, ajant fait l'année dernière pendant les vacances
quelques petites choses dans un domaine voisin. Mais, en ce
moment, il me faut envoyer un article à V American Journal^ et je
ne suis occupé que des développements en série, suivant les puis-
sances de <7, des quantités ^//i, s/ k' et {/kk' . A l'égard de cette
dernière, j'ai remarqué qu'ayant
ou bien
on en conclut l'expression
o\x f[n) est le nombre des solutions de l'équation dont je vous ai
parlé
Cj + 3 C2 H- 5 C3 -1- . . . 4- ( -2 V — \)c^— n.
On a pareillement
où /, [n) est le nombre des solutions de
Cl -1- 3C2-4-. . .+ (2v — i)Cv-t- 2[ci -h 3c2 -h. . .4- (av — i)c'^] — rt,
244 CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.
Vous savez que ce dernier développement joue un grand rôle
dans le beau Mémoire de Sonhke (') sur les équations modulaires
que je recommande à votre souvenir. De vous je dirai ta magnus
eris ApoLlo, lorsque vous aurez pénétré le mécanisme caché, mys-
térieux de la disparition des coupures, dans leur premier membre,
et j'ai confiance que vous réaliserez mon espoir.
Avec tous mes vœux, mon clier ami, pour le succès de vos efforts
et de vos travaux, et en vous renouvelant l'assurance de ma bien
sincère et cordiale affection.
P. S . — Ne vous pressez pas de me renvoyer le rendiconto cjue
j'ai eu tort de vous adresser, je n^en ai aucunement besoin main-
tenant.
126. — HERMITE A STIELTJES.
7 août i888.
Monsieur,
127. — STIELTJES A HERMITE.
8 août i888.
Monsieur,
128. — STIELTJES A HERMITE.
Toulouse, 10 octobre i886
MONÎ
Vous devez avoir quitté Barèges depuis quelque temps et
j'espère que la cure vous aura fait tout le bien possible. Mainte-
(') Note des éditeurs. — Les travaux de Sonhke sur les équations modulaires
sont contenus dans deux Mémoires publiés dans le Journal de Crelle, Tome 12,
page 178 et Tome 16, pages 97-100.
LETTRE 128. 245
nant, je vous prie sincèrement de ne pas négliger les conseils
des médecins et de ne pas faire attention à ce qui suit si le tra-
vail vous est encore défendu.
Vous connaissez la formule de M. Prym
r(a)= î + ' :r^ --v-...-T-Q(a),
^ a i.a-t-i i.2.a-i-2 i.2.3.a-+-3
OÙ
Q{a)= i x^-^e-'' dx
est une fonction holomorphe dans tout le plan. Voici une formule
analogue que j'ai obtenue
II I I > >
(a) r(a) cosTia = - H 1 i -1-...— Ci («;.
a i.a-Hi i.2.«-i-2 i.2.3.a-+-3
On reconnaît, d'après le théorème de Mittag-Leffler, que (]'(«)
est une fonction holomorphe dans tout le plan.
Mais tandis que dans le cas de la fonction Q(rt) de M. Pryrn ce
caractère résulte aussi directement de l'expression j x'^~^ e~^ dx,
les choses se passent un peu moins simplement dans le cas actuel.
Voici l'expression de ()'(«)
(P) ()'(«)= jT^Y^i:^ valeur princip.J -—-— dx
(valeur princip. d'après Cauchy = lim / h- / j.
£ = oJo Ji + eJ
Cette formule (^) n'est valable que lorsque
partie réelle de a <+i.
Cependant il n'est pas difficile de reconnaître, d'après la for-
mule ([3) elle-même, que {}{cf) est holomorj)hc dans tout le plan.
En effet, à l'aide de l'identité
X
IH
il vient
(Y) Ç(a) = e-{a-i)gia-i).
246 CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.
Celte relation permettant de déduire {){o.) de (^{a — i) peut
servir à continuer la fonction (j(«) dans tout le plan.
La formule (a) n'est qu'un cas particulier de la suivante où
t est réel et positif
fa fri-hl (a+ï ^<ï+3
(o) r(a) cosTia =
a ' i.a-i-i 1.2. «-(-2 i.2.3.a-i-3
— — valeur princip. / dx.
Y(i — a) ^ ' J^ I — X
J'indique la démonstration. Soil '^{t) le second membre de (o),
alors
do(t) , , I d , . . r*a7-«e"i-^' ,
— —, — = t^-^ e' — —r valeur pnncip. / ■ dx
dt TU — a)dt ' ^ J^ i — x
— ta-ie'—- — î / x-^'e'^^-^^ dx = t"-^e'— t''-ie'=o,
r(i — «) J„
en sorte que ^{l) est indépendant de t. Alors, en supposant
o -< rt < I , on obtient, en posant < ^ o,
I . . r" x~"-
o(0 = ç(o)= valeur princip. / • dx.
' ^ 1 (I — «) ' ^ Jo ^ — -^
Or on a
valeur princijj. / dx = — TrcotTra.
'h ' ^
C'est ce qui résulte facilement des formules que vous donnez
dans votre Cours; on trouve aussi cette formule dans Briot et
Bouquet, Fonctions elliptiques, page i43- H en résulte
, . . ^ T COtTTCf _, , ^
ç(f) = tp(o) = — =r(a)cos7ra. c.q.f.d.
1(1 • (i )
Naturellement, il faut justifier la différentiation sous le signe /
et aussi montrer qu'on peut faire légitimement i = o. Aussi, on
établit, de cette façon, la formule d'abord seulement pour
o<P.R.a<i (>),
mais ensuite on voit quelle ne peut cesser de i^ester vraie sans
celte condition.
(') Note des éditeurs. — La notation P.R.a s\%n\ûe partie réelle de a.
LETTRE 129. 247
Je vous renouvelle, Monsieur, mes vœux pour le rétablissement
de votre santé dont j'espère recevoir de meilleures nouvelles que
la dernière fois. C'est là, je vous Tavouerai, un peu la raison de
cette lettre et vous pouvez considérer la fonction F simplement
comme un prétexte de vous écrire une lettre peut-être déjà trop
longue.
Veuillez bien me croire votre très dévoué.
129. — HERMITE A STIELTJES.
Paris, 12 octobre 1888.
Mon cher ami,
Je viens vous remercier et vous dire que votre théorème
V(a) cosira = 1 ■ h ^ h. . . — Qia)
a 1 . ( a -f- I ) i . u ( a -H 2 ) ') '
m'a fait grand plaisir; permettez-moi, en même temps, de vous
prier de publier votre lettre dans le Bulletin de M. Darboux
afin que d'autres que moi en profitent. Les valeurs principales
des intégrales définies dont Cauchy, qui en a donné le premier
la notion, a été seul jusqu'ici à employer, méritent, comme vous
le faites bien voir, la plus grande attention, et je pense que, à
cet égard tout particulièrement, la publication de votre lettre
rendrait grand service.
Permettez-moi de rapprocher votre expression
C,{a) = V. p. / •
d'un résultat que m'a communiqué M. Lerch.
Soit
Q(«) = i x'^-^e-^ clx
la fonction holomorphe de M. Prym, on a
e^ Q(«) = —^ / '^ dx.
Ces fonctions (/(w), Q(«) sont d'une nature très mystérieuse,
2^8 CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.
bien qii'liolomorphes, et, quelque mal que je me sois donné pour
y parvenir, je n'ai pas, à mon gré, réussi à trouver une expres-
sion suffisamment explicite pour Q(«). H y a quelques mois, en
avant sous les yeux le simple développement en série
Q(a) = > Cna'^ ou c„ = / — dx,
A^ 1.1. . .n J^ X
ridée m'est venue de chercher, en appliquant la méthode de
Laplace, la valeur asymptotique de :^,;. Voici ce que j'ai trouvé;
écrivant d'abord, au moyen d'une intégration par parties,
— '- — r
e-^ \o","x dx.
Je désigne par a: = ^ la racine de l'équation a:logJc = /« et
j'obtiens
M. Bourguet a eu la bonté d'appliquer cette formule en supposant
Ai^iS, afin de voir l'approximation. On trouve alors
? = 8,4G...
et
Cl 7== 0,0000 OOOO OOOO 12. . .,
et l'une de ses Tables donne
Ci7 = 0,0000 OOOO OOOO 18. . . ,
ce qui est un accord plus grand que je ne pouvais l'espérer. Mais
mon expression avec la quantité ^ ne fait que me confirmer dans
mon sentiment de la nature analytique profondément cachée et
abstruse de la transcendante. Comme ^ est évidemment moindre
que /?, on reconnaît que la limite j)our n infini de
n-\/
est inférieure à l'unité, ce qui est d'un mince intérêt.
J'espère que vous ne vous refuserez pas à la publication de
votre lettre dans le Bulletin de M. Darboux, à qui je la donnerai.
LETTRE 130. 2^9
à moins d'avis contraire de votre part. Pensez-vous aiix coupures
des équations modulaires? Permettez-moi d'espérer que vous ne
les oubliez pas, et veuillez agréer, mon cher ami, la nouvelle
assurance de ma bien sincère et cordiale affection.
J'ai écrit avant les vacances à M. Bosscha qui avait eu la bonté
de me demander si j'avais reçu le premier volume des OE livres de
Christian Huygens, pour l'informer qu'il ne m'était pas parvenu.
Pourriez-vous, si vous en aviez l'occasion, faire savoir que la
maison de librairie qui doit me le remettre ne l'a point encore
fait.
130. — STIELTJES A H ERMITE.
Toulouse, i3 octobre i888.
Cher Monsieur,
Je vous remercie bien vivement de votre lettre c[ui me fait savoir
que vous vous portez bien, et quoi que vous voudriez dire, je suis
certain que vous continuerez encore à exeixerune grande inlluence
sur les progrès des Mathématiques. Ce que j'ai surtout appris de
vous, c'est cette conviction que la véritable nature des formules
que nous employons nous échappe encore bien souvent et que rien
n'est plus digne d'intérêt que de réfléchir sur leur véritable nature.
Et que j'ai encore beaucoup à apprendre sous ce rapport; ma
formule
Via) cos ir a = 1 + . . . — Qia)
en fait foi. En effet, je la connaissais depuis 2 ou 3 ans, mais je
l'écrivais ainsi
Jf x^-'^ e'^ clx ^^V(a) co'iiza -\- —-, v. p. /
^-agUl-x) ^jc
Je l'avais obtenue en cherchant des formules qui permettent
d'évaluer, avec une grande approximation, par une série semi-
convergente la transcendante
dans le cas où t est très grand. C'est un travail que j'ai eu même
aSb CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.
rinlention un moment d'insérer dans ma thèse. Mais c'est seule-
ment dernièrement, lorsque ce travail incomplet m'est passé sous
les yeux, que j'ai reconnu la nature véritable du résultat que j'avais
obtenu. 11 y a, Monsieur, un léger inconvénient à insérer ma
lettre dans le Bulletin; c'est qu'il doit y paraître prochainement
un autre article de moi, cjui est déjà dans les mains de M. Darboux.
Mais j\ii repris mon travail sur / x'^" ' e^^' dx , et je pense en faire
un article pour nos Annales.
Dans l'article du Bulletin ('), dont je viens de parler, je fais
voir que l'intégrale générale de l'équation d'Euler
X = a»x'*-i- ^a^x^
dx , dv
= ± — — >
v/X s/Y
est
-y
•i.
xy
(^
a 2 — 2C
«2-1- C
«3
xy
«2-
«4
(c = const. arbil
Votre expression approchée du coefficient c« dans le développe-
ment Q(a)^Sc«a" m'intéresse beaucoup. Vous savez que, du
temps où j'étais astronome, j'ai gardé le goût des calculs numé-
riques et des formules qui peuvent servir utilement dans la pra-
tique. Je dois étudier un peu cette expression
--^r"
Cn-l
^l
Je ne suis point du tout étonné de l'approximation avec laquelle
vous avez représenté ainsi c,?..., au contraire, j'incline à penser
qu'on doita\oir ainsi une approximation bien plus notable encore.
J'ai vu que M. Hilbert vous a écrit une lettre (-) où il donne
(') Note des éditeurs. — Sur l'équation d'Euler {Bulletin des Sciences
mathématiques, i' série, t. XII; p. 222-227; 1888).
(2) Note des éditeurs. — Journal de Liouville, 4° série, t. IV; 1888. Extrait
d'une lettre de M. D. Hilbert à i\I. Hermite.
LETTRE 131. 201
une idée sommaire de ses belles recherches algébriques dans les
Mathematische Annalen. Ces recherches m'intéressent beaucoup
et présentent quelques points de contact avec un travail que j'ai à
peine commencé, mais dont le but final est de représenter, sous
une forme élégante, les intégrales générales du système d'équa-
tions différentielles hjperelliptiques. Il est surtout important de
voir clairement comment les constantes arbitraires entrent dans
les formules. Le résultat de Jacobi l^OE livres, t. II, p. i3^ et suiv.)
laisse beaucoup à désirer sous ce point de vue. Le résultat pour
l'équation d'Euler est un premier pas dans cette direction. La
formule de M. Lerch
Q(a) = 1 f
g-u>ocx-a dj^
m'était bien connue, elle se trouve sous une forme légèrement
différente dans le Traité de M. Schlomilch (t. II, 3*^ édit., p. '^6^)
/ —e-^ch=^——-z / e-t cit.
Mais il ne fait point de doute que M. Schlomilch n'avait point
envisagé cette formule sous le même point de vue que M. Lerch.
Veuillez bien agréer, cher Monsieur, l'expression des sentiments
respectueux de votre ti^ès dévoué.
131. — STIELTJES A HERMITE.
Toulouse, le \!\ octobre \i
Cher Monsieur, ^
Il m'a semblé qu'on devait obtenir la valeur de
I . 2, . . . /i /, ^ ^ '
dx
avec une plus grande approximation, en suivant votre idée, que le
calcul numérique ne le faisait voir. En reprenant les calculs, je
trouve des formules et des nombres un peu différents. Je peux
2D2 CORRESPONDANCE D HERMITE ET DE STIELTJES.
garanlir rcxactitudc du résultat suivant :
asynipto tique ment
Pour
n = t8, $ = 8,439 243 . . .,
l'expression approchée donne
0,000000000000170 I,
tandis que
0,0000000000001814
est la valeur donnée par M. Bourguet, mais les derniers chiffres i4
ne sont pas sûrs.
J'étais sûr d'avance cjue l'approximation devait être plus grande
que vos nombres ne l'indiquaient, car le rapport
Ca-i '■ Expr. approchée
doit tendre vers l'unité pour n = ce el il serait surprenant s'il était
, 18 Q
encore i r,= — pour n = }o.
12 *-
J'ai écrit un mot à M. Bosscha que je connais très bien, il était
professeur de Physique à l'Ecole Polytechnique lorsque j'y faisais
mes études (?) ; plus tard, tandis qu'il était directeur de l'école, j'y
ai remplacé pendant quelques mois un professeur malade.
Veuillez bien agréer, Monsieur, la nouvelle assurance de mon
entier dévouement.
132. — HERMITE A STIELTJES.
Paris, le lO octobre 1888.
Mon cher aaii,
Votre dernière lettre du i4 m'arrive bien à propos et j'espère
qu'une nouvelle demande de publication que je viens vous faire ne
souffrira pas de difficulté comme la précédente. A la séance d'hier
de l'Académie, M. Camille Jordan est venu me demander un article
LETTRE 132. 253
pour son journal en y mettant tant d'instances qu'il ne m'a pas été
possible de refuser; mais, pour tenir l'engagement qu'il m'a fallu
prendre, permettez-moi d'invoquer votre assistance. La modifica-
tion que vous avez introduite dans l'expression de €„_,, dont l'ori-
gine et la raison m'échappent entièrement, me semble extrêmement
intéressante à cause de l'approximation inattendue, inespérée
qu'elle permet d'obtenir. Aussi j'ai pensé ne pouvoir mieux
répondre au désir de M. Camille Jordan, comptant sur vous, mon
cher ami, ([u'en vous adressant, si vous le voulez bien, une lettre
qui contiendrait le calcul fort simple, de l'application à
,«c„_i = /
e-^ los;"a7 da;
de la méthode de Laplace et la faisant suivre de votre réponse con-
tenant votre beau résultat, avec des applications numériques qui en
font ressortir la valeur. Si, comme je le désire beaucoup, ma pro-
position vous agrée, j'en informerai sans tarder M. Camille Jordan
qui en sera enchanté, et je rédigerai sur-le-champ, en détail et
longuement mes calculs. Je dois aussi envoyer une ]\ote au Journal
Américain; en voici l'objet, et si ce n'était pas abuser de votre
complaisance, je serais extrêmement content de l'accompagner de
remarques de vous, s'il arrivait que la question vous intéressât
(piehpie peu. Vous savez que la quantité
mi m — I ) . . . ( /« — n -I- 1 )
(m)„=
\ .1. . .n
est un entier divisible par m quand m est un nombre premier; j'ai
fait la remarque qu'il en arrive ainsi lorsque ni est premier avec n.
lit plus généralement (/?«)« est toujours divisible par -^- > o dési-
gnant le plus grand commun diviseur des deux nombres ni et n.
Soit encore s le plus grand commun diviseur de (/« -|- i) et /?,
(/??),j contient en facteur ;
En vous remerciant bien de la peine que vous avez prise d'écrire
à M. Bosscha, et en vous priant de me faire don de votre article des
Annales de Toulouse sur la différentielle -— u que ie veux ran-
procher de cpiehpie chose que j'ai fait sur le même sujet, je vous
254 CORRESPONDAXCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.
renouvelle, mon cher ami, l'assurance de mon affeclion bien sincère
et bien dévouée.
133. — STIELTJES A H ERMITE.
Toulouse, le 17 octobre 1888.
Cher Monsieur,
Votre lettre me cause un peu d'embarras, voici pourquoi.
Comme le résultat du calcul de M. Bourguet ne me semblait pas
satisfaisant, j'ai l'cpris ce calcul, en calculant aussi de nouveau
l'expression approchée de c«_.i. Mais mon résultat
C/<-i= i = U) X
ne diffère pas du vôtre
ç/i + log|
Ca-\ =
e-
s/ n
car, à cause de n ^\ l*^»?' ^^ ^ e"= ç^. Je me suis donc trompé en
disant que j'avais obtenu une autre formule. . ., le résultat de mon
calcul numérique différant assez sensiblement de celui de M. Bour-
guet, j'ai cru à tort qu'il devait j avoir quelque erreur dans votre
formule; l'erreur était dans le calcul de M. Bourguet. Comme cela
doit être, on a. . .
lim -^ =0 et ... (1)
C,i-\
limite zéro.
J'ai fait encore le calcul pour /i = 1 1 et 1^ :
n := 1 1, î = 0,089 1 13 9
Valeur approchée. . 0,00000018993 )
Table B 0,0000 0019 agi \
Il — i~, ^ = 8,118 073 7
Valeur approchée . . 0,000000000001 417'
Table B 0,0000 0000 0001 4^47
<^16 •
Du reste. . . je vais faire le calcul pour les huit valeurs
n = 1 1 , 12, . . . , 1 S .
(') Un coin de la IcUre de Sticltjes est dcchiré.
LETTRE 133. 255
11 se pourrait bien que la valeur approchée calculée pour /i = i8
soit plus exacte que celle qui figure dans la table de M. Bourguet,
quoique j'ai beaucoup de peine à admettre que les nombres de
M. Bourguet puissent être en erreur de loo unités — cela ne doit
pas être.
Maintenant, Monsieur, je me sens un peu coupable de vous avoir
donné l'espoir de pouvoir vous être utile dans cette occasion. Vous
vojez qu'il n'en est rien. J'espère que vous voudrez bien m'ab-
soudre, si je m'engage à vous envojer, dans quelques jours, un
Mémoire sur le développement de l'expression ( ' )
[i — 2/-(cos II cos II' cosx -+- sin a sin ii' cosj') -+- /•-]-'K
Je n'ai jamais rien publié sur cela que la courte Note dans les
Comptes rendus (1882). Ce travail me reste cher toujours, parce
qu'il a été pour moi l'occasion d'entrer en relation avec vous et avec
M. Tisserand. J'en ai remanié au moins vingt fois la rédaction, en
y ajoutant des tables assez étendues. Mais j'ai (ini peut-être par
donner plus d'étendue à ces calculs numériques que cela n'est
raisonnable et la suite en est que ce travail reste toujours inachevé.
Mais je veux faire maintenant simplement un article théorique. Je
pourrai donner plus tard mes tables dans les Annales de V Obser-
vatoire de Toulouse avec une courte explication; elles seront là
aussi mieux à leur place. Vous voudrez bien, n'est-ce pas, recom-
mander ce travail à la Ijienveillance de M. Jordan.
Je vous enverrai en même temps le résultat de mes calculs pour
w = 1 1, 12, . . ., 18 dont vous pourrez faire l'usage que vous vou-
drez.
Je vous renouvelle, Monsieur, l'assurance de mes sentiments
très dévoués.
P. S. — Je vous envoie en même temps ce que j'ai écrit sur -— -.
v/x
J'avais déjà rédigé la seconde partie, mais je crois qu'il sera pos-
sible de donner à mon résultat une forme beaucoup plus élégante
(analogue à l'intégration de l'équation d'Euler). Je me propose
(') Note des éditeurs. — I^e Mémoire dont parle Stielljes a paru dans le
Tome V de la 4° série, p. 55-65, du Journal de Liouville (1S89).
256
CORRESPONDANCE D HERMITE ET DE STIELTJES.
donc de trouver cela d'abord et cette seconde partie se fera attendre
encore un peu pour cette raison. En ce moment je n'ai pas pu
rc'flécliir sur votre théorème concernant (/«)«.
134. — STIELTJES A HERMITE.
Toulouse, lo 18 octobre 1888.
Cher Monsieur,
Le calcul numérique de votre expression approchée m'a conduit
à un résultat surprenant :
Soit (ca) \otre valeur approchée de ca; voici alors le résultat :
Cq
C3 =
C4 =
C5 =
Ce =
Ci =
C9 =
Cio =^
Cll =
C,2 =
Cl3 =
Ci4 =
D'après les \aleurs donnée
Cl5 =
ClC =
mais cela indique sans aiicu
dans le calcul à partir de Cfs,
Cq) X I ,038-,
Ci) XI jOS'iS,
C2) X i,o3r2,
c-i) X 1,0277,
cv) XI ,0249,
C5) XI ,0226,
Cg) X I ,0^08,
C',) XI ,0192,
cg) X 1,0179,
C9) XI ,oiG8,
c,o) X i,or")8,
Cil) X 1,01 Jo,
C12) XI ,01 l'i,
C13) X I ,oi36,
C14) X 1 ,0128.
par M. Bourguet, on aurait
C15) X I ,Ol32,
Cie) X i,oo)4,
C17) XI ,o6Gj,
doute qu'il s'est glissé une erreur
... Je vais iej)reiidre le calcul de C| 3,
c,c, c,7, ... d'après les données de ]M. Bourguel dans son Mémoire.
Si vous jugiez opportun de Tavertir, il pounail pcul-ètrc faire ce
calcul ((pii est \ilc terminé) mieux (pie moi. . ., car il a \raisembla-
LETTRE i?>0.
hlcmeiil faille calcul avec un ou deux chiffres de plus qu'il n'en a
donné.
Voilà certainement un curieux résultat, que votre formule
approchée indique clairement une erreur clans les tables! !
Je travaille à mon Mémoire.
Votre tout dévoué.
Je crois qu'il sera bon de reprendre aussi le calcul de C13 et Ci -, . . .,
cjuoiqu'une erreur ne soit pas clairement indicpiée ; C| /, parait un
peu suspect.
135.
STŒLTJES A IIERMITE.
Toulouse, le 19 octobre 188S.
Cher Moinsieuh,
Je viens de refaire le calcul des Cq, . . ., C|-, mais en supposant
que les valeurs des Bj
r(.r + ^) = l-H Bj.r + B,^?^-!-. . .,
données page 29 1 soient exactes. Voici les corrections dont ont
besoin, dans cette supposition, les valeurs des c< :
Cq..
0
Cl ..
- 24
Co . .
+ 125
Ci..
— 134
Ci . .
+ 134
Ci .
-i34
' Cg..
+ i33
C7 . .
— 133
Ci.-
+ i34
C9. .
-i34
Après ces correct
fo =
(co) X I
o387
("1 =
(Ci) XI
o355
C-i =
(C2) X I
o3i2
Cî =
(C3)XI
0277
Ci =
(Ci)X T
0249
C5 =
( Co ) X 1
0226
^6 =
(C6)XI
0208
^7 =
(C7)XI
0192
c& =
(Cg) X
1
0179
C)0 . .
+ 128
Cl, ..
— 128
C12 . .
+ 128
Cl3--
— 129
Cii ..
-^129
Cl6--
— i3o
ClO.-
+ i3()
Cl- .
— 129
unîtes
dernière décimale.
Co = (C'j) X 1 ,0168
Cio= (cio) X i,oij8
Cil = (<'ii) X ( ,oi5o
Ci2= (C12) X 1,0142
Cl:i= (C13) X I,Ol36
C\k = (cii) X I ,oi3o
Clo= (Cis) X [1,0121]
Ci6= (cie) X [1,0145]
Cl- = (cn) X [1 — 0,0095]
Ancicn-
nemenl.
I ,0128
I ,Ol32
1 ,oi54
1 ,oGG3
Valcii I s
qui
semblent
exijjéos
par la
marche
(le lu
foiiclion.
I ,0125
1 ,0-I20
1,011 ()
2j8 COIIUESPONDANCE D IIKRMITK ET DE STIELTJES.
]1 y a une amclioralion, mais la ^al('Llr pour c,^. .. reste légère-
nicnl erronée... et la même chose, à plus forte raison, pour Ck,
et c,7.
En adoptant pour Cf- le facteur i,oi i6 il vient
<^17 =^ <),0I)00 OOOO ()()()(> I72I f( fi7 ) = . . . 1 701],
a\ec une erreur certainement inférieure à i unité (car le facteur ne
peut pas être en erreur de 0,0006, j'estime).
La valeur de M. Bourguet est
c,7 = o,. . . i(Si /j Valeur exacte : 1721 Erreur : 93.
Après ma correction de — 129
Ci7 =",••• iOSj ^aIeur exacte : lyn Erreur : 3G.
Inapplication de ma correction a donc diminué Terreur, mais
toujours la différence de 36 est un peu forte. Du reste, je me suLs
convaincu encore d'autre manière [en posant ^ =1 — i dans la
série
0
et en comparant avec la valeur exacte de Q( — i)] qu'il existe même
après mes corrections, des erreurs assez considérables. Je crois
qu'il reste encore des erreurs d'une centaine d'unités. La cause de
cela doit être que les coefficients B sont entachés d'erreurs de cet
ordre. Vous voyez que déjà pour /i = 18. . . ce n'est pas la table
qui peut juger de Tapproximation de AOtre formule, mais récipro-
([uement cette formule donne la valeur exacte et met en évidence
l'erreur de la table.
Mais ce qui vous fera plaisir (comme moi), c'est de voir avec
quelle fidélité votre formule représente les Cn à partir de Cq même!
Pour n = i, 2, ^ est plus petit que n; évidemment cela reste vrai
tant que n << e. IMur « = 2, ^= n = e. Une autre fois, lorsque
j'aurai le loisir, je me {ii^opose d'interpoler et de prendre, par
exemple, n = 3^^; c„ , = =-7 — r / (\oi2;x)" e~^' dx. Je ne doute
^ ' - ' r(/i -i-ij J^ ^ ^ ^
])as que le facteur ne tombe entre
1 ,o3ri et I ,o>>-7.
LETTRE 136. 269
Si, pour la comparaison de votre formule approchée, vous dési-
riez les valeurs numéricpies des (c„), elles sont à votre disposition.
Mais, à proprement parler, il me semble que le rapport c,i \ (c,j) met
mieux en évidence la marche de l'approximation.
Votre sincèrement dévoué.
136. — H ERMITE A STIELTJES.
Paris, u) octol)re if
MoK
CHER AMI.
Je viens vous remercier de votre Mémoire sur la transformation
linéaire de --=:; j'aurais le plus grand intérêt à le rapprocher d'un
travail que j'ai fait l'année dernière pendant les vacances sur la
réduction de la même quantité à la forme canonique, mais d'autres
(dioses plus pressées m'en empêchent et j'attendrai d'avoir un peu
plus de liberté pour bien étudier votre analyse et vos résultats.
Recevez surtout mes remerciements pour les calculs numériques
(pie vous voulez bien mettre à ma disposition et qui me sont singu-
lièrement utiles pour justifier ma formule asymptotique de c„_(,
n'ayant pas réussi à ma honte, à mon grand dommage, dans mes
tentatives pour conclure, de la méthode de Laplace, une limite de
l'approximation obtenue. Je ne puis cependant m'empêcher de
croire qu'il y ait moyen d'y parvenir; voici un cas, par exemple,
extrêmement simple et facile qui, bien certainement, ne doit pas
être unique. Considérez l'intégrale
-r
dl
et faites
\ous aurez
(H-/^)"+i ■i.\...-in
dt
x{e^'" — \)
et, par conséquent, cette transformée
.00 1
26o CORUESPONDANCK d'hERMITE ET DE STIELTJES.
Il suflil maintenant de remarquer que l'on a
puis
où 8 est compris entre zéro et riinité, ce qui permet d'écrire
e
ch
Aux deux limites B = o et B = i , nous avons donc
V. y II. -^Y 11 -^ l
L'intégrale proposée est évidemment eom])rise entre ces deux
quantités et l'on peut écrire
1 . 3 . 5 . . . -2 /i — 1 1
■î./i.Cy...in ^/^(,j_,_£|
la quantité £ étant inférieure à -• Que je serais content si cette
formule pouvait vous allécher et vous donner la tentation d'en
trouver une semblable pour c„_, !
J'ai immédiatement écrit à M. Jordan pour lui demander de
publier dans son Journal votre Mémoire sur le développement de
_i
[i — 2/-(cos«< cos«' cosa? -f- sin ?^ «in it sinjK) -t- /"-] ^,
et je lui ai assuré cjue rien au monde ne pourra lui être plus agréable
que d'avoir à sa disposition un travail important de votre part.
Votre méthode pour parvenir aux résultats de M. Tisserand est un
vrai bijou; en m'écrivant pour la première fois lorsque vous me
l'avez adressée, vous m'exprimiez une sympathie qvii a été bientôt
partagée, qui n'a fait qu'augmenter et que je garderai toujours. Je
n'attends pas la réponse de M. Camille Jordan, pour vous dire sans
tarder que je vous suis bien reconnaissant de la peine que \ous
allez prendre de calculer pour /i = i i , 12, . . ., 18 la formule qui
donne Cn-{- Ne vous préoccupez point de {m),,; c'est peu de chose
comme vous allez voir. En désignant le plus grand commun divi-
LETTRE 137. 261
seur de m et n par 0, on peut faire 0 = /?? . A. + « . B, A et B étant
entiers; multi[)liez maintenant les deux membres par
{m — 1 U m — 2 ) . . . ( /;î — /i -T- I )
vous en conclurez immédiatement l'égalité
^ ^ ^ L 0 = ^ m )„ . .\ -h ( m — I )„_i . B,
1 . 2 . . . n
dont le second membre est un entier E. On a donc, en multipliant
par ni
(/»)„. 0 = m . L ou ( m )„ = -^- L
et de même l'autre théorème.
Je vais maintenant corriger des compositions de baccalauréat.
En vous renouvelant, mon cher ami, l'assurance de mon afiec-
tion bien dévouée.
137. — HERMITE A STIELTJES.
Paris, dimanclie (21 octobre 1888) (').
Mon cher ami,
Je vous apporte ma contrd^ntion à la question en me proposant
d'ajouter un second terme à l'expression asympto tique de Cn^\-
Voici d'abord une remarque algébrique à laquelle conduit la mé-
thode de Laplace dont je vais faire usage. Soit
=r/
( .r ) dx
l'intégrale proposée en supposant que la fonction f{x) sannule
aux deux limites a et b et n'ait, dans l'intervalle, qu'un seul maxi-
mum correspondant à la valeur x ^\. En posanty(a;) =y(^).e~'',
puis .r = ^ 4- ^, le développement en série suivant les puissances
(') Note des éditeurs. — Nous avons cru devoir fixer la date de celte lettre
au 21 octobre 1888 qui correspond au dimanche compris entre le 19 et le
22 octobre.
202 <;ORm;Sl'ONDANCE d'hEUMITK KT IW. STIELTJES.
de z^ et l donne, à cause de/'(;) = <»,
ou bien
On en tire
et la remarque algébrique consiste en ce que, si l'on remplace /
par/", le coefficient de t"^ se reproduit divisé par \J n"K L'applica-
tion au cas de
conduit à un calcul prolixe et fatigant auquel j'ai renoncé; j'ai
préféré employer les coefficients indéterminés en posant
ce qui donne
.1 — 6'--<; log" :,\i -AiM -^
ou plutôt
J — e'-''^- log" ; \/t. . oj ( i
) tu
■1 (O
Maintenant, j'obtiens ces valeurs
').n\ 3co" ■i/i^+ ()/i^ç + i6n-ç--f- G/iç^-t- i^''
w=
Ayant ensuite
1 1
/ — n + - — n A
1 . 2. . . « = V'. t:. « -e '^",
en négligeant dans l'exponentielle les termes en — > on en conclut
la formule cherchée
? I
ou bien
I o «'' -H 9 n^ ; H- I (') /^'^ ^^ -4- 6 n ^^ -f- 'j ;'' 1
LETÏIJE 138. 203
Celte expression se simplifie et une réduction facile donne
C'est ici que je viens implorer toute votre charité, pour savoir
si la fjuantité à laquelle j'arrive
ou sensiblement, pour de grandes valeurs de ;,
se trouve confirmée ou démentie par vos calculs.
M. Jordan a dû vous écrire pour vous téuioigner sa satisfaction
de pouvoir publier le INIémoire dont vous m'aviez chargé de lui
demander l'insertion dans son journal. En attendant votre réponse
et vous priant de m'autoriser à publier tous vos nombres, dans ma
prochaine Note, je vovis renouvelle, mon cher ami, l'assurance de
mes meilleurs sentiments.
138. — STIELTJES A H ERMITE.
Toulouse, ri octobre i888.
Cher mowsielu,
J'avais considéré aussi les termes suivants de l'expression asjmp-
totique de c„_f, votre résultat et le mien
sont parfaitement en accord, car
(il semble qu'il j a une erreur dans la dernière rédaction de votre
lettre).
9.64 CORRESPONDANCIi d'hERMITK ET DE STIELTJES.
\ oici maintenant la comparaison
/? (2/1-4-7 »?-t-lO;-)
«(2 7?^+7«?-
I . .
3..
4..
5. .
/ • •
8. .
'J--
:(c„_,)-
24ç(rt + '^)a
0387
1 ,o5o9
0 jjj
I ,oîi 5
o3i2
i,o34S
0277
I ,o3oo
0249
I ,0266
0-22G
I ,0239
0208
1,0218
0192
1,0200
0179
i,oi8G
n.
c„-^
:(^„-.
10. .
,0168
II..
,01 58
12. .
,orjo
i3..
,Of42
14..
,oi36
i5. ,
oi3o
16..
?
17. .
?
18..
?
■A%{n+-ir
0174
oi63
oi54
oi4(J
0139
01 32
0127
I
oi2r
01 16")
On ne peut pas exiger une concordance plus parfaite.
J ai simplement applicpié la formule (d), page 112 de la TJiéorie
analytique^
1.2 clx'^ la f ■
h étant la valeur maximum de j^ pour x = a
^ydx = h^TJ\^,)a-v\
^f— ^^"l -...1,
2 \ 1.2.3.4 dx'* la J
v/log6- logj
Or, posant .r = rt + /i, je trouve
|„n^,_logJ:
/iî
■}.a ort-
4 a-^ j a''
2 a \ 2 rt ' 3 a- \ a-*
2/i
h'*
3 /t-
4rt-^\ 2 a 3 a'- 4«'
]ogZ> — Iog^'= Ao/i- — Ai/(2-î- Ao/** — A3//
I
2
I
Ai= ^a2_(-la^ + ' P2
o 2 J
ou
A2 /t3 \:'
2« ja- 4^'
4 2 24 '^ /, "^ '
I _ I
li:ïtre 1;J8. 265
donc
_i
(.' = (Aq— Aih-v- A^,h-— xVs/i^-h. . . > '•
11 ne reste qu'à calculer les eoeflîcienls do h-, /t\ ... dans les
développements de ç^, t^^, . .. respectivement, et à substituer dans
la formule de Laplace. Le résultat définitif est de cette forme
- \/n
r , l'i , l'i , P.3 "I
P( , P2, P3, . . . étant des polynômes homogènes en a et [i, P^ étant
du degré 4/*"-
P
Je crois que, avec le second terme % — , on obtiendra c,,, à
|)artir de n = iS avec cinq décimales exactes, etc. Je n'ai pas
terminé encore le calcul de ce terme avec Pc que je me suis proposé
comme moyen de contrôle du calcul exact des c,i que je vais entre-
prendre. Mais cela |)rendra du temps.
Je vous prie, Monsieur, de vouloir bien considérer qu'en de-
mandant si M. Bourguet ne voudrait pas revoir ses calculs, je
croyais encore que cette révision ne portait que sur les c„, non
sur les B,^. Maintenant que je vois qu'il faudrait aussi revoiries B/,,
cela deviendrait un travail bien plus considérable, et comme toul
porte en somme sur des quantités bien minimes, je n'oserais pas le
demander à M. Bourguet dont le travail ne perd rien de sa valeur
par ces petites incertitudes, et du reste il n'a, en aucun endroit,
donné une limite exacte de l'approximation de ses nombres. Dans
ces conditions, ne serait-il pas suffisant, si j'entreprenais moi-
même cet liiver le calcul de ces coefficients. Je demanderais alors
à M. Bourguet la permission de lui envoyer mes calculs pour les
comparer avec les siens. Les petites erreurs aussi bien de mon
calcul que du sien seraient alors faciles à découvrir et à corriger.
J'envoie, en ce moment, mon Mémoire à M. Jordan dont j'ai
reçu la lettre. Veuillez bien me croire votre sincèrement dévoué.
Vous pourrez faire l'usage que vous voudrez de mes nombres.
206 (;OHIt£SI'0.\DA>CK d'iiKKMITK li 1 DE STIEI.ÏJKS.
139. - IIERMITE A STIELTJES.
24 octobre 188S.
Mon cher ami.
Vous avez parfaitement raison, j'ai commis une inadvertance
en remplaçant in--\- 'j n\-\- \o^- par (/i + ^) (2/1 + 5^), c'est
un service que vous m'avez rendu de m'avoir fait reconnaître
mon erreur, et je viens vous en remercier ainsi que des applica-
tions numériques que vous avez bien voulu faire et dont je vais
me servir, dans un petit article destiné au Journal de M. Jordan.
Vos calculs en feront le principal intérêt, et j'espère, grâce à
vous, qu'on ne verra pas sans quelque plaisir comment la formule
de Laplace donne, dans la circonstance, une approximation qu'on
ne pouvait vraiment pas attendre. Conformément à vos intentions,
j'ai fait part à M. Bourguet de votre désir de lui communiquer
les calculs que vous vous proposez d'entreprendre pour la revision
des dernières décimales des coefficients B/^, afin qu'il les compare
à ses opérations, ce qui donnera le meilleur moyen de remonter à
la source des minimes erreurs de ses Tables.
Lundi dernier, M. Bertrand m'a communiqué une lettre de
M. Bosscha, qui a eu également la bonté de m'écrire, au sujet de
l'envoi du premier volume des Œuvres de Christian Hujgens.
Je n'ai point à regretter, mon cher ami, d'avoir eu recours à votre
bonne obligeance, et vous aurez rendu service à d'autres encore
qu'à moi.
Encore un mot sur l'application à la fonction Çl{x) d'une belle
méthode de Laplace. Peut-être avez-vous vu, dans le Tome 90 de
Crelle, une lettre de moi à M. Schwarz, où je donne une expres-
sion analytique de cette fonction dans laquelle figure la quan-
tité B(^). M. Hjalmar Mellin (•), dans le Tome II des Acta, a
obtenu, en suivant la même marche, Tine expression plus simple, à
( ' ) Note des éditeurs. — Ueber die transcendante Function
Q(^) = T{x) — P(:r),
von Hjalmar Mellin {Acta matheniatica, t. II, p. 23i).
LETTKK 139. 267
savoir :
Q(a:-) = > (— ijAA), ~ ^ W(x — [ — A)
(À = 0,1, 2,...),
OÙ l'on a
I I T
Ax = / x^e'^' clx
•iJC la: I..
X + I I . ( X H- '2 j I . 2 . ( X H- 3 )
J'ai remarqué que l'analyse employée parLaplace, pour retrouver
la limite supérieure de l'excentricité qui assure la convergence de
la série déduite de l'équation de Kepler
Il ^^ lit -ir- e sin u.
s'applique très facilement à la suite R(x) et donne un résultat
simple; je me propose de vous en écrire aussitôt que j'en aurai
fini avec les trente compositions de baccalauréat dont j'ai aujour-
d'hui la charge.
Votre bien dévoué.
Pensez-vous poursuivre l'étude de la nouvelle transcendante
/ e-^ 1 o " " X dx ?
Yia).}.
En revenant à c„_i, ou plutôt à l'intégrale
e--'^ lo"";r dx.
r
je ne puis m'empècher de vous confier tout le chagrin que me
cause la substitution e~-^= t; elle donne pour transformée
r
'\dr,
t
011 la quantité sous le signe somme croit de zéro à l'infini, sans
maximum ni minimum. Que devient donc la méthode de Laplace?
De même encore, dans un cas plus simple
V{a)= I log«-M - )c/,r.
208 CORRESI'OXDANCE u'niiUMITE ET l)F, STIELTJES.
je ne puis absolument comprendre comment cette méthode se
trouve à la merci d'une subslilution ; en même temps, je me
demande s'il est possible, par une substitution, de changer l'inté-
grale
f
F(:r) d.r,
où la fonction F(^) est croissante de a à b, en une auli^c où la
nouvelle fonction aurait un maximum entre les limites?
140. — STIELTJES A H ERMITE.
Toulouse, 27 octobre 1888.
Cher IMonsieut, ,
Ne connaissant pas l'adresse de ^I. Bourguet (lindicalion de la
table des matières des Acta, professeur de Mathématitpies à Paris,
me paraissant insuffisante), c'est à vous que je suis dans la néces-
sité d'adresser la lettre ci-jointe qui lui est destinée. J'accepte
avec empressement son offre si gracieuse de m'abréger le travail
en m'envoyanl une partie de ses calculs. Nous avons eu ici seule-
ment les Ijacheliers qui aspirent au volontariat, le nombre est
restreint — cinquante pour les sciences et les lettres ensemble.
Mais c'est la semaine prochaine seulement que commence la session
ordinaire de novembre (c'est là une affaire bien plus considérable).
De vendredi, 2 novembre, au mercredi suivant, je serai à Aucli
pour l'examen écrit. Ensuite, vient la correction des compositions
(j'en a\ais cent \ingt cet été, ah ! l'agréable besogne!) et l'oral.
Veuillez bien me croire toujours votre très dévoué et respec-
I lieux.
141. — H ERMITE A STIELTJES.
Paris, mercredi (2(^ octobre 188S) ( ' ).
^loiN CHER AMI,
J'ai réfléchi qu'il n'j a pas lieu de penser à ^érifier par une
(') Note des éditeurs. — Cette lettre n'csl pas datée; le jour où elle a été
écrite et le sujet paraissent en indiquer sûrement la date et la fixer au 29 oc-
tobre 1888
LETTRE l'il. 269
application numérique le résiillal qui ni'a assez surpris (|uc la
valeur asjmptolique de R(.r) coïneide avec celle de 1.2. ..^; on
ne peut, en effet, espérer obtenir un accord pour une valeur
médiocrement grande de x et, en supposant seulement x = 20, par
exemple, les nombres deviennent si grands que c'est à j renoncer.
Permettez-moi de vous indiquer mon calcul en vous exprimant
mon admiration pour la méthode de Laplace qui est vraiment mer-
veilleuse. Au fond, elle ressemble à celle qu'il emploie pour les
intégrales définies, il faut chercher, en effet, dans la série
dont les termes commencent par croître, le terme maximum à
partir duquel ils diminuent, en posant la condition
n^ in — r)-^
d'où 1 on tire
Il ~
Prenant n = x, ce terme maximum est
p — x^' e—-^ ;
celui qui en est éloigné, de rang t, est ensuite
i-r^l )■'■ ^ ^
et 1 on a
d'où
logT = x \o<^(x -t- / ) — X - I,
)i:T— loi:» = X loi; ( 1 H ) — / =
'' ' X I iX
et, par conséquent.
Cette valeur est la même pour le terme de rang t qui précède le
maximum, de sorte que la valeur approchée de la série sera donnée
par l'intégrale
±
e -■' dl = /> \/'-ijzx = \/-i~:
270 CORRESPONDANCE D HERMITE ET DE STIELTJES.
11 ne me semble pas que la méthode permetle d'essayer d'obtenir
une approximation plus grande; aussi, je m'en tiens à ce résultat
(lue je vous soumets, en vous demandant si vous croyez c[ue l'on
puisse s'y confier. Je l'espère, mais en conservant cpielques doutes,
ayant reconnu des cas dans lesquels la méthode de Laplace, appli-
<[uée de la même manière, donne une conclusion manifestement
fausse, sans que j'aie pu voir à quoi tient que tantôt elle réussisse,
tandis que, dans d'autres circonstances, elle induit en eiTCur.
Voici Tun de ces cas : il suffit de chercher l'expression asymp-
lolique du coefficient de x"^ pour n très grand, dans la fonction de
.lacobi
^ 1 1 K,r\ , ,
Au contraire, le calcul marche admirablement, lorsqu'on traite
la même ciuestion à l'éffard des fonctions sn - — — et en '- 7 • • • ,
et le résultat cpi'on en tire se vérifie complètement et facilement en
revenant aux expressions de ces quantités par une série infinie de
fractions simples.
Je vais rédiger ma Note concernant C/,_, pour M. Jordan.
En vous renouvelant, mon cher ami, l'assurance de mes meilleurs
sentiments.
142. — STIELTJES A HERMITE.
Toulouse, 3c octobre 1888.
Chek MoNSrELR,
Je vous suis très obligé d'avoir bien voulu adressera M. Bour-
guet la lettre qui lui était destinée, pourriez-vous, peut-être, si
l'occasion s'en présente, me donner son adresse.
Voici maintenant comment j'ai cherché à me rendre compte
numériquement de l'approximation de votre expression
I
/ — .f +
(a) y/'ir.r ^^-.i.-
(3)
3-^
n
-- -1-.
. .4-
C''
e'
LETTRE l'i'i. 271
Mais, pour faciliter le calcul, je n'ai pas direclemcnL comparé
(7.) à (^), mais d'autres expressions qui en diffèrent peu.
Je remarque que (a) est la valeur asymptotique de
r(.r -f- 1 ) = / if'('-" du
ou de
Q(.7- -h 1 ) rrz / ii'e-" du.
• 1
La différence Y{x-\-\) — 0(.r + i) est inférieure à ^7-^. ce
([ui est tout à fait insignifiant ici.
D'autre part, je trouxe un peu plus commode d'ajouter à la
1 ■' r
série (^) le premier terme — =z - z= a = 0,8678 7944- • ••
Il s'agit donc de comparer
à
Q(.r H- 1) = / ii'e-" du.
ou, en posant J\ii) = u-^'c~",
à
/ J\ Il ) du.
'- 1
Je pose successi\ement
ir = 1 , 2 , 3 , 4 , • • •
cl, à l'aide de
Q(ar-i-i) = a + xQ(x).
j'obtiens
Q{i) = a, Q(2) = 2«,
Q(3) = 5a,
Q(4)=i6«,
Q(5) = 65a,
Q(6) = 326a,
Q(7)=i957rt,
Q(8) = I3 7oo<•^
272 CORRESPO.N'DAM :i: 0 IliaiMITK KT l)K STIELTJKS.
D'à 11 Ire part, on a
R(i) = a:(,-«)^
R(2) = (a-^a-^):{f — a)\
R(3) = (a + 4a2^_rt3);(,_rt)v^
R ( 4 ) = ( a -H 1 1 a2 -1- 1 1 a^ -i- a'* ) : ( i — a )s,
R ( 5 ) = (' a -+- 26 a2 -f- 66 «3 •+• 26 «'' -+- a'-'> ) : ( 1 — «)•■',
R(6) = (a + 57 a- H- 3o2a3-t- 3o2a'*-4- àjr/^H- c/'' j:(i — «;'',
R(/0=a|^[lU/.-Ml
l'vidciiiment.
J'obtiens ainsi
lU I ):Q(2) = i,25i j,
R(2):Q(3) = i,o83i,
R(3):Q(4) = i,o2ol.
R(4):Q(5) = i,oo38,
R(5):Q(6) = i,ooo;J76,
R ( 6 ) : Q ( 7 ) = 1 , 000 079 1 1 I .
J'ai remarqué que, en posant a = — i dans les expressions
( ' ) La convergence si exlrèmcnicnt rapide vers zéro de
R(i)-Q(2)
Q(2)
R(2)-Q(3)
Q(3)
R(3)-Q(4)
Q(4)
R(4)-Q(5)
Q(5)
R(5)-Q(6)
Q(6)
«(6) zL9il)
0(7)
= 0,20J .),
= o,o83 I ,
= 0,020 5,
= o,oo.'i8,
= o ,oo()r)-(j,
= 0,000()J(J
i>nne lieu à considérer piiilôl la (lidVrencc
U(.r) — Q(a7 + i).
En mulliplianl par Q(2), Q(3), .... qui sont approxiinalivemenl égaux
deR(i), Rh) on a
Ri 2n) =0,
2-" — I
Bi = - , B, r= -r-5 Bi = - > • • cLanl les nombres de Bernoulli.
J'aurais plusieurs remarques à faire sur vos dernières lettres,
.'• r(2), r(3),
K(i)-Q(2) = o,2,5....x ^
R('3) — Q(3) r^ o,iG6... X
r(o)
R(3)-Q(4)=o,i23...x ^jV[|y.
R(,3)-0(6) = o,o69...x 5_||1,
R(6)-Q(7) = o,o57...x ^l^-j,
où, par exemple,
Q(7) _. P(7) _. «
(o<0<i).
Il semble donc que ï\{x) — Q(.r + i) décroît à peu près comme — ^! Une
r(7) r(7) 1.2.3.4.5.6.7
donc que R(J7) — Q(.r + i)
helle formule à trouver qui explique cela.
D'autre part, T{x ~{- 1) — 0{x + 1) étant aussi de l'ordre ^ — > il semble plus
naturel de considérer R(^) — r(a; + i)
R(i)-r(2) =-0,0798,
R(2)--r(3) =-0,0077,
R(3) — r(4) =+0,0065,
R(4) — r(5) =-f-o,oo33,
R(5)-r(6)= ?
Sans continuer ce calcul qu'il faudrait reprendre avec plus de soin, il semijle
([ue les fonctions
R(^) = i -H i! + — j-...,
e e- c
et r(a7 + i) croissant avec une extrême rapidité sont telles que leur difïérence
décroît ou reste très petite.
Je ne poux m'empêclier de rappeler ici ce résultat déduit de la théorie des
18
274 CORRKSPONUANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.
mais je préfère réfléchir encore un peu, peut-être que je trouve
alors fpielque chose de plus intéressant. Avez-vous considéré déjà
la (juestion des zéros de la fonction entière Q(:c)?
Je vous renouvelle, Monsieur, l'expression de mes sentiments
hien dé\oués et respectueux.
143. — STIELTJES A H ERMITE.
Toulouse, !"■ novembre 1888.
Cher Mo^sielr,
Hier soir, en réfléchissant encore sur vos formules, j'ai trouvé
l'explication de l'approximalion
, .yX 3.r f..v
T{x-^i) = R(:r)= - ^ — -^- ^ ±- ^ . . . .
e e~ e^ e*
En effet, en supposant .r ^ o, j'obtiens la formule
I i.^ 3'' 4^
e e^ e'-^ e'*
„, A cosR^ -1-1) arctanearl cosfCr-i-i) arctani! îr]
= r(a7-M) h + 2 ^ -^ ^ +2 !— ,^; ^
(•osr(.r-Hi) arctan<;67:l cosr(a:-i-i ) arc tan<r8-l )
+ -^-^ ^^T *+'^— ^- T^T— '+•••'
(36-2+1; ^ (64-2-- 1) 2 '
en sorte qu'on a en première approximation
,^ , . ,, 2 cosT* .r -J- I) arc tan<ï9,7îl
i\( x):i [X ^ \) — ] -, ' — ^,_^^ "^ — - ■
(471^ + 1)^"
fonctions elliptiques
I e^"^^dx=f f{x)dx=-^i/-,
^/(o)+/(i)-H/(2)-h...= i^^(i+2e~^+2e"~-,---J-
Veuillez bien excuser la précipitation avec laquelle j'écris ceci, je voudrais vous
lépondre avant mon départ pour Aucli et, demain, je suis pris aussi par une
alVaire.
Dès que je le pourrai faire, je reprcndiai le calcul de lî(.r) — T {x -t- \) aver
plus de soin pour a; = i, 2, 3, ....
LETTRE 144. 275
Le cosinus, dans celle formule, explique bien les varialions de
signe qui se montraienl en considérant R(;r) — r(a: + i).
J'obtiens celle formule à l'aide d'un résultat dû à Dirichlet
A„ = — / f(t)cosntdt,
- Ao M- Al + A2 -f- A3 -t- . . . =/(o) -H -ifiliz) -\- 9./( 4 tt) -+- 2/(6:1) -i- ... .
Il n'j a qu'à prendre
_2 r(.r -^ I ) cnsff.î; -I- I) arc lani;( 9. /«- )|
"'+4Î^
Après quelques réductions, vous trouverez le résultat que je
viens d'écrire. Voilà un résultat qui vous fera plaisir peut-être et
qui me dispense des calculs à faire.
J'ai voulu vous communiquer ceci encore. Comme cliez vous,
ma première impression a été que l'approximation entre R(^)
cl r(:c-l- i) ne commencerait à se montrer que pour de grandes
valeurs de x^ ensuite que le calcul numérique serait très fastidieux.
Heureusement, je ne me suis pas contenté de cette première
impression.
A olre bien dévoué.
144. - H ERMITE A STIELTJES.
Paris, 2 novembre 1S88.
MoiV CHER AMI,
Je désire que vous trouviez, au retour de votre voyage à Auch,
l'expression de l'étonnement infini que vos calculs m'ont causé, de
la joie que j'ai eue et aussi de mon humiliation profonde d'avoir
accordé si peu de confiance à la valeur asymptotique de R(^).
C'est dans un article du Journal de Borchardt, tome 90, page 33 1 ,
que vous trouverez l'origine de celte fonction, qui est définie ainsi :
R(x) — 'r- ■ — : — ■ -f-. . .- h-
276 CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.
par conséquent, comme vous le faites clans le cas de « = 1 , et qui
donne régalitc
J a
{x — \)(x — i')...(x — n) .^
— y. ( n ) li ( .r — n)
ou j ai pose
J'ai eu le tort de n'a> oir point vu et de n'avoir pas dit cjue cette
relation a lieu pour a = 1 ; voici ce cjui m'a arrêté bien inutile-
ment. Ayant fait
l ^-^-1 e-l d\ = \ l ^-^-i e-? d\ ( « = i , 2, 3, . . . ),
|)uis
en posant dans le second membre ^ = /?« + (i^, j'ai eu crainte cjue,
dans le cas de « = i , pour le premier terme correspondant
à /i irz I , où entre l'intégrale
ç
(\-\-X,Y-^e<dl,
il n'ait pas été permis d'emplojer, sous le signe d'intégration, le
dévelop|)ement de la puissance (i + J^)-^"', parce que développe-
ment, à la limite ^ = 1, est divergent quand x — i est négatif.
Mais ma crainte n'avait pas de fondement, car le développement en
cjuestion conduit à la valeur suivante :
P(3)
ou
P(«) = -'
Il n -T- I I . -2 . ( /t -h 2 )
Or le second membre est une série toujours convergente; rem-
placez, en eflet, r*(/3) par la quantité j)lus grande — et envisagez la
LETTRE lis. 277
nouvelle série, dont le terme général est
(X — l)(.2" 'î)...(x 7l) I
Un = - '
i.i. . .n 11
vous aurez
ii„+i _ (^ — n — i).n
et la règle de Gauss montre immédiatement la convergence de la
série Hua-
Il est donc parfaitement permis de supposer « = 1; mais,
l'expression ainsi obtenue
Q(^) = PiR(:ï- — i) + ^-:zip2R(^_.2)4_...
ne m'apprend rien sur la diflerence Q(^) — R(^ — i).
Vous seul, cher ami, par la puissance du calcul numérique, vous
avez eu l'intuition du mode d'existence de cette c[uantité; égale-
ment, je vous fais mon compliment d'avoir rattaché la question à
la comparaison entre l'intégrale
/ f{u)du
et la somme
/(.)+/('i)+/(3)+...,
mais que d'efTorts à faire avant d'atteindre ce but.
Mes sentiments affectueux et bien dévoués.
M. Bourguet, professeur à l'Institut catholique, demeure rue de
Rome, 55.
145. — HE B MITE A STIELTJES.
Paris, 3 novemlire 1888.
Mon cher ami.
Le résidtat auquel vous êtes parvenu est magnifique, j'en suis
enchanté et je vous en félicite vivement. Permettez-moi de vous
demander d'en faire le sujet d'une Communication à l'Académie,
en vous engageant à donner les détails du calcul concernant la
détermination de l'intégrale définie A„ qui est loin d'être immé-
diate et me paraît mériter d'être développée avec soin. Vous aurez
9-S CORRESPONDANCE d'iIERMITE ET DE STIELTJES.
fait, après DirichleL, l'application la plus belle et la plus imporlante
de la relation célèbre qu'il a donnée dans sa démonstration de la
l'orinide de Foiirier et, en même temps, vous avez enrichi la théorie
des intégrales eulériennes d'une relation d'un genre tout nouveau
qui ne manquera pas d'appeler l'attention de tous les analjstes. Si
vous avez du temps de reste, je vous demanderais de refaire vos
al
calculs, en supposant /(/) = l-^e -'^, dans le but d'introduire, au
lieu de R(-3^)=^-77' l'expression
Siix) := ■ 1 ; \ '-...,
qui est aussi, pour a ^ o, une fonction holomorphe de la variable.
Je communicjuerai à M. Bourguet votre découverte cjui, j'en
suis sûr, lui fera grand plaisir. En attendant de vous faire part
de ce c[u'il m'aura dit, je vous renouvelle, mon cher ami, l'assu-
rance de ma bien sincère affection.
146. — STIELTJES A HERMITE.
Tuiilouse, Il novembre 1888.
Cher jMoasieiu,
En rentiant à Toulouse, j'ai trouvé vos lettres qui m'ont fait
beaucoup de plaisir en m'apprenant l'intérêt c|ue vous prenez à
cette formule R(^) =: r(a; + i) (i +. . .).
D'après votre désir, j'ai rédigé un petit article sur ce sujet,
j'espère que la nouvelle démonstration vous semblera satisfaisante.
Mais j'ai l'impérieux devoir de vous soumettre ce travail en vous
demandant si vous croyez opportun d'insérer dans le n° 1 votre
démonstration de la convergence pour « = i , et dans le n° 5, à la
fin, la manière dont vous avez obtenu d'abord la valeur asympto-
tique de r(a7 + i).
L'étendue de cette Note dépasse celle des trois pages des
Comptes rendus, croyez-vous qu'elle soit de nature à intéresser
les lecteurs du Journal de M. Jordan?
Je vous demande pardon de vous demander tout cela, mais je
ne pouvais pas emprunter directement à vos lettres ce que je
LETTRE 147. 279
flemande et, du moment qu'il fallait changer si peu que ce soit,
j'ai cru qu'il faudrait mieux vous soumettre la question.
Naturellement, vous pouvez changer tout ce qui vous semblera
nécessaire dans mon article ou me le renvoyer en m'indiquant
les points à changer.
La transformation dont je fais usage est tout à fait analogue à la
méthode par laquelle Riemann a trouvé d'abord la relation entre
Ç(5) et Ç(i — 5), mais j'ai cru devoir ajouter quelques développe-
ments pour montrer que la méthode est parfaitement rigoureuse.
Veuillez bien toujours me croire, cher Monsieur, votre sincère-
ment dévoué.
P. S. — Je n'ai pu donner, dans le n^' 2, l'endroit exact où
Hankel a obtenu la formule en question. Notre bibliothèque ne
possède pas le Zeitschrift de M. Schlomilch. J'espère que vous
serez plus heureux que moi ; les examens de licence et du bacca-
lauréat m'occujDeront encore la semaine prochaine.
147. — STIELTJES A HERMITE.
Toulouse, lundi soir, 12 novembre 1888.
Monsieur,
Je viens de constater à notre bibliothèque que le Tome XI des
Acta matheinatica contient un article de M. Lerch sur la fonc-
tion K(i'(', x^ s) = ^ , , /■ w; • Le résultat de M. Lerch comprend
mon résultat sur votre fonction R(j;) et il n'y a aussi que de lé-
gères différences quant à l'exposition de la méthode qui est la
même. En tout cas, si mon article vaut encore la peine d'être
publié, il faudrait ajouter quelques mots sur ce qu'a fait M. Lerch.
Peut-être mon article fait mieux ressortir que tout cela dépend de
la formule fondamentale de Hankel
r(:r)= -— . fe-z-'dr.
'i.TZtJ
Votre bien dévoué.
280 CORRESPONDANCE d'iIFRMITE ET DE STIELTJES.
148. — H ERMITE A STIELTJES.
Paris, i4 novembre 1888.
Mon cher ami,
La circonstance que vous avez été prévenu par M. Lcrch, et
que vos résultats se trouvent dans son Mémoire sur la fonction
K((Vj X, s), ne peut en quoi que ce soit changer mon sentiment sui-
te mérite de vos dernières recherches. Je viens vous demander
instamment de publier dans le Journal de M. Jordan Tarticle
que vous m'avez adressé, étant assuré qu'il sera lu sous la forme
que vous lui avez donnée avec le plus grand intérêt. En citant
M. Lerch, comme vous vous le proposez, vous lui rendrez service
et vous lui ferez plaisir; je suis en correspondance avec le jeune
géomètre et je sais combien il sera sensible à voir son Mémoire
mentionné dans un recueil français. Ce Mémoire, je dois l'avouer,
m'a passé sous les yeux, mais sans fixer suffisamment mon atten-
tion, faute d'un certain relief dans la rédaction, et puis parce que
j'avais, en le paixourant, des préoccupations qui ne m'ont pas
permis d'j donner une suffisante attention. Mais il j a autre chose,
je dois vous apprendre que M. Lerch lui-même a été devancé, il y
a quarante années, par M. Lipschitz, et que j'ai été chargé par
l'éminent analyste de lui faire savoir qu'il a traité le même sujet et
trouvé les mêmes résultats. M. Lipschitz ^icnt de m'envojer son
Mémoire qui a paru dans le tome 54, 18;")^ de Crelle sous le titre :
Untersachung einer ans vier Elcmenten Reilie et, connaissant
maintenant ce que vous avez fait, je puis à peu près le comprendre
malgré l'allemand. Vous aurez donc aussi à lire ces recherches,
afin de les mentionner. M. Lipsciiitz, d'ailleurs, a agi avec grande
bienveillance envers M. Lerch, il uTa ('cril cpiil se bornerait à
rappeler son ancien Mémoire et, sans faire aucune observation,
dans un article sur le même sujet destiné au Journal de M . hro-
necker.
On m'assure que le Journal de M. Schlômilch est à la biblio-
thèque de l'École Normale, j'aurai donc le moyen de rechercher
l'article de Hankcl que vous voulez citer; permettez-moi, pour
diriger mes recherches, de vous demander si vous connaissez le
LETTRE 14^9. 281
litre de son Ménioii^c, ou à pou |)rès l'époque à laquelle vous pré-
sumez qu'il a été puMié.
En saisissant celte occasion pour vous donner la certitude que
de Paris on veille sur vos intérêts et, dans l'espérance que \ ous
n'êtes point par trop chagrin d'avoir été devancé par M. Lipscbilz,
qui n'a pas d'ailleurs dégagé une corrélation concernant la fonc-
tion r(^), je vous renouvelle, mon cher ami, l'assurance de mon
aflfection bien sincère et bien dévouée.
Dois-je vous envoyer le texte de votre article?
149. — STIELTJES A H ERMITE.
Toulouse, i\ novemln-e 1888.
Cheb Monsieur,
Voici l'exacte vérité concernant l'article de M. Lerch dans les
Acta. Le fascicule des Acta où se trouve ce travail, je l'ai entre les
mains, il j a je ne sais combien de mois. Je n'y ai jeté alors qu'un
coup d'œil et sans l'étudier à fond, les formules paraissant assez.
compliquées. Aussi, dans mon esprit, il n'en restait que ce sou-
venir un peu vague qu'il s'agissait d'une généralisation de la fonc-
tion 'C{s) de Riemann. Mais, lorsque j'ai réfléchi à l'expression
asjnq)totique de votre fonction R(.27), Vidée ne ni'esL pas venue
un instant qu'il pourrait y avoir quelque rapport avec le travail
de M. Lerch. Ce n'est qu'après avoir terminé mon travail et avoir
remarqué l'analogie de la transformation dont je fais usage avec
celle indiquée par Riemann pour obtenir la relation entre "^{5)
et^(i — 5), que l'idée m'est venue d'examiner plus attentivement
le travail de M. Lerch. C'est ce que j'ai fait lundi soir, après les
examens de la licence. Et j'ai \u alors immédiatement que mon
résultai doit être compris dans celui de M. Lerch, quoique je n'ai
pas encore fait les calculs nécessaires pour le constater effecti-
vement.
La généralisation de M. Lerch revient, en somme, à ceci qu'il
considère au lieu de
a^- ( a -1- I j-^' ( a -i- 1 )-^
a82 CORRESPONDANCE D'ilEiniITE ET DE STIEI.TJES.
série proccdanl suivant les puissances de -, une série procédant
suivant les puissances d'un nombre quelconque de module infé-
rieur à l'unilé et qu'il écrit sous la forme e'^ en supposant
37 = a -1- /[>, fi > o.
Peut-être, si au lieu de poser
on avait posé
«' (t •- Il «^ rt -H /'
qu'on serait amené à introduire
«r (a-^bY (a^-:>.b)->-
l\ .r)= — -i — T ■- ■ --7 i- • • • ,
ce qui réalise ce qu'il y a de plus essentiel dans la généralisation
de M. Lerch. Mais le temps me manque en ce moment pour vérifier
ceci.
La comparaison de
(a ->- h)"' ( a -'- ■).b}'^
f
lixç-i, (lu
n ■ 11 • 1 • A 1 r(j7-f- l)
me lait su})poser que la valeur asjmptotique doit être alors ,
Si CCS prévisions sont exactes, ne vaudrait-il pas mieux alors
refaire mon article en considérant
\{(x) = h — 7^
Je crois que oui, mais je ne pourrai rédiger mon travail que
dans quelques jours. Je vous le soumettrai alors pour j changer,
si cela vous paraît nécessaire, quelques mots dans l'extrait de vos
lettres qui y figurera.
J'ai examiné, à Auch, un peu ce que vous m'avez dit de l'appli-
cation de la méthode de Laplace à certains cas où cette méthode
LETTRK 14-9. 283
donnerait des résultats inexacts. Je voiis avoue que j'éprouve
quelque difficulté à l'admettre, dans le cas
6 I I =1 — Cl (7 cos "2 a? -I- '2 7 ' cos 4 -Z" — • • • ,
le coefficient de x"^ se met sous la forme
A— B,
et il me semble qu'il faut appliquer la méthode de Laplace aux
expressions A et B séparément. Si l'on trouve alors, pour A et B,
la même expression asjmptotique (ce qui me paraît très probable),
on ne peut rien conclure, ou plutôt on peut dire alors seulement
que la valeur du coefficient devient très petite par rapport à A et
à B. Mais, dans le cas
\ -\- iq cos ■}. X -I- '4 (/ '' r os 4 •^' H- • • . ,
le coefficient de x" est
A -+- B,
et il me semble que la méthode de Laplace doit alors donner un
résultat exact.
J'ai remarqué que votre élégante démonstration de
r\
0<£< -
1 . 3 . 5 . . . ( 9, /?, — 1 )
1
•2 . 4 . 6 . . . 2 /i
v/-iT(« H- e. )
s'applique aussi à
T{a)V{n) _ f .r<^-i
rlr — C
- — v«-ie 'ly dy
T{a-^n) ,1^ {i-h.r)" + " J„ \ J /
{i^ X = ey).
En posant avec vous
' ~ ^'^ = e-Qj (o<0<i),
y
il vient, après réductions,
T { n -h a) — [n -h (a — \)e]" V (n).
Votre très sincèrement dévoué.
Mon
CORUESPONDANCE 1) HEUMITE ET DE STIELTJES.
150. - HERMITE A STIELTJES.
Pnris, iG novembre 1888.
CHER AMI,
La détermination, par la méthode de Laplace, de la valeur
asymptolique de la série
\{{x) = > , — ,
lorsqu'on suppose x très grand, s'obtient facilement comme vous
allez voir. Observant que les termes vont d'abord en croissant pour
diminuer ensuite indéfiniment, on détermine le ran" n du terme
maximum en posant la condition
{a-\- nb y _ \a -^- (n — 1)6 Y
On en tire en simplifiant
et, par conséquent.
a -t- nb - I) b-
rt -I- ( /i — \)b ' X 2 x-
b -.b-^
■4(/« — {)b = X :
•i I 2 X
Négligeant les quantités en - > je prends
a -\- { // — ■ \ )/) --1 X ,
ce qui donne pour l'expression du plus grand ternie
/ by
Ceci posé, soit T le terme de rang l avant le maximum, c'est-
à-dire
ga+lii—Ob
LETTRE 150. 285
La condition a + nb = .r + - permet d'écrire
lo^T = X lojï [ X -\ ht\ — X 1- i/,
t de là résulte
X -^ ht
logT — logX = .-rlog| \-\-ht.
2
Développons le second membre en série jusqu'au terme en /-,
et négligeant encore les quantités en —, on obtient simplement
loirT — lo^X = ,
(Toù
h- r-
T = Xe 2.^-.
C'est la même expression qui s'offre pour le terme de rang ;,
après le maximum et la valeur approchée de la somme sera donc
donnée par l'intégrale
X / e 2.( ^_y
On trouve ainsi la quantité
bY I
X -\- - \ \/ -iizx
1,
Mais on a
de sorte qu'en négligeant - elle devient simplement
X
•i.
ip-X
y/a 71 I^ ( ,'
e-^ \J iiz 1 ( .r + i)
Votre prévision est donc conqDlètement réalisée; il en est de
même pour l'origine que vous avez eu l'idée de donner à la série
ll(^), généralisation de celles auxquelles j'ai été conduit en em-
ployant les décompositions suivantes {Journal de C relie, t. 89,
286 CORUESPONUANCE u'ilEKMITE ET DE STIELTJES.
p. 333)
a '^ 11 + n '- nu
(n = O, I, 9., . . .), (Il = l, "2, 3, . . .)•
Mais, c'est ce que vous-même vous avez déjà dû i-econnaître, et
je ne m'y arrêterai donc point.
Mes sentiments de bien sincère affection.
151. — STIELTJES A H ERMITE.
Toulouse, i6 novembre i888.
Chkk MoJvsiEin,
Après a^oir vu le Mémoire de M. Lipscliitz [d'elle, t. 54, iSSi^),
j'espère. Monsieur, que vous ne me reprocherez pas trop, cette fois,
de ne pas suivre votre conseil. 11 me semble préférable maintenant
de ne pas intervenir dans cette matière. Ce qui me décide surtout,
c'est la circonstance que, d'après votre lettre, M. Lipscliitz lui-
même se propose de revenir sur cette matière dans le Journal de
Crelle; ]e veux donc voir d'abord le travail de M. Lipscliitz et je
doute fort qu'après cela il y ait encore quelque chose à dire sur ce
sujet. Vous pouvez donc détruire mon manuscrit et ce n'est que
pour vous que j'écris ici ce résultat
a^ ^ ( a~ ù )■■'■ ( a -f- 2 h )-^'
K(.-r— 1) i_ /• e«'--" __^. ^^_
Y {X } ~~ ■>.Tvi J I — e'^'--'' "*
et sous les conditions
o < a 1 ^, |). réelle a>-i.
(rt > o, ^*> o),
b^{x - 1)
/ 2 7: rt \
cos ( arc tang ~ i- -- \
4 t:^ \ -
c
2
os I arc tang ~ ^ ^ a /
iGtt
~b
?y
LliTTIlE loi. 287
OÙ le premier membre peut s'écrire
h [_/■( a ) -\- /{ a -H /> ) -4- _/■( a -^-ih). . .]
' ' Tx, ' '
/ J'{t)di
' 0
J'{t) = t^-^e-K
Il es.t quelquefois bien difficile à s'assurer si un résultat qu'on a
obtenu est nouveau ou non. Par hasard, j'en ai vu l'exemple que
voici. Vous savez queM. Schering, de Gottingue, a publié, dans les
Monatsber. de Berlin, 18-6, ce théorème
où ( ^ j est le symbole de Legendre généralisé par Jacobi et jji le
nombre des restes minima négatifs pour le module M des quantités
(■/, Ht, 3«, ..., o.
( Voii' aussi Acta math., t. 1, p. 1G6).
Dans le même Tome des Monatsher. M. Kronecker a exposé
alors ses propres recherches sur ce sujet et je crois me rappeler
qu'il dit avoir exposé ce théorème déjà dans un cours fait pendant
l'hiver de 1870.
Mais le théorème est dû en vérité à un géomètre anglais,
M. Morgan Jenkins, qui l'a donné, le 20 avril 1867, dans une
séance de la Société mathématicjue de Londres, (f^oi'r les Procee-
dings de cette Société où se trouve sa démonstration). L'énoncé
de M. Jenkins est légèrement différent mais cela n'a rien d'essentiel.
J'ai mentionné ce fait il j a un an, je crois, dans une lettre à
M. Mittag-Leffler. Je crois qu'il en a averti M. Schering.
Veuillez bien agréer, Monsieur, l'expression de mes sentiments
dévoués et reconnaissants.
P. -S. — Je ne connais pas le titre du Mémoire de Hankcl ; mais,
d'après une Note que j'ai trouvée dans les Math. Annale ji,
t. XXXI, p. 455, il doit se trouver sans doute dans le Tome IX du
Zeitschrift.
288 CORRESPONUANCE l>'lll- lOlITE ET DE STIELTJES.
152. — HERMITE A STIELTJES.
Paris, i8 novembre 1888.
Mon cher ami,
Je n'en ai pas encore Uni avec les examens du baccalauréat, j'ai
demain une dernière séance à la Faculté des lettres, et puis a cette
besogne ^a succéder une autre d'une autre nature, il faut m'occu-
per de la rédaction d'un rapport dont je suis chargé, de sorte que
je ne sais quand je pourrai pour mon compte étudier le Mémoire
de M. Lipschitz c[ui me semble fort beau. Je ne puis assez vous
dire quel plaisir m'a fait votre équation que je préfère écrire de
cette manière
/ -ir. a
cos arc tani; -, — ■iT.-r
\\{t — \) 1 \ "6 b J
cos arc taii" -;-
(6--h 16712 )2
Vous me permettrez pour le cas où vous auriez à l'employer de
NOUS indiquer comment la décomposition de l'intégrale
J = ^"^^-ic'-?f/£,
• il
en termes de la forme
..<i + (n-\)l>
'n + nl,
de sorte qu'on ait
conduit à la notion de la fonction
a-^ {a + b y
R(.r:
€"■ ga-^b
J'observe, à cet effet, qu'en posant ^ = « + «6 + /, on a
I r''
J„ r= J I (a -{- iib -^ ty^-i e-' df,
LETTRE 152. 289
et que, pour toutes les valeurs de /i, à partir de n = i , le déve-
loppement suivant les puissances de ^, par la formule du binôme,
de (« + tib -h ty^'~^ 1 donne une série convergente entre les limites
/ r= o, t^ù. Il en serait encore de même pour n = o, sous la
condition ayb\ mais il est préférable d'exclure l'intégrale Jo, en
considérant la différence J„ — Jq cpii est l'intégrale
comme vous allez voir
Soit
nous avons
f/^ = J 1 -(- J 2 -^- . . . -H J ,j
I t'" e-t dt.
J« = --è^i, Po(« -+- nby-^ -i- '^— i P,(a + nhy-
(X ■ — 1) ..{x — m
de sorte qu'en posant
1 . 2 . . . /n
Pm(«+ nbf-'^-'
on obtient immédiatement
pour /« = r , 2, o,
^^-1 e-l d\
b
= PoR(^)+^^^P,R(a7-i)+ ^•^~'^^''^"'^^P,R(;r-2)-t-....
1 1.2
Changeons maintenant a en a — b^ afin de parvenir à l'inté-
grale proposée J ; ce changement reviendra évidemment à prendre
à partir de n = o, au lieu de /2 ^ 1 , le terme général de R(^), de
sorte qu'en modiliant ainsi la définition de R (:?■), on a la formule
J = PoR(a:)-f- Pi ^^=^R(^-i) +....
11 n'y a donc pas à s'embarrasser des questions de convergence
et tout devient fort simple grâce à vous, à l'idée qui vous appar-
tient d'une décomposition de l'intégrale plus générale que la
mienne; mais n'est-ce point singulier qu'on parvienne par une
telle voie à l'extension de la fonction si'^) de Riemann!
19
290 CORRESPONDANCK 0 HEUMITi: KT DE SÏIELTJES.
En VOUS priant de nie donner à l'occasion quelques explications
sur votre procédé poui' parvenir à la relation qui m'intéresse
beaucoup r(/î H- a) = [ai -h ((7 — i)0]"r(/i) et vous tlemandant
d'attendre que j'aie plus de liberté pour revenir à l'apj)lication aux
séries 6 / __ ) et 0, ( — — )> de la méthode de Laplace, je vous
renouvelle, mon cher ami, l'assurance de ma bien sincère affec-
tion.
153. — STIELTJES A HERMITE.
Toulouse, dimanche malin (') (/xi novembre i8^8?).
Cher Mo>siEuii,
Je suis on ne peut plus touché de l'extrême bonté que vous
montrez à mon égard. Mais M. Lipschitz étant le premier inven-
teur, je veux voir d'abord le travail qu'il va faire insérer dans le
Journal de M. Kronecker; s'il n'y parle pas de l'application à
votre fonction R(:r), je pourrais peut-être plus tard donner une
Note où j'appellerai l'attention sur cette application.
En faisant dans la relation
(i) r(a -4- n) = I « -T- (a — i)e]« r(/o, o<e<i,
a ^ - et remplaçant n par n H- i
r(/«-+- -j = \J}i ^ \ — zV{n + \), o<£<--
Je vois que ce n'est pas votre formule mais prenons «= - et
remplaçons n par ;? H — - d ^ient
r ( /t 4- 1 ) = v//j -^ £ r ( /j -I- - j • o < £ < - ,
ou
/ \.'i...(in — 1) /-
I = l//( -(- £ ^TT,
■ï.\. . .111
ce qui est bien votre résultat qui est ainsi compris dans la for-
mule (i).
(') Note de l'éditeur. — Celle iellre non daléc ne par;iit pouvoir se rapporter
à une date autre que le a3 novembre i888.
LETTRE 153.
En posant i -\- x = e" dans la formule
T(a)rin) f x»-i
djr.
on peut écrire sous deux formes différentes
T{a)r{n) r °" / rr — I «-1
Tia^n) J^ \ y J -^ ^
Ajant
i — e-y r. ^ I — e-y
= e-®y, o < 0 < I . e-y < < I ,
r ' y
, , , , , p r ( a ) r ( /i )
on voit, d après la seconde lorme, que -=; — — — est comiîns entre
^ ' 1 r ( a + /i ) '
les deux limites
ce qui donne la formule ( i).
Mais voici une autre conséc|uence. D'après ce qui précède on a
ces deux formules
(3)
r(a-t-nj J^ V y
r(a)r(« — a -i-i)
r(«-H-i)
Développons
^/'(V)"""' ■''"-"'-"■''■''•
gv — , \a-\
on aura en même temps
1 — e-y \<^-i
y
= I — C,7 -^ Co J2 _ c.,yi + . . . ^
292 CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.
et, à l'aide de ces séries, on obtient
(
r r a a (a -m) «(«-hi )(«-+- 2) "1
— - 1+ -Cl H C.H r C3-T-... ,
«" L ''^ '* '^ J
r(n) I r a a (a -m) «(«-+- i )(«-!- 2) "]
' 1 (n -f- a) /i" L /i n- «^ J
C), C2, ... sont évidemment des polynômes en a.
Lorsque â-. est un entier négatif « = — m, il est clair que la
série (5) est finie et ainsi la formule est valable quel que soit n.
Et, du reste, la relation
/ P P \
{n — i)(n — i)...{n- m ) = /i'« ( 1 h ^ -^ !_)_...)
\^ Il n- /
permet de calculer la série indéfinie des polynômes P de m ou
de a. Lorsque a est un entier positif a = + /n, la formule (5) se
réduit à
I I / P, P,
n{n -\- i). . .{n -^ m — i) n'" \ n n-
et la série est convergente tant que mod/? >> /?« — i .
Mais pour toute autre valeur de a la série (5) est divergente
(juel cjue soit le module de n. Cela est évident ici, car la série
1 -K c,7 4- C272 -f- C373 + . . .
n'est convergente que pour moày <Ci-rz\ or, on a multiplié les
coefficients c par ces facteurs
a, rt(rt + i), a(« -i- i)(a H- 2), ....
Les anciens analystes, après avoir établi la formide (5) pour
/î = — m
I Pi P-
(n — 1 ) ( n — 2 ) . . . ( /i — /« ) = n'" i -l- 1 \ -l-
\ n n-
ont cpielquefois pris le second membre, dans le cas que m n'est
plus entier, comme définition d'une généralisation de la factorielle
( /i — \)( n — ■!). . An — m).
sans faire attention à la divergence de la série, ce qui explique
les résultats erronés auxquels ils ont été conduits quelquefois.
M. Weierstrass a fait voir d'une autre manière cjue la série (5)
LETTRE 133. 293
est toujours divergente i^Abhandliuigen aus der Fiinctioneii-
lehre, p. i\\-i\^).
Il fait voir d'abord que si la série était convergente elle devrait
^ c- ■ r(n) ,
représenter nécessairement la fonction =- pour toutes tes
^ X{n -^ a) ^
valeurs de n dont le module surpasse une certaine limite. Mais
cela est évidemment impossible, car en posant
n = Re'? (ceci n'est pas le raisonnement de M. Weierstrass),
et faisant croître '.2 de o à 2—, le premier membre revient à sa
valeur primitive, tandis que le second membre est multiplié
par e"''*-^. Du reste aussi, en posant /z = — m, m. entier positif
suffisamment grand, on rencontre des contradictions.
Mais quoique ces formules (4) et (5) soient divergentes, ce
sont cependant les séries asjmptotiques des premiers membres, et
elles peuvent servir aussi au calcul numérique lorsque n est grand
et positif.
J'ai vainement cherché (il y a quelques années) à établir une
théorie satisfaisante de ces séries divergentes. Voici encore une
remarque à leur égard. Je remplace n par — n dans le premier
membre de fS)
r ( — « ) r ( — /? ) r ( rt H- 1 ) r ( « — a -1- r )
— X
Y(—n-^a) r( — /i -1- a ) r( n — a -r- I) r(n-+-i)
sinTrfn — a) X(n — a-hi)
simr/i r(rt -h i)
donc, d'après (4)
(5') ^'-'"
Yi^—n -H a)
I r a a(a-!-i) 1 siii7T(/t — a
= I -^ Cx^ Co -i- . . . X ^ ■
On peut donc changer dans la formule (5) n en — n k con-
dition de remplacer ( — n)^ par n"^ x —. -, — ^^ • On trouve un
^ ^ ^ ' snnr(ft — a )
résultat analogue lorsqu'on change n en — n dans la formule (4)-
Existe-t-il une formule plus générale qui embrasse les for-
mules (5) et (5') en même temps? Question qui paraît extrê-
mement difficile. J'incline à croire que, pour pénétrer un peu dans
ces mystères, il faudra revenir d'abord à l'étude de la série de
2g4 CORRESPONDANCE D HERMITE ET DE STIKLÏJES.
Slirling.
(6) log V(a) — (a j loga — a — logv/2- -+- <P{ a),
* ( « 1 5->— -, -^ . ■ • ■
!.■>..« 0.4. «•*
M. Lipschilz a considéré le cas a imaginaire, mais partie réelle
de « >■ o ; dans ma thèse j'ai trouvé qu'aussi lorscjue a est pure-
ment imaginaire la formule reste applicable, mais j'ai observé
depuis longtemps que même lorsque la partie réelle de a est
négative la formule peut donner une grande approximation.
Supposons une coupure de o à — x, la fonction Log r(a) est
uniforme alors et j'espère qu'un jour on fera une théorie de la
série de Stirling cjui montre qu'on peut l'emplojer dans tout le
plan, seulement lorscjue a s'approche de la coupure, le terme
complémentaire doit changer brusquement. La grande difficulté
ici, c est de trouver une expression de
*(«)--= / log
a dt
ou de
c|ui donne la continuation de celte fonction à gauche de l'axe
des y. Vous avez remarqué depuis longtemps dans le Journal de
Crelle (-) la ligne de discontinuité de ces intégrales, qui est
cause que, quoique ces intégrales aient un sens pour partie réelle
a <; o, on n'obtient pas ainsi la continuation (qu'on sait possible)
de la fonction.
Je ne suis pas sans espoir d'obtenir cette continuation à gauche
de l'axe desjK, mais même après ce premier succès il restera à voir
si l'expression obtenue se prête à la discussion de la série de
Stirling. Mais voilà la fin des vacances, mes cours vont re
commencer mardi et demain j'ai encore les bacheliers es lettres.
(') Noie des éditeurs. - T. 9-J, p. iji; i88î.
LETTRE 153. ' 29.5
Veuillez toujours me ci'oire, mon cher Monsieur, voire aflec-
lueusement dévoué.
P. S. — On pourrait faire usage de la formule (4) pour dis-
cuter la variation de v; — -1 .r variant entre — «et — /iH- 1, /z entier
positif. Soit X ^^ — Il + a
I ( — i)" sin-Tia ,^ , '
l (^ n -i- i — a ),
r ( — «-!-«) 71
I ( — u" r(/i -i- 1) .
-— = ^ sin TC« X rt^'* I H c
r( — n ^ a ) 71 \ n
En première approximation, on aura à discuter
a variant de oà i. Annulant la dérivée, il vient
TTCOtTia = Logn ou — ^ hosn.
^ a
C'est précisément le résultat auquel vous êtes arrivé dans votre
lettre à M. Schwarz. {Crelle, t. 90, p. 387.) Mais votre méthode
me semble plus élégante et rigoureuse.
Il me semble curieux qu'on peut passer de la définition
(a) r(a) = / it^-i e-» f/«,
supposant partie réelle « >> o, à une autre définition valable dans
tout le plan ainsi qu'il suit. Soit n un nombre positif qui croit
indéfiniment, on a
Y {a) = liin / ««-> e-" du,
ou bien développant en série
(B) r(a) = lime"«| ^~ -\ —
L rt rt -)- [ I .-i.^a-
-+-a) i.2.3.(a-i-3)
mais (^) donne maintenant la définition de r(rt) dans tout le
plan. En effet, en adoptant ( j3) comme définition, il vient à l'aide de
n a 2
= I
« -^ I f/ -1- I
-\ ...
a -¥- \ a -t- 2 i.'2.(a-f-3) J
296 CORRESPONDANCE n'ilERMITK ET DE STIELTJES.
c'est-à-dire
a Via) = V(a ^i).
Celte transformation montre que la dérniition ([i) donne une
valeur finie pour r(r/), si c'est le cas pour F (a -\- i), mais tant
que partie réelle a >> o, il est clair que (a) el (j3) sont équiva-
lentes. . .. Mais je crois que cette remarque peut être à peine con-
sidérée comme nouvelle.
Votre méthode directe |)our déterminer le rang du terme
maximum
(a ^ iib I*'
-, — >
f>a-{-ub
est certainement préférable. Il est probable que l'on a imaginé la
méthode moins directe d'égaler deux termes consécutifs, pour
traiter certains cas où la méthode directe s'appliquerait difficile-
ment. Mais ce n'est pas une raison ]>our faire usage de cette ma-
nière détournée dans les cas où la méthode directe s'applique sans
difficulté. Surtout dans le cas actuel où le résultat est si simple.
154. — HERMITE A STIELTJES.
24 novembre iS8<S.
Mon cher Ami,
Votre dernière lettre si substantielle, si instructive m'a rendu
grand service.
Je donnerai dans mes leçons votre calcul qui est extrêmement
simple pour établir la relation
Via -^ n) ^\n ^(a — i)Q\" V(n),
que j'aurais bien dû voir même comprendre, comme cas particu-
lier, celle que j'avais envisagée. Et aussi votre procédé élégant
pour établir l'égalité Y{a -^ \) ::= aV (n) au moyen de l'expression
limite ])our X infini de T [a) par la quantité
),a , .
L rt ^- I I . 2 . ( rt -
2)
Maintenant, voici une circonstance dont je dois vous faire part
et que vous ne pouviez jioint s()U|)çonnei'. M. Bourguel a eu.
LETTRE I5i. 297
comme vous, l'idée de rechercher l'extension à toiil le phm de
l'intégrale
a dt
I r^ i
t>
et m'a donné communication d'un travail étendu dans lequel il
expose sa méthode et ses résultats Son travail me semble
d'une grande importance, et je suis autorisé par lui à vous en donner
communication, si vous le désirez. En même temps, j'ai mission
de vous informel- cju'il désire se le i-éserver, et qu'il vous prierait
dans ce cas de garder la communication pour vous seul. C'est
pendant les vacances et en cherchant la solution d'une question
cjue je lui avais indiquée c[u'il a fait la découverte. Ma question
était d'obtenir l'expression qu'on connaît d'avance, delà différence
et vous verrez avec grand intérêt dans son travail, de quelle ma-
nière il la traite et comment ensuite il arrive à l'extension de
l'intégrale, de l'autre côté de l'axe des ordonnées. En attendant
cjue vous me fassiez connaître, si je dois vous l'envoyer, je viens,
mon cher ami, vous demander pour moi, aide et protection en
vous priant de me tirer d'une angoisse analytique extrême. Votre
belle formule
■zm: ina-K
'Z
cos arc tang
Rix — i) 1 v» ^^ " ^ b / i
r{x) b ' " ^à I h
conduit bien naturellement à supposer b inGni, en posant . = c/ç,
ce qui donne
R(a" — 1) y^"*""" cosf arc tang'iTr^ — 'iT.a\\ ^
ou encore
r(.7-) I £
R(a" — I) I Z^"*"* cos( arc tang^ — a\)
X(x)
cos(arctangç — a\) ^
jgS CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.
Or, 11 me soinl)lp que pour b infini, on a
tandis qu'on reconnaît, si l'on écrit
/^" cos(arc tangî — «ï) /^* cosa^f/; /^" ^sinr/^rf;
que c'est absolument impossible.
Effectivement, pour x -^ i égal à un nombre pair 2/1 et pour
/z = 1 , 2, 3, . . .. on se trouve en complet désaccord avec la for-
mule de M. Catalan, Journal de Liouville, t. V, p. 11 4,
2 /*°° co%ald^ e-^ .„, ^ ,, , _ ,
(j'y change a« en n + i). J'avais accueilli l'espoir d'aborder autre-
ment que M, Bourguet, dont l'analjse est d'ailleurs si remarquable,
l'élude des coefficients du développement de — — - suivant les
|)uissances croissantes de la variable, j'espère encore avoir fait
(pielque grosse méprise que vous reconnaîtrez, de sorte que votre
formule ne laissera pas échapper la conséquence que j'avais espéré
en tirer.
En vous renouvelant, mon cher ami, l'assurance de ma bien
sincère affection.
155. - STIELTJES A HER.MITE.
Toulouse, 26 novembre 1888.
CuEU Mon s i EU n.
Quoique très occupé, je veux répondre immédiatement à votre
lettre, mais je dois d'avance implorer votre indulgence si sur cer-
liiins points je ne peux pas mettre les points sur les i.
En premier lieu, vous me ferez le plus grand plaisir en me
communiquant le travail de M. Bourguet et je ne manquerai pas
après 1 avoir vu d'adresser mes remercîments à l'auteur. Je suis
LETTRIÎ 155. 299
curieux de savoir si les formules nouvelles se prêtent à la discus-
sion de la série de Stirling; c'est, comme vous le savez, le but que
j'avais en vue.
Vous dites que M. Bourguet n'est pas géomètre de profession,
mais je crois qu'aucun géomètre de profession ne serait fâché
d'avoir fait ce qu'il a fait, par exemple la belle démonstration d'une
formule de M. Weierstrass qu'il doit avoir donné dans son examen
de doctorat et que vous avez fait connaître dans votre lettre à
M. Mittag-Leffler {C relie, t. 91, p. 61).
Maintenant, Monsieur, j'ai encore à vous faire mes excuses : je
crois bien qu'après avoir posé
R(x)
bR(x — i)
j'ai écrit
in-
cos I arc tane — r-
r(:c)
au lieu de
(-^y
in:
, ^ , - cos ( .r arc tanç — =—
b R(a7 — I ) V \ ° b
1 / 4 n2 7:2X2
o < <x S ô,
Partie réelle .27 > i .
C est cette erreur qui vous a causé tant d'ennuis; en reprenant
avec la formule exacte vos calculs il vient
/^°° cos(^a7 arctangç — « ; ) ^ r,x-i^-a
r(.r)
K{x — i) étant égal à a-*^' e''^ pour b = -^ ce.
La formule (I) qu'on obtient ainsi me semble très remarquable
et j'ai éprouvé un vif plaisir, en la trouvant ainsi d'après vos in-
dications ; moi-même je n'avais pas songé à cela. D'après la dé-
duction il semble qu'on doit supposer
Partie réelle a^ > i , « > o.
Cependant il me semble que l'intégrale a un sens, en supposant
3oO CORRESPONDANCE d'hERMITE KT DE STIELTJES.
seulemenl
Partie réelle ^ > o,
el que (1) doit subsistei' sous celte condition. Cela me seml)le bien
certain si par exemple x est supposé réel. Mais voilà déjà un point
que je ne peux pas préciser en ce moment, faute de loisir.
Mais j'ai observé que la formule (I) a un rapport très étroit avec
un autre résultat dû à Cauchy. Dans le Bulletin àe Darboux,
p. 35, 36, i88i, il y a un résumé d'un article de M. Schlomilch
(t. XXIV, de son Zeitschiift, p. io3-io6; 18-9). J'en ai pris
note. D'abord on emprunte à Cauchj ce résultat
, „ 1 o a négatif,
J_« {b-+-izf I -_-^aA-i^-a6 a positif,
en prenant a =^ b = i . M. Schlomilch déduit du résultat
'"" mr^-f
dz
le développement
Or, si Ton prend 6 = 1 et qu'on suppose k réel, la formule (II)
de Cauchy doit donner évidemment la formule (I) et encore cette
généralisation obtenue par l'introduction de b n'est pas bien
essentielle. . . il suffirait de remplacer ; par y et a par ab pour
déduire de (I)
-d'c = - — ,
et c'est là précisément ce qu'on déduit aussi de la formule de
Cauchy.
Vous voyez donc que M. Schhhnilch a fait déjà, à peu près,
l'application au développement de - — - que vous a\iez en vue.
LETTRE 155. 3oi
mais il est instructif de retrouver la formule de Caucliy de cette
façon.
Voici maintenant une démonstration de cette formule de Cauclij
qui se présente à moi en ce moment même. Partant de
r(^)
-^. f
■iTZl ./
remph
acons z par a z
:pc
r(.r)
ou bien remplaçant z par i
7.7:1 .1
-■^e- dz.
Z-x gaz clz^
«■^-1 _ I r e^'- dz
le contour d'intégration étant
Soit z =^ 1/ — ùi, h étant réel positif
27rJ (
e«''" du
T(x) 1TZ J {b -\- iu)X
le contour d'intégration étant maintenant un lacet entourant les
points bi et + oc,.
Mais si partie réelle x > i l'intégrale est nulle et l'étendant par
3o2 CORRESl'ONDANCi; d'hERMITE El DE STIELTJES.
des valeurs infinies de u telles que le coefficient de i n'est pas
négatif. Dès lors, on j)eut transformer le contour d'intégration de
manière à obtenir le résultat de Cauchj
i^..f
e«"' du
Mais cette transformation me semble bien exiger
Partie réelle ,r > i ,
tandis que la formule (I) semble vraie, en supposant
Partie réelle a" > o.
seulement je n'ai pas approfondi ce point.
J'avoue que je voudrais bien voir la démonstration que Caucliy
lui-même a donnée, il me semble probable qu'il a été bien près
d'obtenir la formule
r(.T)
"^e- dz
s'il ne l'a pas obtenue efTectÏNement.
Mais d'abord, je ne sais pas Fendroit où il doit a^oir obtenu cette
belle formule, et ensuite je nai pas à ma disposition ici toutes ses
œuvres. Les anciennes éditions sont épuisées et j'attends avec
impatience la nouvelle pul)lication de ses œuvres complètes.
J'ai aussi quelques doutes sur l'expression de /„ par M. Scblo-
milch; l'intégrale a-t-elle un sens?
Il j a ici encore quelques |)oints obscurs pour moi et peut-être
ne sera-t-il pas inutile de reprendre \otre idée et d'étudier l'appli-
cation de la formule (1) au développement de r— — -■
^ ' ' ^ 1 {x)
En vous renouvelant, Monsieur, l'expression de mes sentiments
respectueux, je suis toujours votre très dévoué.
P. S. — Je n'ai j)as le loisir en ce moment pour recbercber si
aussi M. Lipscbitz dans son Mémoire n'a pas obtenu cette for-
mule (Ij?
LKTTUi: 156. ■ 3o3
156. — HERMITE 4 STIELTJES.
Paris, I" décembre i888.
Mon cher A
W CHER AMI,
M. Bourguet m'a chai'gé de vous communiquer le Mémoire
qu'il m'a confié sur la théorie de l'intégrale eulérienne; vous le
recevrez par envoi recommandé et j'ai l'espérance que vous le
trouverez digne de votre intérêt.
Vous aviez etl'ectivement écrit dans votre lettre du i6 novembre
que j'ai sous les yeux
/ in T. imza\
, ^ cos arc tang— ^ — -, —
-1
T(cr)
au lieu de
2 711Z in7za
bl\(x — \) v' V " '> ^'
cos X arc tan<:
Y(x)
4/l-i'rT2\ 2
b-'
toutes les difficultés disparaissent maintenant, mais la conséquence
que je tire de la formule exacte en supposant b intini
7r«-*-"'e-" /^°° cns( .r arc tanç^ — a^) ,^
= / — ^«ç,
ne fait que reproduire la formule de Cauchj que vous m'avez
indiquée, en y faisant b = i ^ k =^ r
f
e'"^ dz 'iTza'^-^ e-*^
On a, en effet,
log(i -riz)— - Log( i-^ Z-) -h I. ai-ctangs,
ce qui permet d'écrire
{\-T-lZ)X ±
3o4 CORRESPONDANCK u'hERMITE KT DE STIELTJES.
et, par conséquent,
e'"~ dz
1
(1 -T- IZ)
r. >-c
'cos(«^ — xavciax\",z) , . /^ °°sin(rt3 — .rarctanfr-) ,
^7- az-h i I ^^ : — '- dz^
(1 + ^2)2 J_^ ^y-^z-'-f
et vous voyez que, dans le second membre, la seconde intégrale est
nulle.
La première forme est même préférable, par exemple, pou en
conclure immédiatement, au moyen d'une intégration par parties,
l'équation
\{x ^ \) = xY{x).
M. Lercli m'a fait part d'une méthode simple et élégante, pour
exprimer Q(rt) au moyen de la série généralisée de Riemann
que je vais vous indiquer, pensant qu'elle vous plaira comme à
moi. M. Lerch prend comme point de départ cette relation
r(a)Q(I — rt)=/ g-wU-Hl)^a-l
•^ 0
dx
X -f- I
et la transforme ainsi
Y{a)
Q ( 1 — a ) = / • — -, — -. x«-i dx,
où u désigne une constante arbitraire. Puis il écrit
— > p—nu(x+\)
e
_ Il
(«;
x-^i J^ A^ \.)...\n — \)
(n = I, -i, 3, ...),
en posant
*(/i) = / t"-W dt.
LETIRK 157. ' 3o5
On a ainsi
ra)Qii — rt| = > ^ / r dx;
\ l^\ ^ \.-i....(n—l) J^ e«':r-Hli_,
or, on trouve facilement qvie
/•»» g-U)U-i-l}^a-l cix
la relation précédente devient clone
2^( n)
^ — r ( a -1- n — I ) cîil ( — a -}- /i -1- I )
I . i ...(/* — 1 j ' '
= r ( a ) \ ( a -f- « — 2 )n-\ * ( « ) >:'l (— « — « -h i ).
Et, en changeant « en i — a, on en conclut
Q(a j = \ (— i)"-i(rt — i)„_i ^(«jc'R ('a — n) (/i = i,'2, 3, ...).
Ce résultat difïei'C un peu de celui que j'ai obtenu, en ])artant
de la décomposition que j'ai employée
foo ^ O) + ( n + 1 ) //
xa-X Q-x ^/^ _ X / _y.a-l g-x clx^
(O -+- nn
en transformant les intégrales par la substitution j:- ;x= w + /jw + f,
mais on le trouvera si l'on pose x =: lo + (/i -|- ij^f — ^, comme
vous le verrez immédiatement.
Mes sentiments affectueux et bien dévoués.
157. - STIELTJES A HERMITE.
Toulouse, 3 décembre i888.
Cher Monsieuiî,
Enlisant le travail si intéressant de M. Bourguet, il m'a semblé
que le point principal de son analyse revient à ceci
■i. C ' dx , / I \
u.ia)— - / -^'ofï — — ,
' ^ ' 71, 7^ I -r- r2 '^ \ I _ e-27I«.r/
dx.
3o6 CORRESPONDANCE D"iIERMFTK ET UE STIELTJES.
Or, par la considération de l'intégrale / — c/:; je trouve qu'on a
Jr" Mg-^" , /*°° COSU ,
f du = I -, du
{ u réel toujours) :
/ du = I -, du
^f^ I -h u- J^^ k -:- U
on doit supposer ici partie réelle k\^ o, mais les seconds membres
donnent la continuation dans tout le plan, excepté la coupure de o
à — co. On a donc
2 /** siuTdx
. En écrivant pour un moment
X ^ inr.a
sinar dx
X -\- in-a
I I I
b{b + X) ibcib -h x) 'ib(3b -h x)
X L\6 b -h X / \ 26 -ib-hx/ J
^637(1 X I \ 1 X ]
LV ' + 7,' V ^-s' J
en désignant par 'ii{a:) la dérivée de LogT(;r) et par
C = -4- 0,5-7. . .
la constante eulérienne.
D'après cela
(a) u{a)=- 'Mu )-\-L\dx.
' TT .7 X l \ ■J.izaJ J
Il sendjle que par une inadvertance il s'est glissé cfuelque erreur
dans la formule en haut de la page 1 3 du manuscrit de M. Bourguet.
En effet, on devrait avoir
logr(a)=log^^\""^^ +s,
° a sinTia
LETTRE 157. 307
e étant inférieur à o,oi et 0'<a<Ci. Mais cela est inexact, en
ajoutant log«, on aurait
logr(i + «) = iog^^^"=^ +s.
Cela n'est pas vrai, comme on le voit en posant r/ = o ou « = -
Mais ce ne sont là que quelques remarques qui se sont pré-
sentées d'elles-mêmes en parcourant le manuscrit et qui certaine-
ment n'auraient pas échappé à l'auteur s'il revient sur son sujet.
En vous écrivant la dernière fois, je n'avais pas eu le loisir
d'examiner à tête reposée quelques difficultés que j'ai signalées
moi-même dans ma lettre. Mais comme je vous avais par ma faute
causé l'embarras d'une formule manifestement fausse, je croyais
de mon devoir de vous en indiquer la cause le plus tôt possible.
J'espère dans quelques jours pouvoir vous écrire sur les points
obscurs de ma dernière lettre.
Je vous renvoie ci-joint le manuscrit de M. Bourguet et, dans la
supposition que vous lui donnerez communication de cette lettre,
je lui exprime aussi tous mes remerciements.
En posant
r'" s'inu ,
o{x) = I au,
J,. Il
une intégration par parties donnerait en partant de (a)
ou
(i/ ( I -f- .r ) =
(l-t-.r)2 (2+37)2 (3-1.^)2
mais la formule ([j) suppose que
s'annule pour x ^ o et pour x = H-co. Pour .r = o cela a lieu
quel que soit a, mais je ne sais pas en ce moment si pour ^ := co
3o8 correspo.\da.n<:e d'iiermite et de stieltjes.
cela est encore vrai, quel que soit a; naturellement 'j(co) = o,
mais 'ji ( I + ;-^— ] devient infini.
La manière dont '^{x) s'approche de zéro pour ^ = co résulte de
la formide
Cite--'" , C^ e-^^ du
où
f du < / «e-* " du — — - ?
/ du < / e--^" du = - .
is(a;) = • • • terme principal.
Lorsque a réel > o, '|( i H- 7^7-) devient infini comme log\r;
ainsi, dans ce cas, il n'y a pas de doute. Mais vous voyez qu'il
reste encore là bien des recherches à faire.
Veuillez bien agréer, cher Monsieur, l'expression de mes senti-
ments respectueux et très dévoués.
P. S. — Laformule (jB) étant exacte pour a réel et positif, il
resterait à voir seulement si l'intégrale conserve un sens pour
d'autres valeurs de a. Ce sera là peut-être plus facile qu'à étudier
'i» ( I -t- ~ — ) pour X ^ ce.
Pour a = -i- 00, a u ici) = — , ^ / 9 \x) dx = ,. / 9 (x) c/^ = -,
' t ^ ^ T.- b Jq ' ' b J^ ' ^ • 6
ce qui est exact.
158. — SriELTJES A H ERMITE.
Toulouse, le 3 décembre 1888 (lundi soir).
Cher Monsieur,
C'est seulement en ce moment que me parvient votre lettre qui
a dépassé Toulouse et revient ici par Cette et Carcassonne.
Il me semble bien curieux (|ue votre méthode si naturelle pour
obtenir lexpression de Q{ct) à l'aide de ài{a) conduit au même
LETTRE 158. Sog
résultat que l'artifice de M. Lercii qui consiste à introduire le fac-
teur — ; — -; dans l'expression transformée de Q.
Voici maintenant un résultat sur la série de Stirling dont j'avais
déjà un pressentiment ce matin, La formule
(a) ijL(a) = — ; — / o(ar)J;'(n —]dx,
o(a" ) = / du,
J "
I ' r
x'^ ( ^ -t- I)- (a- -H 2 )■-
étant vraie lorsque a est réel et positif, je remarque que l'intégrale
a un sens, quelle que son la valeur de a (on doit exclure seule-
ment la coupure de o à — go). En effet, x étant très grand, on a à
peu près cp(jc) = et, comme on a -];'( w + i) = -V (w) ^5 il
suffira de montrer que
Ç "^ cn^.r / X \ ^^
a un sens pour oj ^ + go.
Or, .
posant
Or, X variant de o à +go, l'argument décrit une di'oite et en
— — = Re'?,
•iT.a
R croît de o à H- c/d, '^ restant constant. D'ailleurs '^ est compris
entre les limites dz -n:. Or, il n'est pas difficile à montrer qu'on a
alors
mod 4;'(Re'«P) < —,
OÏL étant une constante (qui dépend de '^ seulement de telle façon
que 011 croît au delà de toute limite lorsque o s'approche de ±:tc,
mais ici cp est constant).
Par là, on voit que
r'^ co=,x ,,( oc \ ^ ^ ^ r'^ dx
I <li dx < const. / — -,
/ X \iTzaJ J X-
3lO COKRESPO.NDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.
donc l'intégrale a un sens. Il ne semble pas douteux, d'après cela,
que la formule (a) représente [^.(a) dans tout le plan.
Voici maintenant comment on peut en déduire la série de
Stirling. Je remarque d'abord que
du
donne
, / I 1.2 1.2.3.4 \ ■ / I 1.2.3
(p(x) = CO?a7 H- : ... -H smx ( -—
' \x x^ x" I \X^ X*
Je pose maintenant
?2(^) = / 0\{x)dx,
^%{x)= j '■s,^_(x)dx,
J'obtiens ainsi une série de fonctions finies qui s'annulent pour
.r = co, et l'on trouve facilement
Oj(ip)= cos.r — X (f (x),
2 Oi{x) = — sina? — X (fi(x),
303(X) = COS5" X(Dî(x).
^(Oi,(x)= siniF — x<f3(x),
5^5{x)= COS57 XO!,(x ,
<Di(x) = — sina^ I
o.(x)= (
' I . 2 \
I 1.2.3 \ / I . 2
— z- -+-...-+- cosa7 — -
X x^ / \ x^
1.2 1.2.3.4 \ sina? / 1.2.3
sin X
I .2.
3
X^
I .2.3
• 4
x^
I .2. .
.5
.r-*
1.2..
.6
X X'' / 1.1 \ X
1.2.3 1.2. ..5 \ cos.r /1.2 3.4
X-
1.2.3
.4
X'
1 .2. .
.5
x<*
1.2..
.6
^4
I . 2 . .
•7
cosa? / 1.2. 3. 4 1.2... 6 \ sinar /i.2.
' I . 2 . 3 . 4 \ X x^ / 1.2.3.4
la loi étant évidente. En effet, les dérivées de 'fi(^) et de
cosa; — X'^{x) sont identiques et ces fonctions s'annulent pour
a: = 00. On raisonne de la même manière pourcp2(a:), '^3 (.2;), ....
LETTItE 158. 3ll
On voit maintenant aussi (jue
(û(o) = z. , ?i(o) =-+- I5
çj>2(0) = O,
?3(o) = — 3'
04(0) = O,
05(0) =+i.
Cela étant, une intégration par parties donnant
et ayant de plus
on trouve que tous les termes intégrés s'annulent pour a* = 4- 00,
ainsi
(2/1 — i)(27ra)-"-2
(2T:«)-'Vo \ 2 71 a/
En exprimant enfin '^'(i), '}'"(!), ... à l'aide des nombres de
BernouUi et substituant dans l'expression de logr(«), j'obtiens
toute réduction faite
log r(a) = ( a j loga — a -t- - log('i7r;
■ITT)
2 / ^ 2 ^ ' ^
B, B., B3 , B,
1.2. a 3.4 a^ 5.6.a5 (2n — i)2na2/i-i
3l2 CORRESPONDANCE d'hEIOIITE ET DE STIELTJES.
OU 1)1011
Quant à la fonction 'f^ni^): on a pour .r très grand
('in -^ i]{ ■T.n -+■ 'jl)
X T-^
(•i.n -^ \)(->.n -\- i](ii
n -i- i ) ( i /i -4- 4 ) ~|
r •;> rt H- I ( '2 /i -4- 1 ) ( 2 /« ^ •;>. ) ( '4 /t -4- 3 ) ~|
-h sin .r — ; h . . . .
L X' x'* J
Voilà donc, grâce au travail de M. Bourguet, une déduction de
la formule de Stirling telle que je l'avais rêvée. Il ne reste qu'à
discuter l'expression de R„.
Votre sincèrement dévoué.
P . S. — Soit b réel positif, il sera intéressant de calculer la
différence
ix( — b -i- zi) — [JL ( — b — t i),
pour £ positif très petit. On connaît cette différence d'avance.
C'est une fonction discontinue de b cjui change brusquement pour
b= I, 2, 3, 4, ....
159. — STIELTJES A HERMITE.
Toulouse, II décembre iS88.
Cher Monsieur,
J^a manière dont INI. Kronecker envisage le théorème fonda-
mental de Cauchy
f f(z)dz = o,
Monatsberitchte, p. 688; i88o, p. 786; i885) me semble bien
intéi'essante. Pour lui, ce théorème est un corollaire d'un autre
théorème qu'on peut énoncer ainsi qu'il suit :
Soit/(.r, j') une fonction de deux variables réelles. Sup[)osons
<\ue fix^ y) soit continue et finie ainsi que ses dérivées du pre-
LETTRE 159. 3l3
mier et du second ordre dans un certain domaine D. Alors, si l'on
sait que les dérivées
ôx dy
sont uniformes dans le domaine D, on peut en conclure que /'(.r, y)
y
elle aussi est uni/orme dans le domaine D.
On dira qu'une fonctiony(^, y) est uniforme dans le domaine D
lorsqu'on a
/ df{x,y) = o,
l'intégrale étant prise sur une courbe fermée quelconque tracée
dans ce domaine.
En effet, considérons une courbe fermée C; d'après les hypo-
thèses, l'intégrale double
//^^"^->''
prise sur toute l'aire de C, a une valeur finie, qu'on peut calculer
soit en intégrant d'abord par rapport à x, soit en intégrant d'abord
par rapport à y.
Dans le premier cas, on obtient
//^-"-^X,!^-
dans le second
/ / ■ , dx dy ~ — / -^ dx,
J J ùxdy -^ ^(C)^-^
les intégrales simples étant prises sur le contour de C dans le sens
3l4 CORRESPONDANCE D IIERMITK ET DE STIELTJES.
direct. On en déduit
iM"-P^)-L"^^-
y) = o, C. Q. F. D.
Le théorème de Cauchy s'en déduit immédiatement. En effet,
soit
f f{z) dz= f {P dx — qdj)^ i r (Qdx-hP dy).
Mais V dx — Q t(v' est une différentielle exacte et l'on peut
écrire
Ç (Pda^-qdy)= fdfix.y).
Mais maintenant le théorème précédent s'applique, car
dx ' ôy
= -Q
sont, d'après les hypothèses, des fonctions unifonues et finies ainsi
que leurs dérivées; doncy(j;, j^) l'est aussi et
de même, on aura
f {Pdx-Q_dy)= f df{x,y)^o:
/ {Q^dx -+- P dy) := I do{x,y)=o.
Voici une déduction de la décomposition en fractions simples de
que j'ai expliquée pour mes élèves, comme application des
théorèmes généraux de la théorie des fonctions.
Je considère la série
-H 00
(log,3 -l- •irmiy'
/(^)=i;
qui est évidemment convergente. On constate d'abord que/(::) est
uni/orme. Ensuite, il est facile à voir que si ;; tend vers zéro, il
en est de même dey'(-)- ^t à cause de/(^) ^/(^ \ on voit aussi
LRTTRE 159. 3l5
que 5 := co est un zéro de la fonction. D'après cela, il est clair
que /{^) ne peut devenir infinie que lorsqu'un des termes de la
série devient infini, ce qui suppose :; = i . Et l'on a
[Iog( I -f- h )]- jimà [log(i -h A) -I- •i.n-KiY-
/( I + /O = TTo + T - • • • '
7*2 h
quantité finie pour // r^ o.
Donc la fonction /"( j) admet comme pôle double le point :; = i
et n'en admet pas d'autres. Mais pour une fonction de cette na-
ture le nombre des pôles doit égaler le nombre des zéros et ainsi
les zéros :; = o et ^ = co sont des zéros simples. De tout ce qui
précède on conclut
mais on a encore oÂ. ^= i , à cause de/'(i H- A) ^=: y-; -4-. . ..
Ainsi, on a finalement
— 1)2 jLd
(5 — 1)2 ^ (log J -i-2«TIf)2
OU bien
+ 00
d'où par intégration
~^ = Sf — ' — ■ '—
I
e- — I
ou bien isolant le terme répondant à n = o
1 I
2
e« — I a z .M^ \ z -\- -1 II Tz i a -T- 2 mzi
et pour a = o
I I I
■2 z âê^ \ z -+ ■inni inizi
I I
{ Il =±l. ±2, . . .),
2 z ^.À Z-+ \ n^-iz-
3l6 CORRESPONUANCE d'hERMITE ET UE STIKLTJES.
Je remarque qu'on pourrait obtenir de la même façon la dé-
composition en fractions simples des fonctions elliptiques. Soit,
par exemple, la formule (votre Cours, p. 229, y édition)
En posant
J^ i^z{i — z)(i — k-^z)
on a
z = sn2[F(^)],
et ainsi la formule (i) peut s'écrire
I /
ou, en prenant la dérivée, il vient
{■JL) — /.-2 ^z(i-z)(i-/^'-z) = 2
[F(5)-/>,]^
Or, on pourrait établir cette formule directement en étudiant la
série qui figure au second membre.
En posant
on constate directement que 'j>{z) change de signe lorsque z décrit
un contour fermé enveloppant les points o, i , r^ • Mais a(-^)- est
une fonction uniforme. Il est facile encore à constater qu'elle
s'annule pour z = o, i, .-• Et ensuite on voit qu'elle n'admet
pas de pôle autre que le point ; = oo. Lorsque z s'approche de
2 =00, un terme et un seul de la série devient infini et il est donc
facile à voir comment se comporte 'j>{z) ou 0(5)^ dans le voisi-
nage de z = co. On établit de cette façon la formule (2) d'où l'on
déduira ensuite facilement (1).
Cette méthode suppose seulement qu'on ait étudié la nature de
l'intégrale F(^) ou si l'on veut la fonctiou inverse sn-;. On doit
avoir poussé celte étude assez loin pour connaître toutes les racines
de l'équation
sin-^ = su- a.
LKTTRE H)0. 817
En somme, celte méthode ne peut être considérée que comme
une vérification, mais elle me semble instructive néanmoins. Aussi
au fond je n ai appliqué qu'une idée de Riemann. Pour obtenir
l'inversion d'une intégrale elliptique, il étudie d'abord cette inté-
grale, ensuite il étudie les fonctions 0. En substituant alors l'in-
tégrale dans la fonction 0 comme argument, il obtient une fonction
qu'il reconnaît être une simple fonction algébrique. Vous savez
qu'il a appliqué ce procédé synthétique à des problèmes bien plus
généraux. Mais, en somme, la marche indiquée plus haut est par-
faitement analogue. La seule différence c'est que je considère une
série double au lieu d'une fonction 6.
Votre bien sincèrement dévoué.
160. — HERMITE A STIELTJES .
Paris, i3 décembi*e
Mon cher Ami,
Votre dernière lettre du 11 m'a ravi et enchanté; je partage
entièrement votre sentiment sur les fonctions de deux variables,
et sur la manière dont il convient de caractériser qu'elles sont
uniformes dans un domaine, par la condition / d f{x^ y ) ^:^ o.
Mais vous excluez les variables, comment donc procéder alors?
Votre analyse concernant la fonction /"(c)^ 7 —, ■. — -
est délicieuse, exquise, et je ne manquerai pas de la donner à la
Sorbonne. Elle me donne beaucoup à penser, et ce que je vais
vous en dire se sera certainement déjà présenté à votre esprit.
Les déterminations de linlégrale F(:;)=^ / — ^
qui proviennent de tous les contours possdjles d'intégration, sont
comprises dans les deux formules
— F -+- ( 4 »n- 2 ) K -f- 2 niK',
de sorte que la fonctu»n
?'>-') ^ ^ ( K -H 4 ,n K -1- 2 niK' )« "^ ^ [— F -^ ( 4 m -t- 2 ) K H- 2 /? tk' )3
3l8 CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.
est certainement uniforme. Mais, en procédant de même avec l'in-
11 j ^ r" /x^z- dz , ,
teerale de seconde espèce / - , on |)eut semlna-
^ J^ ^/n-z^i^-k^z^) '
blement parvenir à une fonction uniforme; cela étant, à quoi
tient-il que la première soit une quantité si simple, et que la se-
conde soit archi-transcendante. L'équation qui s'offre sous votre
, f" k^z dz 1 • n- • • (^ • ' 1
l)0int de vue / — = o doit oitrir une inimité de
J, ^(t-z^d-k^z^)
solutions, peut-être j aurait-il lieu de s'en occuper avec soin. Mais
vos idées me paraissent surtout intéressantes et importantes si on
les applique à 1 intégrale abélienne de première classe
où
R(z) = z{i — z)(i — kz)(\ — ÂZ)(i — ixz);
soient : (i), (A), (a), (u.) les diverses intégrales / "t
' '^ — } • • • la lonction uniiorme analogue a ci( ; ) sera
^iz)= V[ F -H 2m(i) -h ■im'ik) -^ ■2m"(l) -h ■2m"'{ix)]-p,
H- V[— F M- (2m -M)(i) -f- ■2/»'(A-) -+- 2m"(/ ) -t- •im"'( [i.)]-p,
et, si l'on pouvait étudier l'équation F = o, il semble qu'on se
trouverait sur la voie d'une nouvelle transcendante qui se rappro-
cherait autant que possible des fonctions elliptiques, comme ne
contenant qu'une seule variable.
Mais j'ai d'autres devoirs pressants qui me détournent en ce
moment du calcul; je compte m'y remettre après le jour de l'an,
lorsque j'aurai retrouvé ma liberté qui maintenant me fait absolu-
ment défaut. Et puis, les premiers froids m'ont enrhumé, grippé,
ce qui ne constitue pas des conditions favorables pour le travail.
En vous renouvelant, mon cher Ami, l'expression du vif plaisir
que j'éprouve à recevoir communication de vos idées si intéres-
santes pour moi, et que je saisis au premier coup d'œil sans aucun
effort, et avec l'assurance de mes sentiments de la plus sincère
affection.
LETTRK 161. 3 19
161. — HERMITE A STIELTJES.
Paris, 21 décembre 1888.
Mon
La formule de Gauss pour l'évaluation approchée des intégrales
définies m'a conduit à une question dont je me permets de vous
entretenir, dans l'espérance que peut-être elle vous suggérera
quelques remarques dont je serais heureux de profiter, cette fois
comme tant d'autres. Je considère deux fonctions que je suppose
pouvoir être représentées par ces développements
F (^ ) = Ao -I- A., 37 -4- A, a;^ -H . . . ,
f{x) = cIq -^ aix -\- a^x^ -^ . . . ,
et je demande de déterminer 'in constantes à savoir
R, S, ..., U,
;•, 5, . . . , u^
de manière qu'on ait, en négligeant .r-" et les puissances supé-
rieures,
¥(x) = Kfirx) -^Sf(s.v) ^ . . .^ li f(ux).
Vous voyez que c'est une généralisation de la relation de Gauss,
qu'on obtiendi'a si l'on suppose
f(x)^F'(x).
Le problème est déterminé, puisque l'identification donne 2n
équations
Ao = ao (R -+- S -H...-f-U),
Al = ai (R/- -4- Sx -(-...-}- U «),
(A; ' A2 =a., (H ri ^Ss'^ -r-. . .-^ U «-),
A2„_, = «,«-1 ( R/-2"-' + S 52«-i ^. . . . -^ u «2"-i ) ;
maintenant voici la solution.
J'envisage la fonction suivante :
, , A A, A,
' aox a\X^ a^x^
320 COllRESPONDAiNCE d'HERMITE ET OE STIELTJES.
et je forme la réduite d'ordre n de son développement en fraction
continue ^ On aura donc en développant suivant les puissances
descendantes de la variable, la relation
Cela élanl, je décompose en fractions simples la fonction ra-
tionnelle ,r> et l'obtiens immédiatement la solution cherchée. En
V "^
admettant, en effet, que \ =^ o n'ait que des racines simples et
posant
U R S U
;r7 = h ■ h. ..H ,
V X — /■ X — s X — a
la relation (B), donne les équations (A) en égalant, dans les deux
membres, les coefficients des termes en -? — -j • • •> — — •
X X' .r-"
Une conséquence de ce résultat est à remarquer, c'est lorsqu'il
arrive que o(:r) est une fonction rationnelle; en prenant alors,
pour la réduite içj , la fonction elle-même, on a exactement et sans
rien négliger
F(x) = R/irx) -+- Sf(sx)-i-. . .-+- U/(ux).
En d'autres termes, si la série ao+ a,.x' + y..,x--^. . . est le dé-
veloppement d'une fonction rationnelle, la fonction
Ao-t-AiJ7-t- A2^--+-...
s'exprime linéairement au moyen de la suivante :
Ao , Al A, , ^
M. *** dont je viens de recevoir une lettre très intéressante, me
met dans un grand embarras au sujet de l'expression de Q(<^) par
la série / [iù -\- may^ e'^^' '""^ (/;i = o, i, '.i, ...). J'ai encore re-
cours, mon cher Ami, à votre bonne obligeance, en vous priant en
grâce de lire le post-scriptiun de sa lettre que je vous envoie, et
de m'en dire votre avis. . . .
Excusez-moi si j'abuse de votre bonté et veuillez agréer la nou-
velle assurance de ma bien sincère affection.
LETTRE 162. 3îîl
162. — STIELTJES A H ERMITE.
Toulouse, le jS décembre 1888.
Cher Monsieur,
Je vous remercie vivement pour la communication de voire
généralisation du problème de la quadrature de Gauss. En posant
avec vous
0
/( X ) = 2. '■'''I ^"^ mot! ^ < R,
0
co( j^') = V — ^:r-"-i nio(l-<Ri,
' .L^ a,i X
(I
je remarque qu'en supposant
p < mod;; < R,
p étant un nombre quelconque inférieur à R, et
mocl.r < p Ri,
les développements
/( z) =^ af^-{- aiz -\- (toZ- -h . . ,,
An .V A, .r2
sont convergents tous les deux, en sorte qu'on obtient en inté-
grant sur un cercle d'un rayon compris entre 0 et R
— ^. I /(z)'f(^'^ j dz = Ao.v-\-\iX-^^...= xF{x).
On obtient ainsi une valeur finie de F(x) tant que mod./' ■< oR|
et comme p peut s'approcher indéfiniment de R, j'en conclus que
le rajon de convergence de la série F(x) est RR,, ce qui est bien
connu. En supposant, avec vous,
o(x)
Y ^2«-t-l ^•y.n-hi
U _ _R_ S
V X — /• X — s
322 CORRtSPONDANCE D'HERMITK ET DE STIELïJES.
on a
t¥{x)= : fiz){ 1 \-...)dz
■?,T.iJ \z — rx z — SX j
-^ ■ / A - ) ( —^ — r -I s — T- -!-••• W-
c'est-à-dire
Y{x) = R/irx) -(- S/(s,r )-+-...
-f- sasrt^'-"-!- î'«2/(-+-iar-"+i -h. . ..
Mais ce n'est là qu'une modification de votre analyse et je ne
sais pas si elle permettra de pousser plus loin cette étude.
Les polynômes U et V dépendent seulement des a/i premiers
coefficients du développement de ^(^), mais on peut changer
arbitrairement ces coefficients sans affecter le rayon de conver-
gence R,, et aussi, paraît-il, sans affecter d'une manière notable la
nature de cette fonction 'f(x). Il semble donc qu'on ne peut rien
dire en général sur ces racines de V = o.
Voici ce que je trouve en examinant la note de M. ***,
La série
(I) Q(,_a)=.2](^^^è^)*vW(i -«-vj
1
est convergente toujours en supposant
M > O, 10 > o,
et elle représente toujours Q(i — a).
Quant à
(II) Q(i - «j =2 ( - i)v-i (""^^"^j Pv S(i -a- V),
1
comme M. *** le remarque, elle est convergente seulement pour
et elle représente alors Q(i — a).
La convergence de la série (I) est très facile à établir. En effet,
il est clair que
*v< e" I r'-i dt,
*v < e" — »
LETTRE 162. 323
et lorsque x est négatif il est clair que
"^{x) < (w -H a)-p Ve-
Oi—/nu —
e^{e'' — i)
ainsi, le module d'un teiune éloigné est inférieur à
a -+- V — 2 \ a^ I
la série est donc convergente comme une progression géométrique
de raison à peu près. Pour se convaincre qu'elle représente
toujours Q(i — a) il suffit de remarquer que si (1) est vraie pour
un système de valeurs u, oj, elle l'est encore en remplaçant w par
M-'r II- En effet, par ce changement le premier membre diminue de
i e--^ x-'^ clx — I ey-^-" {(X) -^ Il — y)~'"dy,
il n'y a pas ici ombre de doute sur la légitimité du développement
\ I 0) -H M
00
ce qui donne, enfin.
/
pour la quantité dont diminue le premier membre de (I) en
changeant to en tu H- ii. Mais il est clair que c'est là précisément
aussi la quantité dont diminue le second membre. Donc la for-
mule (I) est toujours vraie, mais en somme je n'ai fait que suivre
la voie que vous m'avez indiquée. Si M. *** indique w 4- « >> i
comme condition de convergence, c'est qu'il doit n'avoir pas fait
attention à la variation des nombres <i>v<re"— • Du reste, il est
clair, d'après ce qui précède, que la série converge à peu près
comme une série géométrique de raison -, cela provient de la
a Y , ...
série i H — — h- • • ou k a pour limite supérieure u.
r fil -I- Il •■ 1 1
324 <;ORRESPONDANCE d'HERMITE ET DE STIELTJES.
Après avoir établi
—^Ip—Ui-U
il n'j a qu'à remplacer avec vous to par co + ?/, to + 2 m, . . . et de
faire la sommation. Si l'on suppose, comme M. ***, rt>o, tous les
termes sont positifs, la convergence est absolue et l'on peut
prendre les termes dans un ordre quelconque. On obtient ainsi
en toute rigueur ( [), mais le résultat subsiste quel que soit a. De
même, on voit que (II) est convergente pour u << to, la conver-
gence est comparable à celle de /, ( — ) • • • •
Quant aux expressions de R„, P«.',, il n'v a pas de difficulté à
obtenir de telles expressions, en écrivant, par exemple,
( 0) -H U — y )-"' = ( tu -i- M )-" ( I
' ^^^-...-R„)
avec un reste. Il est clair qu'on obtiendra ainsi une expression qui
montre la convergence de la série, R,; doit renfermer un fac-
teur ( ) L'expression de M. *** laisse à désirer sous ce ran-
\ a) -t- u / ' *
port. Peut-être a-t-il suivi sa métbode de déduction, et je remarque,
en effet, qu'elle présente des facilités pour obtenir K„, mais, en
faisant ce calcul d'une manière convenable, on doit arriver au
même résultat que tout à l'heure.
J ai rédigé provisoirement mes réflexions sur la fonction F et la
série de Stirling pour les reprendre plus lard plus facilement.
J'ose prendre la liberté de vous les envoyer a\"'ec la prière de
vouloir bien les donner à M. Bourguet lorsque vous le verrez. Si
vous avez le loisir d"j jeter un coup dœil, je crois que la déduc-
tion de la formule
I, I /"" X du
log
X e-27lK
\o^V{x) — Ix \\o\^x — X ^ — logar -i- - /
à l'aide du théorème de Gauchv
/(-)=-^ f^^^^clx,
•^ 'llT.Jz~X '
page i4« vous fera plaisir. On peut donc se dispenser de petits
LETTRE 103. 32.5
artifices dont on a besoin jusqu'à présent pour arrivera ce résultat.
11 reste à noter que, tandis que la véritable origine analytique de
l'intégrale
£
du
; los
p—iTZU
se trouve ainsi dévoilée, celle de l'intégrale
I gax i_l — L dx.
J T-
( votre cours), page 124, reste obscure.
Je suis un peu souffrant depuis quelques jours, c'est un mal
d'oreille. . .. Mais c'est la première fois que cela s'est déclaré chez
moi. Cela me donne un grand mal de tête et m'empêche de dormir.
La fin de l'année est si proche, que je vous offre déjà mes
meilleurs souhaits pour l'année prochaine.
Votre sincèrement dévoué.
P. S. — Je ne veux pas encore trop me plaindre de mon mal,
car c'est dans une insomnie que j'ai vu l'origine de l'intégrale de
Binet. Mais enfin, cela ne doit pas durer.
163. — STIELTJES A HERMllE.
Toulouse, 25 décembre, soir, 1888.
Cher Monsieur,
Je viens de faire une observation si curieuse que je ne peux
m'empècher de vous en faire part. C'est une application de mes
formules
condition
X,
- \fiz)\dz ^^^
condition
uB
■ du,
1
^ \/(z)\dz ^
320 CORRESPONDANCK d'hERMITE ET DK STIELTJES.
OÙ
/( ui) = A -+- B t, /( — ui) = A — B i.
D'après la seconde, jai
., , 2 /"" «B /(<7 -4- «n = A -4- Bt,
(i) fia +x)=— - I ., ^du
donc
(2) /■(« -1- I )+/(«-+- 2) -H. .. = — - / i —-^ h- -]
Bdu,
mais de (') je tire en multipliant par dx et intégrant, si dans le
second membre il est permis de changer l'ordre des intégrations,
(3) ff(a-hx)dx^— f Bdu,
et, si l'équation (i) qui suppose partie réelle :c >> o est encore
vraie pour a; = o,
et ainsi (2) peut s'écrire
y (a -+-!)+/(« + 2; H-... = / J(a^x)— - fia) ~i -;^
C'est là une formule d'Abel, OEuvres, t. I, p. 38 en bas. Mais la
méthode précédente jette une nouvelle lumière sur ce sujet, la
méthode d'Abel manque de rigueur tout à fait.
Il faudra voir aussi à rattacher aux théories de Cauchjla formule
sommatoire d'Euler et de Maclaurin. Ce sera possible probable-
ment. Lorsque M. Malmsten a publié son Mémoire sur ce sujet de
nouveau dans les Acta, la rédaction dans une ISote faisait entre-
voir l'espoir d'une extension de la formule aux variables imagi-
naires (' ).
D'après ce qui précède, je crois qu'il sera possible de démontrer
la formule à l'aide des méthodes de Cauchy, mais je ne crois pas
que l'extension aux valeurs imaginaires existe. En effet, plus haut,
lï fallait supposer
/■( a -I- ni ) = A -)- Bi,
y ( a — // / ) = A — B i,
(') \o\r Acta Matheinatica, l. V. p. i.
LETTRE 164. 827
en sorte qu'on a réellement à faire avec les fonctions d'une variable
réelle. Aussi le théorème (I) par exemple ne s'applique pas lors-
qu'on prend pour f{x) une constante purement imaginaire. Le
second membre serait nul.
On peut envisager (I) sous un nouveau point de vue en prenant
pour A une fonction réelle arbitraire de a telle que
A
liin — =0 ( f< = oc; /i < i).
Alors l'intégrale existe et définit une fonction d'une variable
imaginaire .r, dont la partie réelle se réduit à A sur l'axe des y.
Veuillez bien agréer, Monsieur, la nouvelle assurance de mon
entier dévouement.
164. — HERMITE A STIELTJES.
Paris, 28 décembre 1888.
Mon cher Ami,
Veuillez agréer mes souhaits de bonne année que je vous
adresse de tout cœur, et en même temps mes vœux.
A mes souhaits de bonne année je joins mes remercîments pour
vos dernières lettres et surtout pour le résumé de vos études sur
la fonction F, que je vous demande l'autorisation de conserver
quelques jours avant de l'envojer à M. Bourguet, à qui je l'ai
annoncé. J'ai le plus grand intérêt à le lire et à l'étudier, mais il
me faut du temps, ayant mille choses à faire en ce moment. Vous
savez sans doute que M. Bourguet conteste votre conclusion que
la série de Stirling est applicable dans toute l'étendue du plan,
même lorsque la partie réelle de la variable est négative. D'après
lui, la série n'est valable qu'à droite de l'axe des ordonnées et
voici le motif qu'il m'en donne. Supposons la relation
J(a)= _^J ...^(_,y.-. ËZ^ ^_R,
et désignons par R' ce que devient R lorsqu'on change a en — a;
on aurait évidemment
J(a)-h J(— rt) = R-+- R',
328 CORRESPONDANCi; d'hEUMIÏR RT DE STrELTJKS.
quantité qui dépend de l'entier /?, ce qui se trouve en contradic-
tion avec la propriété suivante, que M. Bourguet a découverte :
i(a) -hi' — a) = — 1 log(i — e27ta<).
En attendant que vous ajez le dénouement de la difficulté, je
fais encore appel à votre bonne obligeance en vous priant de
m'expliquer ce point de votre lettre du a3 décembre, où vous
dites qu'en supposant que R soit le rayon de convergence des
séries
F(.r) --^A,,^", f{x)^^ancr".
et que la série
Jmà a,,
soit aussi convergente pour mod - < Ri, on peut en conclure, ce
qui est bien connu, que RR, est le module de convergence de
¥{x). Comment donc, mon cher ami, parvenez-vous à cette con-
clusion? Comment le rayon de convergence de F(\r), que nous
supposons égal à R, devient-il ensuite RR , ; comment, enfin, cette
conséquence est-elle bien connue?
■ Excusez-moi, je vous prie, de ne pas apercevoir ce qui est clair
et évident pour vous, et plaignez-moi de ne pas avoir une suffi-
sante liberté pour me consacrer plus entièrement à l'Analyse.
Les résultats de M. ***, sur la convergence des séries qui re-
présentent Q(i — rt), me causent beaucoup de surprise, et me
paraissent très dignes d'attention; grâce à vous, je vais ])Ouvoir
les étudier à fond et m'en rendre bien compte.
Encore un mot sur la formule de Gudermann; dans une de mes
leçons de cette année, je la lire de l'cxjjression
e-^ ( 2 — .r ) — 2 — x
^ _ ( I — e-^ )x-
en rem[)laçant
■ par >£'/■•' H (A- = o, i, 2, . . ., /i — i).
pX ( ■;> y^ \ ^ X
La décomposition de la quaiiliti' e^"^'"''-^' -^ en
éléments sim|)les donne l'intégrale définie, immédiatement, et on
LETTRE 165.
trouve ainsi
1 / ^ \ ^ / ^. . /- . \ ] ^fV 1 , 1
\ — 1
J ( et ) — - T \ O -t- A -+- 1 lui; 1 -t-
-/./ '
( /i = o , !,•>., . . . , /l -
-I)-
329
-;- J ( « -+- n )
Avec la nouvelle assurance de mon affection cordiale et bien
dévouée.
165. — STIELTJES A H ERMITE.
Toulouse, ag décembre i888.
Cheu Monsieur,
En vous remerciant pour \otre souhait de bonne année... je
peux vous dire aussi que mon mal ne paraît pas bien grave à mon
médecin. Cela doit être un abcès dans l'oreille qui se guérira avec
un peu de patience et de repos, mais c'est très douloureux; heu-
reusement, je constate déjà un mieux sensible.
Je suis très honoré que vous voulez garder un peu mon manus-
crit pour l'étudier et naturellement vous pouvez le garder pour
cela.
Maintenant, je répondrai encore succinctement à vos questions.
Dans la lettre du ^3, je dois avoir écrit
¥{x)^^knT'',
f(x) =2«„.r",
modr < R,
niod- < Ri.
X
Ainsi je ne fais pas de sup|)osition sur le rajon de convergence
de F(.r ) ; mais il suit de mon raisonneinent que ce ravon est RR, .
Ce théorème, en ell'el, doit être connu; si l'on a
^^a„x", rayon de convergence R,
^ bnX"\, » » R].
Alors le rayon de convergence de
^^aabnX"
33o CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.
e^laii moins RR,. Je crois que ce ihéorème se trouve énoncé ex-
plicitement dans un Mémoire de M. Pincherle dans le Journal de
Brioschi. Mais la chose... est bien facile à démontrer. Soient ;• un
nombre positif un peu inférieur à R, /•,... un peu inférieur à R|,
les séries
2 «„/•", ^b„r'i
sont convergentes et même absolument convergentes.
Aussi on a quel que soit n
P, Q étant des nombres finis, d'où
ce qui montre que 2_i^nbnX" est convergente tant que x reste
inférieur à rix...^ mais rr^ peut s'approcher indéfiniment
de RR, .
La remarque de M. Bourguet
J(a) -+- J(— «) = — Iog(i — e^7t«')
est parfaitement vraie; toutefois, il faut supposer essentiellement
que le coefficient de i dans a
est positif, y ^ o ; ainsi
I — 227la/ — , — e-27t7(cOS'2/>7: -H i sin2/>7i).
Lorsque a croit indéfiniment, il en est de même de q (autrement
un des points a ou — a resterait toujours dans le voisinage de la
coupure, cas cjue j'exclus expressément). Et alors vous voyez bien
que J(a) -\- J( — a) tend vers zéro. \\ n'j a pas de contradiction
avec mon résultat, dont je crois du reste cjue la démonstration est
inattaquable.
Veuillez bien agréer. Monsieur, la nouvelle assurance de mon
dévouement.
LETTIIE 166. 33l
166. — H ERMITE A STIELTJES (').
Moiv CHER Ami,
I^'élégance et la simplicité de votre analyse cachent certainement
un grand travail et il est difficile d'imaginer par quel enchaîne-
ment d'idées vous avez été amené à la considération de la quan-
tité 711 et à la suite des fonctions que vous nommez f\ (x), f.^ [x)^ . ..,
Vos résultats sont excellents et, à l'encontre de tant d'autres qui
avec un grand appareil de formules n'obtiennent presque rien,
vous tirez de considérations extrêmement simples et faciles des
choses entièrement neuves et du plus grand intérêt. En attendant
que j'aie quelques remarques à tirer de mes réflexions sur ce que
vous m'avez communiqué, permettez-moi de vous demander où
vous comptez publier ce que vous venez d'obtenir. M. Darboux
serait très content d'en enrichir les Annales de V École Normale,
et M. Camille Jordan vous bénirait de lui fournir de la matière
pour son journal qui en a manqué dans ces derniers temps. Je
devais lui fournir un article sur la valeur asjmptotique de Q(rt),
mais mille occupations m'ont détourné de le rédiger, et ensuite
je me suis trouvé dans une disposition peu favorable pour le
travail, ayant éprouvé comme une sorte d'aversion pour l'Analyse
qui me rendait tout eflorl comme impossible. Après m'être plongé
dans la lecture, j'en reviens peu à peu, et nombre de recherches
que j'avais commencées surgissent de leur sommeil et me re-
donnent quelque peu courage. Je relis votre correspondance et, au
moment ou j'ai reçu votre dernière lettre, j'allais vous écrire et
vous chercher querelle au sujet de la condition que vous m'avez
formulée pour qu'une fonction f{x^ y) soit uniforme dans un
domaine D, et qui consiste en ce qu'on a
X.
df{x,y) = o,
IC)
l'intégrale étant prise sur une courbe fermée quelconque tracée
dans ce domaine. Je vous avoue ne jamais m'être posé la question
( ' ) Il man(|uc sûrement une lettre de Stieltjes antérieure à cette lettre non
datée d'Herniile. {Note des éditeurs.)
332 CORRESPONDANCE d'hKRM[TK ET DE STIELTJES.
en restant comme vous dans le champ des valeurs réelles des
variables, la circonstance des déterminations multiples me pa-
raissant résulter en toute nécessité des valeurs imaginaires des
variables décrivant des contours fermés. Je nous demande donc,
pour préciser et bien fixer mes idées, un exemple dans lequel -j-
et ~ soient uniformes dans le domaine D pour les \aleurs réelles,
, 4r . . . . , . . .
c'est-à-dire, suivant moi, continues et à détermination unique, la
fonction /"(a:;, }') ayant, au contraire, des déterminations multiples.
Je demande, en plus, de voir de quelle manière ces détemninations
diverses résulteront de ce que votre condition / df[Xy y) ^= o
ne sera pas remplie. En allant plus loin et m'accusant d'avance
d'avoir la vue trop courte, je réclame à cor et à cri une fonction
échappant à votre condition et dans laquelle -r- et f^ soient tou-
' ' ^ ax oy
jours continues et linies à l'intérieur de D. Ma requête a pour
origine et pour cause ma tendance à faire résulter les notions
analytiques de l'observation des faits de l'analyse, croyant que
l'observation est la source féconde de l'invention dans le monde
des réalités subjectives, tout comme dans le domaine des réalités
sensibles. Je m'arrête, mon cher ami, je vous ferais bondir si
j'osais vous avouer que je n'admets aucune solution de continuité,
aucune coupure, entre les Mathématiques et la Physique, et que
les nombres entiers me semblent exister en dehors de nous el
en s'imposant avec la même nécessité, la même fatalité que le
sodium, le potassium, elc.
Avec tous mes nœux pour la guérison complète de votre mal
d'oreilles, et en nous renouvelant l'assurance de ma sincère et bien
cordiale allection.
167. — SriELTJES A H ERMITE.
Toulouse, le i4 février 1889.
Chku Monsieur,
Le théorème sur les fonctions de deux variables réelles, d'où
M. Kronecker déduit comme corollaire le théorème de Cauchy,
s'énonce ainsi :
Soit f[x^ y) une fonction réelle des varialdes x. y lellr (|u<'
LETTRE 167. ài'i
dans un domaine D à contour simple (j'ai peut-èlre omis celle
condilion qui est nécessaire) les dérivées partielles
dx ôy
soient finies el uniformes et admettent encore des dérivées finies
(qui sont alors uniformes aussi naturellement), alors la fonc-
TIOJVy(x, )') ELLE-MEME EST AUSSI NÉCESSAIllEMEiV T UNIFOllME.
En eftél, il s'agit de démontrer
/
(ff(.^^ y) = o>
pour un contour fermé C à l'intérieur de D. Mais G forme la limite
entière d'une certaine aire qui fait partie de D, et pour cette
aire-là
//;
dx dy
dx dy
a une valeur finie, qu'on peut évaluer de deux manières en inté-
grant d'abord par rapport à x ou à jk; on trouve ainsi
/
"^f ./.. ... C '^f
— dy ou — ; -^ dx (sur le contour C ),
Ov .fax '
<^y
et ces résultats étant égaux
/ Ox^''^'à^ '^■^' ^ / '^'^^■^'' -^"^ = °' ^- "^^ •'• ^•
D'après ce théorème même il n'' existe pas une fonction f\x^ y)
non uniforme dans D et dont les dérivées partielles seraient uni-
formes.
Mais considérons un domaine D qui n'est pas à contour simple.
Si je considère un point ^{x, y) dont les coordonnées polaires
sont /■ et 8, on ne peut se refuser à admettre comme fonctions
de x.,y les expressions
S{x, y ) = r cos - 0.
La première est finie dans D..., mais elle n'est pas uniforme,
334 CORRESPONDANCE D'hERMITE ET DE STIELTJES.
si P décril le contour fermé PQRP, f{x,j') augmente de au.
Cependant, comme les diverses déterminations de y^(^, jk) ne
diffèrent que par des constantes, vous voyez que les dérivées
partielles ^-> y- sont uni/ormes dans D.
La fonction .f. .. est une fonction non uniforme d'une autre
nature, ... elle admet deux valeurs qui se distinguent par le signe
seulement, etc.
Du reste, si les analystes n'ont peut-être pas fait beaucoup
attention à ces fonctions réelles de deux variables non uniformes,
mais dont les dérivées partielles peuvent être uniformes (cepen-
dant cela seulement dans un domaine D qui n'est /?rt5 à contour
simple), les physiciens (M. Helmholtz) en étudiant le mouvement
des liquides ont été amenés aussi à reconnaître l'existence de ces
fonctions dans le cas de trois variables x^j\ ^ (')•
Voici la généralisation du théorème de M. Kronecker pour le
cas de l'espace.
Si une fonction /"(a:, r, z) admet des dérivées
^, ^", ^l,
Ox ày dz
qui sont uniformes dans un domaine D et admettent encore des
dérivées finies (du second ordre de y"), alors la fonction / elle-
même est nécessairement uniforme dans D.
(') Voir le iSléinuiie d'ilelmholtz itiséré au t. 55 du Journal de Crelle.
LETTRE 167. 335
Poiu" préciser :
On dit que /est uniforme dans D lorsque
/
d.f{.on, y, z) = o,
l'intégrale étant prise sur une courbe fermée à l'intérieur de D.
Mais ce théorème n'est vrai que si l'on suppose que le domaine D
est de telle nature que chaque courbe fermée tracée dans D peut,
par un changement continu et sans sortir du domaine D, se ré-
duire à un cercle infiniment petit. Gela a lieu, par exemple, si D
est l'intérieur d'une sphère ou encore l'espace compris entre deux
sphères concentriques.
Mais cela n'a plus lieu si D est l'espace à l'intérieur d'un tore.
Dans un tel cas, M. Helmholtz a remarqué l'existence de fonc-
tions non uniformes, mais dont les déterminations ne diffèrent
que par des constantes, en sorte que les dérivées partielles sont
uniformes, tout à fait comme la fonction y(.r, j)/) = 8 de tout à
l'heure.
Du reste, le même exemple peut servir; en posant
0 étant la longitude du point i^x^y^ c), c'est-à-dire l'angle du plan
passant par l'axe du tore et du point {^x^y^ z) avec une de ses po-
sitions particulières.
11 est à remarquer que si l'on prenait la même fonction
dans le cas de l'espace compris entre deux sphères, cette fonction
ne satisfait plus aux conditions, car l'axe qui sert à déterminer les
longitudes passe alors en partie par le domaine D et en ces points 8
devient indéterminé y, ce qui n'arrive pas pour le tore. Et, en effet,
comme je l'ai dit pour l'espace compris entre deux sphères con-
, , , , ,. n •/> • , \ àf df df
centriaues, le théorème a heu et 1 uniiormite de -^» -— -, — entraîne
^ ' dx oy àz
l'uniformité de f.
Y et les dérivées partielles cessent d'être Jiiiies et con-
tinues.
J'ai pu perfectionner beaucoup ma méthode d'approximation de
336 CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.
rinlcgraie
f'' lifl
dx{^).
En etîel, ma première méthode conduit à une expression
approchée avec le terme complémentaire
R»= .. ., ' , l"-^^d.
où
fnix) =fix)[m — '^(ir)]-2[(mi — 9' J?)]-. . .[/n„_i — 'f (^)]-.
Je remarcpie que cette expression peut se mettre sous la forme
(I) R«= / ^V-^(i-^^i? ^- ^2 ?■ + ••• + •^"?")-^-^-
Dans ma nouvelle méthode, je considère directement cette ex-
pression qui est une forme cpiadratique de x^^ x-,, ..., x,i. Je
détermine ^,, . . ., x,i par la condition que R/, soit minimum. En
posant
D\\. „ = I -i- j"i 9 -T- . . . -H a;,j es",
les conditions sont
2) f /ix)D]1„'^'^-' dx (A=i, i,
n),
ou plus explicitement
I Co -H Cl a- -H. . .-I- c„ J"„=o,
le, -h c.>:ri-t-. . .-1- c„+i .r„ = o, r' .
(3) ' cx= / j{x)^
I ' «^a
[ 0,1-1-+- c„J^, + . . .+ C2„_i.r„= o.
''" f/a;,
Le déterminant de ce système linéaire est positif et différent de
zéro, c'est en même temps le déterminant de la forme quadratique
définie et positive
/ fi-^) 'f (^)(-^i -i- X.20 -\- . . .-\- x,ii^"-^ }- dx.
( ' ) Ce passage se rapporte à la lettre de Stieltjes qui manque, signalée plus
haut. (A'o/e des éditeurs.)
LETTUE 1G7.
Les Xi étant ainsi déterminés, on a
337
R„ = / ■LJlL 01^ ( I _^ ^ cç _i_ .r, cp2 + . . . -4- xn cp« ) dx^
mais les termes avec x^, ...,x,i disparaissent en vertu des rela-
tions (2); donc
R„== f J1^0]l„dx,
r'' fix)
Kn = / ^— ^ (1 -h :r, ç -H. . . -H XnY')iix,
R« =
Soit donc
(4)
on aura
dx -H :?] Cq -I- a"2 Cl + . . . ■+• Xn C,i^\.
(:r,Co-f-. . .+ Xi,Cn-\).,
J. ?(^)
les équations (3) et (4) donnent
K„-
Cii — \ c,i
• ■ ■ C,i^i
Cl
C)
• • c„
. . . Cn
C2
C3 •
c„
■ C,,,-!
■ ■ ■ C2,,_,
ce sera l'expression approchée par défaut. On doit avoir évi-
demment K„>R„_); et, en effet, en considérant la différence
Rrt — K,^_,, on arrive (à l'aide des relations entre les mineurs d'un
déterminant symétrique) à mettre K„ sous la forme
B, B,B2 B,;_, B„
A„ =
Cn-i
Cn
' B„ =
Cl„-2
C, 0-2
Ci C3
Soit
Ja ?(^
)
§2 «?a7,
338 COURESPONDANCE d'HERMITE ET DE STIELTJES.
les coefficients A,, . . ., ku étant arbitraires, on a
donc
R _ R„ = Ç 4^ ( ^ — 3rL„ )2 f/x > O,
montrant que R^ est réellement minimum.
D'après cela, si je considère
r'' fix)
et
r'' f(x)
il est clair que
'a T
) dx
Jn T(^)
C étant une constante quelconque. Mais si m et M sont les valeurs
extrêmes de cp, et si je prends
2
C =
l !• ' /^ \ .. • 5 / 1^^ '^ \ "' 1
le lacteur (i — ^'f )" '^e varie qu entre o et ( -^^ I ? donc
Al + m
> (1 pt (
M -H m
de même
, M — m \ -
' M + my ./, cp(ar)
donc
limR„= o.
LETTRE 107. 339
Un cas particulier intéressant est
?.(-f) = z — x,
z constante. Alors vous vojez directement par les conditions (2)
que dXLn ne diftère que par un facteur constant du dénomina-
teur ^ii{x) de la fraction continue pour
donc
on _Mf)
puisque, pour z — .r' =z o, d\\„ doit se réduire à l'unité. D'autre
part, la valeur de K„ est
K„= f'IMdx -!{,,= f'JA^Ui-dKn)dx,
c'est-à-dire
c'est-à-dire que K« est simplement la réduite d'ordre n de la frac-
tion continue de
V(^)
IB
dx.
X
On voit par là que le terme complémentaire de la réduite
d'ordre 11 est R« minimum de
r '^■'^^ r / N
/ ^ [i -I- a"i (^ — x) ^ ...-{- x„{z — x)"\^ dx.
Tant que les limites a et b sont finies, la démonstration de
lim R„ = o
s'applique et montre que la fraction continue est convergente vers
la valeur de l'intégrale. Le résultat relatif au terme complémen-
taire de la fraction continue est nouveau peut-être, il l'est en tout
cas pour moi.
34o CORRKSPONDANCE d'hEHMITE ET DE STIELTJES.
Mais vous vojez qu'il serait intéressant de prouver liniR„^ o,
même dans le cas que — = o. On prouverait alors en même temps
la convergence de la fraction continue dans le cas où la limite
Z> = oc. C'est ce que, jusqu'à présent, on n'a pn faire, en général,
quoique pour certains cas particnliers comme f(x) =^ x''~' e~'^ la
convergence peut se démontrer par d'antres considérations.
Ayant trouvé par ce qui précède un nouveau point de vue. . . je
veux nn peu réfléchir là-dessus avant de publier ces recherches
que je mettrai volontiers à la disposition de M. Camille Jordan.
J'espère que votre aversion pour l'Analyse passera. Sans doute
un tel état d'esprit, qui ne m'est pas inconnu, est ordinairement le
résultat d'une trop grande fatigue.
Je vous renouvelle, cher Monsieur, l'expression de mes senti-
ments tout dévoués.
168. — HERMITE A STIELTJES.
Paris, i6 février 1889.
Mon cher Ami,
Votre nouveau point de vue pour obtenir l'approximation de
•-^Ç— flx constitue un très heureux et très erand
.. ?(^)
progrès, votre analyse devient ainsi plus lumineuse et je ne puis
assez vous dire avec quel plaisir j'ai vu l'application cjue vous
faites au cas de .5(.r) = ; — x^ en établissant d'emblée que
011^^^ 'ÏH—^K cp„(x) étant le dénominateur de la //"'"* réduite du
développement de l'intégrale en fraction continue. Personne, cei^-
tainement, n'a obtenu ce résultat extrêmement remarquable, que
le terme complémentaire de cette réduite est le minimum de
l'expression
f /l^r, + j.,(^_;r)-4-.. .^xJz — x)"YdT;
je ne sache pas non plus qu'on ait démontré que la limite soit
nulle pour n infini. Quand vous aurez rédigé le Mémoire que vous
LETTRE 168. 341
préparez sur celte question, ne pensez-vous pas en détacher cette
conclusion dans une Note pour les Comptes vendus?
Gi'âce à vous, les ténèbres de mon esprit commencent à se
dissiper au sujet des fonctions de deux variables et de la façon
dont il faut les définir en tant qu'uniformes, lorsqu'on envisage
seulement les valeurs réelles. Les exemples que vous me donnez
en considérant l'angle polaire 0, et la quantité /"cos-? comme
dépendant de x et y sont extrêmement lumineux, et vous me
faites voir aussi très clairement comment la question se complique
lorsqu'on considère certains domaines à l'égard des fonctions de
trois variables.
En vous priant de me rectifier si je fais erreur, je vous deman-
derai encore si l'on peut dire que la condition nécessaire et suffi-
sante pour que f\x,y) soit uniforme, dans un domaine D à contour
simple, c'est que la fonction reprenne la même valeur lorsque les
variables étant supposées représenter les coordonnées d'un point
de D, ce point revient à sa position initiale après avoir décrit un
contour fermé quelconque contenu à l'intérieur de D. Puis, peut-on
en conclure que cette condition, remplie à légard de f[x,y)^ est
remplie nécessairement pour toutes les dérivées partielles? Ou
bien doit-on prendre pour définition d'une fonction uniforme
l'équation / cl f(^x^ y) ■=■ o pour un contour fermé G à l'intérieur
de D, en admettant que la fonction soit continue et finie à l'inté-
rieur de D?
C'est ce que vous faites à l'égard des fonctions de trois variables,
mais je resterai dans le cas de deux variables seulement, et alors
il me semble bien qu'une fonction doit être considérée comme
uniforme alors même qu'on admettrait, à l'intérieur de D, des
lignes pour tous les points desquelles /( .27, jk) serait infinie, et des
points isolés qui lui feraient prendre une valeur indéterminée -■
^ ^ o
La circonstance qu'il existe de telles lignes et de tels points n'em-
pêche aucunement que la fonction reprenne la même valeur
lorsque les variables décrivent des contours fermés qui les ren-
contrent ou les comprennent, mais il faut absolument renoncer à
l'équation / d f{x^ y) = o dans ce cas.
3/(2 CORRESPONDANCE d'hEUMITK ET DE STIHLTJES.
J'espère que vous comprenez bien que j incline à trouver pré-
férable une tlélînition qui s'applique au quotient de deux fonctions
entières; en tout cas, je serais lieureux de recevoir vos avis sur un
sujet de si grande importance et auquel je n'ai, pour ainsi dire,
jamais songé jusqu'ici.
En vous renouvelant, mon cher ami, l'assurance de mes
meilleurs sentiments.
169. — STIELTJES A HERMITE.
Toulouse. 19 février 1889.
Cher Monsiei r,
Il me semble qu'il existe peut-être un léger malentendu entre
nous concernant la définition de l'uniformité d'une fonction réelle
de deux variables.
Dans les conditions où l'on se place de l'existence (en général)
des dérivées partielles, la valeur de
/ df[x,y),
étendue le long d'une courbe AB, ne peut être que
fix.. yi) — fix^, pi)
et par là il est clair de dire que
f'
sur un contour fermé C, ou bien dire que ./(^, )) revient à sa
valeur initiale si l'on parcourt la courbe C est exactement la même
chose, et cela indépendamment des singularités qui peuvent exister
ou non à l'intérifîur du contour.
Et il semlde aussi clair que si f[x, y) est uniforme dans un
certain domaine, cela entraine nécessairement l'uniforuiilé des
dérivées partielles. Mais, si l'on voulait insister sur une explication
là-dessus, je crois que l'on pourrait raisonner ainsi qu'il suit : Je
• j ■> j-/ \ à f( X, y)
considère /(.r, y) et . •
LETTRE 169.
343
Faisons parcourir au point (a?, y) la courbe ABCDA dont la
partie DAB est recliligne et parallèle à l'axe des X.
On part de A avec des valeurs finies de
au point A (a^o, JKo)
et de
df( ce, y)
â.r
= Q.
Or la valeur de Q est
Q = lim
f(xo -4- h, jKo) — fixo, Xo )
A proprement parler, il faudrait prendre h positif, mais, d'après
l'existence même dune dérivée partielle, on doit obtenir la même
valeur de Q, même en prenant h négatif.
Or, si l'on a parcouru le contour ABCDA, on revient encore
en A avec la même valeur P d'après l'hjpothèse de l'uniformité.
Si donc on applique maintenant de nouveau la définition de la
dérivée partielle pour savoir ce qu'est devenue cette dérivée, on
obtient encore
f( .r „ -L- h , r 0 ) — /'' .'^n , ro ~)
lini ■ '■ — ; '■ >
identique avec la définition de Q. Sommairement, comme dans
l'hypothèse de l'uniformité, f{x, y) n'a qu'une seule branche, il
en est de même de toutes ses dérivées partielles, par le fait même
qu'une fonction bien déterminée n'admet pas plusieurs dérivées,
ou autrement : la définition des dérivées ne laisse pas place à une
ambiguïté.
Ainsi, il peut très bien arriver qu'une fonction soit uniforme et
admette cependant des singularités. C'est ce qui arrive, par
344 CORKESPONDANCK d'hERMITE ET DE STIEI.TJKS.
exemple, à l'origine [x = o, y = o) pour les dérivées partielles de
cette fonction
/{x, y) = @, par exemple
Ces dérivées sont uniformes, mais discontinues à l'origine....
Ces exemples montrent que le théorème de M. Kronecker n'est
pas une banalité.
Je vous avouerai que je n'ai d'abord rien compris au premier
passage où M. Kronecker énonce son théorème. En effet, l'essence
du théorème est d'affirmer l'uniformité de la fonction comme
conséquence de l'uniformité de ses dérivées partielles (sous cer-
taines conditions restrictives). Or, par inadvertance, M. Kro-
necker a d'abord énoncé son théorème en comprenant, parmi les
conditions'à imposer k/{x,y) Vuniformité de cette fonction!!
Et comme il est très succinct, je me suis inutilement effoixé à
pénétrer dans le vrai sens de ces quelques lignes. C est seulement
après la lecture de sa seconde Note {^Berliner Monatsb., i885,
p. 780) que j ai compris son idée. 11 j redresse aussi l'inadvertance
qui s'était glissée dans son premier énoncé de 1880.
Il n'en reste pas moins vrai qu'on doit appliquer avec beaucoup
de circonspection certains théorèmes généraux sur les fonctions
de deux variables. J'en ai rencontré cet exemj)le. Soit
J- ■. 1 — 5
Vous verrez directement que sur le cercle de rajon 1 autour tle
l'origine y(z) est purement imaginaire :
Si donc je considère la partie réelle de /"(s)
\ — x-^—y^
j'ai là une fonction qui satisfait à
Ô- 'S ()- o
dx- dy-
et qui s'annule sur le cercle C. Or, d'après un théorème général,
li;ttre 169. 345
une telle fonction cp ne peut s'annuler sur nn cercle (ou contour
fermé quelconque) sans s'annuler aussi à l'intérieur du contour.
Le théorème semble ici en défaut, mais la raison est celle-ci : la
fonction '■p(^, y) présente, au point x =^ ^ i , y = o sur le cercle
une indétermination et l'on ne peut pas dire, à proprement parler,
qu'elle s'j annule. On peut s'approcher de ce point de telle façon
que o tende vers une limite quelconque. Mais vous vojez qu'il
suffit de bien peu de chose pour mettre le théorème hors d'usage.
Il en est de même pour le théorème de Gauss, que si sur une sur-
face fermée dans l'espace on a
cp(r, y, z) = const.,
la fonction es satisfaisant à l'équation de Laplace
d- * û- cp â^ 9
dx- ôy'- dz^ '
on a aussi, à l'intérieur de cette surface,
o = COIlSt.
Une simple indétermination sur la surface suffit pour détruire le
théorème.
Permettez-moi de vous demander, en terminant, un renseigne-
ment. Dans le Jouinal de Crelle, t. iO, p. y.96, vous vous
exprimez ainsi :
« Ce qui précède indique suffisamment une infinité d'autres
conséquences analogues, qui toutes viennent dépendre de la
recherche difficile, d'une limite précise du minimum d'une forme
définie quelconque. Là-dessus je ne puis former qu'une conjecture.
Mes premières recherches, dans le cas d'une forme à n variables
n — 1
de déterminant D, m'avaient donné la limite (4) V^D ; je suis
porté à présumer, mais sans pouvoir le démontrer, que le coeffi-
cient numérique ( i j doit être remplacé par —
v//i -t- I
Je demande : a-t-on été plus loin depuis et votre limite pré-
sumée — " . l'a-t-on déjà établie rigoureusement?
V /i -t- I
3)6 CORUESPODANCE T)'llERMlTE ET DE STIELTJES.
Dernièrement, j'avais à considérer une question où il m'impor-
tait d'avoir la limite exacte, aussi petite que possible. J'ai cherché
un peu partout, mais je n'ai pas trouvé. Vous pourrez certaine-
ment me dire ce qui en est.
Veuillez bien accepter, cher Monsieur, la nouvelle assurance de
mon entier dévouement.
P . S. — • Je vous enverrai sous peu, d'après votre permission,
une Note pour les Comptes rendus sur la fraction continue
pour / nx.
170. — H ERMITE A STIELTJES.
Paris, 21 février 1889.
Mon r.HF.Ti Ami,
Je n'ai pas chez moi la collection des Mathematische A nnalen ,
ce qui m'empêche de répondre avec une entière précision à votre
demande, je dois me borner à vous renvoyer aux Tables de
matières où vous trouverez l'indication d'articles de M. Korkine
et de M. Zololareft'sur la recherche d'une limite précise du mini-
mum d'une forme quadratique définie. On a établi, je crois me le
rappeler, que ma limite présumée ^ est inexacte, et l'on a
démontré (MM. Korkine et ZolotarefT) que, pour une forme réduite
à quatre indéterminées, le produit AA) A0A3 des coefficients des
carrés satisfait à la condition A A, Ao A3 ^4D. A cette occasion, j'ai
été en correspondance avec les auteurs, et je leur ai communiqué
une nouvelle méthode pour établir, à l'égard des formes ternaires,
la condition A A, Aj^aD, mais leurs principes me semblent plus
féconds et d'une plus grande portée que le mien.
Je vais réiléchir sur les choses excellentes de votre lettre concer-
nant l'uiiiforinilé des fonctions de deux variables; le cas d'excep-
tion oHert |)ar 'S)(x. y) = ^ ■ — mérite extrêmement d'être
signalé; j'en parlerai à Picard, à moins que vous ne désiriez vous
réserver la remarque que vous avez faite.
En vous renouvelant, mon cher ami, l'assurance de mon affec-
tion bien dévouée.
LETTRE 171. 347
171. — HERMITE A STIELTJES.
Paris, 3 mars 1889.
Mon cher A:\ri,
En revenant ànn JDien triste voyage en Lorraine, oii j'ai été
appelé par la mort d'un de mes parents, j'ai trouvé, dans le dernier
cahier du Jouinal de M. Jordan, votre beau travail sur le déve-
loppement de
[ R"- — 2 R r cos u cos 11! cosf-r — a^') -1- sin m sin u' sin (y — y) -H /-^J-i
que je lis avec le plus grand intérêt. Pour que vous n'en doutiez
point, permetlez-moi de vous dire comment j'abrégerais un peu la
recherche de la formule (16), au moyen de l'identité élémentaire
X -^ Y X — Y
ç,o%x H- COS y = 2 cos ^ cos ^ •
•^ 22
On a d'abord
.r-f-r\" ^ , r{x -\- y)
= 2, '^i >t1n-r C0<
X -+- v\" -"^ , -, ( /i — -ir) (t -^ y)
2 cos —\ = > 2(/i),. cos ^^— ■
OU encore, en changeant /• en n — ar,
puis semblablement
= ^-2(ft),vCOS -^ ■—
Soit, pour un moment, a ^= n — a/-, h ^ n ■ — 25, il viendra en
multipliant
V / , ^ a( X ->^ V) b( X — y)
2" (cos 37 -f- cos r)" = > 4( /^ ),.( /i)^. cos — — cos ^
Cela étant, je change y en — r, et j'ajoute membre à membre en
divisant par 2. On trouve facilement
a{x -\- y) b(x — y) a(x — v) b{x-+-y)
cos '■ — cos ^ 1- co* •— cos '■ — -
2 2 2 2
a -^ b a — b a — b a -^ b
= cos X cos y -t- cos X cos y .
348 CORRESPONDANCE d'hERMITE El DE STIEI.TJES.
On a ensuite
b a — b
— = « — /• — s,
de sorte qu'il vient, pour le développement cherché,
2"(cos3^ -t- cosjk)'*= 'SL-2{n),.{n)s [ cos(/i — /• — s)x co?>{s — i-)y
-i-cos(/i— /• — s)yco%(s — r)x],
où les entiers r eX s parcourent la série o, i, 2, . . . jusqu'à l'entier
contenu dans -•
■i.
Je ne puis assez vous dire combien j'ai vu avec plaisir l'extrême
élégance et la simplicité de votre analyse, dans une recherche
difficile et profonde, qui conduit si aisément à un résultat impor-
tant et très caché.
J'ai peu travaillé pendant ces dernières semaines, M"^ Hermite
ayant été malade d'une bronchite quia donné quelque inquiétude,
mais dont elle est maintenant guérie, et je pense pouxoir me
remettre à l'œuvre.
En vous priant de m'autoriser à annoncer à M. Jordan les
recherches que vous m'avez communiquées sur les fractions
continues, auxquelles j'attache un grand prix, je vous renou-
velle, mon cher ami, l'assurance de mes sentiments affectueux
et bien dévoués.
172. - STIELTJES A HERMITE.
Toulouse, 6 mars 1S89.
Cher Monsieur,
Je vous remei'cie vivemexat pour votre bonne lettre; veuillez
bien être assuré de la part que je prends au deuil qui vient de
vous frapper. Je vous prie aussi de vouloir bien me rappeler au
souvenir de Madame Hermite. Votre méthode d'établir le déve-
loppement de 2"(cosx + cosy)" est certainement ce qu'il y a de
plus simple. Je me rappelle que M. Tisserand, dans un de ses
LETTRE 172. 3/49
Mémoires, se sert aussi de la décomposition
.r -I- K X — y
coscr -+- cos V = -i cos — —^ cos ^
mais sa méthode est beaucoup moins simple parce qu'il n'a pas
eu l'idée heureuse de changer y en — y et de prendre la demi-
somme. Mais cette transformation
a(T -i- y) b(x — y) a(x — y) b(x -\- y)
cos ^ ^— cos ^^-^ -4- cos — cos ^^-—
1 l 2 2
(a + b)x (a — b)y (a — b )t (a -\- b)y
= cos — cos — i- cos cos ~
est jolie et un peu cachée.
Je pense toujours aux fractions continues. Soit /(/<) une fonc-
tion qui ne devient pas négative et telle que
ca- = / u''f{u) du (A' = o, I, 2, 3, ...),
ait une valeur finie. Alors pour ^ >- o
/ ^ Z""" /"<"' 7 ^0 ^' ,C„-l C^ W'fill)
( I ) / ' c/u = -H . . . ± q= / du.
J X -\- U X x- X-' J x"-{x -^ u)
On a
C\ ^ C-2 C„ + i ^ C„-i-j
Co Cl C,i C,i-hl
et ce rapport ""^' croît au delà de toute limite. La série (i) est
donc divergente, si l'on voulait la continuer indéfiniment; ce-
pendant. . . elle permet de calculer l'intégrale
-r
/ ( u ) du
avec une certaine approximation qui dépend de la valeur de x.
Mais je transforme la série
Cn _ c^
X X'
350 CORRKSI'O.NDAXJE DllERMlTt; ET DE STIELTJES.
en fraclion conlinue
(2)
«I
/>,
6.,
alors tous les «/, ^/ sont positifs.
Les réduites d'ordre impair diminuent, une telle réduite est
toujours supérieure à I.
Les réduites d'ordre pair vont en croissant, une telle réduite est
toujours inférieure à L
Donc les réduites d'ordre impair tendent vers une limite A, les
réduites d'ordre pair vers une limite B et
La fraction continue est convergente seulement lorsque
A = I = B
(même si elle n'est pas convergente elle permet de calculer I avec
une certaine approximation comme la série divergente).
Soit R« le minimum de
//( u ) ( I -f- a-i a -r- X.2, u--^- . . .^ x,i u" y- du,
alors
R,< K,<R3<...,
donc
lim R,j = X, « = a;,
et A est positif ou nul.
« Pour que la fraction conlinue (2) soit convergente il faul et
il suffit qu'on ait
À = o. »
Dans le cas
f{u) = «"-ig-'!'",
on peut calculer facilement
T (a) I . '2 . 3 . . . n
R« =
b'^ (a-+-i)(a-i-a)...(a-t-n)
LETTRE 172. 35l
donc, clans ce cas
X = o et fraction continue convergente.
ainsi pour b ■=■ \
1
ua-lg-u T(a)
au =
pour a = I c'est le résultat de Laguerre dans le Bulletin de la
Société Mathématique de France. Mais Laguerre a considéré
seulement les réduites d'ordre pair qui donnent des limites infé-
rieures.
A étant égal à o dans le cas/(u) = u"~^e~^", il est clair qu'on
aura encore }\ =: o dans le cas
yjourvu que 'f{u) reste inférieure à un nombre fixe, et la fraction
continue est encore convergente.
Mais la question difficile qui m'occupe encore est celle-ci : n'a-
t-on pas toujours X ^ o?
J'incline à le croire en ce moment et je chercherai à établir ce
point. Voici encore un résultat
log V{x) = yx \ ioga- — ■ x ^ — \o^it. -\- ]{x),
Bi B,
i{x)= — -' .. .- +....
i .i.x 3 . 4 . a:'"*
On peut développer J(^) en fraction continue convergente
"' = '-''^' J(^) = ^
«2 = ï : 30, ^ ^ ^2
«3 = 53 : 2IO,
«; = 195 : 371 ,
a.;
■11 999 : li. 737, ^ "+- ^zp7
, les a, tous positifs
352 CORKESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELÏJES.
et celte fraction continue remplace avec grand avantage la série
de Stirling. Pour ^ ^^ i , J ( ly = o , 08 i 06 i .
La série. La fraction continue.
\a\. app. Corr. \al. ap|j. Corr.
o,o83 333 — 0,002 'jL-ji 0,08 3 333 — 0,002 272.
0,080 t55 -f- 0,000 5o5 0,080 645 -^ 0,000 4 16,
0,081 349 — 0,000288 0,081173 — 0,000112,
0,080 754 -+- 0,000 3o7 0,081 oiT) - 0,000 045,
o,oSi 081 — 0,000020.
Si une fraction continue telle que (2) où tous les «/, bi sont ])o-
sitifs est convergente pour .27 = /> >> o, alors elle est toujours con-
vergente tant que x ;> o. Mais je dois réfléchir encore beaucoup
sur la question difficile que j'ai indiquée tout à l'heure.
Votre tout dévoué.
173. — STIELTJES A HERMITE.
Toulouse, le i3 mars i^
ChEK MoKSlElU,
En développant la série divergente
\.i.x 3.4-^^ 5.6. a""
en fraction continue convergente
iix) —
«1 = 1: 12,
ao = I : 3o,
a.-, = â3 : 210.
ai, = 195 : 371,
«5-= 22999: 22737,
la loi des coefficients r/,, r/o, . . . semble extrêmement compliquée.
Mais j'ai fait la remarque que la théorie de la fonction F fournil
aussi des exemples de développements en fraction continue de ce
genre, où la loi des coefficients est extrêmement simple. Soit
LKTTRE 17:1. 353
cl considérons les expressions
•'•=*(-^)^'KT)-'°»-
^"■•='-«K^)-<^)-'°«4
Les développements divergents sont
_ I I 5 ^i , 1^83
a a^ «" a' a^
a a'^ «■* a'' «^
Ces coefficients
I , i , '> , G 1 , 1 8 3 j .
«ians le développement de .l>, sont ceux que 1 on rencontre dans la
série
I , 5 , fil . i38j _
sec a; = i : x- M- -7 .r* -h -^ r** h -y- a-" -;-... ,
2 ; 4 ■ *■' • " •
et les coefficients
I, 2, iG, 272, 793G, ...
sont ceux de la série
'^ „ iG ., 272 . 7f)36
tanfra- = .r -i- ;— r^ + y-r a-" -t- — z-X' H p-a?J-H. . . .
o ! 5 1 7 ! 9 !
En développant en fraction continue, on o!)lienl les cxpression>
extrêmement simples (et coitvcrgcnlcs)
CAD ^=^ :
3'^
11'., =
5.(1
a + .
- <7 H
2 I
— rt -4- .
354 CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.
Il me semble fort probable que clans le développement en frne-
tion continue de J(^) on a aussi, comme dans les iractions con-
tinues cjue je viens de décrire,
,. «« . / ' -A X
hm — - = consl. .:=—-• ( « = x).
On peut directement constater la convergence des fractions
continues ^%> et iib à l'aide de ce théorème (dû à Stern et à Seidel).
Une fraction continue
I
«1
où les a sont > o, est convergente lorsque la série
a,-;- «2-^- «3-1- îCi^- • -,
«-il divergente. Soit, en effet, P« : Q« la /<'^""^ réduite, on a
Qs = î^i ^2 2t3 -I- ai -4- as,
Q/t = a« Q«-l + Q/;-2)
)nc
Qi<Q3<Q5<Q7<...,
Q2<Qv<Q6<Q8<-..-
Or, on voit facilement que
Q2«-i> 2ti -t- aj-t-. . .— a.>„-,,
(a)
( Q2«>3ti(a2-i-ai-î-...-Ha2„),
car (^2/i-i ^c compose des termes a,, a;,, ..., a2«_i et d'autres
encore. De même, pour Qa,,. Or, la fraction continue est
(U Qi Q.Qi Q2Q3 ■■■ Q«-iQ«
mais si la série
ai -f- a2-t- a;j -: ...
est divergente, il est clair d'après (a) que l'une au moins des quan-
LETTRE 173. ^5
tités Q2«_i Qaw? ••• croit indéjiniment cl l'autre croît au^éi.
Donc la convergence est manifeste. Au contraire, si la série
était convergente, le produit (i H- a,)(i + a2)(i -h as). . . léserait
aussi et, à cause de
Q,;< (I -+-ai)(i -t- a. ). ..(n-a„),
on au rail
limQ.,„_i = A, liinQ2„=B,
A et B étant des nombres finis. 11 est clair alors que les limites de
^ m , 1 * iii-x
l'I de
diffèrent entre elles (eux), la différence est -t-ît'
^ Ad
A l'aide de ce théorème on reconnaît sans peine la convergence
des fractions continues (%,l.) et (i(î>).
Veuillez bien agréer, cher Monsieur, la nouvelle assurance de
mon entier dévouement.
I* . S. — On peut écrire aussi
1
1
A, = lo->.,
I
loga =
if)
la /i"-'""= réduite de la fraction continue pour log2 est
•1 3 4 /i
356 COURESPONDANCE d'hKKMITE KT 1)1- STIELTJES.
174. — Il ERMITE A STIELTJES.
l'aris, l'i mars 1889.
Mon c.HEii Ami,
J'avais fait grise mine au déNclcippeincnl df
J(.r) =
I . ■>. . 37 ,) . 4 . T-
en fraction continue, à cause des nombres énormes qui figurent
dans r/,, f/o, (i%, ..., mais vos nouveaux résultats m'enchantent. 11
me semble que l'on a
/"°° . , , I /"° tan <r?.r ,
ne doit-on ])as sup]joser a^\ dans les fractions continues, pour
(|u 'elles convergent?
Où et quand [)uljlierez-vous l'analyse qui vous a donné ces for-
mules si intéressantes et si nouvelles?
On m'a demandé un article pour les jMémoircs de Bologne et
j'ai eu ridée de le composer avec des applications de la méthode
I ,• • i> - \ «■■'■ {" -^ '')"
(le La|)lace, a la fonction Iv(.r)^-— + • — ,,,_^^, + • • • : iuix
cocfficienls (bi développement suivant les [missances de a\ de
su./', de Bi (.r) et H| (.r), eu dernier lieu à Texpression (pu-
Lanlâce a trail(''e lui-même
l.J. . .( l — I)'2'-' l
/■( i — 1 y '^ / ( / — 1) ( / — { )'-^
pour a\()ir l'occasion d'abréger et de siiuplilîer un |)eu sa mer
\eilleuse anaivse. A l'égard de K(.r), je donne votre l'oriuule
h\\(.r — i) x"'
l(.r) .^
'' 111- 1(1 II - \
...arclang-^^ — )
4 n--ii-
comme vérification, en disant (pTelle a «'•le'' ohteuue sous une (oiine
|.<'u dilTérenle j)ar jM. Lipsehil/ el .AI. Lercli ; mais j"aiuierais bien
LETTRE IT'l^. 357
que vous me disiez s'il ne serait point juste de vous citer, e^i
disant que vous me l'avez communiquée.
Je vérifie aussi l'expression asymplotiqiie du coefficient tie .r'-" + ' ,
dans le développement tIe snj:, qui est i^/i.'>N2,t-n ^ P''^" ^^^le re-
marque bien facile.
Les pôles de sn.r étant /j> = 2«RH- (2 /v + r)/K', le lliéorèmc
de M. Mittag-Lelïler donne
K sn j- = G C.r ) -t-V ( — !)''( — ' h '- + —)= A
OÙ il est aisé de voir que G"(j;)=rro. Effectivement les dérivées
secondes de deux membres sont des fonctions doublement pério-
diques, donc G"(;r) est une constante, et cette constante est néces-
sairement zéro, ces dérivées étant des fonctions impaires.
Cette relation donne, pour le coefficient de.r-"+', l'expression
2_}~T^r+h. ' ^^ somme se rapportant à tous les entiers a et h. Or, W
j a deux pôles p =■ /K' et /> = — i K' dont les modules sont égaux
et moindres que ceux des autres pôles, de sorte que, pour n très
grand, on a sensiblement, puisque « = i , "-,.^^^^^ ; pour la valeur de
la somme A.
Mais tout moyen de vérification m'échappe pour H| (.!•) el0, (j:);
voici le calcul pour la premièie de ces fonctions.
La série
iT N 'V i/ — •' nTy.x , .
Hj( .r ) = > '2 l/<7"' COS — - ( /l = I, .J, •), . , .),
JKWli ■->. K
donne pour le coefficient de ? l expression
^ i .1. . .1111 ^
où les termes vont en croissant jusqu'à un maximum, pour dé-
croître ensuite indéfiniment. Je pose
d'où
loï j{ Il ) = lin loir/t — — - , >
358 CORRESPONDANCE n'iIERMITE ET I)E STIELTJES.
])llis
la \aleiir (Je /? ([iil donne le maximum esLclonc
I mK
"■'- .K"
el j en conclus
log/(/i) = log(^-^^^^j —m, D;^log/(/0 = -
ttK'
K
(1(1(1
log/,« + 0 = log( ^^. j "' .K '
a\anl ainsi
/--o-fi':'^)'"-'..-"',
ICxpression asjmplolique cherchée est
2(— 1)'" /4/;?K\"' , fïW
— ( ) <?~"' 1 /
1 .2. . .9, //* \ T K' / y k'
?.K/
puis, pUis simplemenl,
i.2...v./n VkK'/ V i"^
t('m|)laçant 1.2.. .■^. /?« par sa valeur, je trouve enfin
/ e- \"' / K
\\niW\x J \ m TT K
\ ous vojez que c'est assez simple, et surtout la racine />i"™*,
qui est, à fort peu près, - — p-p-y: il me reste à chercher si cette loi
' ^ ^ ' 4 "*I^1^
tie décroissement des coefficients s'accorde avec un théorème que
Poincaré a donné dans le Bullelin de la Société philomathique.
Je ne puis assez, mon cher ami, vous remercier pour ce que vous
m avez appris sur la convergence des fractions continues; j'ignorais
entièrement le théorème de Stern et Seidel qui est excellent el
m'a fait le plus grand plaisir. En comptant que vous continuerez
de me faire connaître ce cjue vous découvrez chaque jour, je vous
renouvelle l'assurance de mon arfection bien sincère et bien
d('\ouée.
LETTRE 175. 359
175. - STŒLTJES A HERMITE.
Toulouse, ij mars i88<).
Cher Monsieur,
Après réflexion, je crois qu'il vaut mieux que mon nom ne soil
|)as nommé à l'égard de celle formule
b K{x — ï)
r/ . = I + . . . ,
T{x)
qui esl due, en vérilé, à M. Lipschitz. Cette formule montre de
la manière la plus simple que
,. bV,{x — i)
lim = = I pour ar- = ce.
Y{x) *
Mais voici une autre formule qui met en évidence plulol la
différence R(.r) — ■^T{x + i) ou R(^) — ^Q_{^ + ')
> -^ — =z - / u<^ e-" du -{- - a" e-"-
0
— il fj-«(i/a--i- b'-iC^Y %m ( irarc tang -hu\
(a > o, 6 > o, a- > o).
Elle se simplifie notablement dans le cas a = o,
(II) >^ £- = yTf^ + i) — 2 / — {buY%\x\[~x — bu\'
0
Il faut ici supposer loujours ^ >> o ; pour x ^= o, il faut ajouter
au second membre - • La formule (I) esl encore exacte pour x = o,
et cela explique, jusqu'à un certain poinl, pourquoi, dans (II), il
faut ajouler - lorsque a: = o. En effet, en posant dans (l) x = o,
le terme
2
donne - e '', ce qui devient - pour a =; o. Mais si l'on pose d'abord
iUÎO CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.
/iz=o^ comme on Ta fait pour oljlciiir (Jl), ce lerme -a^e~"
(lisparail complrlcmenl.
Ne com])lcz-Yoiis pas traiter aussi dans votre Mémoire le cas des
développements de
•t, de
sinamx siiia/u-uT
(>es cas semblent intéressants ])arcc qu'on sait, a priori, ([ue lii
convergence a lieu tant cpie x reste inférieur à la plus j)etite des
<lcux quantités aK et âK.' et il est curieux de voir comment l'ana-
lyse opère ce choix entre K et K'. A'ous avez indiqué la solution
de celte circonstance, cjui pent paraître dabordun peu singulière,
dans voire leLlre à M. Konigsberger [C relie, l. 81, p. 222), mais
ne songez-vous point à établir les résultats cpie vous j avez donnés?
Les fractions continues que je vous ai communiquées pour les
fonctions
•>. r ^""^ d. -. r
a du
TZ II
c -
/-»g.r_g-a: /- °° au du /
a / e'<^^ dx = / /
"K II
■ e
■>..3
\c les donnerai dans le Mémoire que je prépare pour INI. Jordan,
J'y considère, en général, la réduction en fraction continue de
' " a -\
«-f--^^
1 + -^
cl vous voyez bien qu'elles se rallacbent à celte élude, f{u) étant
dans les deux cas
t;l
n ,- Tl ,- ' 71 - Tt ;-
— V /< v"' V" V"
LKTTUE 17o. 36 I
(il y a encore à changer a en a- el à mulliplier par a). C'est aussi
en vertu dun théorème général que je peux affirmer la c.otwer-
gence de la fraction continue obtenue pour
1 . i . a o . 4 . «^
C'est un exemple qui n|)partient au choix
- ' / T
J{u) = a ■' log
m '
ais, naturellement, on ne peut pas attendre que la loi des coel-
licients de la fonction continue soit toujours simple. C'est précisé-
ment en cherchant de tels exemples que j'ai trouvé ces résultats,
.le remarque que la seconde fraction continue peut s'écrire
1
1
1
a +
1
a
■j
<f -+-
I
- a -^ .
1
1
a -i
2
a -T-
1
a -+-
l"*--
cl comme la série
est divergente, elle est convergente tant que a >> o, la restric-
tion a^\ serait inutile, il en est de même pour la première fraction
continue.
Mais vous vojez bien aussi que cette transformation
(( a^ a'" a' cû a'' ' ' ' ' i-
■^,-
et
I ■). i6 9.72 793G 3J379'
a a^ a-5 a'' a'-^ a"
7.. 3
a -4- ,
donne implicitement une nouvelle manière de définir ces nombres
I, I, 5,61, ... et I, '2, if), 2^2, ... (nombres de BernouUi).
362 CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.
Aussi, l'étahlisscment de ces formules exige de nouvelles
recherches sur les nombres de Bernoulli qui me paraissent essen-
liellemenl distinctes de tout ce qu'on a fait jusqu'à présent là-
dessus. Mais je suis occupé à simplifier mon analyse qui est encore
(pielque peu informe, et je chercherai aussi s'il n'y a pas de
rapport avec les recherches antérieures sur ce sujet. La relation
découverte par Seidel il y a quelques années ne paraît pas être
liée à la réduction en fraction continue, mais j'ai lu cpie M. Stem
a généralisé les relations de Seidel, et il j a encore d'autres tra-
vaux là-dessus dont je dois prendre connaissance.
D'après les valeurs des fractions continues, on doit avoir
I I 5 6i i38'j ~|
a -+- 1
( a -1-
1 )■' ' (a -H 1)5
1 2
a a'
ifi
27 '2 79'î<J
a' ' ««
( rt -i- 1 )■ ( « -4- I j!*
ce qui fournit le moyen d'exprimer les nomjjres eulériens i, i, 5,
(il, i385, ... par les nombres i, 2, iG, 2-2, ... (nombres de
Bernoulli, coefficients de la tangente) ou réciproquement. J'em-
ploie tous mes loisirs à travailler à mon Mémoire pour M. Jordan
cl j'espère que dans quelques semaines je pourrai le lui remettre.
Veuillez bien agréer, cher monsieur, la nouvelle assurance de
mon entier dévouement.
176. — //A /.' 1 // TE A S TIEL TJE S .
Paris, 18 mars 1889.
Mojv CHKK Ami,
Permettez-moi de recourir à votre bonne obligeance et vous
prier de m'indiquer quelle est, dans le Mémoire de M. Lipschitz,
la relation qui revient à celle que vous avez vous-même trouvée :
b R(x — i) ,. . • r • •. .• 1 •
— ^ = 1-1-..., afin (lue le puisse laire une citation bien
r(,r) ' 1 J I
précise. Et puis, j)our M. Lerch, dont le Mémoire traite le même
sujet, a-t-il obtenu également le même résultat? M. Lipschitz
doit faire une revendication de priorité, toute bienveillante,
M. Lerch n'a j)as eu connaissance de son travail, s'étant confié à
LETTRE 176. 363
lin Mémoire de M. Hurtvvilz sur une question analogue el clans
lequel les recherches de M. Lipschitz ne se trouvent point men-
lionnées.
J'ai besoin de réfléchir sur vos équations (I) et (11) pour en
bien comprendre la signification; comme vous avez (h'i battre
l'estrade de tous côtés pour rencontrer cette formule!
J'avais songé de moi-même à ces nouveaux points de vue pour
l'étude des nombres de Bernoulli et d'Euler, auquel vous vous
trouvez amené; tout cela rendra extrêmement intéressant votre
prochain Mémoire sur les fractions continues, que j'étudierai avec
soin, vous pouvez y compter. Mais, en ce moment, je suis dans
le chagrin d'une grande déception au sujet de la méthode de
Laplace. En posant
e,(.r) ==S(-i)"'A,„.r2"S
H,(:r) = S(— i)'«B,„.r2'«,
elle donne, de la manière la plus facile et la plus simple, les
valeurs asjmptotiques
_ / ^"^ \"\ / ^^^
d'où Ton tire, en supposant m très grand,
^^"'- 4mKK''
"\/^ni = "VKi'f
Ces deux fonctions conduisent donc au même résultat j)our la
loi de décroissement des coefficients que l'exponentielle
puisque
C,n = = i ' (i OU }/L.,n = — •
1.1... m ,„.
Mais, à regard des fonctions semblables.
364 CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DH STIELTJKS.
les nouveaux coefficienls A,,u et \'iii„t sont représentés par des séries
à termes de signes alternatifs; ainsi on a, en désignant para les
nombres impairs et par b les nombres j)airs,
ilï
Or, la similitude d'expression des deux termes généraux b'-"' q^'
et a-™ q"' a pour effet qu'on obtient la même valeur asymptoticpie
|)0ur la ])remière série et pour la seconde. Par conséquent, J-v» a
une loi de décroisseinent plus rapide que A,„ et qu'on ne peul
obtenir par la métliode de Laplace qui ne donne qu'une première
approximation. Cette imperfection a bien été reconnue par Laplace
lui-même, dans la Mécanique céleste; il se tire d'affaire avec une
audace dangereuse dans le cas qu'il traite, mais, pour le mien,
tout m'écbappe et me manque, même l'audace. Quel dommage! la
relation
montre, comme vous voyez, que la loi de décroissement, pour le
carré 0-(.r), peut se conclure de ce qui concerne 0|(.r), mais je
dois renoncer faute de moyens, faute de ressources, à toute tenta-
tive pour parvenir à 0(^) lui-même.
Je vous renouvelle l'assurance de mon affection bien dévouée.
177. — STIELTJES /l HERMITE.
Toulouse, ig mars 1889.
CuKR AloNSIEUIl,
Vous avez eu la grande bonté de me demander dernièrement
de détacher, du travail dont je m'occupe actuellement, une Note
pour les Comptes rendus.
J'espère que vous ne désapprouverez |)as si, au lieu de cette
question du terme complémentaire d'un certain développement
en fraction continue, j'ai choisi un autre morceau traitant des
dérivées de séc.r et de tang.2\
LKTTRE 177.
365
C'est parce que peut-èlre ([iielques géomèlx'es, en lisant inaNole,
trouveront plus de plaisir à cherclier une démonstration des rela-
tions tpie j'ai trouvées, qu'à lire plus tard celte démonstration dans
\e Journal de M. Jordan. Suivant moi, cette démonstration est
assez difficile à trouver.
Je vais indiquer comment les théorèmes sur les dérivées de sécr
et de tangx permettent d'établir mes fractions continues.
I'2n général, lorsqu'on pose
P\
71
P^
y.f
les/>, q s expriment ainsi
Pn
A„ W,
Ao ^ Bo = I ,
rt„_i a II
B.
A.B,
\ <l\ Cl
a y a
(tn (hi+\
'/( + !
En supposant donc que les ((/ soient les coefficients du déve-
loppement
.^^ \..>...An
0
ou du développemenl
pp(
langa" =
^U i.i...{i.n
U
la difficulté se réduit à calculer les déterminants A„, B,j. Mais ce
sont les déterminants des formes quadratiques
n — 1 n— i
^ 2«/+/,X/X/,, 2 ^«,>/,4-iX/X/,,
366 CORRESPONDANCE d'hERMITE Kl 1)K STIELTJES.
el les valeurs des déterminants découleiil iininédlalemenl des
décompositions en carrés.
Ainsi, dans le premier cas,
A„= (ao^ic.. .Y-=[o\-i\ \\...i-in — %)\Y,
\^„=.{a^b^c■,...f=[^\V.^3\...{■xn- y)\\\
I I 5 6t _ I
,/■
X
Dans le second cas, on obtient de la même façon
A„= i! 2! 3!...('i«- I)!
B,, = i!2! 3!...(>/0!
—-!L. =z (■2n — -i)l ('2/1 — \)\
B«-i
= {ill — i)\ {■ni)\
^''±1 =(2n)!(2« + i)!
/y„ = ( 2 /t — 1 j2 /i, </„ = i /i ( 2 // + 1 ),
I 2 16 272 _ I
X x'^ x^ or' ■ " I . •>.
•le crois que l'étude des dénominateurs des réduites de ces frac-
tions continues ne doit pas être négligée, mais, dans mon Mémoire,
ces fractions continues ne figurent qu'à litre d'exemples de la
théorie générale, et cette étude particnlicre urentrainerait trop
loin et y serait peu à sa place.
Je ne sais, monsieur, comment je dois nous lemercier et
LETTRE 177. 367
m'excuser de la peine que je vous cause; crojez bien à mou
dévoùmenl sincère (').
«u = I, f = %(^cr[\\,
«1=1, /" = sécj-[ I -4- •>. i |,
«2 — 5, /'*' = séca"[5 -h i.%z + i i -■-],
«3= 61, /'*'= séca"[Gi -H 662 j 4- I j'20c2h- -%oz'^]^
«i = I 385, /'8) = S(''c^[ I 38 j -)- 24 )68c + 83 66^ 32-t- 100800^^+ ^o 3 >.«).
«5 = 5o 521,
</6= 27 702 765, /' = séca" lang.r[i],
''" — '99 -^60 981, /'') = séca" tanga^[5 -t- Gs J,
«8 = 19 391 5i 2 145, /'^* =: sécar tanga7[6n- 180- -4- I20.3- ],
, /'"' = sécj:- tanga:'[ I 38 J -H 7 '^66 -3 + 10 920 -s^ -H- 5 oio^'' J,
«B = 6i2-l- 662^ + 1 320--f- 7202, coef. de /'''^
rt«= 3.1383 -+-28.2^568 + 24.83 664, coef. de /(^) et de /'»',
«6 = 61.1 385 -H 180.7 266 -4- [20. 10 920, coef. de /(^' et de /''',
a-i = i 385^+ 7 2662-f- 10 9202-4- 5 040^, coef. de /'"^
«0=1, f = tanga'[i],
«1 = 2, cp" = tang3'[2 -4- 2c],
«2 = 16, ^'.4'= langa"[ 16 -4- 4o- + 24-3-J,
«3= 272, cp(6'= tangj-[272 -T- I 232 3 -4- I 68052-4- 720 ^•■'J,
a^— 7936, '^(8)= iang:f[7 936-1- 36 0205-1-129 024 32-f-i'2o 9603-^-1-40 )2o.
rtj = 353 792,
«6= 22 368 2J6, o =1-4- z,
«7=1903757312, cp'" = '2 -i- 85 -(- 632,
«8 = 209 863 342 976, o(5'= 16 -F- 1363 -t- 24o3--h 12053,
. . . . , '^(■'= 27>. -h 3 9683 -H 12 0965- -4- r3 4 10 33-T- 5 o4o3''.
(.' ) Note des éditeurs. — La Note jointe à cette lettre a été coinimiiiiquôe
à rAcadémie dans la séance du 25 mars 1889 {Comptes rendus, t. CVIH,
p. 605-607).
Les valeurs numériques des coefficients des /W et cpW de cette Note n'ont pu
trouver place dans les Comptes rendus. Nous pensons utile de les reproduire à
la suite de celte lettre. Elks faisaient partie de la première rédaction de la Note
en question [voir lettre 179).
.)G8 COKRESPONDANCE ij'lIK IIMITF. Kl' DK SlIKLUliS.
«i = i . 16--+- 3. 4<)--!- j.u4-, cocf. ileip'*'.
rt^ = \ .>..i~i -h i.i. l'i.'ii, cocf. de tp'-'el de ç."'
«4= >..8.i3r)-4- i.G.vi'io, coef. decs^î'eldeti'''
m = •>.. I jG--t- 4 .240- -T- (j. 120'-, coef. «le ç»'*',
f(j— 1.7 9U)- H- ') . J6 3-20'' -T- J . ( '29 o '. I - -f- 7 . I .to i)()()^ H- 9 . '|0 j->o-, coef. de 'i'*',
(7; — '..3 9G8--(- 4 !■'- 0962 -r- G . I î 44<>"' "!- 8 . J O jo- , coef. do»'"',
n- ^ \ .■>.- 1~ 93G4-3.I ■232. )G 3204- J. i G8o. 12g 024 -1-7. 7 2»). l'.o 9G0, coef. de o'^'et de 'i'**'
178. — STIELTJES .1 II ERMITE.
'roiilousc, 19 iiuu-s 188;).
Cher Mon.sieuiî.
L;i (oi'imilc
, l> V^ ( a -4- /i/> )t— 1
( a I > — —
\ (X) ^ ,,a^iiù
•XII T. ■>.nT.(l
cos ( ,/• arc lanj; — , —
{■T)
M 1 / 4/*-
|i«'iil S (Mrire
II
e
2 n Ti I
1 H ; —
M. Lipsclulz piirl (U; cfLLc (Ic-liulliou
cl i('iii|»l.ir;ml n'i
X |i;ii' o,
/. piir — - ,
- |)ar .r,
LETTRE 178. 369
VOUS voyez, ([tie le second membre de ( fj) est
Or-, réquation (10) de M. LipseluLz donne eelle Iranslornialion
de la défînilion originelle de F
r ( (T ) ^ \ I \ / '
0
et en appliquant cette transformation à l'expression (^'), on obtient
0
c'est-à-dire le premier membre de (,3). Vous \oyez que M. Lip-
scbitz part du second membre de (a) ou ([i) et retrouve le premier
membre. Nous avons parcouru le chemin en sens inserse.
M. i^ercb pose d'abord (p. 19)
'ïyiiw, T. S) •= 7 ■
AdiKV -^ Il )•"■
II
(je remplace sa lettre k par /?) et il sup[)ose
o < «V < I, partie ima;^inaire x > o,
et
partie réelle « > 1
(si mes notes sont exactes). J'avoue (pie cette condition relative
à .ç m'euibarrasse et me semble superllue, la supposition
•^" =/> -t- qi (y > o)
assurant déjà la convergence, quel (jue soit s. Aussi, pour retrouver
votre H (./'), je prendrai s négatif
^0)
, A -j- 5 ) I X \ = -7 7 .
3-0 CORRESPONDANCl;; d'hERMITE ET DE SflELTJES.
( )i\ les équations ('() et (5) de M. Lercli sont
(l) t>i{w,x, s) = e~^'^'V{i — s)--^.K(n',x,s) (p. -iij,
+ 00
yg—2nniw
f V TT^ (p. '^a).
Donc, substituant
■r-^ g—iiiniw
Appliquant ceci au premier membre de (o), on obtient
. / ai \ ^ —inr.ij
— \{x)e \ ît/ X , — ,
00
ou bien, à cause de
I
{-ly
II
— i mil T
\~^ e "
^^ ( b — ■>. n iz i )■'
en égalant ceci au second membre de (o)
= 1 I X u~ • -^ — -; : — 1
t;«+''* • .«^ ( b — •>. n - 1 y
ce ([ui est la formule (^).
Je partage votre chagrin de ce que la valeur asvuiplotique de clv«
dans
e(x) = i:i— u"'a.v„.r2'«
se dérobe, tandis que celle de A/„ dans
ei(x) = i:(— i)"'A,„.r2'«
s'obllent sans diflicullé. <Ao„i étant la dificrence de deux quantités
dont \„i est la sonnne, et vu le degré d'approximation que donne
ordinairement la mélbode de Laplace, je crois qu'il est probable
(pie le rap])ort al),„ '. A,^, sera de l'ordre — ou, enfin, d'une puissance
LETTRE 178. 371
négative de m a exposant fini, en sorte f|ue le rapport \/^X,,n
à s/ h. m est sensiblement = i .
lime semble peu probable, en eflt't, qu'il y ait une compensa-
tion plus complète dans les deux parties de A,,n. Cependant, il faut
avouer que cela n'est qu'une conjecture toujours incertaine, et si
j'avais un peu plus de loisir, je serais beaucoup tenté de consacrer
([uelques efforts pour trouver la vraie valeur asjmptotique de A^m-
Mais ce sera difficile, je crois, et, pour moi, il est absolument
inutile de m'occuper d'une question de ce genre si je n'ai pas le
temps nécessaire. Je ne réussis qu'en revenant toujours à la charge
et avec la volonté ferme de parvenir au but.
Je me suis aperçu que mes résultats relatifs aux dérivées de
séc^ et de tangj? s'appliquent presque sans changement aux
dérivées de
sinani.r, cosamx, Aamj"
Je considérerai seulement
f = cosain j?
et je pose
On trouve
z = k sinam^j".
/ =cnr[i],
f ^= snx du j- \ — I J,
/" =cna''[— 1^ ■>./.;• I,
f" = sna" dn^'[i 4- 4 /i^ — 6A5],
/(i' = en :?• [ I + 4 k'- — { io k 4- 8 k-^ ) z -f- i ', k'-z- J ,
/'ï> = sna- ilii j[— I — 44/'^''-— i(J/t*+ (60 A- -+- \iok^ )z — iwk-z-],
/^6' = c n if [ — 1 — 44 A-2 + 1 6 k'*
-+- (i8>.A-H 448A-i-t- 3>.k- )z — (840/:-+ 48o/cV)---f- T^oA^^'l,
si je considère d'abord les dérivées d'ordre pair
f =cnjr[i] = cnx[a^)],
f" = cnj[ — i-{-ik:\, = cnx[ — ai-\- bi z\,
y*(4)=cii, — cnx[-h rti — 6o3-(-C2--|,
/(6) — CI1J7[ «3-4- 63^ -+- C352 cl-iZ'' ],
372 CORRESPONDANCE d'iIKKMHK 11 IIK STIELTJES.
j'ai
ot
«1 ., «2
en J- = «0 ^ -■ :; — 7 ^"
I . i I . >. . î . 4
2^] «/+/.X,-\/, = (.-/oXy^- a,X,-t- <72X2--...)2
.-(6,Xi-- 62X2--...)*
-.(c^X,-...)^
iil)soliiinenl coniine dans le cas de sécj'-. De même pour les déi-i\ées
«l'ordre im|>aii'. Ainsi, par exemple,
,r. = (1 -+- Wk"-^ i()/.'» )-^-+- (Go/ -f- i',o/c-*y^4- (120 A-2/,
ou si je pose, pour simplifier, 2/,= /,
«5 = ( 1 -i- r I /- -1- /'m- 4- ( jo / -h I j /^ )- + ( 3o /- )- ,
<f u = ( I -f- I I /- -H /* )- + { 9 1 / -+- J6 /3 H- /•> )2 -H ( -2 1 o l^- -i- 3o /* )- -t- ( 90 /■' )-,
«s = i -i- 9ii ^"^ -t- I 9'.') /* + ■>.!\~ /^-^ /",
«,;= I H- 8 3o3/--i- >i 4ii^'*+ ■>! o^o/'> + 1013 /•*-!- /'«.
Ce sonl exaeteinenl les Naleurs ilonnées par Briot el Bourpiii
(p. /\(h) cl qu'ils ont obtenues à l'aide de votre belle méthode.
l*our A =z \ ^ on relondje sur mes premières formules qu'il ('tail
bien nécessaire de découvrir d'abord. Et \oi<'i maintenant coimnc ni
ma première fracli(jn continue se dédouble
/cos ani c t'-'"- dz =
4t^
16 A 2
36Â-2
i
A am - c'~' ~ dz =
16
■'^ 3ÏÏ
LETTRE 178. 3-.'»
c'esl-à-dire
cosanic = «o — —
I . ■>.
Aani ;; —ht,
I . •>-
«0 «1 a-i
X x^ ' X''
_.,
«2
1
.■>,.3,
.4^
1
I
.■>..3,
.4^
X -i- -
1
4/r^
6o
a-'
r
X
/.-
" ' . , '•
a?^ ^^ —
X H-.
.le n ai pas encore considère sinam.r, mais je vois Jjien que ce
cas exige une légère modificalion. Aussi, je n'ai pas encore réduil
les intégrales
Ji cosam zc~'^ (/:•. j A y
0 *^ 0
à la ibriiie
imze^-^^ dz
£
U^.d,.
ce qui est très essentiel jjour moi. INIais tout cela va me donner
encore beaucoup de travail. En eOel, j'étais assez satisfait de la
démonstration de mes théorèmes sur les dérivées de séc^ et de
tangx. Mais, si je voulais tenter une pareille démonstration pour
dix, dna", la chose serait bien possible, mais cependant très
pénible. Or, ces relations me semblent si simples que je ne peux
douter qu'elles ne soient l'expression de quelque fait analytique
également simple. Il faudra trouver cela.
Sachant que vous prenez intérêt à la loi des coefficients (7/, h,
dans les développements des fonctions elliptiques, j'ai cru pou-
voir vous communiquer ces résultats. Vous voyez que, dans mes
recherches, je me suis rapproché maintenant du sujet qui vous
occupe actuellement, les valeurs asymptotiques des coefficients.
Va\ vous remerciant, cher Monsieur, des bonnes paroles de la lin
374 CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.
(le votre lellre, je peux vous assurer que je lâcherai d'être toujours
(ligne de l'intérêt que vous voulez bien montrer pour votre dévoué.
179. — HERMITE A STIELTJES.
Mojv CHER Ami,
Combien vous êtes bon et complaisanl de m'avoir fait profiter si
complètement de l'étude attentive que vous avez faite des Mémoires
de M. Lipschitz el de M. Lerch ; le premier étant écrit en allemand,
je n'aurais pu parvenir à j voir ce que ^ous avez bien voulu
m'expliquer avec la plus entière el la plus complète clarté.
J'ai été enchanté des belles formules que vous m'avez envoyées
T)our les Comptes rendus; voire article sera présenté à la pro-
chaine séance de l'Académie et j'espère bien que M. Bertrand ne
fera point difficulté pour son insertion. La commission du budget
a rogné de loooo^', je crois, lallocation accordée à l'impression
des Comptes rendus, cjui s'élevait à la somme importanlc
de 80 ooG*^"".
Vos expressions des dérivées successives de cn.r et les fractions
continues que vous avez découvertes pour les intégrales
me ravissent; à coup sûr, personne au monde analytique n'a jamais
CM \olre idée si heureuse, si ingénieuse de la décomposition en
carrés de vos formes quadratiques à un nombre infini de variables.
Verriez-vous inconvénient à ce que je mette ces résultats, vraiment
surprenants, sous les yeux de M. Darboux avec qui je m'entretiens
de vos intérêts? C'est ordinairement le lundi que j'ai occasion de le
\oir et de causer amicalement avec lui dans le cabinet de M. Ber-
trand, qui, je saisis l'occasion de vous le dire, partage entièrement
nos sentiments à votre égard.
Soient F(.r) un polynôme de degré n (pii n"a point de racines
réelles, et ^{x) un polynôme arbitraire de degré n — 2; je vous
|)ropose comme exercice pour vos élèves à la Faculté de démontrer
LETTItE 180. 37.5
que l'inlégralc
J=/ î^cLr
{xj
est un invariani simullanc des formes
v"F( — ) et v"-2G,
Celle minime queslion vous monlre que j'ai repris mes leçons à
la Sorbonne; je me propose celle année de donner la mélliode de
I^aplace pour la convergence des séries qui représenlenl les cooi'-
données elliptiques, avec quelques petites simplifications dont
vous m'avez suggéré la principale. Vous m'avez fait remarquei'
que la série proposée étanl Sm„, si Laplace pose la condition
U/i= Un^t, c'est uniquement parce que, dans son cas, Téqualion
est plus simple que D,iU,j^= o qui est la vraie au fond.
Étant ainsi fixé par vous, je raisonne en employant la dérivée,
après avoir préalablement formé l'expression asymplotique de i/,,;
on abrège de cette manière les calculs, et la métliode prend une
apparence plus régulière.
Quelle désolation, quelle humiliation lamentable de ne pouvoir
moindre sur S(x) et H(a?) qui sont si voisins de S,[x) et H,(j,-)!
Avec mes plus vives félicitations, mon cher ami, pour vos nou-
velles découvertes et l'assurance de mon afFection dévouée (').
180. — STIELTJES A IlERMITE.
Toulouse, 22 mars 18S9.
Cher Moksieur,
Votre lettre m'a engagé à faire la Note ci-jointe que je vous
prie de substituer à celle que je vous avais d'abord envoyée et qui
est, en cfTel, un peu longue. Celle-ci étant plus courte, trouvera
plus facilement grâce.
(') Note des éditeurs. — La lettre, non datée, semble s'intercaler naturelle-
ment entre eelle du 19 et celle du 22 mars 1889.
376 C.ORRESrONDANCE d'hERMITE ET DE STIEI.TJES.
La formule pour \c sinam csl
1 e~''- sin am z dz
•■ 0
.r2 -)- ( I H- /,■ - ) —
\ ..L-.'i
x^ + S^i + k') — — —''^'' ■'
J---1- 5-(n- A-j
Les polynômes (jiil figurenl dans le développement de sinam.r
sont décidément plus difficiles à obtenir que ceux qui figurent
dans les développemenls de cosam^r et de Aamj:. C'est ce que
vous avez trouvé aussi.
Je ne vois aucun inconvénient à ce que vous parliez à M. Dar-
boux, ou à qui que ce soit de vos amis, des recherches scienti-
fiques qui m'occupent.
Votre exercice sur l'intégrale / -p-^ — ^dx sera, je le crois, un
peu difficile pour mes élèves, mais je verrai (').
Ce qui manque surtout à la vie des facultés de province, ce sont
les l)ons élèves. Les meilleurs que nous avons sont nalurellenient
les boursiers d'agrégation, mais ces pauvres gens oui à subli- un
concours bien redoutable et l'on ne peut pas trop leur reprocher
qu'ils tiennent exclusivement à leur pi-ogramme et ont peu d'in-
clination à s'occuper d'autres choses. Quant aux autres, ils se
contentent presque exclusivement d'être reçus Hcenciés, et encore
est-il matériellement impossible de traiter toutes les matières du
programme dans un cours d'un an, à raison de deux leçons par
semaine. Il ne faut pas oublier qu'il n'est pas possible^ de laisser
(le côté les premiers éléments comme on peut le faire à Paris,
car enfin, ils ne savent pas prendre une dérivée et il faut le leur
apprendre.
Aussi, peut-on consacrer, par pxemple, deux ou trois leçons au
plus aux fonctions d'une varialile imaginaire. Et cette année
j'avais à expliquer à quelques-uns de mes élèves qui, après avoir
obtenu la licence, aspiraient à l'agrégation, le théorème de Cauchy
(') Note de M. Stieltjes. — Je ne suis pas sûr s'il y en aura un qui saux-a ce
que c'est qu'un invariant.
LETTRE 181. 377
Cl (le M"'* (je Kowalewskl sur les (équations aux dériv('es partielles!
Nalurelleinent, il fallait bien leur donner d'abord quelques le(;ons
complémentaires sur la théorie des fonctions.
Mais voilà bien des jérémiades qui ne changeront rien. Il faudra
beaucoup de temps et surtout d'esprit de suite dans la dii^ection
de l'enseignement supérieur pour relever le niveau scientiPupu'
des facultés de province.
Je veux réfléchir de temps en temps un peu sur la valeur
asymptotique du coefficient JLm dans le développement de i-){ûc).
Mais je crois bien qu'il faudra suivre une méthode toute différente
de celle de Laplace.
Veuillez bien accepter, cher Monsieur, la nouvelle assurance de
mon entier dévouement.
181. — riERMITE A STIELTJES.
Paris, 32 mars 1S8;).
Cher Awi,
Je vais risquer une lentalive bien hasardeuse pour avoir la
valeur asymptotique des coefficients de 0(jc) et de H(x), voici
mon point de départ.
La méthode de Laplace pour obtenir la valeur approchée de la
série
S=/(i)+/('-'.)-t---- -/(«) + ....
dont les termes vont dabord en augmentant juscpi'à im maximum
|)0ur décroître ensuite indéfiniment, a été appliquée par lui au cas
où la fonction y(«) se compose d'un produit de facteurs élevés à
de grandes puissances, et c'est ce qui arrive dans les exemples que
j'ai traités. Remplaçons l'entier îi par une variable x^ l'analyse de
Laplace revient simplement à prendre pour valeur approchée de S
l'intégrale / f[x)dx^ et à déterminer cette intégrale par la
méthode donnée dans la théorie des probabilités. La fonction f{x)
étant supposée nulle pour ^ = o, x ^ ce et avoir un maximum
unique pour .r = ^, on pose
f{x)=j\\)e-<\
378 CORRESPONDANCE d'hERMITF. ET DE STIELT.TES.
de sorte que la nouvelle variable / ci-oil rie — oc à + ce. Dans le
cas où f{x) esL de la forme [F(:r)]", la ^alellr de dx s'oblienl
sous forme d'une série en i, et contenant les puissances succes-
sives de -—5 ce qui permet (ralLeiiidre une ap|iroximation cpii
y a
augmente quand n croit. En négligeant -—■> on trouve la formule
yZ/i
C'est de là simplement que se tire l'application si importante à
la convergence des séries qui représentent les coordonnées ellip-
tiques et aussi toutes mes applications. Vous direz que mon
audace ne connaît pas de bornes, et je ne \ous contredirai certai-
nement point, mais, plutôt que de ne rien fiiire. je me propose,
en parlant de l'expression
■77\i"t
1.1. . .im
d'évaluer cbacun des termes par les intégrales
( -ixy-'" q''"' dx et / (^-r + i)^'" 5r'2""+ ')" dx.
r
traitées comme le fait La|)lace. Je prendrai im terme de plus,
j'emploierai le terme en — = dans le développement de dx, suivant
\//n
les puissances de /, et puis, va comme je te pousse, advienne que
jiourra.
Le luxe en côtoyant la misère la rend plus sordide, plus humi-
liante, je considérerai les séries doubles '^/(m, n), où la fonction
de deux indices croît aussi juscju'à un maximum pour décroître
ensuite, qui s'offrent comme coefficients de x"^y'^ dans les déve-
loppements des 0 à deux variables.
Et, comme Laplace dans les pro!)abilités a étendu sa méthode
aux inléi;rales doubles
/ / fi.^^y)d^ (^fy^
LETTRE 182. 379
je prendrai son résultai pour valeur ap|)roclice de la série, à
l'aventure !
Que pensez-vous, dans voire sens analytique in lime, de la
lentative?
Votre bien afTeclueusemenl dévoué.
182. — STIELTJES A IIERMITE.
Toiilonse, 2,3 mars 1889.
Cher Monsieur,
Je veux répondre par quehjues mots à votre lettre. Probable-
ment, vous avez vu aussi qu'il n'est (pas) besoin d'aucun calcul
prolixe pour évaluer les intégrales
'- 0 «-'o
/ (2.r-i- r)2'"^(2'' + ir fl^x = <2"'-' / y"'~^e~'*"y (/y
y,
q = e-",
dont la différence est, par conséquent,
r'> ,11--
•î-'«-i / y '^e-'"'.ydy,
cela donnerait donc une destruction bien complète dans la diffé-
rence
v^-2,H^«î_ Zb'-"'q''\
mais il paraît bien difficile de dire si l'on peut s'y fier. Cependanl,
après y avoir regardé de plus près, je retire formellement l'opinion
émise précédemment que la destruction des termes dans la diffé-
rence se bornei^ait aux termes principaux et, par conséquent,
-T — décroîtrait comme — ou — j-
J'admets maintenant comme probable un conlrebalancement
des termes d'une manière plus complète, quoique j'iiésite cepen-
38o CORRESPONDANCE d'iIERMITE KT DE STIEI.TJES.
(lïinl il iulmollrc le résultai
• 0
Pour savoir avec quelle approxiinalion ou peul poser avec vou?
• Il
il semble naturel, en posant
(le recourir à la formule dEuler
-/ f{x)dx—-J, !/(/., ~J\a)\
(b ^ a -^ nh),
m |)renant n r=yD^ b = yz. a =: o, h = \ .
Vous vojez que f{h), f'{b). /'"\^^) s'annulent, de même que
Or, j'ai remarqué, dans mainte occasion, que si cela arrive el
(pie l'équation d'Euler semblerait ainsi donner régalilé complète
• •nire la série et l'intégrale, la vraie différence décroit très rapide-
dement. Comme exemples, je citerai ici le cas de votre fonc-
lioii lv(x), la relation
A - H- e~'''- -h- e-'-''i'- -+- e-^'-*'"- -t- . . . = ^tJ-- -h e~^+ e ^^-i-. . . ],
et il y en a encore quelc{ues autres, dont voici la plus simple
.r ^^ .r--+- .'i /«•--■'
1
LKTTRE 18*2.
in
c;"esl-à-dir«^, pour /"(j?) == — -,
dx
d.v
I + X
■2 71
•2 7t
.T.
pour dz :>o, f{x) s'annule avec toutes ses dérivées.
Admettons donc qu'on a d'une nianit^-re très approchée, en ellel,
Zd'-'" </"'■= j (•',?■)- '"(7 ''•'■' rf.r.
En |)renant
f{.r) = (■AJ.--+- ()■-!'" ,yl2'+ 11',
la formule dEulci' donnera
X ly^"> II'''- — I /■( .r ) ,/.r -^ ^q^.,.,
' {I
mais les termes suivants, avec /' (u), /*"'(o), ..., renferment des
puissances positives de plus en plus élevées de m, et le degré
d'apj)roxiniation nous échappe conij)lètement.
Je crois que, pour avoir une sohition rigoureuse de la question,
il faudra trouver des transformations analytiques, mais cela nr
sera pas aisé du tout. On ne sait même pas si r.\o,„ est toujours
positif; il s<' pourrait bien (pie la vraie valeur a[)prochée renferme
un terme périodique (pii change désigne comme dans la diflérence
b K(x — \) __ ,
Je crois (pie l'a|)plication aux séries doubles
i2 J\ III . n )
((ue V(jus |»i'op()sez, donnera des n'-sultats exacts et est légiliiiic.
382 COIIRESPONDANCE D IlERMITE ET DE STIELTJES.
J'ai [)lusleurs fois évalué des intégrales doubles d'après la méthode
de Laplace et avec un succès complet.
Votre bien sincèrement dévoué.
183. — IlERMITE A STIELTJES.
Paris, 2j mars 1889.
Mon cher Ami,
M. Darboux, à qui j'ai communiqué vos charmantes formules
de développements en fractions continues, en a été aussi enchanté
(uie moi; nous vous prions tous deux de vouloir nous fournir la
liste complète avec les indications des recueils, de toutes vos publi-
cations mathématiques, nous aurons à en faire usage. M. Bertrand,
j'ai le plaisir de vous le dire, n'a fait aucune difficulté à l'insertion
dans les Comptes rendus de votre dernière Note. Vos remarques
sont excellentes et désolantes, je me les étais faites déjà en grande
partie et, dans ce que je vais écrire, je n'aurai garde de dissimuler
tout ce qu'il j a tie hasardeux et d'obscur à prendre pour valeur
approchée de la somme
i:('2.r-t- \)'"'q'
lintéiirale
^»'
f {■>..v-h\y^"'q^--''-^^i'- dx.
(hiel dommage, car le dé\eloppement suivant les puissances
descendantes de m que vous ramenez au calcul de
/
— » 7
s'ul)lient très facilement sans recourir au procédé de Laplace.
Ou a, en effet,
/ .r"'-' e--'^ dx ~ w"' e-"> 1 -, \ -, -H . • • 1 •
. / ^^ m m {m -\- \) m{/n -j- i){ m -t- ). ) /
Mai> voici de bien autres difficultés à l'égard des fonctions 0
LETTKE I8'l. 383
à deux variables. Il s'agit d'obtenir la \aleiir asjmptotique pour ni
et n très grands de la série double
si^a^m fjî,i c-^S"-+i/"'i' + ''l'"-t (a, b = o, \, ■>.,.. .),
question en apparence toute semblable à celle des 0 elliptiques,
or il s'en faut du loiil au tout; la fonction de deux variables
^ini ■i-2/i (j—(g.r-+2/i.vy + k)-)
où (^g\ h, k) est une forme définie positive, passe par deux maxima !
l'ar conséquent, tout s'effondre, il devient impossible d'appliquer
la méthode de Laplace qui suppose essentiellement un seul et
unique maximum.
Et, en même temps, vojez comment se révèle la singularité
|)leine de mystères des fonctions de deux variables. Deux maxima
comportent un minimum dans leur intervalle, s'il s'agit des fonc-
tions d'une seule variable; rien de pareil pour deux variables; que
peut-on entendre, en effet, par un système/? et q de valeurs inter-
médiaires entre a et ùj a' el O'I
En vous demandant d'a\oir la bonté de me rappeler et de me
dire où Dirichlel a donnt'; la formule importante dont vous a\iez
si habilement tiré une démonstration de l'égalité de 1\L Lipschilz
/}l\(.V—l) _
T{x) -'+•••'
je vous renouvelle, mou cher ami, l'assurance de tout mon dé-
N ouement.
184. — STŒLTJES A HERMITE.
Toulouse, 2j mars i88(j.
Cher Monsieur.
La vraie démonstration de mes propositions concernant la
décomposition en carrés de certaines formes quadratiques est si
excessivement simple, (ju'il est vraiment humiliant de n'y a^oir
pas songé tout de suite.
38 'i CORKESPONDANCE d'hERMITK El DE STIELÏJES.
•le considrre les dérivées d'ordre pair de /'(./) = séc j:*, r- = tang-x
/ = sécx(ao),
' yC') = sécx{a.î-ir- b^z -h CîZ-),
/■(«) = séca;( «3 -t- b-i z -i-- T:; ;:- -4- (•/■{ ^•■' ),
( ■>. ) sec J^ = 7 •
D'après le lliéorèine de Taylor
(Kl hirii, (Ml suhstiliiant les \aletirs (i),
(:{) - [séc(j7 -h /j) + sec C.r — A )|
sec:r \
"1
1. '.
-f- rt.. -
. K.'i.\
z séca\
1
\
A,
1 . •'.
1
h'
. >. ). i
z- séCvT 1
(
" 1
h'
1 . ■>. . J . i
Mais
I «éc(.r -T- /i) + séci'j;' — /<)]
séca" iéc.h séc./' «éc A
I — tang2^ lang'^A i — ;taiig'-A
= sécj'- Séc/j(l -f- â; tang2/, -i- -i l;,|io'. /, ;-;;:! tim-'' A - ..),
(lOri. par e()mj)araison aNec (.n,
^ec/i = «0 -f- (1 1 -i- fi-, -T- . . ,
1 . '. " I . ■». . 5 . j
, , , , , b' , II*
scc/t tanir- /< = h, h «o
, , , , /' '^
scc/t laiig'A = c'o -I- . .
- \.■x.■^.\
D a|)rrs cela, en se rappelant (jiie :; t^ lani;-./'. on Noil <pi<;
LETTRE 18i. 385
second membre de (3) peut s'écrire
r X'- x'* T r /r2 h-^ 1
L 1.2 1.2.3.4 J L I • '^ 1.2.3.4 J
L 1.2 1.2.3.4 J L i'^ 1.2.3.4 J
r •^^ 1 r f^' 1
+ C, 5—, H- ... X C2 5-7 + . . .
L 1.2.3.4 J L 1.2.3.4 J
-h ,
tandis que le premier membre est
-^ —f [(x^hY'^-^{x-hf"\,
2 ^U 1 . 2 . . . ( 2 n )
0
soil i-\-/x=nj en comparant de part et d'autre le coefficient
de x^^/i'-^', on trouve immédiatement
( 4 ) «/J = «/■ «A + bi b/^- -+- Ci ca- -i- . . .
et, en particulier,
(5) «2/ = «■- -H 6,- -I- c? -t- C.Q.F.D.
Le théorème sur les dérivées d'ordre impair s'obtient par la
considération de
- [séc(a? -h h) — séc(.r — h)]
et, avec de légères modificatioias qui se présentent d'elles-mêmes,
le même raisonnement s'applique aux autres cas des fonctions
tanga", snx, cna^, dna^.
Je viens de voir que, dans le Tome 79 du Journal de Crelle,
M. Stern, dans un Mémoire sur les nombres eulériens, a dé-
veloppé aussi les dérivées de sécr, ( )> en introduisant
/ gx g— x\2
des polynômes en tang-^, f — ^ 1 • Il a considéré les mêmes
nombres «/, 6,-, c/, ... que moi, mais les relations (4) et (5) lui ont
25
386 CORRESPONDANCE DUEliMlTi; ET DE STIELTJES.
échappé. 11 se borne à discuter les relations entre les «,-, bi, Ci, . . .
qui résultent du calcul de proche en proche des dérivées, d'où il
tire diverses consécpiences relatives aux nombres eulériens, etc.
Dans le Tome 88 du même journal, il considère aussi les déri-
vées de lang^; mais ici, au lieu d'introduire des polynômes en
tang-.r, il introduit des polynômes en sin-o;. C'est là, je suppose,
la cause que les résultats qu'il obtient ne présentent pas une ana-
logie complète avec ceux de son premier Mémoire. S'il avait aussi
introduit ici des polynômes en tang-.r, je ne doute pas que l'ana-
logie n'eût été complète.
Mais, réfléchissant sur l'application aux fonctions elliptiques,
je me suis aperçu que, si, dans mon cas, on emploie le théorème
de l'addition, on pourrait, par une légère modification, déduire
ce théorème par des considérations analogues.
Cependant, après avoir ainsi retrouvé le théorème de l'addition,
j'ai vu que cette démonstration est exactement celle qu'Eisenstein
a donnée (dans ses Mémoires réunis, avec une Préface de Gauss,
p. i55-i58).
Au lieu de recourir à la formule d'Euler, j'ai eu l'idée, pour
voir avec quelle approximation on a
"^ fj^.m fjh'- — I (2 3" -H I)2'"çri2i-l-lj- ^37^
de me servir d une formule d'Abel [CSiinfes, t. I, p. 38),
'i(a)-f-«f(a-:-i)-f-o(a-f-2)+...
/•" , I , /•" dt [ oi a -h fi) — o(a — fi)~\
J„ ' ' a^ J, e2«-i L 11 j
La démonstration d'Abel n'a pas de rigueur, mais, récemment,
j'ai retrouvé cette formule et vu qu'elle est applicable sous cer-
taines conditions. Ces conditions, du reste, je ne me les rappelle
pas distinctement en ce moment.
Dans le premier cas, il j aurait égalité absolue, mais, dans le
second cas, on est amené à une intégrale qui n'a pas de sens. Tout
cela me parait indiquer que le problème de trouver la valeur
LKTTRE 185. 887
asjmpto tique de
1
est. extrêmement difficile. Dès que j'aurai un peu de loisir, je me
propose de voir si, en attribuant à q une valeur fixe, cette expres-
sion ne change pas de signe en donnant à m des valeurs de plus
en plus grandes. Gela ne m'étonnerait pas, et serait une nouvelle
preuve de la difficulté de cette question.
Je vous renouvelle, cher Monsieur, l'expression de mon entier
dévouement.
185. — HE RM I TE A STIELTJES.
Paris, 28 mars 188g
Mojv CHEii Ami,
V ous avez le don des démonstrations simples et élégantes, et je
ne puis assez vous dire avec quel plaisir j'ai vu l'analjse rpie \ous
m'avez communiquée dans votre dernière lettre. J'achèterais bien
volontiers, au prix d'une humiliation plus grande que celle cpie
vous exprimez, de trouver de telles choses. Vous vous êtes ren-
contré avec Eisenstein, qui tenait beaucoup à sa démonstration
algébrique du théorème de l'addition des fonctions elliptiques,
ainsi ([u'il me l'a dit lui-même quand j'ai été le voir à Berlin
en i853, et vous n'avez point lieu de regretter une telle circon-
stance.
Vous vous êtes bien facilement rendu compte, sans doute, de
ce que je vous disais, ([ue la fonction
X-'"^ y2" e — { gx'^+lh.fy+ky-)
a deux maxima, ce à quoi j'étais bien loin de m'altendre, et aucun
minimum, ce qui tient à la nature méphistophélique des fonctions
de deux variables. Il me faut, par conséquent, renoncer à obtenir
la valeur asjmptotique que j'avais espéré trouver en opérant
sur ©(x, jK) comme sur 0(x). Jai repoussé aussi comme une ten-
tation dangereuse et périlleuse de chercher l'intégrale définie
cpii aurait donné facilement, eu différentiant par rapport aux
388 COimESl'OXDANfll' d'hERMITK I<:T I)K STIEI.TJI'S.
conslanles. la <|iianlité
Je m'en tiendrai donc aux applications de la méthode de [.aplace
qne j'avais eue en vue tout d'abord.
Permettez-moi de rappeler à votre sou\enir la fonction ^(-v) qui
m'a donné occasion de citer vos recherches dans une leçon à la
Sorbonne.
M. Jenssen a donné une relation intéressante qui est indiquée
dans le Bulletin de M. Darboux
{s — \)Us) = i+2(— l)VCv(i- — 1^ <V =1, '2, 3, ...),
où l'on a
Cv= > ^^ rino;(/) -hl) v_j_(loo;/2 )V , (/J = I, 'i.S. ...i.
I . '2 ... V ^mà { n j . ^
Elle n'est pas difficile à démontrer, mais je doute qu'elle four-
nisse l'expression définitive de la fonction de liiemann; en tout
cas, elle est utile, l'auteur en ajant tiré les valeurs numériques
des premiers coefficients Cv, résultat auquel j'attaclie beaucoup de
prix. Permettez-moi, lorsque l'occasion s'en présentera pour vous,
de vous demander de m'indiquer, au point de vue de l'Arithmé-
tique, la conclusion du Travail de Riemann, qui est en allemand
et que je n'ai pu lire. Mais que cela ne vous détourne point de
ce que vous faites en ce moment où vous obtenez chaque jour de
nouveaux et excellents résultats; il arrivera certainement que vous
vous sentirez recherché par l'Arithmétique et naturellement vous
reviendrez à la fonction s('^)'
En attendant, mon cher ami, la liste de vos publications, je
vous renouvelle l'assurance de mon affectueux attachement.
186 — STIELTJES A HERMITE .
Toutoiise, 39 mars 1S89.
Cher Monsieuii,
La formide de Dirichlet se trouve dans son Mémoire fondamental
Sur la convergence des séries trigonométriques, dans le Tome 4
LETTRE 186. 889
du Journal de Crelle. M. Lipschilz obtient aussi de celte manière
sa transformation et j'emprunte à lui cette citation, que je ne peux
vériiier (les trente premiers volumes du Journal de Crelle ne se
trouvent pas dans notre bibliothèque), mais je n'ai pas le moindre
doute quant à son exactitude. Quant aux séries 0 à deux \ariables
et les expressions
y "V a2'"b-"e -(ê-"--H2/»/i+/,-6')
n'ja-t-il point de votre part une légère inadvertance? 11 me semble
que F(x, 1) ne passe que par un seul maximum, pour les valeurs
positives de x et y, bien entendu. C'est probablement à cette
dernière condition que vous n'avez pas eu égard.
Je considère, pour j? >> o, y >> o, s >> o, la fonction
où ax'--\-. . .= '^ est une forme définie positive.
11 est clair qu'il j a, au moins, un maximum; il me semble
qu'on peut établir ainsi qu'il suit qu'il n'y en a qu un seul.
Les conditions du maximum ou minimum sont
^ ^- "^ X ~^^' ""'^'•^ " '^ """'
I '^ > ,^ P /
■i ây ° y
— logF — - — bix — a^y — cz =0.
Ce système, nous le savons, admet au moins une solution (en vo^-
\e\\vs positives toujours). Mais, s'il en admet plusieurs, il est clair
<pie ces solutions répondront toujours à de véritables maxitna,
car la forme quatiratique
se réduit à
•2 \0x^- ^ '
cp(X,Y, Z)— — X'- ^ Y2- Xz2.
' x^ y- z-
Vdmettons, pour un moment, (|u'en dehors de la solution
X ^ xo, y — yo-, -s = 5«, F = Mu,
Sgo coRRESPONDAKCK d'heumite et de stieltjes.
Mo élant le inaxiiniun absolu, il y en ait une
X = Xi,
y = yu
où M| -< Mo esl un second maximum.
Considérons les surfaces
¥ {X, y, z) = const.,
ou plutôt la partie de l'espace où F(.r, ;)^, c) ^const. ^ C. Tant
que C>Mo, il n'y a pas de partie réelle de la surface. Faisons
décroître constamment C. Pour C = Mo, nous avons un point isolé
X ^= Xq, y ^ y^j, c = Co. Pour C = Mo — A, la surface est fermée
et enveloppe le point Mq. A mesure que C décroît ainsi, la partie
de l'espace où F >> C s'étend ainsi.
Lorsque C ^ M-i, la surface se compose :
i" D'une surface fermée enveloppant Mo;
2 D'un ])oint isolé ^\^[x^J )^i, :;i ) en dehors de la surface
fermée.
C décroissant toujours, le point M, aussi se trouvera enfermé
dans une nouvelle surface fermée et, C continuant à décroître, les
deux parties séparées de l'espace où F^G vont nécessairement
s'unir en un point P. 11 est clair que, dans ce point P, point sin-
gulier d'une surface F = const., les écjuations (i) sont satisfaites.
Mais, de plus, ce point P n'est pas un maximum, car, en se dépla-
çant d'un côté ou de l'autre, on peut faire croître ou décroître F.
Mais, comme nous avons \u que tout point satisfaisant à (i) esl
nécessairement un maximum, il j a ici contradiction, l'hypothèse
d'un second maximum est inadmissible. Donc, à moins qu'il n'y
ait un \ice caché dans ce raisonnement (et j'avoue que je ne le vois
pas), on peut affirmer que la Ibnction F n'admet qu'un seul maxi-
mum pour les valeurs positives des >ariables, et le même raison-
nement s'applique à un plus grand nombre de variables. L'on se
LETTRE 187. 391
trouve bien dans les conditions nécessaires pour l'application de
la méthode de Laplace.
Il me semble que le raisonnement précédent est exact; cepen-
dant, je ne suis pas tout à fait sûr et j'espère que vous me ferez
part de vos objections, si vous en avez. . ., l'opinion de M. Picard
me serait aussi très précieuse.
J'espère pouvoir vous envoyer dans quelques jours la liste de-
mandée; si je n'ai pas voulu remettre jusque-là à vous répondre,
c'est à cause de ce que vous m'aviez demandé concernant la for-
mule de Dirichlet.
Votre sincèrement dévoué.
187. — HERMITE A STIELTJES.
Paris, i" avril 1889.
MOK CHEa A-Ml,
J'éprouve bien de la difficulté à suivre les considérations rela-
tives à l'hjperespace, ce sera donc l'avis de Picard et non le mien
que vous aurez sur l'idée originale que vous me communiquez
pour établir l'existence d'un seul et unique maximum de la fonc-
tion
m n n
1 1 H. . .— cp(a?, y, ^, . . .),
X y z 7V'./'' '1
lorsqu'on suppose un nombre quelconque de variables. Dans le cas
de l'espace réel et relatif à trois variables, votre raisonnement,
contre lequel je n'élève aucune objection, me semble extrême-
ment ingénieux, et je ne vois guère comment on pourrait s'en
passer à moins de se jeter dans un océan de calculs.
Pour le cas des équations
— = ax -i- by. — = bx -{- c y,
X y
je crois préféi^able de joindre à l'ellipse
m ^ Il = aa?^ -+- ibxy -\- cy-,
celle-ci qui représente deux droites
an x'^-\- b(n — m) xy — cniy^ = o.
892 CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELIJES.
On voit, en etïet, cjiie les droites sont réelles et que les coeffi-
cients angulaires sont de signes contraires; par conséquent, l'une
d'elles se trouve dans les deux régions où les coordonnées sont de
mêmes signes, c'est celle qui donne, par son intersection avec
l'ellipse, la solution unique en quantités positives à laquelle cor-
respond le maximum, tandis que l'autre droite se trouve dans les
deux angles des coordonnées où elles sont de signes contraires.
Je me suis aperçu trop tard, hier, que l'intégrale
«^0 ^0
s'obtient immédiatement au moyen du procédé 'élémentaire qui
consiste à poser ^::=pcoscp, j^^psincp, l'intégration pouvant
s'effectuer immédiatement par rapport à 0. Mais, voici une autre
question sur laquelle j'aimerais bien avoir votre avis. C'est une
application que je pense donner à mon cours de la formule
/'
dt
A^-H-B 2y/AB
Soient
A=i — 'i.x -\- % \J X'- — I, 8 = 1 — tx — a /•2^- — I,
on aura
AB = I — aaiTM- a2
et de là peut se conclure l'expression de Jacobi des fonctions X^.
Soit, d'abord
lang-
on aura
et, par conséquent,
. - = r
v/i — 2a^-i-a2 / I — a ( ^ -f- \J x- — i cos cp )
Voici maintenant mon raisonnement. Supposons x réel et
LETTRE 187. 898
moindre ({ue riinité; j'observe que le module de
X -1- ^x"- — I COSCp,
ayant pour valeur x- sin-'^ + cos-o, est aussi inférieur à l'unité. Il
est donc permis de développer, suivant les puissances croissantes
de a, la fraction sous le signe d'intégration; ce qui donne sur-le-
champ
,71:
X„=— / \x -\- \J X'- — 1 cos©)" r/cp,
sous la condition admise et, par suite, quelle que soit la variable.
Soient, en second lieu,
A = ,r — a — ^ x''- — I , B = a" — a -+- \J x'- — i ,
d'où encore
AB =1
on a maintenant
A -)- B — (A — B ) cos 'X, = '2 ( 37 — an- \J x- ■
d'où
,(
y/i — 1-j.x -\- X- J ,r — a -f- y/a-2 — i cos œ
Cela étant, je suppose a: réel et supérieur à l'unité. L'expres-
sion X -\- s^ X- — icoscp, étant aussi grande qu'on le veut, je puis
me servir de la série
(« = o, I, 2, .. .)
X -4- \J x'^ — I cos Cf. — a ^^ (^7 + s/x'^ — I cos 'i)'
et j'en conclus l'expression de Laplace
«-'11
(j7 -i- \J X"^ I COSCp j""^
M. Laurent a donné une méthode ingénieuse que M. Jordan a
reproduite dans le deuxième volume de son Cours d' Analyse,
mais qui s'allonge pour une question secondaire, la détermination
de signe; sauf l'obligation de prendre successivement ^ •< i et
.r >■ I qui me contrarie un peu, la marche que j'ai suivie me
semble facile.
Sg^ CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.
C'est au mois de juin que nous ferons usage de la liste de vos
publications; il n'j a donc pas urgence, cependant, il peut se pré-
senter Iclle circonstance où il nous serait utile de l'avoir plus
tôt; achevez-la donc, mon cher ami, si vous avez commencé, et
envojez-la moi. En vous renouvelant l'assurance de ma bien sin-
cère affection (' ).
188. - H ERMITE A STIELTJES
Paris, 3 avril 1889.
Mon chek Ami,
Votre détermination de Tintégrale
(fi e~'^ (^^ dy d^
m'a fait le plus grand plaisir, jamais je n'aurais réussi à découvrir
et à introduire l'aire S du triangle sphérique qui vous en donne
une expression si élégante; je pense que vous ne vous opposerez
pas à ce que votre analyse soit publiée dans le Bulletin et je suis
assuré d'avance que M. Darboux lui fera le meilleur accueil. Je
lui donnerai lundi la liste de vos travaux que vous m'avez envoyée,
mais je ne vous réponds pas qu'il ne demandera pas que vous j
ajoutiez l'indication des articles des Comptes rendus; en tout cas,
vous apprendrez dans quelques mois l'usage que nous en aurons
fait et qui ne sera pas pour vous être désagréable.
(') Note des éditeurs. — Il manque une lettre de Stieltjes dans laquelle il
donnait une démonstration de la formule due à M. Hermite
^^ ^oc a^'c cos( 7^ )
f r e~^^^^y)da:dy= \^l^ ,
<\i{a:,y) = ax--i- ibxy -4- cy-,
démonstration qui a été publiée dans le Bulletin des Sciences mathématiques,
2' série, t. XIII, i" partie, p. 170-172.
Il manque aussi une lettre de M. Hermile à laquelle la lettre perdue de Stieltjes
répondait. Gomme le montre la lettre 188, elle contenait une démonstration de
la formule écrite plus haut.
LETTRE 189. 39.5
J'accepte avec empressement et une grande reconnaissance,
comme un témoignage d'amitié auquel je suis bien sensible, votre
offre de collaboration pour une seconde édition du premier volume
de mon Cours d' Analyse. Il j a quelques années, lorsque M. Bou-
quet est tombé malade, je l'ai remplacé pendant le premier semestre
à la Faculté, ce qui m'a donné l'occasion de revenir sur le calcul
différentiel en cbangeant l^ien des choses de ce premier volume.
Ce sera à employer pour une nouvelle édition et, si vous le voulez
bien, nous commencerions l'entreprise aux vacances prochaines.
Ne vous hâtez pas et prenez voire temps pour le Mémoire de
Riemann; en ce moment, j'ai d'autres choses qui m'occupent et,
si intéressant qu'il soit pour moi, je j^réfère attendre à avoir plus
de loisir pour m'en occuper.
Une autre fois aussi, je vous parlerai de l'expression de '(^{s)
de M. Jenssen. Ce matin, en donnant les expressions de Jacobi
et de Laplace pour les ionclions X,;, j'ai vu que j'avais bien inuti-
lement pensé à la convergence des séries suivant les puissances
de a, la convergence n'a rien à faire ni à voir dans la question,
puisque a est indéterminé et peut être supposé aussi petit qu'on
veut.
V^ous pouvez ainsi juger combien je suis sujet à commettre des
inadvertances, c'est ce qui me fait attacher tant de prix à votre
amicale assistance pour la revision de mon premier volume où
elles ne manquent point.
Avec tous mes remercîments, mon cher ami, et en vous renou-
velant l'assurance de mon affection la plus dévouée.
189. — STIELTJES A H ERMITE.
Toulouse, 3 avril 1889.
Cheiî Mojnsieuk,
Ce n'est pas grand'chose que je peux dire sur votre déduction
des intégrales qui représentent X,^, mais, puisque vous j tenez,
je ferai de mon mieux.
Il me semble qu'après avoir obtenu
(0 -===-/ f== -,
V 1 — 2 a 37 -+- a- J ^ i — a ( x -^ \i x- — i cos cf- j
og6 CORKESPONDANt;E d'iIERMITE ET DE STIELTJES.
il n'esl pas nécessaire de faire aucune supposition concernant la
valeur de x et qu'on pourrait raisonner ainsi. Quelle que soit la
valeur de x (réelle ou imaginaire), on pourra toujours donner au
module de a une valeur tellement petite (ju'on ait constamment
moda(:r -+- ^ x''- — i coscp) < i
et alors
^ a"(,r -1- si X- — I cos»)"
I — a(^ -t- \J x''- — I cos^ )
et, par conséquent,
(2) X„ = - / i^x ^ \/ x'^ — icos(p)"rfce.
''^ «-0
Mais, à l'égard de cette formule (i), il faut remarquer que, à
proprement parler, on doit bien indiquer la valeur du radical
ambigu \' \ — 2aa;-l-a-. (hiel que soit x, la formule est exacte
pour a = o en prenant le radical + 1, et c'est là la raison qu'on
obtient (2) sans faire aucune hypothèse relative à x.
Mais supposons x réel et supérieur à i ,
X -i- y/^- — I cos cp
restera toujours positif et si, maintenant, nous supposons aussi
-X réel, positif et très grand, vous voyez directement que l'inté-
grale est négative ; ainsi, au lieu de (i), il faudrait écrire
v/i — -ly-x -^ oi- J^ I — x{x -h \/x'^ — 1 coscf )
On suppose a assez grand pour que, constamment,
moda(a7 -t- \/x^ — i coscp) > i
et, développant alors suivant les puissances descendantes de a, on
obtient
(3) X„ =
""-/ 0
d(f
X -i- \J X- — I cos© j •
Mais, si nous avons dii supposer ici x' > 1 , cela tient à la cir-
constance suivante.
LKTIRH 189. 397
SI l'on se place au point de vue le plus général, on a
(3') X -+ ' r "^^
l'o \a.--^\/x- — I coscp;
et il faut prendre le signe supérieur ou inférieur selon que la
partie réelle de x est positive ou négative. Dans le cas où la partie
réelle de x est nulle, l'intégrale n'a pas de sens. C'est ce que
remarque aussi M. Jordan.
Voici comment j'ai cherché à rattacher ce résultat à votre lué-
thode.
D'abord une remarque sur votre point de départ
f\i
dt
J'observe que
est une fonction uniforme (dans un tel cas, il serait peut-être plus
précis de dire bien déterminée) admettant la coupure de o à — 00.
En posant donc
il faut faire varier /■ de o à h- oo, B de o à ±7:, mais G ne doit
jamais franchir ces limites i+i tt. Mais, pour () = o, on a
2 s/ z
\fz étant réel et positif. Donc on aura, à cause de la continuité,
généralement
a/-|(cos 26-1- f sin-5-6)
En somme, dans la formule
•2 y z
l'argument de \j z varie entre ± -■, c'est-à-dii-e la partie réelle
de \jz est positi^'e.
098 COKUKSPONDaNCE U'IIERMITE ET UE SIIELTJES.
Ainsi, j'écris
/•" dt
,.u/|
et il tant prendre ici le radical 4 /-r avec nn tel signe (|ue la partie
réelle 6oh positive. De même, dans la lormule
/»" d^ _ "^
(4)
-(A-i- Bj — -(Â-Bjcos-^ A»/-
■^ '-^ y/ A
Si, maintenant, je prends avec vous
l A = 1 — a(x — '^x- — 1) = 1 — a^,
) B = I — u,{x -^ \/ x'^ — I j = i — y 5
je vais supposer d'abord j; quelconcpie mais moda assez petit pour
(jue B et A soient sensiblement ^i , alors on obtient la formule (i);
le radical étant aussi sensiblement i et, de là, la formule (i).
Mais il est un peu plus difficile d'obtenir (3) ou mieux (o'j.
Remarques préliminaires. — Les parties réelles de
I _ p — qi
A = /> -H ql et de
A />^-t-^^
ont même signe.
Donc, les parties réelles de
\^ X — \J X- — i et de ^ = ^ -4- s/ x- — i
ont même signe et ce signe sera aussi celui de la partie réelle de
I
a? = -
■2
et encore (en snpjjosant a réel) de
x -H \J X'- — I cosc? = E sin-^ - a» -H t cos- o.
' 1 ' \ 2 '
On voit par là que x^sjx'^ — -icos'^ ne peut s'annuler (pie
lorsque x est purement imaginaire.
LETTRE 189. 399
Cela étant, je reviens aux formules (4) et (5).
Je suppose x quelconque, seulement pas sur l'axe des Y, de
sorte que sa partie réelle ait un signe déterminé qui sera aussi le
signe de la partie réelle de ; et de > • Ensuite, je suppose le module
de a très grand, de sorte qu'on a sensiblement
et ainsi, dans la formule (4), on a sensiblement
et comme il faut prendre le radical tel que la partie réelle soit
positive
où il faut prendre le signe supérieur ou inférieur selon que la
partie réelle de x est positive ou négative. Il en sera de même dans
toutes les formules suivantes.
Le second membre de (4) est donc sensiblement
-^i^ï)
si donc y/i — aax-i-a^ est pris avec un tel signe que ce radical
est sensiblement = a (on suppose moda très grand), il vient
. '1^
I — a(j; -T- y/a?* — • r coscp)
Nous avons remarqué déjà que x -\- \J x'^ — icos'^ ne s'annule
pas; en supposant donc moda suffisamment grand, on aura con-
stamment
moda (a? + sj x- — i coscp) > i.
Il est permis alors de développer, suivant les puissances des-
cendantes de a, ..., ce cjui conduit directement à la for-
400 COKRESl'ONDANOi: D HEUMITE ET DE STIELTJES.
nulle (3')
{.r -+- ^a
Je vous demande pardon de ces longues et minutieuses consi-
dérations dont le fond se trouve aussi dans le Livre de M. Heine;
il n j a que de légères différences de forme. Naturellement, on
pouirait aussi considérer votre seconde substitution
A = ï — 7., B = i — a.
Si Ton suppose a très petit ([)Our développer ensuite comme
vous suivant les puissances croissantes de a), on a sensiblement
(signe -{- ou — , selon le signe de la partie réelle de J?) et le second
membre de (4) est sensiblement
^^ï)
donc, si y/i — 'i.a.x + a- est sensiblement ^ -f- i , on a
/
y/ 1 — i a.r -h a^ / x -\- \,/.r- — i cos cp — a
et développant suivant les puissances croissantes de a (ce qui est
permis, puisque ^+ \i x- — i coscp ne s'annule pas), on retrouve (3').
Mais je dois terminer cette longue lettre qui aura déjà mis à
l'épreuve votre patience.
Veuillez bien toujours me croire votre bien dévoué.
P. S. — A l'aj)j)ui de la demande que je \ous ai faite dans
ma dernière lettre, je ferai observer que vous avez dû corriger les
épreuves de bien des Notes que vous avez présentées en mon
nom à l'Académie et que ce ne serait que juste si je vous rends
un service analogue.
LETTItK 190. 4oi
190. — lŒRMlTE A STIELTJES.
Paris, 4 avril 18S9.
Cher Ami,
Ce n'est pas tout à fait une inadvei^tance mais peut s'en faut; en
tout cas, c'est une négligence que de n'avoir pas fait attention que,
dans la formule de Laplace,
^ Jq {^ -^ coso ^x-— i)"
le second membre doit être pris tantôt avec le signe +, comme je
l'écris, et tantôt avec le signe — , ce dont Laplace s'est, je crois,
peu inquiété. La méthode tirée de la considération de l'intégrale
définie
dt T.
r
At^^B .^^AB
me seml)le rendre bien compte de cette circonstance.
Revenant, en effet, à l'expression plus générale
-/:
df
Gf^-h 2Ht-^K
où G, H, K sont des constantes réelles ou imaginaires et repré-
sentons les racines du dénominateur par
— H -^ ?■ v/GK— H2 — H — i v/GK — H2
A ' A
Si l'on admet que dans ^o le coefficient de / soit positif, on a la
valeur
" A ( Zo — 2l ) ~ y/GK — H2 '
tandis qu'il faut prendre
J = :--
v/GK - H^
si le coefficient de / dans cette même quantité est négatif. C'est,
en effet, la conséquence de l'expression générale de l'intégrale
26
4o2 CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.
/ f{L)dt par a^Ttï, où S est la somme des résidus de /(^)
pour les seuls pôles qui soient au-dessus de Taxe des abscisses.
En appliquant cette règle au cas particulier de
/;
dt
A/^+B
v/AB
où A = J7 — a — \Jx- — I , B = ^ — an- \Jx- — I : vous vojez qu'il
faut prendre, dans le second membre, le signe + ou le signe — y
suivant que le coefficient de i dans
v/i — aa;
X — a — ^x- — [
est positif ou négatif, ou encore suivant que la partie réelle de
/
I — aa^- -V a-'
X — a — \/x'^ — i
est positive ou négative.
Cela posé, j'envisage le cas de a infiniment petit, puisque je
dois faire le développement, suivant les puissances croissantes
de a, de
I
X -\- cos cf \/x- — I — a
Il suffit alors de considérer la partie réelle de
\/x-
encore de ^ + \/x- — i . Soit donc
X -+- iy -^ ^(x -{- iyf' — r = X -t- i Y.
L'équation X =^ o donnera la limite de séparation des régions
cbi plan où X est positif de celles où X est négatif. Or, on a
\ — -ix -\- '^{x -{- iy y^ — I -t- '^{x — iy)--
et l'équation
■X X -\- \/{x ->r- iy y- \ -\- \J { X — iy y- — \ = o
se réduit, en faisant disparaître les radicaux, simplement à ,r = o.
C'est la conclusion donnée par M. Jordan; mais qu'il est peu
LETIRK 191. 4o3
agréable et peu honoral)le de faire disparaître les radicaux comme
font les derniers des écoliers! En tout cas, la remarque est, je
crois, à faire dans mon premier ou mon second volume.
En attendant votre avis, croyez toujours, mon cher ami, à mon
bien sincère atlachemeut.
M. Sonine, professeur à Varsovie, a trouvé une forme nou-
velle du reste pour la formule sommatoire d'Euler et celle de
Slirling.
Dans cette dernière, au lieu du terme complémentaire
O.B., [
il obtient
in (in — I ) .r-«-i
B„ I
■i n{in — I ) (a- -h 6 )-"-' '
où o < 8 < i-
\ ous verrez son article dans les Comptes rendus de la |)rochaine
séance.
191. — STIELTJES A HE R MITE.
Toulouse, 5 avril 1889.
Cher Monsikuii,
Je ne peux assez vous exprimer le plaisir (jue vous me faites en
acceptant mon ofl're de vous aider à la correction des épreuves
d'une seconde édition de votre Cours, et je ne pourrai m'occuper
plus utilement pendant les vacances, car les terribles chaleurs, à
Toulouse, ne permettent point un travail un peu difficile.
C'est vous qui m'avez appris quelque chose sur les intégrales X„ ;
sachant ce qu'a fait là-dessus M. Heine, je n'ai pas pensé à faire
mieux; votre méthode à lever l'ambiguïté du radical dans la for-
mule / — — 5- me semble bien préférable. La seule chose dans
, ' \ t — I- t> '
0
ma lettre qui pourra vous avoir été agréable c'est la méthode
simple (de M. Heine) de reconnaître que les parties réelles de
ont toujours même signe et s'évanouissent simultanément.
4o4 CORUKSl'O.NDANCE d'iIKHMITK li I 1»F, STII;I.T.IKS.
A vrai dire, je ne sais pas si ee (juc jc nous ai écril sur I iiili'^i'alt'
fil e-'\d.Tdy
ch
a été rédigé avec assez de soin pour être iiiipiinié. Si vous erovez
qu'il soit préférable cpie je rf^lasse une nouNclle i'(''daelioii, je suis
lout disposé à la faire.
L'expression du reste de la formule de Stirliiii; de .M. Sonine
est bien |olie. Il y a (pielque temps, |"ai trouvé une (b'monsli ation
(pour ainsi due synthétique) de la lonnule
iog Y(a)=^ya j loii a — r/ h — log( >.-) -^ M a )
qui me semble assez curieuse, étant fondée sur votre notion de
coupure d'une intégrale définie et votre formule poui- la dilïérence
des valeurs d'une intégrale définie aux deux bords de la coupure.
Mais, comme cela se rapproche un peu des recherches de M. Bour-
guet, je ne veux pas publier avant lui.... Aussi, la détermination
de la constante - log( y — ) <pii figure dans la formule s'obtient plii>
royalement dans ma méthode (pie dordinaire.
Ayant rédigé à peu près cela et sachant que vous donnez dans
votre cours la théorie de la fonction I', je vous oflVe ce que j'avais
écrit là-dessus, ce qui, bien entendu, ne vous oblige nullement à
le lire ni à me le renvoyer; vous |»ourrez détruire ce manuscrit,
car je ne songe nullement à le publier.
Je suis toujours entièrement abîmé dans mes fractions continues.
TNIais ne faudrait-il pas publier en même temps dans le Bullclln
votre premier calcul de
/ / e- '"'"-+-'">+ ''y'-' dx dj
par un développement en série. C'est là une méthode, peut-être
moins simple que de poser .r=pcos9, -)'=osinO, comme vous
lavez remarcpié. . ., mais elle |)Ourrait bien s'appliquer à d'autres
cas.... (i'est ce (pie je dois laisser à votre jugement. Je joins
seulement la lettre cpii contient votre calcul.
En NOUS renouvelant, Monsieur, l'expression de ma \i\egrati-
MaiRiî 19*2. 4o5
tilde |»oiir avoir bien voulu ac<'epler mon oiFre, je suis loiijoiu^s
\oUe 1res tlé\oiié.
192. — H ERMITE A STIELTJES.
Finis, 8 avril i8Sg.
Mon chkr Ami,
Je \iens de donner à M. Darhoux \olre déterniinrilion de l'inté-
grale / / / P~'^^ (I X dy dz , dont la rédaction m'avait paru excel-
lente, sans (jue j'y aie trouvé un mot à changer. Mais, pour plus de
sûreté, M. Darboux nous enverra les é|)reuves à corriger, ce c[ui
vous permettra de faire les changements que vous jugerez à propos.
Ai-je besoin de vous exprimer avec quel intérêt j'ai lu la brillante
esquisse de la théorie de la fonction logr(rt) que vous m'a\ez
envoyée! Je dois, la semaine prochaine, partir de Paris pour passer
en Lorraine, dans ma famille, le temps des vacances de Pàcpies;
c'est de là que je me propose de vous écrire ce qui [)ourra mètre
suggéi'é par l'étude attentive de votre théorie si neuve et si origi-
nale. C'est aussi pendant ce temps que je voudrais rédiger à tête
reposée, comme vous l'avez à Toulouse en province, plus facilement
que les malheureux Parisiens, les applications de la méthode de
Laplace dont nous nous sommes entretenus. Mais je suis bien
mallieureux en ce cpii concerne 0( ./) et H(dS') ; il faudra me borner
à l'indi("ation bien hasardeuse cpii consiste à prendre un terme de
plus dans l'approximation de l'intégrale définie qui n'est, hélas,
qu'une approximation de la série à évaluer. Ce qui adviendra de
ma tentative sur B(x, y), je ne sais, nuiis je ne vous cache pas
que j'ai peu de confiance dans le lésultat, à cause de l'expression
assez compliquée ipi'on Irouxc pour le maximum de la fonction
l«.>-+2/;.>'y \-cy-
Vous serez donc, mon cher ami, peudant les grandes vacances,
mon collaborateur et mon associé pour une œuvre dont je serai à
profiter seul ; j'accepte votre concours et, je vous le répète, de grand
cœur; sans vous, le courage m'aurait manqué et je n'aurais pas
4o6 rOURESl'ONDANCE I) lIKiniITi: ET DE STIELÏJES.
ent)'epris celle seconde édition si nécessaire pour (jn a|»rrs moi je
laisse un Ouvrage élémentaire moins incorrect.
En vous renouvelant mes remereimenls et l'assni a urc de mon
adectueux attacliement.
193. — HERMITE A STIELTJES.
F*;iris, i> avril 1889.
Mon cheu Vmi,
Ne soyez point surpris si ma correspondance est un peu inter-
rompue, un nouveau deuil de famille m'oblige de partir en
Lorraine.
Je ne sais point au juste quand je serai de retour à Paris.
Pour essayer de me distraire, permettez-moi de nous dire com-
ment, à la leçon que je devais faire demain et que je ne ferai pas,
je me proposais de donner les deux formes du terme complémen-
taire de la série de Stirling.
Après a\oir obtenu
/ '^[x)e"-'
OÙ
cf(.r) = 'i7-^ (« = I, 9., 3, . ..),
ce qui [)ermel d'écrire
■^ r" -le"'' dx
^^ J _ ^ x'- -h- l^ n- t:-
2 /ITT?
X = •
a
/•" ae^^ dx _ /"" ae^""?c^$
J_ ^ x^ -h f\ n- ■::' J_^ n7z(^'^ ^ a- )
et, en changeant ç en — ^
-_ 1 r" e-'"^'zdi
je pose
|] \ient ainsi
LETTRE 19'*. 407
/-11, , r 'V^ g— 2"TC|
Cela étant, le développement log(i — e~-'^^) = — > donzie
immédiatement
Je vous renouvelle l'assurance de mon afFectueux attachement.
194. — STIELTJES A HERMITE.
Toulouse, i5 avril 188).
Cher Monsieur,
Je vais vous présenter quelques remarques très élémentaires :
c'est votre grande bonté qui me fait espérer que vous les ac-
cueillerez avec indulgence.
Il y a quelques mois, vous m'avez fait remarquer que le coeffi-
cient du binôme (m)« est divisible par ^j d étant le plus grand
commun diviseur de ni et n. Donc (in)^^ terme constant dans le
développement àe (x -{ ) , est un nombre pair. Mais je trouve
que ce nombre est aussi divisible par n -\~ \ . Voici quelques
exemples :
n.
I
1
3
4
5
6
7
C'est ainsi qu'il suit que j'ai été amené à cette remarque. Je
(2/2),,.
( 2 /« ),^ :(/?-(- 1
2
1
6
2
20
5
70
14
252
42
924
l32
3432
4-^9
4o8 CORKKSPONDANCE DIlKRMITi: KT DR STIELTJES.
considère la fraclion continiic
F= •
Il est clair que la réduite d'ordre n a celte forme
x"-'^ -H a x"-'-^ -I- b x"-° -\-. . .
X" -\- a' x'>--- -^ b' X"-'* -T- . . . '
«, b. ...; a\ h', ... étant des entiers. Donc, parla division, on
voit que, dans le développement suivant les puissances descen-
dantes de ^
p Aq Al Aj _^ A„
tous les Ki sont des entiers.
Mais
p ^ s/x"- +4 — 3?
d ou 1 on lire sans peine.
A,-
A,; = {0.11)11.
n -+■ 1
Je n'ai pas cherché une démonstration purement arithmétique.
J'ai commencé par dire que {2n),i est pair, mais, pour savoir au
juste quelle esl la plus haute puissance de 2 qui divise (2«)„, je
calcule les nombres
1 / \ 9.
cl j'ai la règle suivante :
Si, parmi les nombres
n, n^. n<i. n^,
(dont le dernier est 1 ) il j en a k (pii soient impairs, alors 2* esl
la jjlus haute puissance de 2 qui divise [-in),,.
D'après cette règle, si je suppose n = 2* — i, j'aurai
/i,= '>y'-i — I. /i, = 2''-- — I, ..., n/,_i = '2' — 1;
LETTRE 19i. 409
donc, dans ce cas, 2*= /? + i est la plus haute puissance de 2 qui
divise (2/i)„, c'est-à-dire le nombre A„ est impair. J'ajoute que
tous les autres nombres A„ sont pairs.
En efl'et, d'abord si n est pair, K,, l'est aussi parce que (2/?)„ est
toujours pair. Je n'ai donc qu'à considérer le cas où n est impair
mais point de la forme •>.'' — i .
Ainsi, on aura
Il = 2'/?? — 1 ,
m étant impair et au moins égal à o. Cela étant, on a
«1 = '2''""' 1)1 — I ,
/ir = "1 — I pair et ^2.
Donc, dans la série
/> , n i, rii, . . . ,
il y en a au moins /■ -+- i qui sont impairs, savoir les /• premiers et
le dernier. Donc, si 2^ est la plus haute puissance de 2 qui divise
{0.11)11, on a
s ^ /• -!- I et n -^ \ = -i'' ni ;
donc A,^ est pair.
Voici une curieuse génération des nombres A„. Je forme le
Tableau suivant :
0 l
2
3
4
o
'
7
8
0
10
[ 1
1
•2
■>
)
9
14
>4
4 '2
42
I
r
3
4
■4
'28
48
90
I
r
ô
6
1
20
•27
75
1
7
8
35
1
I
9
I
4 10 coitKESPONDANCE d'heioiitiî i;t ue siieltjes.
(1 iiprrs la règle suivanle : Soil la colonne verlicale à l'en-tèle
on en déduit
n
-1- I
a+p
P
+ ï
T
+ 8
l
-\- I
I
el ajanl
impan-
n -+- I
a
p + a
T+P
i + X
1
Vous voyez figurer dans la première ligne horizontale les
LETTKE lO'l . 4' 1
nombres A„, in;iis ce qui est plus cui'ieux le voici : Prenez la
somme des carrés des nombres qui se trouvent dans une colonne
verticale, on retrouve la série
I, I, '2, j, (4, ^•i■, 13-2, 4'''-9' '43o, 4^fi'>-i '''79*^)
= Ao, A,, Ao, A), Av, Âg. A,-., A7, A», Ag. Aiq.
Mais ce n'est là qu'un cas très particulier d'un autre résultat
que j'ai obtenu en considérant ce problème.
Etant donnée une fraction continue
C3
en déduire le développement
X X^ X" x-"'^'-
J'ai été surpris de voir qu'il restât encore à trouver quelque
cbose sur un sujet aussi élémentaire.
On s'assure aisément que A„ est une fonction entière homo-
gène de degré a -\- \ des quantités Co, c,, ..., c„, les coeCficients
étant entiers et positifs.
La solution que je propose est renfermée dans les deux
théorèmes suivants :
Théorème I. — La forme quadratique
i]i]A,.,x,-x,
0 0
est égale à
Co[aoXo-f-ai X,-4- aa^j-t- «3X3 + . , .]2
-4-CoC,C2[plXiH- ^2X2+ P3X3 + . . .]^
-t- C0C1C2C3C4 [Y2X2-I- Y3X3-I-. . .]2
-1- CoCiC2C3C4C5C6[f>.3X3-(-. . .]-
4lC> CORIUCSPONDANCH: U UKUMITK et Dli STIELTJES.
Thkorrme h. — La forme <iu(i<li(iti(/i(e
!
est en; air à
y yA,+,.„x,x^
Co Cl [ Ko Xo -h a, X, H- 70 X., + '7,3 X3 + . . . ]2
-^ '"0CiC,C3[p,XiH- ^2X2+ P3X3-+-...]2
+ CoCiC2C3C4C5[Y2X2+ Y3X3-+-. . .^
Les coefficients
5^0) î^l) ^-21 «:!,
Pi, P2, i^a,
•S
03,
(qui ne sont pas les mêmes dans les deux théorèmes) peuvent
être considérés comme connus, on les calcule à l'aide de relations
récurrentes d'une grande simplicité.
En effet, si je forme le Tableau suivant :
(T)
0
l
2
3
n
fi
I
I
Ci
I
CiH-C,
cf+C,C2
Cf -+- C| -t- -2 C, Co-f- Co C3
C\ -+r IC'l Ci-h CiC| + C1C2C3
I
C1-4-C0-I-C3
Ci-\- C2-+- C3-I- Ci
Cf-i- C|-|- 3 Cl C2-I- '2 C2 C3+ C|-i- C3 c,.
I
I
Ci-h C2-H Cs-i- Ci-i- C5
1
LETTRE 19i.
d'après la loi sui\ante :
4i3
et de
on (Icduil
Il -f- I
a + C2 3
? + c,y
Y -\- C,; 0
1 + c„
I
ini|)Rii
on déduit
n -f- 1
Cl a
c-3 ? + a
CâT + P
C„_2)v -1- k
c„ , I -f- X
1
4l4 CORIlKSr>ONDANCK TJ HEUMITE KT DE STIELTJHS.
Cela élanl, si j'écris y part les colonnes de rangs pair et
0
2
4
6
8
«0
«1
ao
as
«4
?i
82
h
^4
T2
73
T4
'
04
^4
1
;3
ri
7
2tO
«1
«2
«3
p.
?2
P3
T2
T3
O3
j'ai, dans le premier cas, les coefficients cpii figurent dans le
théorème I, dans le second cas, les coefficients qui figurent dans
le théorème II.
Si, dans les deux théorèmes, je ne considère que les termes avec
les carrés des variables, j'aurai
Ao = c'o,
Al = CqCi,
A2 = CoCf -+- CqCi Ci,
A3 = Co Cl ( Cl -h Co )■- -+- Cu Cl Co C3
A', = Co(c| -H CiCo)--!- CoCiC2(Ci -h Co-h €3)^-^ CqCi CjCsCj,
A5= Co Cl (Cf -h C|-r- 2 Cl C2 -h CaCa)^
-f- Co Cl C2 C3 ( Cl + C2 -1- C3 -T- Ci )2 _}_ Cq Cl C2 C3 C,v C5.
Vous vojez que si l'on a poussé le Tableau (T) jus(pi à la
colonne n on peut écrire immédialemcul les valeurs de Ao,
Al , . . ., A,,.
IVJais vous vojez bien uuunlenanl couiment mes recherches sur
les fractions continues m'ont amené, de la manièi'e la plus nutu-
LETTKE 193. 4l3
relie, à considérer ces nombres A^^ = (2/1),/ dont j'ai voulu
vous entretenir.
En vous renouvelant, cher Monsieur, l'expression de mou
attachement bien sincère et très dévoué.
195. — HERMITE A STIELTJES.
Flanville, pai" Nuiseville (Loi'raine), 17 avril 1889.
Mojv CHER Ami,
Votre lettre, qui m'intéresse vivement, me parvient en Lorraine
où j'ai été appelé par un deuil de famille, comme je vous l'ai écrit
avant de partir. Je m'empresse de vous informer que, dans l'un de
ses nombreux Mémoires dont je pourrai, s'il est nécessaire, obtenir
l'indication en m'adressant à lui-même, M. Catalan a obtenu la
propriété du coeflicient binomial [in)„ à laquelle vous avez été
conduit. De quelle manière l'a-t-il démontrée, je ne le sais, mais
voici la mienne. Considérant, en général, l'expression
m (m — i). . .{m — n -f- i >
( m )n = .
I.7.. . .11
je désigne par 0 le plus grand commun diviseur de m -\- i et /i, et
je pose la relation
0 = ( 7?i -H I ) A -)- n B
où A et B sont entiers. Cela étant et après Tavoir écrite ainsi
rj = (m — 71 -T- I ) A -f- ( A -1- B ) n,
je multiplie les deux nombres par le facteur
ni (ni — \). . .{m — /i -1- a )
I . 2 ... 71
ce qui donne facilement
m (77? I ) . . . ( 777 — n
0 = (777),, A -(- {m)„-iB.
En représentant par E le second membre qui est entier, on a
4l6 COUUKSI'ONDANCK DUKinUTE El DE SHELTJES.
donc
{/n )„o = {m — /i -H I ) E .
,...., m — n + \ o •
el vous voyez ainsi que {lujn est <li\isiljle |)ar =;^ boit
ni = 2/«, les entiers 'in -\- \ et n soni |»remiers entre eux, o ^ i el
le coefficient (2 /i),/ est elleclivemenl divisible par /? -|- i ; mais
votre méthode, tirée d'une identité algébrique, est puisée à la vraie
source des plus iuiportanles |)ropriétés des noinl)res. Je vois avec
infiniiuenl de plaisir combien vous avez heureusement jirofité du
rap|)rochcment si original et dont personne n'avait jamais eu l'idée
de la décomposition en carrés des formes quadratiques à un nombre
infini d'indéterminées avec la théorie des fractions coiitinues algé-
briques. Le Mémoire auquel vous travaillez sera extrêmement inté-
ressant, on se rappellera peut-être en vous lisant, qu'autrefois, il y
a bien des années, les fonctions Y, V( , Vo, ... du théorème de
Sturm, qui ont pour origine un développement en fraction con-
tinue, ont été aussi rattachées à la décomposition en carrés d'une
forme (puidraticpic, mais ces questions sont maintenant si loin de
moi, qu'il me faudrait pour j revenir un eflort que je n'ai pas le
courage de faire. Et puis je vais lâcher de rédiger les applications
de la méthode de Laplacc dont je dois faire un article pour
rinslitiit de Bologne. En com|Uant au besoin sur \ous, mon cher
ami, pour ce travail si quelque chose survient qui me fasse obstacle,
je vous renouvelle, avec mes félicitations pour tout ce que vous
venez de rencontrer, l'assurance y\v mon bien allectueiix atta-
chement.
196. — STŒLTJES A HERMITE.
Toulouse, j» avril i88<).
CuEIt MOJNSIEUR,
Vous avez parfaitement raison, parmi quelques Mémoires de
M. Catalan, que je possède grâce à l'obligeance de l'auteur, se
trouve un article Sur les nombres (Je Segner. M. Catalan désigne
par T,, le nombre de manières dont un polygone convexe de
n côtés peut être décomposé en triangles au moyen de ses diago-
nales. L'on a T/, =: 2, T5=5.To=i4, ..., ce sont précisément
LETTRK 196. 417
les valeurs de A2, A3, A4, ..., et il doit y avoir là-dessus des articles
dans les Tomes III et IV (i""^ série) du Journal de Liouville.
Je reviens un instant sur mes formules
(I) V VA/+a-X,-X/, = Co(«o,t)Xo-l-«o,iXi+«o,2X2-t-.. .)-
-+- CoCiC2(ai,iXi-{- a, ,2X2-1-. . .)-
-1- CqCi CiC^Ci^ia^^i X2 -+-. . . )'-
(II) 2 7 A,-_HA-hiX,-X/,= CoCi(6o,oXoH- 60,1X1-1- 60,2X2 -H. . .f
-1- CflC) 0263(61,1 Xi-i- 61, 9X9 -t-. . .)-
-I- CuCi 02036405(62,2X2-1-. . . )^
pour remarquer que leur vérification est, pour ainsi dire, immé-
diate.
En effet, supposons que, par le développement des seconds
membres, on obtienne
22 ^'./^•^'^^- ^^ 22 ^'•'^■^'^'"'^''■'
je dis d'abord que l'on a
(1) a/,/,+ i= p,-,/,.
En effet,
ot/,A-i-i = Coao,j«o,/,-i-i -t- f''oOi02ai,/«i,A-4-i -t-. . . ,
S,-, A- = OqO, 60,, -60, /,■ -I- OoOiC2C36i,/6,,/, -H ...
mais les lois de récurrence sont
60, «= «0,/(-^- C2«l,/i,
61, «= «1,hH- 04«2,«,
62,» = «2, /(-H C,ja3,„,
et
'J'0,«-H1 = '^1 60, «,
«1,H+1 = 60,,, -I- 0361,,,,
«2,« + l = 61,,, -f- 0.562,,,,
«3,«+l = 62,,, H- O763,,,,
27
4l8 CORRESl'OiNDANCE D'iIEK.MITK ET l)K STIKLTJES.
Exprimons donc les ao,/f+) p^'r les b^>^k et les b^^i par les «o,/? ••• r
on aura
a/,/. + i = Coao,/(cièo,A-) + CoCj C2ai,j(èo,/r4- 636,, a-)
-i- CoCiC2r3C4a2,/(6i,/.-t- Cibi^/,.) -t-. . . ,
^iz•,/.■ = CoCièo,A(«o,/-i- caai,/) + CoCj C.2C36, ,/,(«],/+ c^ao,,-)
-H CoCiC.2C3C:,Csb.2^/,(a.2^i-\- Cnasj)^. . ..
L'idenlité de ces expressions est manifeste.
Il est clair qu'on a pour la même raison
donc
d'où il est facile de conclure que l'on a généralement
lorsque
f H- /î = /• -t- S.
On voit par là qu'il existe effectivement une série de quantités
Ao, Al, A2, As, ...
qui satisfont identiquement aux relations (1) et (II).
Ce point établi, on connaît aussi les valeurs des déterminants
P«
Ao Al ... \,i- \
A«-l A2/i-2
et l'on en conclut que la série
Q. =
Al A,
A„ . .
A„
A2„
Ao A, A2 A3
X X- x'^ X*
donne la fraction continue
C5
LETriiiî li)(i 4 19
Vous voyez que celte vérification est bien simple, mais j'ai été
conduit à ces formules par lexamen attentif de certains cas parti-
culiers, principalement ceux que j'ai indiqués dans les Comptes
rendus dernièrement.
Mais je vais montrer maintenant que l'on peut se dispenser de
considérer la forjne cpiadra tique
à condition d'écrire la fraction continue sous une forme légère-
ment modifiée.
On a, en eflet, aussi
Ao Al A2 _ £0
X X- X-^ ' ' ' Cl C-i
■r + C2 -H C3 —
X ^ t\-\- Cû ■
la /?'"'"= réduite, ici, est identique avec la (2/?)'^'""' réduite de la
[)remière fraction continue.
D'autre part, d'après Talgoritlime, on a
au,n+\ = Ci-(- C2-t-. . .-+- Cin+],
en sorte qu'on peut énoncer cette proposition :
U idenlité
22 ^'+/-^' ^'^ = îo [ X + a, X , -t- a2 X2 + . . . J2
-»-E,[X,+ 3.,X, + ...]-^
^£2[X2 + ...]^
entraîne cette autre identité
Ao A, A2 A.-, _
X X- x* x'*
X -\- rz-y
l.-h
J'ai pensé aussi comme vous qu'il doit exister certains rapports
entre mes formules et les recherches sur le théorème de Stui-m et
420 CORRESPONI)A>CE DIIERMITK KT DK STIEMJKS.
sur \olie méthode pour trouver le noml)rc des racines l'éelles,
basée sur la considération de certaines formes quadratiques. Ces
deux métiiodes, si diderentes au premier abord, ne le sont cepen-
dant pas pour lé fond, je crois. Mais, en ce moment, je n'ai pas
toutes les facilités |)our étudier ce sujet, la bibliothèque étant
fermée pendant les vacances.
Veuillez bien me croire toujours, cher Monsieur, votre piofon-
dément dévoué.
197. _ H ERMITE A STIELTJES.
Flanviiie, 25 avril 1889.
Mon cher A.mi,
Il me semble qu'il n'y ait plus rien à ajouter au dernier théorème
que vous m'avez communiqué: l'identit*'
V A,-+/,X,-X/,= £o(X-ha, Xi-4-. ..)2-f-£,(Xi-h !32X2-^-...)2^-...,
d'où vous concluez
Ao _ A] _^ A2 _ ^ îo
X -r'^ x-^ ' ' ' ■ Si : So
a- -I- P2— «!-(-• .
constitue un résultat définitif et que je juge le couronnement de
vos recherches. Ce n'est point du premier coup que vous y êtes
parvenu, mais vous n'avez pas à regretter vos efforts; il n'y a cer-
tainement rien dans les nombreux travaux dont les fractions con-
tinues ont été le sujet, de notre temj)s, qui approche de votre beau
théorème. l-,e point de vue sous lequel vous vous êtes placé est
entièrement nouveau et, quand j'ai, autrefois, touché à la question
en m'occupant du théorèuie de Slurm, c'est d'un autre côté que je
me suis dirigé, comme \ous aHez voir, par la remarque suivante,
qui est d'ailleurs sans portée. Vous savez qu'en posant
\ —{X— a){x — b). . .{X — /),
si l'on envisage la forme quadralicjue
F = ! ( X -H «V -H ... )^ H ^—T ( X H- />Y -r- . . . )2 H- . . . ,
LETTRE 197.
421
qui estime fonction symétrique des racines, le non)l)re des carrés
est égal au nombre des racines réelles moindres que x, augmenté
du nombre des couples des racines imaginaires. Et si l'on pose
F -^^kij.Xi\,, il, A- = o, t, -i, . . .), A,v,= Ayr, ,.,
les coeflicients de ces carrés sont la suite des déterminants
Ao,o ■
V
A,=
Ao,, A,,,
Généralisons en remplaçant la forme F par celle-ci
et soit
puis
(X -I- aY-+-. . .)2-h
V,
X — b
(X-I-6Y-
V ^x — a
V2 _ Y" AB(a — 6)2 _
V ~ ^ (X — a){x — b) ~ ''
Va _ -^ ABG(a — 6)2(a — c)2(è — c)2 _
V """ ^ (x — a){x — b){x — c) """ ''
J'observerai que les quantités Aq, A,, A^, ... ne changent point
en remplaçant dans <1> l'indéterminée X par
X -xY — x^Z—...,
ce (jui donne la transformée
A
2
[ X -H ( a — 37 ) Y + ( «2 — .r^ ) Z H- . . . |2 = 0.
Cela posé, soit
0=2p,./,X,X/,
^mi X — a
Vous voyez, ensuite que tous les autres coefficients sont des
polynômes entiers en x^ et de l'expression sous forme de déter-
422
minant
COUnKSPOiNDANCE I) llKinilTK ET 1)K STIKI.TJKS.
X.'
V
A,-, =
^' P
Pl,0 Pl.l
Po,(4 1
Pl,/-f-
résulte qu'on peiil écrire, en di-sii^nanl par (j et H des |)()lynonies
entiers,
V \ .
V = G V
c'est-à-dire
\, = GV,+ HV.
Mais peut-èlre vaudrait-il mieux employer, au lieu de la forme 0,
cette autre transformée de <I», pour lacpielle les quantités A/ sonl
les mêmes que dans F,
V — ^ rX -H(a7 — a)Y-H(.r — aj^Z-H. . ■['■
Les coefficients s'expriment alors parles sommes des puissances
\'(rr — a)"' = S,i.r"' — /» , Sia""'-'-+- /?ioS9,r'"-~'- — . . ..
Encore un mot au sujet de l'intégrale / f[x)dx et de la
méthode de Laplace, qui consiste à poser f{x) = /'( a)e~'' lorsque
fix) n'a qu'un seul maximum pour x = a.
En posant ^{x) = 1/ log 4-^ — ^ cetLe équation devient F(.r) ^ <,
avec la condition de x ■= a pour / = o. Ne couvient-il pas de
remarquer que la valeur de x sous Ibruie de série en / se tire de la
formule de Lagrange pour la rc'solution de ré(pialion .r = a-\- t o{x)^
., , , — ^ . lorsciu on lail, a|)rcs la dilrerentialion,
.^ 1.1. . .H ' '
^ = a? Il suffit, en effet, de poser—- =iY{x) pour ol)lenir la
proposée.
En vous informant que je serai de retour à Paris dimanche, je
vous renouvelle, mon cher ami, l'assurance de mon hien an'ectueux
attachement.
LKTTHE 198. 423
198. — SriELTJES A HERMITE.
Toulouse, y- avril 1889.
Cher Monsieur,
11 y a certainement des rapprochements à faire entre mon travail
et les travaux classiques sur le théorème de Sturm et sur votre
méthode. La forme quadratique
F= — î — (Xo-haXi-4-a2X., + ...)2
X — a '
est aussi de cette forme j^articulière 7 A,^./!;XtX/;, le coefficient
de XjX^. . . dépendant seulement de « '+ A", et je remarque encore
que le point de départ de mes recherches est la recherche du
minimum d'une intégrale
I ■ \i-]- ai(x — u) -\- a.:,{x ^ u)^ -h. . .-h a„(or — «<)" (lu;
J^, X — u^ '
c'est peut-être aussi à rapprocher de l'expression F. Mais nous
voilà à peu près arrivés à la fin des vacances et, mon travail ayant
pris plus d'extension, il me reste encore heaucoup à faire.
Je ne crois pas me tromper (mais je n'ai pas en ce moment la
bibliothèque à ma disposition) si je me rappelle que votre remarque
sur l'application de la série de Lagrange au développement de x
suivant les puissances de t ayant y"(^ )=/'(«) e"''' se trouve déjà
dans l'exposition même de Laplace de sa méthode.
Voici une curieuse identité algébrique que j'ai rencontrée che-
min faisant. Parmi mes fractions continues est la suivante :
r(^=
Q-XZ cl;^ ^=
2(a -i- r)
3(a-t- 1)
X -H.
424 CORIIESPONDANCE d'hERMITK ET DE STIELTJES.
pour «= 1 , 2, on retombe sur les deux premières que j al obtenues,
cette formule est même renfermée dans une autre où iif^urent deux
paramètres a el b.
Mais je prends « = — /?, n »''lant entier et positif, alors
(«)o ( n)i (n)., (n)n
X -r n
2/i
■2,{n — i)
3 ( /i — 'x)
Je ne crois pas que ce soit facile à démontrer d'une autre façon.
Il me faudra encore beaucoup de travail pour coordonner les
■ résultats que j'ai obtenus et surtout pour m'assurer qu'il n'en reste
pas d'autres qui m'auraient échappés, de manière à a\oir un
ensemble à peu près complet.
En vous renouvelant, cher Monsieur, l'assurance de mon entier
dévoûment, je suis toujours votre très reconnaissant.
199. — HERMITE A STIELTJES.
Pai'is, 5 mai i88y.
MoK CHER Ami,
J'ai donné dernièrement, dans une leçon, pour origine à la série
de Gudermann, qui a beaucoup attiré votre attention, l'intégrale
S = I e"' -— ; dt.
En employant l'identité
I e"^
I — e'
on obtient, en effet, une somme de termes représentés par l'inté-
grale
/*" , ^/i,«'(^ — 2) — « — 2 , / , l\
/ e(«+A)' — ^ i- df = I a -r- A -^ ~ )
io<ï I -t-
a -+- k
LETTRE 199. 425
avec un ternie complémentaire
([ui reproduit la quantité J en y changeant a en a -\- n. Comme
on a J = — ^ , où £ est <C i , le terme complémentaire a pour
12a 1 ^
limite supérieure — -, et devient nul pour 11 infini, ce qui
^ 1 2 ( rt -i- n ) c- '1
détnontre la convergence de la série
l[(''-^--i) '»«(■- dr-A-)-'] a- = 0., ,,,,...).
Je suis peu satisfait de ce que dit M. Serret dans le second
volume de ses Leçons, pour démontrer directement cette conver-
gence. Il me semble nécessaire, en restant dans le cas de a réel et
positif, (remployer le développement
,og(, + .) = .._:^ + Ç_^_^^ (6<,)
(|ui donne pour limite supérieure du logarithme la quantité
X h —
•2 O
(^n trouve facilement
a + k ^ ) los ( I H-
( rt-l- A-H - ) ( — ^—j
•ij \a-\- k
a -\- k I
I
2(a -I- A-)2 3(a -4- A-)3
1
ii{a -+- ky^ Ç)(a -{- kf
d'où une somme de deux séries convergentes, pour limite supé-
rieure de la série proposée.
Vous m'avez bien surpris en mapprenant que la forme quadra-
tique
y — '■ (X + aY + a2Z-f-...)2
^i X — a '
appartient au type 7 A/^/fX/X^, dont vous avez le premier reconnu
426 COnUKSPONDANCR l)'HER>HTE ET DE STIELTJES.
l'iiii|)orlance; il en est de même évidemment de celle-ci
7 rX -1- (.r — a)Y -h (.r — <7 )-Z -+-. . .12,
dont j'ai fait aussi usage. Mais y aurait-il lieu, pour l'Arithmé-
tique, de distinguer ces formes, et intérêt de chercher, ce qui est
encore une question d'Algèbre, les substitutions qui conduisent
à des transformées de même genre ^ A^^^^X) X)^.?
En vous renouvelant, mon cher ami, l'assurance de mon bien
affectueux attachement.
200. — STIELTJES A H ERMITE.
Toulouse, 7 mai 1889.
ChEI! Mo]\SIEUK,
Me sentant un peu fatigué, et aussi à cause de mes conférences...,
j'ai dû interrompre, pour une dizaine de jours, mon tra\ail, mais
je compte bien le reprendre bientôt.
Voici une petite remarque, sans aucuine portée d'ailleurs, que
j'ai faite sur un- j)assage de la Théorie analytique de la ehaleur
dont nous devons une si lielle édition à M. Darl)Oux.
Fourier, pour ol)tenir le développement
i = a cos.r -4- 6 cosSa- -H c cos 5.r -i- fi? eosja^ -I-. . . ,
pose .2? = o dans cette relation et dans celles qu'on en déduit par
des différentiations successives, il obtient ainsi
I
=
a -+-
b
-+-
c
+
d
+ ...,
0
^
a -+-
3^
'b
4-
5-
c
■+-
1-d
+ ...,
0
=
a +
y
'b
-f-
5''
<■
-H
'j'-d
-f-. . ..
0
=
a -t-
36
b
-H
5«
c
-+-
■]Hl
-(-...,
n de ces équations lui donneni les )i premiers coefficients et,
posant ensuite n =00, il obtient
4 / I ., 1 - i \
(■osa? — -7 cos3,r -\- -.■ cosaa; — - 00573? -h. . . .
LETTRE 200. 4*27
Il est clair que cela revient à détenniner une expression
a„(,r ) = «1 cosa; -\- a^ cos3ar H-. . .H- a„ cos(2« — i)t
par la condition que le déveIop|)enient de 'f//(-r) soit de cette
forme
çp„ ( .r ) = I + A„ x"-" ^- knv 1 a72"+2 -t- . . . .
Or, je remarque que l'identité
(■>.i-iin.-r)2«-i — {e'x— e-ixy.n-\
donne facilement
(siiia:-)2"-i = A;;
On en conclut
Il — \ . ( n— \){n — 2) . .
im,7' sin 3.7- -1- sin 33*
/i + 1 ( n H- r ;) ( /î -4- 2 )
A„
/ ( sii) .r )-""' t/,r
3 . 5 . 7 . . . ( 2 /i — I )
4 . 6 . 8 . . . ( 2 n )
I (« — i)(/-* — 2)
cos 3 .r -1- - cos 5 x
5 ( /? 4- I ) ( « -H 2 )
•]■
/■ 2 2 . 4 . 6 . . . ( 2 /< 2 "l
B,, — / sni,r)2"-i dx = ^r^ ^ '■ »
Jo 3.5.7...(2/i-i)
et il est clair qu'on aura nécessairement
A,;!" I « — I I («— i)(/i -2) "1
(i) o„(^) = — - cos2.r — - cos3.r -H - cos 5 a- — ... ,
B„ L 3 /i T- I 3 (/iM-l)(/H-2) J
71
(2) i — (s„ix)= I (sin.r)2'' -1 «'a-: / (sina-)^"-
-1 rt'r.
11 est facile de constater l'identité de (i) avec le résultat de
Fourier, on a notamment
A„
3-. 5-. . .(2/1 — I )-
B„ (r-— i)( y^—1). . [(2/1 — 1)2- ij B„ -
A l'aide de (2) il est facile de démontrer qu'on a
I i m [ I — o„ (:?■)] = o { /i = x)
4^8 CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.
lanL (juon suppose — - << jc <CH En effet, soit
C/( = / ( s'inx)-"-^ do-
évidemment
C„+i< sin2a".G„ et B„_j-,= ^ B„:
I - - cp„+.i(a?) _ G,f-n , G
I — ci„(.r) ~" B„+, ■ B„
: o- < I
— ) sin2
m /
Donc ce rapport i — 'i,/+i(j') : i — -On^x) restera inférieur à un
nombre fixe À compris entre sin-j: et i, pour des valeurs suffi-
samment grandes de a?, d'où
lim[i — (p„(.r)J = o (n = -Ji).
En faisant croître n indéfiniment, Téquation (i) donne donc
„ 1 _
COSo^ -r- 7 COS ^ X — .
— — < ^ < -1 — ^ •
Pour établir ce résultat en toute rigueui-, il faudrait montrer qu'en
posant
b = CO?iX — - COS 3^ + -Q,0%JX — ....
,D 5
I n — I „ i {a — i){ti — -i.)
b = coScT — - ■ — COS 3 a; -\- ^ , , cosaa:* — . . . ,
ô n -\- i 3 ( /« -h 1 ) ( /l -r- 2 )
on a
lini( S — S') = o («=»:;).
Ce n'est pas difficile, mais peu intéressant. J'ai écrit un petit
article sur ce sujet pour les Nouvelles Annales ('). On peut
obtenir d'une façon analogue le développement
- sin 2.r sin/iiT H — - sin ^x — .
•i 4 b
37 <H
4
7t
(') Note des éditeurs. — L'article a paru clans le Tome. VIM, page 4^2, de la
3' série des Nouvelles Annales de Mathërnatiq ues .
LETTRK 201. 4^9
Soit d'aborJ
<}^ra(-'Z') = «1 sin-i^ H-. . .-h a„ si 11 i nx
avec la condition
i];„(:rj — x ^ X„a:*''+i4- kn^xx''-»^-'' ^
On obtient '|'«(.r) en remarquant que
(|;„(.r) — X
ne dilïère que par un facteur constant de
/ ( sina-)'^" dx^ ....
Veuillez bien agréer, cher Monsieur, la nouvelle assurance de
mon sincère dévoûment.
201. — HERMITE A STIELTJES.
Paris. 10 mai 1889.
Mon cheu A
Mr,
Vous ne pouvez pas douter du plaisir que j'ai eu à lire votre
ingénieuse et élégante analyse et vous voudrez bien recevoir mes
compliments pour ce que renferme d'entièrement neuf l'équation
cp„(.2:^) = I -f- knx'^" -\-- ■ .; n'y a-t-il point là quelque écho éloigné,
quelque réminiscence des fractions continues? Maintenant, je
viens faire appel à votre charité en appelant votre attention et vos
observations sur la façon dont je présente la méthode de Laplace
sur le dévelo[)pement des coordonnées elliptiques (Mec. cél., t. V,
Supplément). Je raisonnerai de préférence sur l'anomalie excen-
trique au lieu du rayon vecteur; on a alors la série
u ^= t -k- e %int
I. 2. . .m. 2'"-^
OÙ
T„j = m'"-' sin mt — m , ( m — 2 )'«-i siri (m — ■1)/.
-+- /n2 ( m — 4 )'"-! sin ( m — 4 ) ^ — ... ;
43o COKKESI'OINDANCK DUKIOUTE ET DE SIIELIJES.
cette quantité T,„ a pour maximum
[JL étant l'entier contenu dans — cl il s'agit d'obtenir, pour m très
grand, la valeur approchée de -^ — ^ r: c'est-à-dire de la
^ ' ' ' 1.2. .. m — i) 2'«-i
série
S = /(o)-l-,/(u+... + /(r)+... + /((JL),
en posant
■^ ' 1.2. . ./n.2'"-i
J'introduis dans ce but, au lieu du nombre entier /•, une
variable x\ je fais pour cela
/•(^) = \Jl L
•^ ^ ' Y{x -\-\)Y{in—x-^\)
De cette manière, une valeur approchée de S est donnée par
l'intégrale définie / fi^x') dx^ qu'il s'agit d'évaluer elle-même
par approximation.
Admettant, comme le dit Laplace, que les termes de la série S
vont d'abord en croissant et qu'ils ont un maximum après lequel
ils diminuent; je cherche ce maximum en posant /'(j:,-) =:= o. Les
expressions as jmplo tiques de r(.r-i- 1) et Yi^in — .r + 1 j me donnent
d'abord
/ * /''(^) 2(m — I) , , , ^ I
(A ) Hv — - = — loga; H- log(/w - x)
/( X ) 2 X — m ° " ' 'i X ■î{x — m)
Je néglige les deux derniers termes; je remplace par
et je trouve, pour déterminer le maximum, l'équation de
•IX — m
la Mécani(/iie céleste
2 m ,
= loi
qui achuet une seule racine x" = ç = o,o83 o'j ni. Cela étant, je dis
LETTRE 201. 43l
qu'aux limites x ^ o, x = ^j., les quantités
/(o) ^^ /(i^)
sont l'une et l'autre très petites. On a, en effet,
/(o) _ / m \"'-' r(g + I)
et la valeur ç = o,o83 07 m montre que le facteur --^ décroit,
quand //i augmente, bien plus rapidement que n'augmente la puis-
(rn \ "'^' /'( |i. ) , ,
— c =(1.2...)'" '. ( )uant à ^^77y7 c est zéro ou
j mais cette remarque a peu d'importance,
r(|x-f-()r(/« — [J.-+- 1) 1 ' ' '
comme vous allez voir. La propriété de la fonction ,/(•/■) de n'avoir
qu'un maximum entre les limites de l'intégrale conduit naturelle-
ment à employer, pour obtenir cette intégrale, la méthode du
calcul des probabilités en posant •
Soient ^ = — g et t = -^ h les valeurs de t qui correspondent
aux limites x = o et ^ = u., nous aurons
J^ fi.x)dx = M)J e-^"-clt.
Cela étant, si l'on se borne à employer le premier terme seule-
ment de l'expression de dx^ qui est i/— V. dt^ ce qui donne
la quantité
/<v-7f/r'--"
on observera que l'intégrale définie tend, avec une extrême rapi-
dite, vers sa limite / e^'' dl = y/'u et en diffère fort peu, même
pour des valeurs médiocrement grandes des limites g et li\ de
sorte qu'on obtient, pour l'expression approchée,
J = v/'^^/(^)\/-|^
4331 CORBESI'ONUANCE d'hEUMIIE ET DE STIELTJKS.
Observez, inaintenanl que réqualion (A) donne, en négligeant
les termes en ^ et —. i
^2 (? — m)2
f'W) !\m I I m^
on en conclut
1 _ r^ fir, (m — -i\)\/\(m — \) _ \ke)'" {m —'i\)"^
^ — \ '*■ <■ J { ; ) , — — , — , — »-(')•
m \/m 1 <^-i.-:z //«* l}(. m — ; )"'-l
Faites comme Laplace \ = i/no^ cette quantité devient
I r e(i — 2 co ) 1 "'
ou plutôt en représentant par E, comme fait, je crois, M. Tisse-
rand, la base des logarithmes népériens
La règle de convergence lim y^J •< i nous donne donc la conclu-
sion de la Mécanùjue céleste.
Tout à NOUS bien affectueusement.
202. — STIELTJES A HERMITE.
Toulouse, 11! mai 1889.
Chkiî Monsieur,
En écrivant ma dernière lettre je n'avais pas encore reçu la vôtre
du 5 mai, qui ne m'est par\enue qu'avec un grand retard (c'est
que dans un moment de distraction vous l'avez dirigée à Paris au
lieu de Toulouse^ et ainsi elle a fail un pclit tour en passant par
Lyon.
J'ai lu avec la pbis gi-ande attention votre analyse pour trouver
(') Note des éditeurs. — Voir, au sujet de celle formule, lu lettre 202.
LETTRE 203. 433
l'expression approchée du maximum du coefficient de e"* dans le
développement de l'anomalie excentrique, et je ne vois pas ce
qu'on pourrait y changer. Je crois qu'il j a seulement quelque
inadvertance dans les formules suivantes :
il me semble tpi'd faut multiplier l'expression («) j>ar 4 et écrire
2(^e)"'(m — 'jQ"'
y/'iT, v/m^ ^^{m — ç )'"-5
et, en posant \ = m w,
La condition de convergence est alors, e étant rexcentricité
e<
limt' y/ J < 1 ,
E ( I — 2 eu )
c'est le résultat de Laplace.
Mais, pour plus de sûreté, je dois vous prier de vouloir bien me
contrôler à l'égard de ce facteur 2 que je mets au numérateur au
lieu du dénominateur, on se trompe si facilement.
J'aurais encore à vous parler des formes quadratiques du type
^7 T/^^X^X;;, mais j'aime mieux attendre encore un peu poui-
apj)rofondir cette matière.
Votre sincèrement dévoué.
203. — sriELTJES A H ERMITE.
Toulouse, i3 mai 1889.
Cher Monsieuii,
Voici un post-scriptnin à ma dernière lettre. La[)lace donne à
peu près
a> = o,o83o7, e = o.()6i95.
434 CORRESPONDANCE D HERMITE ET DE SÏIELTJES.
Je me rappelle que les auteurs qui se sont ensuite occupés de
cette question (Cauchj, Serret) donnent des valeurs légèrement
diflerentes de e; je n'ai pas sous la main leurs nombres, mais
M. Schlumilch (t. II de son Traité) donne
e^(),6(r2 742 (37=1,199678).
Pour faire disparaître ces difierences, j'ai entrepris le calcul; les
résultats suivants sont aussi approchés que cela est possible avec le
nombre des décimales écrites
Equat. transe. : log nep. = -ix^
X = -f- 1 , 199 678 640 237 7c>4
to = -H o , o83 22 1 720 1 99 5 = (a? — \)\ >. x,
e =; -H 0,662 743 419 349 2 = ^xx — 1 .
J'ai cru que si vous donniez les valeurs de w et de e, mieux
\audrait donner les \aleurs exactes.
Votre dévoué.
204. — HERMITE A STIELTJES.
Paris, i5 mai i88y.
Monsieur,
Les notes que vous m'avez confiées sur les intégrales eulériennes
contiennent cette équation
3.4 .«^
5.6.a5
Seriez-vous assez bon pour me dire si elle vous appartient?
Je remarque qu'ayant
r^ fe'-^ — ('■^' ~| dx
\o"Y(a
('-.!)'
— a \e
dx
X
LETTRi: 'lOk.
011 en conclut
^ax y g - — j
gx
dx
X
e"-^' I \ dx
X
Joignant à cette é<|nalion la suivante
\\o^a^j^ (
X
et retranclianl membre à membre, il vient
* Y {a) 1 ^
i \ e'^-^' dx
e2 + I
I — e^ e^'' d.
I -4- e2
formule dont se conclut votre développement.
Une remarque maintenant; on a
n
donc
U-'
( »i = 1 , 3, 5, . . . ) î
IX e^ -{- e
cos — =
2 2
n
puis, en prenant la dérivée logarithmique
1=2
1 e- — e
2 ^ï ^
X- -+- ni^Tz-
Changeons encore x en - et l'on aura
.V
I «2 — I _ "^ 4
>. :r £ ^à X- -+- 4 m^ TT-
ce qui nous conduit à la nouvelle expression
4 ë"^ dx
11
a"- -(- 4 m- Ti-
135
CORRESPONDANCE D HER>UTE El IlE STIELUES.
a
,, ■ ■ iniur . .
ooil inainleuaul ^' ^ -, on trouve ainsi
en posant
Or on a
S =
s = f [Iog(i-He27:?)_loo(,_e27t;)].
Votre série a donc le même caractère analytique que celle de
Stirling; en l'arrêtant à un terme de ranii; cjuelconque, le reste
est moindre que le terme sui^ ant ; mais vous aurez sans doute déjà
vu tout cela.
En vous renou\elant, mon cher ami, l'assurance de mon afTec-
tueux attachement.
205. — STIELTJES A HERMITE.
Toulouse, 16 mai 1889.
Cher Moinsieuk,
Je ne me rappelle pas a\oir vu quelque part explicitement la
formule
iog — = - lue « — ... ;
"^ V{a) -2 "
cependant on ne peut pas, à proprement dire, la considérer comme
nouvelle, puisqu'elle résulte immédiatement, en retranchant les
formules (59) et (58) du Mémoire de Gauss Sur la série hyper-
géométrique {OEuvres, t, 111, p. 103), car
logJj(^-;) =\o^v{z^~^, logJJ(5)=logr(3) + log5.
Mais je considère cette formule sous un autre point de vue. Soit 6
un entier positif, on a
logr(a -{-b) — logr( a) = iog a(a + i) ... (a -4- 6 — i)
6-1
A-
= 6loga-+-2jog(i4- -y,
LETTRE 205. 437
donc en développant suivant les puissances descendantes de «, et
en introduisant les fonctions de Bernoulli (j'adopte la notation
de M. Jordan, t. II, p. \oi),
(A) log
i"-t- ■_>."-+-.. .H-( 6 — 1)'*= 1.2.3. . .ncp„(6);
r ( a -4- 6 )
r(a)
Cil (6) '-22(6) l.2.Cp.3(6) I.2.3.cp4(6)
J'ai supposé ici b entier et positif, mais en ayant recours aux
intégrales définies qui représentent logr(a + b) et logT(a) vous
verrez aisément que le développement ... est valable sans cette
restriction. Toujours est-il remarquable que, lorsque b est entier
( positif ou négatif), la série est convergente lorsque a est suffi-
samment grand; ainsi la dédiu'tion précédente montre bien que
pour b entier positif la série est convergente tant que a"^ b — i.
f^orscpie b n'est pas entier la série est divergente quelle que soit
la valeur de <7, comme cela arrive, par exemple, pour 6 = - ... ce
(pii donne précisément le cas particulier mentionné plus haut.
Vous voyez que cette supposition, b entier positif, fournil y\n moyen
siuqjle pour retrouver la formule.
On a généralement
Oa{\ — h) = (— i)"-io„(è),
donc
(B) log
Via)
9i(6) <p-2 ( ^ ) 1 . 2 . tp.-i ( 6 )
(1 — 0; log a
a a^ «■<
ce qu'on pourrait trouver aussi directement en supposant encore b
entier et positif.
La combinaison de (A) et (B) . . . donne
,,, I, V{a-+- b)V{a -\'\ -b)
^^^ 2'*^^ ru)r(a)
= J loga + i^ + i:ljM^ _^ y.o..-i.^.^db) _^
■i a a^ a^
438 COUnESPONDANCIÎ I) HEUMITI': ET DE STIELTJES.
Supposons niainlenanl o<ih<^i .... D'après les pio|)riétés
connues des fonctions o vous verrez <pie dans ces séries (C) el(D)
les termes sont alternativement + et — et elles ont même carac-
tère que la série de Stirling; en s'arrêtant à un terme quelconque
l'erreur est moindre que le dernier terme.
Si vous introduisez les intégrales définies |)our logF, \ous trou-
verez, en déxeloppant, les formules par intéj;rales définies des fonc-
tions de Bernt)ul]i dont vous avez traité dans le Journal de
Crelle{').
Les séries (C) et (D) ne donnent pas de fractions continues
simples, mais les séries obtenues en prenant les dérivées par
rapport à a donnent des fractions continues élégantes. Pour les
écrire sous leur forme la |)lus simple, je remplace a pai- -y
b par > donc i — b i)ar Alors on a
' >. ' 2
32(32—6^
,r., ,,a-+-i-ho\ ,/rt-)-i — b\ .a
b-^
9
3a2^ 4(9-^^
4(25 — 62)
4
')a'- -h .
n'^[(-2n — 1)2— b-^\
"^ nmin-hi)^— 62]
in-ï i ^
(•2/? -H i)a2-t-. _
Si dans (D') on suppose b entier, ou dans (C) b entier im))air,
on retombe sur de simples identités algéhriipies, car d'une |)artles
fractions continues se terminent brusquement, et d'autre part les
(') Ce que je dis ici se rapporte aux loiiiiiiles analogues à la formule de
Scliaar dont je vais imrler à la (in de tua lettre.
LETTRE 206. 4>^9
premiers membres, en vertu de
'^{x -h I) = ■'h{x) + -,
sont aussi des fractions rationnelles. Cette circonstance me fait
soupçonner que ces fractions continues représentent toujours, en
sup|)Osanl a et b réels, les [)remiers membres, mais je ne l'ai
démontré rigoureusement qu'en supposant — i << 6 H- i . Mais ce
qui résulte surtout de uion travail c'est la parfaite justesse de votre
idée de faire dépendre les propriétés des fonctions de Bernoulli
de leurs expressions par les intégrales définies.
Je dois ajouter que pour discuter . . . les séries . . . , il semble
indiqué de recourir à des formules intégrales analogues à la
foiniule de Schaar dans le cas de la série de Slirling. C'est
ce qu'on peut faire dans le cas de log ■ L."^ " ' ainsi par exemple
t];(a?H \- b\ ^ '^ { X -^ b
_ r°° X du e-2"« sin('26-;r)
~ \/(, ^'^ -\- u^ I -+- 2 e-^ii:" cos ( '2 6 -II ) -H e-'*'^"-
Dans le cas de la fonction logT il doit y avoir sous le
signe / j je crois, un log, mais le temps me manque en ce moment
pour chercher la formule, voulant vous faire parvenir cette lettre
aussitôt que possible, à cause des Mémoires indiqués de M"'^ de K.
sur lesquels vous voudrez demander peut-être l'avis de quelques
personnes plus compétentes.
Veuillez aussi, pour cette raison, m'excuser Je vois bien
que j'ai écrit une lettre un peu embrouillée. Croyez-moi toujours
votre très dévoué.
206. — H ERMITE A STIELTJES.
Paris, i6 mai 1889.
MoK CHER Ami,
M'autorisez-vous à donner dans ma leçon sur les intégrales
eulériennes, que je rédige en ce moment pour ma nouvelle édition.
44o CORRESPONDANCE DHERMITE ET DE STIKLÏJES.
voire beau rt'-sultiil (|iip j'énonce ainsi. « En posant
« M. Slieltjes a démontré que pour une valeur imaginaire quel-
« conque a =i Re'^, où l'angle 0 est compris entre les limites — tt
« et + 7c, on a
niod J( a) <
Je vous ferai remarquer que, pour a réel = R, votre formule
donne
J(a)< — -^ -7— ^ -,
iKii 24 (rt- — a)
tandis qu'on a la limitation un peu plus étroite
lia
Vaut-il la peine de dire que
, r(«-f-i) , , / I \
ia -h i
\ 2 « H- •>. a -\- \ ) i a -h -2. n -h i
OÙ £ est positif et << 1 .
Encoi'e tous mes remercîments, mon clier ami, et l'assurance de
ma bien sincère affection.
207. — STIELTJES A H ERMITE.
'loulouse, 17 mai 1889.
Cher Mojvsieuis,
En rétlécliissant sur ce que j'ai grill'onné hier soir, je sens le
besoin de m'expliquer plus clairement afin de vous épargner la
LETTRE ^07. 44l
peine de débrouiller cette lettre trop confuse. Je reprends donc la
formule
I, r{a-^ h)V(a-^i — b) i. cpj ( 6 ) 1.1.93(6)
en exprimant les fonctions logF par la formule
et
loga = / ( e--»^-- e-a-i) — ,
on trouve en posant
I, r(a -+- b)r{a-{- i — b) i,
, of < / ( '' — ^ ) ■'■ —(*—:;) -"^ ■^■^' — ::-^ \
1 1
Maintenant, je vais supposer
sous
cette
con
dition
i'
e^
-ï)
1
)•'■
1
X
1
1 (—
1 )'^' 4 xco'ii'ib — I ) k 11
1
1
1- .V
— e 2
1
^2-4-4^-^112
(oS
6<i
),
JV
e
1
■2
X
I
1
tsx
1
e- —
e
1
A x2
-^4A'2 7î2'
ce
q
ui donne
J =
= /■•..
•-'^0
-«-*■ «i^
1}
1
-.)^
•' cos
(•26 — D/fTT — 1
+ 4/f27r2
ou
p
our
Oi
x= ik-y,
,/ 1 ^ k2^ A-TI
log(i -I- 2/- cos a -f- /-^ ) = r cos a /--cos'ia -t- - /-^ cos.'} a +.
(\l\9. CORRESI'ONDANCK d'hEUMITK KT I)K STIEI.TJES.
Eu posant
on troiiNora facileinenl après quelques rédnelious
IJ suffit de remarquer que la fonction
I — 2e-2a7tr cos(2 67r) -1- e-'faTtr
(l — e-2«K>)2
est toujours ^i, donc son logarithme ^o, jjour voir que la série
obtenue par le développement de J a le même caractère que la
série de Stirling ; posant ay = x^
,_ I f"^ adx r I — 2e-2ii:-»^ 008(2671) -t- e-^'ï-^l
en développant
a i X- x'^ , , 37^'»
on obtient par comparaison avec la série
cpi(6) v.->.^-i{b)
a «-j ' ' ' '
1.2. . .{%n)^^_„^^(b)
(o^6ii),
d'où vous voyez que '-50,^^,(6) a un signe constant dans l'inler-
valle (o, 1) et (^ue sa \aleur al)sobie ('roît de o à -> décroît de - à 1 ,
en repassant par les mêmes valeurs. Cette valeur de '-s^/z+i (^) tl^i'
revenir au fond à celle que \ous a\ez donnée dans le Journal de
Crelle, t. 79. Pour 0 =. - on retombe sur la formule qui se trouve
dans votre dernière lettre.
La formule de décomposition dont j'ai fait usage est une consé-
LETTRE 207. 443
(juence de
gaz I '^^ -j.z vo^i-ialciz) — ^k-KÛniahr. ,
-^^=-.=z^li z^+ik^^ (o<«<.).
1
Voici un système complet de formules
- + y r, T^~-^ (— 1 g 6 £+ 1 ),
1
2, -iAtz sin ^Att , ^
<—')'■-' — ; 7-^—^ (— i<6< + i),
1
2'-"'- ....-(A-D^J (-.<*<^.).
Il j a naturcUenienl une formule analogue pour le développe-
ment de
, r(rtH-6)
lue r— 7— •
^ r(« + i — 6)
Votre très dévoué.
/-*. S. — Je viens de recevoir voire lettre et je m'empresse de
répondre. A ous me faites beaucoup d'honneur en voulant insérer
mon résultat dans votre Cours, seulement j'ai obtenu la limitation
plus simple
a = Re'û (_^ TT < 6 <+ tt),
niofl ^{a) <
e^
— e-
-X
ehx
— e
-hx
gX
— e-
-X
gbx
-+- e-
-bx
gX
■+■ e-
-X
phx
— g"
-bx
r-iR cos-|6
ce qui, pour le cas a réel positif, donne
J(a)< -^.
12a
C'est donc cette limitation
I
inod J ( a ) <
iiRcos49
que je vous prierai de mentionner.
(4 CORRKSPONDANCE D HERMITK ET DE STIELTJES.
A (tici la (léiTionslralion
■")-/'
X -^ a
P{x-h\) = P(x), P(x)=-—.r (o<a:<i),
,ri+\
J(.
rt ) = > / dx =y I dx^
n I)
ce (iiii donne la série de Giider inann
I)
mais aussi
I
— dx.
/•'"^'/i + i — X r tn-^-y — x r'^
I dx = I = dx — /
^n x-^a J^ X -+- a J ^ ^ i_
En posant dans la première intégiale x = n +jKj dans la
seconde jc = /«+ i — y, il vient
I
/•""^'/iH-i — X fî i(i — -iyy-dy
I = dx = / >
J a-hx J {n-^y -^a}(n-^\ — y -r- a)
''"^=t.rv^
Ui — -j.yfdy
Jo ('i+y-+-a)i/i^i—y^a)
On a
(n-i-j-t-a)(/i-+- I — y -h a) = {n -+- n) (n -i- a-]- i) ~ry(i — y);
donc, dans le cas a réel positif,
a ) ( /i -T- « -+- 1 j
0
c'est-à-dire
I
12a
Mais soit
a — He'^ (— Ti < f) <-i- ~),
/i-i-y et fi -\- i — y soûl toujours rc'cls et positifs; or, lors(pie b
est réel et positif",
mod ( 6 + « ) = \/(b -^ Ry cos-H^ -^ (b — R)^^in^^O,
niocl(6-i-a) > ( 6 -1- R) cos^ô.
LETTRE 208. 445
Ajanl ensuite
1
1.(1 — .?,J)2fl^v
moc^J(a) <2 /
iuod(« -+-y -h a}{n -\- i — y -+- a)
il vient
1
II
c'est-à-dire
modJ(«)< — L-J(R)
cos"-if)
et a fortiori
I
laod J ( a )
i2Rcos2|6
Il \a sans dire que cette limitation se rapporte à la continuation
analytique de
j_ r" ff logd — f+-^^^)
dans le cas où P-R.» serait nétiative.
208. — HERMITË A STIELTJES.
Paris, 20 mai 1889.
MoK CHER Ami,
Je suis on ne peut plus satisfait de votre méthode extrêmement
ingénieuse et élégante, pour obtenir la limite
mod J( a) <;
12 R cos^ 2 6
et je la reproduirai textuellement dans la leçon sur les intégrales
eulériennes de ma nouvelle édition, leçon que j'ai refondue entière-
ment.
Les formules que vous m'avez aussi communiquées pour le
développement de
I, r(a-4-6)l^(a-f-6 — i) i,
- I02 ;t^; Io£;a
■X ^ V-iya) 2 "^
sont très intéressantes, et vous pensez quelle attention je donne à
446 coRRESPONnAiscF. d'hehmitf. kt i)f, stii;i/iji:s.
\<tlre expression :
<|u il me faiulra bien étudier et rapproclier de mes aneiens résul-
tais sur les fonctions de Jacob Bernoulli. Me proposant de faire
avec mon cours lithographie de la Faculté, le deuxième Volume
de mon cours imprimé de l'Ecole Polytechnique, je réserve ce
travail pour un autre moment, car maintenant j'ai \raiment plus
d'ouvrage cpie je n'en peux faire.
209. — STŒLTJES A H ERMITE.
Toulouse, -M iiKii 1889.
Cher Monsieur,
Kn parlant sur le Mémoire conceruant les anneaux de Saturne
j'ai ajouté à la lin une remarque qui n'est pas à sa place là. 11 s'agit
en eflet de ce que M""' de K. a fait, non de ce qu'elle n'a pas fait.
Donc, en vérité, la remarque que sa juéthode ne suffit pas à une
démonstration rigoureuse de la forme annulaire d'équilibre est
hors de propos ; tel qu'il est, ce Mémoire est très intéressant
et peu de géomètres et d'astronomes auraient pu le i'aire. Cepen-
dant il aurait eu, à mes yeux, un mérite beaucoup plus grand
encore si l'auteur avait eu l'idée qui a conduit plus tard M. Poin-
caré à une démonstration rigoureuse de l'existence d'une forme
d'équilibre annulaire. Mais il faut qu'il j ail de l'or et de la
monnaie, aussi ce Mémoire est loin d'être le plus important que la
Science doit à M""" de K. J'ai remarqué, il y a bien longtemps,
cpie l'idée de M. Poincaré se trouve aussi, sous une autre foruie
et aj)pliquée à une question toute dillerente, dans un Mémoire
de Riemann sur le znouvemenl diiiie masse tliiide de forme
ellipsoïdale.
Je comprends à merveille cpie vous êtes surchargé de travail. Moi
aussi, je ne peux pas travailler beaucoup en ce moment car mes
conférences pour les boursiers d'agrégation me donnent beaucoup
LETTRE 210. 447
à faire et c'est un travail dont je ne suis pas bien sûr qu'il portera
des fruits. Le programme de cette année, la théorie des équations
aux dérivées partielles, est bien vaste et bien difficile pour des
jeunes gens qui, en somme, ne peuvent |)as encore avoir l'esprit
assez mûr pour ces choses-là.
Il faudra bien que M. Gjlden se console, et je crois qu'on
pourra toujours reconnaître que ses méthodes constituent un pro-
grès sur les anciens procédés de Laplace et de Le Verrier. Je sais,
du reste, par M. Callandreau qu'un astronome allemand qui a étudié
à Stockholm les méthodes de M. Gylden avait acquis la conviction
de la divergence des séries.
Croyez-moi toujours \otre sincèrement dévoué.
P. -S. 7 "<\nnx:=~ , o<rr<27r;
^^ n 1
1
X ^0 ^ infiniiiu'nl petit;
^V^ 1 ^ t: — 0 /*°° sina? tt
0 > — ^^ sui n 0 = = ; dx = - •
^^ 110 1 J. X 2
210. — H ERMITE A STIELTJES.
Paris, ai niai 1S89.
Mon chkr Ami,
Je viens encore vous dire tout le [daisir que m'a fait votre
analyse relative à la limitation du modide de J(a). J'abrégerai un
peu en remarquant que le terme général de la série de Gudermann,
( « -h /? H — ) log ( I H j — I , est donné par l'intégrale.
I
dx.
n-v- a-\- X
Je continuerai, comme vous le faites si heureusement, en
écrivant
1
/ — ? '■ — dx = I — dx -f- / — —
J n -\- a -\- X J n -^ a -^ X , /i n -l-
■dx.
448 COKRESPOINDA^C^; DHKRMITK ET UK STIELTJKS.
puis, si i on (ait ^r ^ i — )' dans la dernière mtéyrale,
J n -^ a ^ X J \n^a-~x n -\- a -^ \ — œ I
(v — op){i — "ix) dx
J. ("
a -\- x){n ^ a -i-i — x)
ce qui est voli-e exjjression.
Maintenant, perinettez-nioi d aj)|>eler voire allenLion sur la
ibruude
J(.;=y ri^^^ ^--" )^:r
qui nie send)le très intéressante. N'y aurait-d pas lieu d'exprimer
par Djlogr{(7 + x) et D., loi;r(r/ — x) la séi-ie
--)5;( — ' —
a -H I — X
Une circonslanee bien douloureuse me préoccupe et contrarie
mon travail; j'ai dernièrement appris que M. Halphen était sérieu-
sement malade d'un l'humatisme articulaire, et vendredi dernier j'ai
été le voir chez lui à Versailles. Je l'ai trouvé extrêmement changé,
pâle, amaigri, la voix faible; il m'a accueilli avec une émotion
singulière; nous avons longtemps causé, et de choses intimes.
... En le quittant, j'ai remarqué (pi'il avait la main brûlante, je
me suis senti inquiet; liélas! hier j'ai ap|)ris qu'il était atteint dune
pneumonie double, que sa vie était en danger
J'irai demain après ma i^eçon avec la crainte d'un aflVeux malheur;
il a six enfants dont le dernier est âgé seulement de deux ans !
Vous axez du lire son Tnnlé des fonctions elliptiques; c'est
l'immense tra\ail qu'a demandé cet Ouvrage qui lui aura coûté la
vie, il aurait du mettre cinq ou six ans à le faire. Le troisième et
dernier Volume qu'il a entrepris, étant déjà malade, l'a mis à bout
de forces; il succombe à la tâche; je vous écrirai ce que j'appren-
drai demain.
Encore une fois, mes bien sincères remercîments, et la nouvelle
assurance de mes sentiments d'amitié dévouée.
LFÏTHK 212. 449
211. — SriELTJES A H ERMITE.
Toulfiuse, :f^ mai 1889.
Cher Mowsikuk,
l^es mauvaises nomelles que vous m'avez données de la santé de
M. Halphen m'ont fait beaucoup de peine ; je viens d'apprendre,
hélas! que vos inquiétudes n'étaient que trop fondées et que
M. Halphen est mort âgé de /\o ans seulement. C'est une perte
immense et irréparable. J'admire énormément ses deux premiers
volumes sur les fonctions elliptiques; quant au troisième il fallait
avoir une audace bien rare pour songer seulement à l'entreprendre
et l'on ne trouvera pas un autre géomètre qui pourra le remplacer
pour cette tâche. Mais vraiment cet exemple me confirme dans mon
idée que vous, savants de Paris, vous travaillez trop. .
Cela suppose une puissance de travail dont je ne peux pas
bien me rendre compte. Je connais trop vos sentiments pour savoir
que vous êtes profondément affligé; le sort de sa malheureuse
femme est bien cruel.
... La seule consolation pour nous c'est de savoir qu'il laisse
une œuvre durable et qu'il a donné le plus noble exemple de travail
et de probité. Je m'associe pleineuient à votre tristesse.
Votre dévoué.
212. — STIELTJES A H ERMITE.
Toulouse, 28 mai 1889.
Cher Monsieur,
Un travail urgent (rédaction d'un rapport annuel sur l'état de
l'Observatoire de Toulouse) m'a fait remettre pour quelques jours
de répondre à quelques questions qui se trouvent dans vos deux
dernières lettres. Comme vous le remarquez, on peut écrire, au
^9
45o CORRESPONDANCE d'heBMITE ET DE STIELTJES.
Heu de
,7 ^d y n -h a -\- a: n ^ a -\- \ — x )
x\\'^{a -^\ — x)- — (!/(« + r)] dx^
'h(x) = -^logr(a-).
Déjà, en 1886, j'avais renconlré jDOiir S{a) des intégrales avec
la fonction <!^ sous le signe / ? par exemple, aussi
C = o,5'j'j:i . . . et ces intégrales sont valables dans tout le [)lan
excepté la coupure de o à — co. Mais je n'avais pas réussi alors à
en déduire la formule de Stirling, ce qui n'est pas difficile pourtant
et j'avais complètement perdu de vue ces expressions, jusqu'à ce
que le travail de M. Bourguet m'y ait ramené.
Voici une remarque d'où l'on peut déduire directement la for-
mule
^ . , I , T(a-hb}r(a — i~b)
^^^ ^'"S r(a)T(a)
1 , I /"" « dy , r I — ie-^Ti.v cosiby -{- g-i't^ i
= - oir« / — loe
(olèli),
soit h une constante réelle et posons
/(x) = r(x^h)r(x^\~-b).
Je dis que lorsque a est réel on peut exprimer mody(///) par
les fonctions élémentaires. En eU'et
df(ui) = v^r' b -h ui) V{\ — è -f- iii) Y(b — ui) Tii — b — ui),
ino
mais
■K
T{b -^ ui)Y{\ — b — ui) = -. —, r- ,
sin7r(o -H ui)
V{ b — ni) Y(i — b -h ui) = —. -, >
simr( b — ui)
LETTRE 212.
45 f
mo(iy( ni) =
^sin7r(è h- a«) simr(6 — ui)
4 si 11 7: (6 H- Mt) s in 71 ('6 — ui) = •2(cos2 7ri<i — cosaèir)
mody(Mt) —
^g2m4_|_ g-27tK — 2 COS26-
Vous voyez donc (|uX'n posant
5(^)
= i,„g[
I' ( .7- )T{X)
logir,
on peut exprimer directement la partie réelle de ^{y i) en suppo-
sant j" réel et l'on trouve alors
4 ^ (1 — 6-271/ )2
où NOUS \ovez la lonction sous le signe / dans la formule (A).
Et l'on peut en conclure directement cette formule (A) à l'aide
d'une formule déduite de l'intégrale de Cauchy
f{x)^ -^. f l^^dz,
^ ^ ' -^-KiJ z — .r
(jue j'ai donnée dans le cahier de mes Notes, sur la fonction F,
pour en déduire la formule de Binet
On peut obtenir (Tune façon analogue la formule
I r(a-Hé)
(B) -log— — S—
= — 6 — - loga / -^ -aictaiig -
e-''^y sin(2è7r)
e-27ty 0032671
(oSè^i),
en remarquant (lue la partie imaiiinaire de loa rz — - — -, ^s'obtient
' ' ' ° 1 (I — 6 -H ui)
facilement. Les formules (A) et (B) conduisent à des expressions
des polynômes de Bernoulli qu'on peut transformer /?«/• une inté-
/45'i C.ORKKSI'ONDANCi: KHKRMITK KT DE STIKLTJES.
gration par parties dans celles (luc iîaiil» cl vous oui domK'-t's. l.e
(1('\ rlo|)j>onipnt de (B) donne
^ lo o .^ — =\ li — H>ii n — ^ — — ^ 1^ . . . ,
■j. ^ l (a -hi — o) \ ■>. I ' a- a •
la série di\eri;ente ayant les mêmes |)r()|)ri»''lés que la séi"ie de
Stirlini; (juant au terme complémentaire.
Je dois vous l'emercier encore l)eaucou|) de donnei- ma limita-
tion de jnod,l(r/) dans \otre (]ours. Je croie, en elïel, que cette
limitation a (|uelque importance aussi pour la tliéorie de la fonc-
tion r en j^énéral. Comme je Tai moulré dans le cahier de mes
ISotes, on peut en déduire rigoiireuscmenl la formule de Binet en
se ser\ant de la formule de Cau(liv rappelée tout à l'heure, et
j'avoue que j'attache quelque intérêt à ("ctte déduction. A euillez
bien me croire toujours
\ otre très dévoué.
213. HEBMITE A STIELTJES.
Paris, .'^i mai 1889.
Mon cher Ami,
Les formules (A) et (B) sont aussi helles quelles sont noii-
\ elles; nous les mettrez certainement dans un tra\ail (rensemhie
qui réunira tous les résultats auxcpiels nous êtes par\eiiu sur la
fonction Y {o) et fera un excellent iNJénioire.
J'ai été obligé de m'arracher de ce sujet pour me jeler tète
baissée dans les fonctions elliptiques (pie j enseigne mainlenani , et,
comme il m'est difficile de réfléchir en même temps à deux choses
dillérentes, je m'éviterai, si ^ous le permettez, TcHort à faire pour
vaincre la force d'inertie, en vous demandant s il ne comienl point
de donner à rint(''grale
i{a)= / — — -^ e«^ dx
./_« ■>-x-{e-'— I)
une coupure en faisant a.r^t^cc (jiii donne
/ e"{t — 'la) — t — -i.a
J(«)= / — e'dt,
J •>./ne?«— i)
LKTIKE 218. 45'^
/
, ... - I . , / >.ni-K
la conailiou c? — i conaiiisanl a - =i:2ni~ ou a :=^ » \ous
a I
soyez, ([lie, n pieiianl des valeurs positives et négatives, l()is([iie
t varie de zéro à — x, on obtient pour coupure tout l'axe des
ordonnées.
C'est done le même résultat qu'avec l'autre expression si dit-
té rente
Piiis-je dire ensuite ([ue votre limitation
mod J (a)
i2Rcos2,M)
est \alal)le dans tout le plan, nonobstant cette coupure, (|ui se
retrouve dans l'ex[)ression
J<«^= /'('--) S — — ■ ' — )
dx ?
C est ce que, sans trop rétlécliir, je conclus en lisant dans votre
avant-dernière lettre : « 11 va sans dire (pie cette limitation se
rapporte à la continuation analytique de (i) lorsque la |)artie réelle
de a serait négative. »
Dois-je comprendre que vous faites cette extension, ainsi qu'il
])arait naturel, au moyen de la relation
J( — a) — — ]{ II)
à laquelle ciniduisent les deux expressions de J(a)?
Samedi dernier, après ma leçon, j'ai été à Versailles voir Halphen,
pour la dernière fois, sur son lit de mort. J'ai eu avec M""' Halphen,
(|ui contenait son désespoir en retenant ses larmes, un entretien
dont je ne pourrai jamais perdre le souvenir. La présence à ccVté
d elle de madame sa mère, qui est de Nancy, et m'a parlé de ma
famille qu'elle a connue, a fait un [)eu diversion; j'ai tenté, en
[)arlanl du mérite éclatant de son mari, de donner la seule conso-
lation qui fût en mon pouvoir, et un intime ami, M. Collet, qui a
corrigé les épreuves du Traité des fonctions elliptifjues, m'a écrit
454 CORRESPONDANCK d'hiiUMI TF, ET 1)K STIELÏJES.
que ma \ isitc n"a\ail pas été eiitièrenicut iiuilile, mais que c'est peu
(lecliosel Sunf lacrymœ rerrtnt et uicnlcni nioitalia tangunl.
En vous renou\ elant, mon clici- ami, I assurance de toute mon
affection.
214. — H ERMITE A STIELTJES.
3i mai 1889.
Je irra|)erçois à l'instant que
J(«) = ri'- -.r) y (' ' ' ) d.
J^ \ 1 ! A^ V « -I- <7 -H .-r /? -4- « -H 1 — X I
a pour couj>ure la partie négative de l'axe des abscisses, comme
vous le dites, et non point, comme je viens par inadvertance de
vous l'écrire, l'axe des ordonnées.
11 y a là matière sérieuse à réflexion; la formule ci-dessus ne
donne aucunement, comme les intégrales définies,
J( — a) — — Ma).
Comment donc, en définitise, obtenir lextension à tout le plan
de J(r/)?
215. — STIELTJES A H ERMITE.
'l'iniloiisc. II- 2 juin 1S89.
ChEI! MoiN'SIEUl!,
\ ous trou\erez \\n peu plus loin un petit résumé des foramles
nouNclles de la théorie de la fonction F. qui \ous sera utile |)cut-
être lorsque \ous reviendrez sur wWv lliéorie; pour le uiomeni, il
suffira de remaixpier que la formule
log r(a)=(« jloijrt — a -\ loe;'^- -^ i (a)
déliait é\ idemmenl J ( r/ ) couime fonction non unifornic de a.
Mais supposons une coupure de o à — • 00 et prenons ^{o) réel
lorsque a est réel et positif. Alors, grâce à cette restriction de la
marche de la \ariable, i{a) est (artificielleuient) uniforme et a une
valeur déterminée dans tout le plan (excepté, il est vrai, les points
LETTRE 213. 455
de la coupure où, à vrai dire, il y a deux valeurs selon que Fou
arrive en ce point par un chemin tracé dans la partie supérieure
0
ou inférieure du plan). C'est cette fonction J(a) qui est donnée
par
dx
<-) Ha)= r('--.)'S( ' '
J^ \ 2 / ^\n-h a -^ .7- n -^ a -h-\ — x
et à laquelle se rapporte la limitation
mod J( Re'f) ) < — ? — •
i2Rcos4e
Quant à la formule
elle n'est exacte qu'en supposant P. R. a >- o et, pour éviter toute
équivoque, il vaudrait peut-être mieux écrire
a los(i — e^"')
dt,
où il faut prendre le sii;ne -f- ou — selon que la partie réelle de a
est positive ou négative.
Si l'on adoptait (i) comuie définition, on aurait
J ( a ) = — J( — a).
Mais, comme vous l'avez remarqué, l'axe imaginaire est une
coupure et des deux côtés on a, en vérité, deux fonctions difte-
rentes dont l'une n'est pas la continuation analytique de l'autre.
Ici, comme d'ordinaire, par continuation analytique il faut entendre
cette continuation parfaitement déterminée qui se fait, d'après
M. Weierstrass, par la série de Tajlor ou, d'après Riemann, par
l'équation
.0 f(a) à fia)
Toute autre méthode conduit à rarl)itraire. Donc il ne convient
4-Î6 c()kkksi'o.ndam;e d'iibrmitk. kt de siieltjes.
pas d'adopU'i- (i) coniine déliiiilion ^t'nérale, il faut la borner au
ras P. 11. a >> o ou, ce (jui re\ lent au même, la remplacer par (i').
La continualion anaivtltpie (d'après Weierstrass) de la l'onction
qui est définie [)oui-
par l'intégrale
P. K. a>o
\_ /*""°°alog(i — e-^Tt')
dt
est précisément la l'onction J(«) telle que je l'ai définie en com-
mençant, et qui est donnée par (a).
Il serait facile de continuer analytiquement celte fonction J(«)
en traverscuiL la coupure; pour cela, il suffit de calculer la difïe-
rence des valeurs de J(«) sur les bords de la coupure. Mais alors
elle cesse d'être uniforjne.
.lai vu a\ec plaisir Notre transformation
J(a) =j \,,,(,i_,^ «- clv i P. R. a > o)
en
e" ( ï — 2 a) — t — i.a , ,
— ^ 7 — — e' fit.
Dans la première, on doit supposer P. K. « >■ o poui' que linté-
grale soit convergente; il est curieux de voir que, dans la seconde,
cette restriction s'annonce par l'existence d'une coupure.
Sait-on, Monsieur, si le Tome III du Traité de Halphen est
irréparablement perdu ou s'il avait préparé du moins une partie
pour l'impression déjà ?
A-t-<»n d('-jà démontré que la conslante eulérienue
est un nombre incommensurable? Je pense de temps en temps à
cela, mais je n'ai pas encore trouvé une expression de C qui
pourrait conduire à une démonstration, cependani, je dois exa-
miner encore quebjues expressions obtenues récemmenl et cpii me
semblent donner ime faible espérance. Mais peut-être que je perds
ma peine à pure perte et la chose esl-elle déjà démontrée.
Mais jua principale occupation est (Tacliever et de perfectionner
LETTRE '215. 4^7
mon lra\ail sur les Iraclums coiiliiiues ; pour n'y pas renieraier
Irop de choses un peu disparates, je le scinderai en deux parties :
l'une plutôt algébricpie, tandis (pie, dans la seconde, je nvoccupe
de la (piestion de con\eij;;ence surtout. Ces fractions continues
représenlenl ordinairement des fonctions dans tout le plan, excepté
une coupure comme J(a).
Je pense passer les vacances près de ma famille en Hollande,
c'est plus de quatre ans que je n'ai pas vu ma famille et ma femme
éprouve aussi un grand désir à revoir ses parents. Cela n'entravera
en aucune façon notre travail, la Haje est même plus près de
Paris que Toulouse (onze heures en chemin de fer au lieu de seize
heures). Je pourrai même travailler là-bas plus à mon aise qu'ici
où les grandes chaleurs sont vraiment accablantes, et les enfants
aussi en soutirent beaucoup. Vous lue savez être toujours votre
très dévoué.
P. -S. — Les intégrales définies dans la théorie de la fonc-
tion i\(/), (pi'ou a considérées jusqu ici presque exclusivement,
ne sont \alables (pie sous la conditi(jn
P. R. a > o.
11 n'j a (pi une exception apparente pour la foriuule de Binet
mais vous avez remarqué que, à vrai dire, ce n'est là qu'une
illusion. L'intégrale représente des deux côtés de la coupure deux
fonctions clitrérentes, l'une n'est pas la continuation analytique de
l'autre.
C est M. Bourguet qui a d'abord obtenu des intégrales définies
qui permettent de franchir l'axe desjK- H obtient une formule que
j'écris, après un léger changement de \ariable,
(., ""> = ll û
du
SI 11 iiiiza
elle représente la fonction J(rt) dans tout le plan a\ec la coupure
de o à — ce; c'est la fonction J(a) telle qu'elle a été définie plus
458 COHRESPOMJANCE DHEKMITE ET DE STIELTJES.
Ililut. Une antre l'orme de eette formule de M. Bourguel esl celle-ci
ici
V^ sin ■imzii
1
est évidemmeut une fonction périodique
P ( i< -+- 1 ) = P ( « )
et, dans l'inlerxalle (o, i), on a
p ( « ) = u.
■>,
Celle seconde forme (y.) se décompose iinmédialement dans la
formule de Gudermann
i(a)= I du-+- I du-\-...,
J^^ u -\~ a , /j u + a
(3) J(a)=;^[(a->-.-H^)log(";;-^;^'j-l].
0
C'est celle seconde forme (2) qui me jjaraîl la |)lus importante
et la plus fondamentale ; il en résulte aussi directement la différence
des valeurs de .](a) aux bords de la coupure, d'après votre for-
mule.
La formule de Gudermann (3), déduite de (2), |)ermet natu-
rellement de continuer la fonction J( a) en traversant la coupure
et met ainsi aussi en évidence le vrai caractère de J(«) et montre
qu'elle admet une infinité de valeurs selon le chemin de la variable,
si l'on fait abstraction de la couj^ure.
Peut-èlre que je me déc'iderai à rédiger et à [xiblier ce que j'ai
fait sur ce sujet.
J'ai besoin de ces formules pour faire voii- que la série de Stirlinj;
est applicable dans tout le |)lan. Cela a loujours (Hé mon but prin-
cipal et qui m'esl propre.
LETTRK 216.
La démonstraliou de la lliiiitaliOu
iiiod J(a ) <
i-iRcos'-'iQ
est le premier pas el le plus iiupoilanl dans celte direction.
216. — ri ERMITE A STIELTJES.
4 juin 1889.
Mon chek Ami,
Un mol seulement, à la hàle, pour vous remercier de votre der-
nière lettre qui jette une vive lumière sur tons les points que \ous
touchez. Je ne puis assez vous dire quel travail et quelle peine
vous m'éparonez et comme vous avez le don de me sortir de mes
anxiétés et angoisses analytiques.
Pensant avec vous aux fractions continues, avez-vous remarqué
que dans
('•<■ l X 7, ) — X — 2
/ ('•' iX — t.)—X
•' ( '^ ' ^ / Vl—r
,/ -ix^ie-^ — I
e"x dx
— est la |)remière réduite du dé\eloppement de e-^? Peut-être
y aurait-il lieu dV'tudier
Pe' — Q
/
a?2"(eJ^— I)
e«^ dx
où p serait la réduite d'ordre n.
A l'égard de la constante d'Euler, je crois pouvoir vous assurer
qu'aucun œil humain jusqu'ici n'a même sondé le mystère de son
irrationalité. Ce serait donc une grande et belle découverte de
démontrer que C est incommensurable, mais d'où a pu donc venir
\\\\ rayon de lumière sur une question si cachée, si jirofonde ?
J'ap|)rends avec grand ])laisir que vous passerez les vacances, avec
voire famille, en Hollande, et que vous me |)ermettrez de vous y
faire parvenir les difiicultés et les peines, les [u-essantes invocations
à votre bonne assistance que vous accueillez avec une bonté que je
sens bien vivement.
En vous renouvelant l'assurance de mon affection bien sincère
et bien dévouée.
46o CORRESPONDANCE u'UKRMITK KT DE S 1 li;i.r.lE>«.
217. — HE n MITE A STIELTJES.
Paris, lundi ( ' ).
Moiv cnKi'v Ami,
l'emlaiil hi séance de rAcadi'inic, pcrniellez-moi de vous envoyer
un iiKil en courant pour vous dire que je suis sorti des lonelions
ellipticjues et revenu à la fonction I («)•
J'ai entièrement refondu mes leçons; j'ai cru devoir ex|)Oser les
propriétés fondamentales, d'abord comme tous les auteurs en par-
lant de la définition ordinaire, puis une seconde fois en pailant
de la définition de Gauss et traitant alors de F (a) comme fonction
aualjticjue. Enfin, je consacre une dernière partie à l'étude des
diverses intégrales définies ciui se présentent dans la théorie, -; -y
loi;r(a), J(rt), pour donner votre belle analvse cpii conduit à la
limitation de mod J(rt) |)our (/ = Re''^ et enfin / .r*^~'(i — j:)* ' dx^
pour en tirer les applications cjue vous connaissez du théorème de
M. Mittag-Lefiler.
Dans ma leçon sur les coupures, je parlerai de la coupure de
J(a) et de la substitution dune autre coupure à celle-là, par le
fait de la transformation que vous avez obtenue de cette intégrale.
G est là un résultat qui m'intéresse vivement et qui ma surpris;
je crois bon d'ap[)eler lattention sur cette circonstance si remar-
(piable que vous avez rencontrée.
\ bientôt, mon cher ami, une lettre inoins décousue et en vous
renouvelant l'assurance de mes meilleurs sentiments.
218. — STIELTJES A H ERMITE.
Touluusc, 12 juin 1889,
Ghkii Monsikur,
Vous considérez, sans doute, comme l'un des résultats les j)lus
importants de la théorie de la fonction T ce théorème du à
(') Note des éditeurs. — Ceite lettre n'est pas datée et nous avons beaucoup
hésité à la nieltre à la place qu'elle occupe, en la rapportant au lundi 10 juin 1889.
LKTTRF, 218. /461
M. \\ eiei'slrass, que ^^ ^ t-st taie fonction lioloinorplic dans loul
''!(«) '
Jr |)lan.
Vctuellenienf. ce théorème s'obtient presque immédiatement si
Ion prend pour point de départ le produit infini de Gauss et
d'Euler. Mais, comment faut-il l'obtenir en prenant pour définition
l'intégrale définie
V{ a ) = I •T'^-' e-^ d.r ?
Si. avec M. Prviu, on pose d'abord
P(a)= I a"«-ie--^ c/.r, Q(a)= 1 œ'^-^e-^ dx,
on obtient
r (a) =
1 . V. ( c/ ^ 2 ) 1 .'2. 3 ( a -H 3 ;
fy -+- c, rt -t- C2 a- -f- ("3 «■* -I- . . .
et l'on en concbit cjue I («) est une fonction uniforme qui admet
seulement les pôles simples o, — i , — 2, . . . . C'est là certainement
déjà un résultat notable, mais cela ne suffit pas encore pour obtenir
le théorème de M. Weierstrass.
Dans ce but, il faudrait démontrer encore //^/e Y (a) ne s'annule
pour aucune valeur /i/ne de a. Ce point établi on pourrait con-
clure immédiatement que i ir(«) est une fonction entière, mais
comment le faire?
11 est vrai qu'on peut tirer ce résultat, (pie V { a) ne s'annule pas,
de la relatif )n
(i) T{a )W\ — a) = ^-^ —
' sin-a
et, comme l'a fait remarquer M. Bourgiiet, cette formule montre
aussi directement que
1 siii-rt
^— I (a)
r ( I — « )
est une fonction entière. Mais en prenant [)our point de départ
rinlégrale définie, la démonstration de cette relation (i) est assez
difficile.
J'ai été amené ainsi à cherclier si Ton ne pourrait pas tirer
.'\6-2 COKRKSPONDAN'CK d'hKRMITE ET DR STIELTJKS.
(liiectemenl de la définition
la conclusion que r(a) ne s'annule pas, tant que a reste fini.
Je remarque d'abord que si l'on avait
r(a) = o [jour a = a -1- j3t,
on aurait aussi
^(a-\-^} = o, V(a-T--2) = o, ...,
et, évidemment, ^ ne peut pas être nul. Ensuite ayant
Jf ar"-' g--*' fil- = o,
0
on aura aussi
/ ^«-'e '''•^«fa; = o,
k étant un nombre positif quelconque, donc pour a = y. -{- p i
I a7«-i cos( p loga;)^-'''-'' r/^ = o,
Ji a:-^-' sin (^ loi;a7)e-/'-*' <j^.r = o,
0
et ces relations doivent rester vraies en remplaçant a par a -h /?,
n étant un entier positif quelconque. Je [)Ose maintenant
0
C'est là une fonction entière cpi'on peut développer
o(.r) = Vc„.r«
0
et l'on devra avoir maintenant
/ x<^-^'.:j>(.r) ^ini^\ogx)e-''^ dx = o,
car en remplaçant 'j( .2?) par^r,,^:" tous les termes sont nuls. De
LETTRE 218.
même, il faudrait avoir
/ x^-^"-^<f(:/-) sin(ri \o<^t )e-''-^ dx — o,
n élanl tin entier |)osillf quelconque. Mais cela peut s'écrire
(A) / :r«+''-'çp(^-) sin( ,3 loga:.-)e-'^'-^'flfa?
-1- / .r°'+"-icp(:r ) sin( 3 log.r)e -''''•'■ fl^a:- = o.
Or, la première intégrale a une valeur absolue inférieure à
/ ^a+/;-i cix — — î
et tend, par conséquent, vers zéro lorsque n croit sans limite. Et
dans la seconde intégrale
/ .r«+«-'«i( a-) sin( j3 loga")e-^-^ dx^
le produit
cp(.-r)sin(j5 1ogr)
a un signe constant ( — ), car cp(:r) change de signe en même temps
que sin(,3 log^c). Donc, évidemment, cette seconde intégrale a une
valeur négative dont la valeur absolue croll en même temps que n.
Vous vojez (pie réc[uation (\) implique contradiction, donc r(rt)
5 1 ' /■ •
ne s annule pas et^r — est une lonction entière.
J'ai dû introduire la constante positive k pour parer à une
objection qu'on pourrait faire à ce raisonnement. En effet, ce
raisonnement serait en défaut si l'intégrale
II
n'avait pas de sens. Mais je remarque que la valeur absolue de cp(.r)
est inférieure à
( I -4- 37 ; \ 1 -4- .r e ^ j \ \ -\' x e
'^ / \ i -\- xe ^ / \i ^ xe ' I . .
464 cokkksi'o>da>(:e d'hekmitr et de stiki.tjes.
et a fortiori à
gjTgj-e "-exe
p.^« p
■p
Jl est clair par là qifen prenant /. > / les intégrales ipie j'ai
considérées ont bien un sens.
.l'ajoute (prévideninient dans les développements
f'ï= Vc„.r", cp(>) =\ r„ir",
Il 0
e,, est supérieur à la valeur absolue de c„.
Je me fonderai sur cette remarque pour détruire une autre
objection qu'on pourrait faire et qui consiste en ceci. Il est bien
\ rai que
/ .r='-i cp (.r ) sin ( 3 log.r ) €-'•■'' dx
a un sens, mais est-il bien sur que cette inléi;iale soit égale à
\^ / x'^~^c„x" sin( [i loga") e-'-^ dx,
11
et, par conséquent, nulle connue je l'ai su[)posé?
Pour écarter le doute, je pose
o(a?) = Cu-h cia- -H . . .-4- f„_i.r''-' -t- H„,
et jobtiens
/ .r^-i cf ( X) siiii ^ loga^ ) e-''-'^ dx
= / a-^t-i H „ si 11 ( ^ lo g .r ) e-''-^ dx
«'Il
= lini / .rît-i R„ sin(P loga")e-/-^<:/r.
/( = =0 ,7„
Or, en posant
S„ = enX"^^ e,,+isr"+^ -h . . . ,
la \aleur absolue de Vi,i est inférieure à S,^, donc; la valeur absolue
de
/ x'^~H\„^n\{'^\o'j,x)e-'^-^ dx
LETTRK 218. 465
est inférieure à
'- 0
Mais on a
./« .'u L 1.2. .(«-.)J
c esl-a-(lire
/ x-^ >S,,e-'^-^-rf.r = r(a) -, -, -, -, ^ -, -— ...
.7^ ' ' ik—lyj- k'J- I />-^+' [.-2 A-='+2
a ( a H-i ) . . . ( a -f- n — I ) /«-' 1
\ .i...{n — \) A-X+"-' J *
Or, on a ce (lé\el()|)peiiient ron\erj;pnt
I 1 X l 2 ( a -;- I ) /■-
donc
lim ( / J-^-' S„e-'^-'' ffo j = o,
et à plus forte raison
liin / x'J--^ R,j siii ( ^ log,7' ) e-^'-^ dx = o.
Il me semble qiraprès ces explications, ma fléinonstration est à
l abri de toute objection.
Je vous parlerai une autre fois du nojnbre C; certain résultat
rencontré dans mes réflexions sur les fractions continues me donne
quekjue espoir. Mais je dois d'abord rédiger un Mémoire pour nos
Annales, conçu depuis bien longtemps, mais cjue j'ai laissé tomber
dans l'oubli. Et, ensuite, il me faudra terminer mes fractions
continues. Je regrette beaucoup que faute de loisir je n'aie pu
examiner encore, d'après votre idée, l'intégrale
/;
Pe^— Q
^ ■ e"-^ dx.
e-2u.^ga
p étant la réduite d'ordre n de e^^. La vie est bien courte pour tout
ce cju'on voudrait faire. Veuillez uie croire toujours votre bien
dévoué.
4GG C0RRESi'0M)A>r;i; i)'iii:inii ir ki de stiki.tjks.
219. - STIELTJES A HERMITE.
Toulouse, i3 juin i8.S().
Cher Monsieiir,
En vous énivant hier, j'ai oublié de dire que lefail que Y {a) ne
s'annule jamais, peut se tirer non seulement de la relation
V i. a ) l^( I -- a ) =■ t: : sin( TTC/ ),
mais encore de rex[)ression de iogr(r/) par une intéi;rale définie.
On voit que logr(c7) a une valeur finie tant que la partie réelle
de a est positive. Mais il ne me senil)le pourtant pas inutile d'avoir
une démonstration directe, mallieureusement elle est un peu déli-
cate; je crains qu'on ne puisse la simplifier beaucoup.
J'ai rélléchi autrefois sur la fonction holomorphe
Q(.r)= / u'-'^e-" du,
et je voulais savoir si elle admet des zéros ou non. Dans le dernier
cas, on pourrait la mettre sous la forme eJf-^^, (/(.r) étant encore
holomorphe. Mais je viens de m'apercevoir que l'équation
Q ( a- ) = (>
admet certainement des racines. Ces racines sont imaginaires, du
reste, car tant que x est réel Q(.x") est réel et positif.
Pour le démontrer, je vais supposer que Q(./") ^ o n'admet pas
de racine, vous verrez que cette hypothèse conduit à une absurdité.
L'équation
Q(ir) = - -(-(.r— [)Q(.r— I)
montre que Q(i)^-> mais aussi que, dans notre hypothèse,
Téquation
Q(-) = ^
n'admet qu'une seule racine .r = i . En effet, si l'on avait encore
Q(«) = - {a difréranl de i),
LKTTRE 219. 467
011 en conclurail
Q(a — i) = o contre l'hypothèse.
Cela étant, je considère la fonction
Ç^(cr) = Q(i-f-e^-).
C'est encore là une fonction holomorphe, et, d'après ce qui
précède, les équations
(j(x) = o,
n'auraient aucune solution. {i{-v) serait donc une constante d'après
le tliéorème de M. Picard, mais, cela n'étant pas vrai, il est certain
que l'équation Q(.f') = o admet des racines.
Si le uombre des racines de
Q{x) = o
était fini {x=^x,, ..., x,,)^ l'équation
e
aurait seulement les n -\- 1 racines
( , r -H a" 1 , I -i- .r 2 , . . . , i -\- x„.
Or, est-il possible, {}{j^) claut une fonction entière, que les équa-
tions (J(3:) = a, Ç{x) = b aient toutes les deux seulement un
nombre fini de solutions? J'en doute, et alors on pourrait conclure
que Q(^) = o a un nombre infini de racines ( ' ). Mais il y a là évi-
demment matière à beaucoup de réflexions.
Je n'ai jamais trouvé à la Bibliothèque le volume des Annales
(' ) M. Picard (Annales de l'École Normale, 2" série, t. I\, iSSo) a démontré
le lliéorème suivant :
Si les équations
Flz) = a
\Hz)^b
ont chacune un nombre limité de racines, la fonction entière V{z) se réduit
à un polynôme.
468 CORRESPONDANCE D HKRMITK ET DE STIELTJKS.
qui coulieul le Mémoire de M. Picaitl, mais je ne peux pas rester
ainsi sans le connaître.
Votre très dévoué.
220. — HE R MITE A STIELTJES.
Paris, 1.5 juin 1889.
Moin cheiî Ami,
Vos recherches sur Q(.r) m'intéressent extrêmement et j ai
précédemment suivi avec le j)lus grand plaisir les diverses étapes
de votre démonstration que la fonction I («) n'a point de racines.
Mais comment se peut-il que vous n'ayez pas à la bibliothèque
le volume des Annales qui contient le théorème de Picard ! Je
vais lui demander s'il j)Ourrait vous envover un exemplaire de son
travail.
Permettez-moi devons demander votre avis sur cette manière de
présenter raj)plication du théorème de M. Mitlag-Leftler aux fonc-
tions doublement périodiques.
La formule générale pour les fonctions y(\2') étant
/(.) = G(.)-.2[g«(^)-f.(-;],
il convient, pour cette application, d'envisager en particulier, en
les réunissant dans un même groupe, les pôles qui se trouvent à
l'intérieur d'un parallélogramme formé avec les périodes « et />^ et
au sommet arbitraire. Je les nommerai pôles principaux pour
abréger, et en désignant l'un quelconque par p, tous les pôles
de f{x) seront représentés par p-\-nia^nh. Cela posé, soit
cp(a7) la fonction rationnelle ayant pour uniques discontinuités les
pôles principaux, et telle que j\x') — '-2(^') soit finie pour toutes
les valeurs x =/>. 11 est clair cju'on pourra écrire
f{x) = GCa")-^^ ['f (j"-t- ma + nb ) — ^ ,„.n(x')\,
^ m,n étant un polviu)me auxiliaire tel que la somme étendue à
tous les entiers ni^ n représente une série convergente. Je remar-
querai que la somme des résidus relatifs aux pôles principaux
LETTRE 220. 469
étant nulle, on a, en développant suivant les puissances descen-
dantes de j:',
G H
9(^) = ^ H ï +
Je conclus de là que la valeur asjm|)totique de la dérivée 'f'(.r)
■>.G ,
étant — — > la somme
Dt^
/H« -+- «
b)
représente une fonction analytique et, eu plus, cette fonction est
doublement périodique, aux [)ériodes a et 6, d'après sa compo-
sition.
On a, par conséquent,
y'(a;) = G -1- 2, ^' {^ -^ nia -H nb),
G étant une constante, et il vient en intégrant
f{x) — /( ^ ) = G (\r — ^ ) -I- \^ [ cp ( .r -t- ma -i- «6 ) — cf ( ; -H ma -+- nb)].
Vous \oyezque l'intégration a conduit, [)our le second membre,
à une série convergente. Ecrivez, en effet,
cf (a? -1- ma -\- nb) =^ ':j{x — ^ -\- c, -^ ma -+■ nb )
= cp(^ -t- ma -+- nb)
-+- \{x — 0 ?'[ç -f- '«« -+- '^b M- f)(.r — 0]:
vous voyez que le terme général s'exprime parla dérivée, donc, etc.
En particulier, pour /(x) = k- sn-.r, on peut prendre « = 2K,
b^2.i¥J, n^=iK', 's>(.t)=- -•
On reconnaît ensuite très facilement cjue la série
y r ^ ' ^1
.^ l( X -}- p -h 1 m K -h i. m' t K' )"- (^ -^ P -^ '- '" K -+- ■>. m iK )- J
ne change pas en changeant le signe de x et ^; il suffit pour cela
de remplacer m par — met m' par — 1 — m' dans le terme général ;
donc C = o et l'on a
k'-isn^x — sn^f )
[x -+- 2/n K -+- {-mi' -\- i)iK' |- [; -h xmK -+- (-îm'-h i)iK']^
470 CORRESPONDANCK DHinnUTI- ET DE STIEI.TJES.
C'est de In que je lire les eAprcssions de B(j"), B, (jr), H(.7)
el Y\f(^x) sons forme d'un [tiodint de facteurs primaires.
F]n vous rcuouNelant, mon elier ami. I assurance de mon afl'ec-
tion l)icn dé\ouée.
221. — STIELTJES A HERMITE.
Toulouse, il) juin i88g.
Cher Monsirur,
( hie je vous plains de l'ingrate besogne qu'on vous demande \
Mais |)arlons plutôt d'Analvse. 11 me semble que \otre analyse
pour la décomposition des fonctions doublement |)criodiques ne
laisse plus rien à désirer. L'expression asjmptotique de '>^(^)
ç
étant — T» d est évident que la série
^ 'jj{ X -+- ma -\- nb ) — 'f ( J -i- ma -r- nb)
est convergente, de même que
7 o' (X -^ ma ^ nb).
Après bien des recherches, le tome des Anudies rie l'Ecole
Normale de i88o se retrouvera bien. On sait du moins à qui on l'a
prêté, il y a quelques années déjà, mais je ne l'ai pas encore.
Je suis surtout bien aise d'apprendre par votre lettre que M. Pi-
card a déjà démontré que le nombre total des racines de ^^{x) = a,
(.J{j-) ^ b ne peut être fini, ce que je ne savais pas. Mais, dans le
cas que M. Picard aurait encore un exemplaire de son Mémoire
pour me l'envoyer, je lui serais, en etlet, infiniment obligé et vous
voudrez l)ien lui exprimer toute ma gratitude. Voici une remarque
que vous avez faite peut-être déjà. Dans \otre Cours de la Sor~
bonne (3^ édit., p. 68), la formule
„ V^ i f>i ^ [ ) { m -^- 1) . . .( m ~ n — \ )
^J ( n -h i) ( n -h •?.). . .(nn -r- m — i ) '
{){m -{- -i). . .{ m
i)(n-+- ■?.).
n ) n,
LKTTKK '221. 471
VOUS sert à (N'inoutier (jiie e-'^' est incoiiiinensiirable lorsque ,r est
entier. Ne vaul-il pas la peine de reniar([uer qu'on démontre aussi
de cette manière tpie, tant que x est commensurable, e-*' ne l'est
pas. Vinsi, lo^.r est incommensiirahie pour x' = -• En etl'et, sup-
y" 'W P \
posons ./■=—, e' = Y ( ••'! pourra supposer jc = — >■ o I, on aura
le premier menihre est un entier, le second membre est toujours
positif et tend vers o pour // = :c, donc contradiction.
Mon adresse à la Haye sera 101 Balistraat, mais je ne peux
pas encore déterminer Tépocjue où je |)artirai, car la Faculté ne
s'est pas encore réunie pitur parler de la session du baccalauréat.
En tout cas, ce sera probablement dans les premiers jours d'août
seulement.
En rétlécbissant sur la constante eulérienne C, il me semble
pres(pie qu'on poiii'rait arriver à démontre)' rincommenstiral)ilité
en parlant de
./„ \ I + J? / X
et des propriétés des intéj^rales définies de la l'orme
1
Mais c'est une recberche qui demandera beaucoup d'elïbrls et
que je rései^ve j)our les vacances. Quoi qu'il en soit, si cette route
est obstruée..., je perds aussi la confiance dans mon idée première.
A l'éf^ard de cette question des zéros de Q(d7), j'ai toujours été
frappé par un j)assage de la correspondance de Gauss et de Bessel.
Gauss dit que si la fonction entière / d.r admet une racine,
elle en admet nécessairement une infinité et, [)lus tard, il a calculé
effectivement l'une des racines. Il affirme aussi la décomposition
en facteurs primaires (la fonction de genre zéro ou un, il associe
les lacteurs |»rovenant des racines conjuguées). Tout cela a-t-il été
bien démontré ? /V présent, cela paraît encore bien mystérieux,
.le prépare un petit Mémoire pour nos Annales où je rencontre
47^ cokrespom)AN(;f. dhkkmitk rt df, stieltjes.
la forimile
Y (a) cos T.a = 1 1- h . . . — f i' ( « )
a (.rt -H I I.2.« -h 2
analogue à
r(rt ) = ! . . . H- Q(rt),
a r . rt -t- I I . '2 rt -r >
(j'(rt) est une fonction entière qui peul s'expriuier par
V . I ) . / rt.r
1 ( I — rt ) ' J^ i — x
tant que la partie réelle de a est inférieure à l'unité. Ayant
{{{a -h ] ) = e — rt ^)' ( rt ),
il s ensuit encore que {{(a) a une infinité de zéros, mais i(-i on voit
ininiédiatenient qu'il y a une infinité de racines réelles
C,'( n = e,
g{i) = o,
^(3) = .,
Cj(4)=-2e,
Ç(5} =-f-gf>,
Je pourrai mentionner alors en passant la propriété de Q("P)
d'avoir un nombre infini de zéros aussi.
Crojez-moi toujours votre l)ien dévoué.
222. - STIELTJES A II EH MITE.
Timlouse, 19 juin 1889.
Cher Mojnsieuu,
N'est-ce pas abuser de votre bonté de sous demander de vouloir
bien présenter à l'Académie, pour les Comptes rendus, la petite
note ci- jointe.
Vous savez que j'ai travaillé loni;temps sur cette matière, mais
j'en ai assez en ce moment et j'éprouve le besoin de })enser à
LETTRE 223. 473
d'autres choses. C'est |)our ne pas courir le risque de perdre toute
ma peine que j'ai rédigé cette Note (').
Mille remercînients pour le Mémoire de M. Picard, c'est sur
les théorèmes de M. Picard que je veux réfléchir. Je crois
que, pour son premier théorème, la démonstration fondée sur la
K'
fonction — est la |)lus naturelle, mais je veux tâcher cependant à
obtenir une autre démonstration, avec l'espoir qu'elle se |)rêterait
plus facilement à la généralisation donnée par le théorème du
Chapitre II .
Votre très sincèrement dévoué.
223. — HE fi MITE A STIELTJES.
Paris, 29 juin 1889.
M0]\ CHER .\mI,
La Note que j'ai présentée à l'Académie est excellente; peut-
être |)ourrait-on rapprocher de votre résultat cette propriété du
développement d'une fonction quelconque F (.a?), au mojen des
dénominateurs (^„ des réduites F(:r) = ^ A/^C^^, qu'en posant
^{x) = A0Q0-+- A,Q,-t-...-t- A„Q„,
l'intégrale / [F(^) — (^ [xy\- f{x) dx est un minimum, c'est-
à-dire qu'elle a une valeur plus grande si l'on remplace ^[x) par
tout autre |)o]ynome du n"'"^^ degré.
Mais il me faut absolument renoncer à l'Analyse; en ce moment
je commence la lecture des ouvrages élémentaires de Lacroix,
Arithmétique, Géométrie, Algèbre, pour tâcher d'en tirer quelque
chose à dire dans mon rapport.
Il paraît qu'on ne pourra pas imprimer plus de 80 pages du
troisième volume de rOuvrage d'Halphen, quelle perte pour
1' /Vnalyse !
En vous renouvelant, mon cher ami, l'assurance de mes meil-
leurs sentiments.
(') \ote des éditeurs. — La Note citée a piur titre : Sur un développement
en fraction continue {Comptes rendus, t. CVIII, p. 1397-1298; 24 juin 1889).
474 CORRESI'ONDANCE DHEUMITi: ET DE SlIELUES.
224. - STIELTJES A H ERMITE.
Toulouse, 1*"^ juillet 1889.
Cheiî Monsieur,
En vous remerciant vivement, je ne peux m'empècher de dire
quelques mots sur un résultat que je viens d'obtenir. Je sais que
vous êtes profondément engagé dans d'autres lectures, mais je
plaide les circonstances atténuantes parce qu'il s'agit d'un sujet
qui vous a occupé et intéressé beaucoup il y a quelques mois. Du
reste, vous pouvez remettre à plus tard la lecture de ce que je vais
écrire, mais je peux vous assurer que c'est presque aussi élémen-
taire que les- livres de Lacroix, etc.
Il s'agit de l'expression asymptotique des coetïicienls de ^" dans
le développement de B(x) et de B, (x).
Pour simplifier un peu l'écriture, je pose
X,i = e-« -+- 4« e-'*'^ -h 9" e-9« -f- . . . + t^" e-'''" -1- . . . ,
l('.,„ = e-« — 4" e-'*"- -f- 9" e-9« — . . . ±: k-'^ e^''^"- =p
J'obtiens comme il suit les valeurs asymptoliques de A^n et itb„.
Le logarithme du terme
étant
■m iog/t — A- a,
le maximum de ce terme, en considérant k comme variable conti-
nue, a lieu pour
et la valeur du maximum est
Soient maintenant A' ^ A, H- s, o ^ £ < 1 , A', étant entier et
|)(tsilif. Je calcule la valeur du terme k-^"e~^'"^ dont le logaritluiu'
est
■}.nlog(fc — z) — a(A — £)2
, 'i-n ( z^ '=> £5
= .«logA-A-a-.a-- _ (^- + _ + — +.
LETTRE 22i. 47^
2/1 , • ,> • . ., .
-t;^ clanl iiiliiiiineul pedl, j ai asyiiiplolHHiejiK'iil
/ Il \ "
De là je conclus
\a J
lll,„= (— i)/m-i ( ^y'e-«[e-2"£'— e-2«(£+i)^_^. g-2«(c + 2)''^_, . _
_ g-2niS — U-_j_ g-2rt(£ — 2)-_(_ |_
E!n elVet, j'ai remplacé ainsi les premiers termes (ceux dans le
voisinaj^e du maximum) par leur valeur asjmploti(|ue, quant à
ceux d un rang éloigné de ceux-là, ils sont à peu |)rès négligealiles.
Or si je pose
_ g_A(3-i,5_^ e-^(2-2)-— e-/'--3|!'_^_ . .^
On a, d'après la théorie des fonctions elli|)ti(|ues,
/tJ -^' -'-^
./(•3)= K/j\\-\--îe '' cos7,-« -1- '^e ^oos4'Ji.
j^(5) = 2 1 / - \^e */'■ cosTT^ -t- e **cos3-^-l-.
donc
67r£ + ...),
iTC-h...j,
1-hjf.e -" cos'2 7r£ -t- 2e -"cosjtte
■712
-9 —
-1-2 6 2« cOSb'
— 25 —
47^ CORRESPONDANCE DHERMITE ET DE STIELTJES.
c'esl-à-dire
-t-2e '2« cos( 4 7:4/ -)+... ,
— 9 —
e *" cos I 3t:
V
La méthode de Laplace aurait donné pour „i.«, je crois, seule-
ment le terme
In , " _^^ / Ti
et donne ainsi un résultat qui ne me semble pas exact, mais sim-
plement approché. J'ai vérifié la valeur de )IJ)„, dans un certain
nombre de cas, n variant de 7 à i5 et à 2y, l'accord est parfait,
mais l'Analyse est si simple que cela ne valait presque pas la peine.
Votre très dévoué.
225 — HERMITE A STIELTJES.
Paris, 2 juillet 1S89.
Mon
Votre analyse est un petit chef-d'œuvre; elle donne, je crois
jjien, le seul et unique exem|)le où la méthode de Laplace soit
complètement éclairée et complétée. Que je voudrais donc bien
pouvoir projeter quelque lumière sur la relation suivante, dans
laquelle je la résume, lorsque la fonction y(^) est supposée n'avoir
entre a et b (pi un maximum pour a" = ^
Vous me permettrez de jHiblier toute votre lettre dans l'article
destiné à Bologne, et dont j'ai dû inlcrromjire la rédaction à mon
grand regret. Après a\oir appliqué la formide précédente au déve-
loppement des coordonnées elliptiques, puis aux fonctions ellip-
LETTKE 226. ^77
ti(|ues sn.r, cnx', dn.r, elle viendra bien à propos ))Oiir oOrir une
analyse approfondie à propos de W(x), H(j^'), etc.
A mes félicilalions, je joins, mon (-her ami, celles de Darboux,
au sujet de votre article sur les fractions coutinues.
M
226. — HERMITE A STIELTJES.
Pai'is, 22 juillet i88g.
0]\ CHER Ami,
Peruiettez-moi de vous demander si \ous voudriez vous joindre
à moi pour corriger les épreuves de la partie, malheureusement
bien courte, du troisième Volume du Traité des fonctions ellip-
tiques d'Halphen que sa famille se propose de publier. M. Aron, le
bean-père de Halj)hen, a demandé à M. Camille Jordan de se
charger de ce soin. M. Camille Jordan s'est em[)ressé d'accepter,
mais en réclamant mon adjonction pour ce qui concerne la multi-
plication complexe, et moi, mon cher ami, je sollicite la vôtre,
pensant que les notations d'Halphen \ous sont connues et familières
et qu'il ne vous déplaira [pas] de concourir à une publication que
les géomètres accueilleront avec reconnaissance.
Et je suis toujours à rédiger le rapport sur l'enseignement
mathématique de la Sorbonnequi arrive à sa fin. Je ne sais encore
s'il sera imprimé, mais dans ce cas et quand \ous le verrez, je
réclame votre indulgence, il n'est pas brillant.
En vous renouvelant, mon cher ami, l'assurance de mes senti-
ments bien dévoués.
FIN DU TOME PREMIER.
PARIS. — IMPRIMERIE GAITHIER-VILLARS,
284"27 Quai des Grands -Au^ustins, 55.
BINDING SECT. JUN 13 1968
QA Herraite, Charles
29 Correspondance d'Hermite
HAA2^7 et de Stielt.ies
t.l
Physîcal &
Aw>lied Sci.
PLEASE DO NOT REMOVE
CARDS OR SLIPS FROM THIS POCKET
UNIVERSITY OF TORONTO LIBRARY